立体几何平行的证明与应用（等积变形截面探究性问题等12类题型）（原卷版）-2025年高考数学复习题型重难点专项突破

专题8-2立体几何中平行的证明与应用

模块一、热点题型解读（目录）

【题型1］平行关系的判断

【题型2】构造平行四边形得到平行关系

【题型3】由中位线得出平行关系

【题型4】由线面平行得出线线平行（反推找线）

【题型5】由面面平行得出线面平行

【题型6】两个平面交线相关的平行证明

【题型71证明线线平行

【题型8】通过平行证明四点共面

【题型9】平行关系的应用：等积变形求体积

【题型10］平行的存在性问题（确定点的位置）

【题型11］平行的存在性问题（确定动点轨迹）

【题型12】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面）

模块二1核心题型•举一反三

平行关系思维导图

序号图形展示符号语言文字语言

①垂直于同一平面的两个直线平行

1②如果两条直线分别与第三条直线平行则

这两条直线平行

③线段成比例两直线平行（中位线）

④平行四边形对面平行

a_____aBa平面外一条直线与此平面内的一条直线平

行，则该直线与此平面平行

2bua,na〃a

allb

a//a一条直线与一个平面平行，则过这条直线的

任一平面与此平面的交线与该直线平行

3QU,>=>a〃b

ac/3=b

a,bua一个平面内的两条相交直线与另一个平面内

的两条相交直线分别平行，那么这两个平面

ar\b-A

平行

4/m,nu/3>=>a//P

men=B

a//m,b//n

a//p'如果两个平行平面同时和第三个平面相交，

那么它们的交线平行

5acy=a>=a//b

(3cy=b

a,bu0一个平面内的两条相交直线分别与另一个平

6aob—P面平行，则这两个平面平行

=>a//(3

//a//a

b//a

a〃/两个平面平行，则其中一个平面内的任意一

>na//p

7aua,条直线与另一个平面平行

【题型1】平行关系的判断

基础知识

常用结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a_La,arp,则a〃万.

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃人p//y,则a〃/.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a_La,bLa,则a〃8.

(4)若a〃4，，wUa,则

【例1】(2024•山东淄博•二模)己知a,B，y为三个不同的平面，a,b,/为三条不同的直线.

若(zn£=/，an『a，£n/=6，/〃%

则下列说法正确的是()

A.°与/相交B.b与/相交C.a//bD.a与夕相交

【例2】已知机、〃是两条不同的直线，。、£、/是三个不同的平面，下列命题正确的是（）

A.若&_!_，，/31丫,则《///；

B.若加〃"，"ua,则〃z//e；

C.若机、,是异面直线，根ua,mlIfi,nu/3,nlla,则tz〃/；

D.平面a内有不共线的三点到平面£的距离相等，则a//〃.

【例3】（多选）己知平面aac/3=l,/3cy=m,yca=n,则下列结论正确的是（）

A.加与w可能是异面直线B.若/〃加，则加〃“

C.若租n〃=O，则。€/D.若名6,7两两垂直，则/,7",”也两两垂直

【巩固练习1）下列关于平面平行的命题，正确的是（）

A.若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

B.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

C.若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行

D.若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行

【巩固练习2】设斜〃是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若机〃〃，机//。，则”//cB.若alI/3,mua,nu/3,则加//“

C.若加〃则根//aD.若m//n,mLa,则〃

【巩固练习3]已知私〃为两条不同的直线，名£为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（）

A.mua,nua、m〃（3、n〃B=a〃{5

B.a〃尸，根uan〃z〃£；

C.n[/〃％nua=m〃a

D.m〃a,nua0ml/n.

【题型2】构造平行四边形得到平行关系

基础知识

【方法技巧】构造平行四边形找线线平行

【例1】如图，在棱长为1的正方体中，E、/及G分别为棱8用、和CG的中

点.求证：。尸//平面。成;；

【例2】（2024•江苏南京.模拟预测）如图，四棱锥尸-ABC。中，上4,底面ABCD,AD//BC,

AB=AD=AC=3,"=8C=4,〃,N分别为线段AD,PC上一点，AM^2MD.

若N为尸。的中点，证明：MV〃平面RIB；

【巩固练习1】如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A8CD是直角梯形，ADJ.AB,AB//DC,PA1.

底面ABC。，点E为棱PC的中点，AD=DC=AP=2AB=2.证明：3E〃平面抬。；

【巩固练习2X24-25高三上•青海西宁・期中）如图，PD1.^ABCD,AD±CD,AB//CD,PQ//CD,

AD=CD=D尸=2PQ=2A5=2,点及尸，“分别为AP,CO,3Q的中点.求证：斯〃平面CPM

【巩固练习3】如图，在正三棱柱ABC-ABC中，。,2,尸分别是3C,BC，"的中点，阮=4施,

△ABC的边长为2.求证：：瓦V/平面A£>A4；

【题型3】由中位线得出平行关系

基础知识

涉及中点条件时考虑利用三角形中位线找线线平行.

【例1】如图，已知四棱锥PABCf）的底面A8CD是平行四边形，M,N分别是棱P8,PC的中点,

。是棱B4上一点，且AQ=3QP,求证:NQ〃平面MCQ

【巩固练习1】（24-25高三上•广东深圳•阶段练习）如图所示，四棱锥S-ABCD中，四边形A3CD是

矩形，平面SCO,平面ABC。，NSDC=90。，点M是线段5r的中点，点N在线段S3上，且ACVLS3.

s

【巩固练习2】（2024•浙江金华・一模）如图,三棱锥A—3CD中，AC平面BCD,AD=DB=DC=BC,

E为AB中点，M为DE中点，N为。C中点.

求证：MN//平面ABC；

【巩固练习3】已知在正四棱柱A3C£>-AgCQ中，AD=3,A4j=4,点E是C。的中点，求证:

ADJI平面EBD

【题型4】由线面平行得出线线平行（反推找线）

基础知识

解析：模型铺垫：AB〃平面0司AB〃DE

【例1】如图，在三棱柱ABC-AAG中，侧面ACGA为菱形，侧面CBAG为正方形.点"为A。

的中点，点N为A8的中点.

证明：MNII平面BCC\B]

【例2】如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是正方形，点/在棱左上（不与端点重合），E,

尸分别是尸。，AC的中点.

p

证明：EF//平面PBC.

【例3】（2024・浙江•一模）如图，在三棱锥尸-ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PCI

平面A3C,点E是PB的中点，点厂在线段CE上且CV:£F=2:1,G为三角形ABC的重心.

B

求证：GP〃平面

【巩固练习1】（2024•山东济南•三模）如图所示，PDCE为矩形，ABC。为梯形，平面尸DCE，平面

ABCD,ZBAD=ZADC=90°,AB=AD=^CD=1,PD=41-

若点M■为山的中点，证明:AC〃平面MDE；

【巩固练习2】在直三棱柱ABC-A4c中，已知。为A3的中点.求证：BG〃平面ACO.

【巩固练习3】(24-25高三上•福建泉州•期中)如图，在直三棱柱ABC-A4G中，ZACB=90°,

CA=CB=CC,=3,。是棱8月的中点，尸是G。的延长线与C8的延长线的交点.

(1)求证：AP〃平面AC。；

(2)若点E在线段AP上,且点E为靠近点A的三等分点,求直线AtE与平面所成的角的正弦值.

【巩固练习4】如图，三棱柱ABC—A与G中，E,P分别是耳G和CC1的中点，点F在棱4瓦上,

且用歹=2AJ,证明：AP//平面EFC.

【题型5】由面面平行得出线面平行

基础知识

本法原理：已知平面.〃平面4，则平面£里的任意直线均与平面a平行

思路比较简单不过书写步骤会繁琐一些，一般不做第一选择

【例1】如图，已知三棱柱ABC-A4G为直三棱柱，MnABuZAC,为AC的中点.

证明：4C//平面BA。

【例2X2024・贵州贵阳•二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中,

2户分别为ARAB的中点，AB=2A4=4,侧面瓦?℃与底面ABC。所成角为45。.

求证：8。〃平面4石尸；

【巩固练习1】（2024•广东深圳•高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体ABCDEF中，四

边形ABCD为矩形，二面角A—CD—尸的大小为45°，DE//CF,CD±DE,AD=2,DC=3.

（1）求证：BF7/平面ADE；

【巩固练习2】（2024・四川达州•二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,

AB=BC=2AD,把梯形ABCD绕AB旋转至ABCR,E,F分别为AB,CCt中点.

证明：EF7/平面C，A；

【巩固练习3】（2024•江苏南京•二模）如图，AD//BC,AD_LAB,点、E、F在平面ABCA的同侧,

CF//AE,AD=1,AB=BC=2,平面平面ABCD,EA=EC=VL求证：3尸〃平面ADE；

【题型6】两个平面交线相关的平行证明

基础知识

两个平面交线相关的平行证明可以考虑补全图形得到交线，也可以先找一个线面平行，得出线线平

行来代换交线，原理是由线面平行得出线线平行

【例1】如图，四棱锥产一a3c9的底面为正方形，且小，面ace.设平面必夕与

平面力0的交线为《证明：（〃CB

p

【例2】（2025高三・全国・专题练习）如图，AD//BCS.AD='2.BC,ADLCD,EG//ADS.EG=AD,

CDUFG豆CD=2FG,OG_L平面A3C£>,DA=£>C=DG=2,设平面与平面£FG的交线为/,

求证：BC//1-,

【巩固练习1】在圆柱中，AB是圆。的一条直径，CD是圆柱的母线，其中点C与A,2不

重合，M,N是线段3。的两个三等分点，且BM=MN=ND.若平面COM和平面C4N的交线为/,

证明：〃/平面

【巩固练习2】（2025高三・全国・专题练习）如图，在三棱柱ABC-A4G中，AC=BC,A,C=A.B,

侧面B4GC为矩形.记平面A8G与平面A3C交线为/,证明：AC///；

【巩固练习3】如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，设平面与平面尸BC的交线为加,

MN分别为PC,A3的中点.

(2)求证：BCHm.

【题型7】证明线线平行

基础知识

利用线面平行和面面平行证明线线平行

【例1】如图，平面ABCD,BFH平面ADE,CF//AE.求证：AD//BC.

【例2】如图，直四棱柱ABCD-ABCa被平面。所截，截面为CDEF,且E尸=,

DC=2AD=4AE=2,ZADC=,平面石尸。与平面ABCD所成角的正切值为《石.证明：AD//BC.

i33

【巩固练习1］如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为2cm和3c为圆台的两条不同的

母线.9，。分别为圆台的上、下底面圆的圆心，且△OA3为等边三角形.求证：AB,"AB.

【巩固练习2】（2024・甘肃•一模）如图，空间六面体A3CDEFGH中,〃/G,

NBCD=/FGH=9仃，平面ABCD//平面所6”,。。“6为正方形，平面8DCG_L平面

ABCD,AD=FG=2EH,BC=3EH.求证：AE11BF

【题型8】通过平行证明四点共面

基础知识

通过线线平行得出四点共面

【例1】如图，在直三棱柱ABC-AqG中，AB1AC,AAl=AB=AC=2,M,N,P分别为AB,

BC,4月的中点

(1)求证：3P〃平面£MN；(2)求证：尸、M、C、C］四点共面;

【巩固练习1】(2024•内蒙古包头•一模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，PC,平面A3CD,AB//CD,

点E在棱PB上，PE=2EB,HF,〃是棱上的三等分点，点G是棱PZ)的中

2

点.PC=CB=CD=qAB=2,AC=713.

证明：平面CFG,且C,E,F,G四点共面;

【巩固练习2】如图，多面体ABCGDEF中，AB,AC,AD两两垂直，平面ABC//平面。石尸G,平

面BEF//平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1.判断点B,C,F,G是否共面，并说明理

由.

【巩固练习3】如图，在长方体ABC。—AgGQ中，点石，尸分别在棱。。i上，2DE=ED1,

BF=2FB1,证明：点G在平面隹/内・

【题型9】平行关系的应用：等积变形求体积

基础知识

等积变形求体积，即形状改变但体积不变。通过计算变形前后的体积相等

【例1】已知正方体ABCD-的棱长为1,尸是线段用C上的一个动点，则三棱锥A-PCQ的

体积是否为定值？请说明理由

DiCi

AB

【例2】如图，在棱长为2的正方体ABC。-A4GA中，力4,N,尸分别是GC,AA的中点,

则三棱锥P—MNB的体积为________

DiMc

【例3】（多选）如图，在正方体A3CD-A4GA中，相=血,尸为线段BG上的动点，则下列说法正确

的是（）

B.DP〃平面4BQ

C.三棱锥尸-AC，的体积为定值④

D.AP+PC的最小值为6+1

【巩固练习1】在正方体A3CD-a瓦G2中，E为8片的中点，点尸满足加=4星，2e[0,l],

则三棱锥尸-A，E的体积与丸的值是否有关？请说明理由.

【巩固练习2】如图，在棱长为2的正方体A8CD-AgGR中，点E,P分别为棱。Q,GR的中

点，三棱锥B-AEF的体积为

【巩固练习3】如图，在棱长为2的正方体A3C。-4片G0中，点尸在平面A片，内，则三棱锥

G-P8。的体积为.

【题型10］平行的存在性问题（确定点的位置）

基础知识

平行存在性问题：过定点构造出平行平面（过相关点作2次平行）

通过面面平行的性质来得到线面平行

【例1】如图1,VABC是边长为3的等边三角形，点。E分别在线段AC,上，且AE=1,AT>=2,

沿DE将VADE翻折到△PDE的位置，使得PB=5,如图2.

在线段依上是否存在点M,使得行〃平面口，若存在，求出面的值；若不存在，请说明理

由.

4

【例2X2024•四川乐山•三模）在三棱柱ABC-44G中，点。在棱8用上，满足匕_BccQ=g%c.gc,，

_______.NB

点/在棱AG上，且,点N在直线8为上，若〃平面AE>G，则加=（）

IV%

A.2B.3C.4D.5

【例3】在棱长为1的正方体ABC。-4耳GQ中，E、P分别为他、的中点，则点尸为正方形

A与GA内一点，当。P〃平面耳£厂时，O尸的最小值为（）

23加

A.3B.ra---

24

【例4】如图，在正方体ABC。-A4CQ中，点P为线段QB上的动点，M,N分别为棱BC,AB

D、P

的中点，若DP//平面片MN,则六=.

【巩固练习1】在三棱柱ABC-44G中，点。、A分别是AC、4G上的点，且平面BQD//平面AB}DX,

试求券AD的值.

【巩固练习2】在四棱锥P-ABCD中，底面A5co为平行四边形,E为线段/D上靠近A的三等分点,

方为线段PC上一点，当B4//平面防尸时，—=()

1£

C.D.

4

【巩固练习3】在三棱柱ABC—A4G中，点。在棱54上，且5耳=43。，点M为AG的中点，点

一工」NB

N在棱5片上，若MN//平面AOG，贝4宙=

A.2B.3C.4D.5

【巩固练习4】如图，已知等腰梯形ABCD中，4£>〃8。,43=4。=4小7=2,后是2（^的中点,

2

AE（^BD=M,将^BAE沿着AE翻折成△耳AE,使平面4AE，平面AECD.

⑴求证：CDL平面片DW；

（2）在线段耳。上是否存在点尸，使得MP//平面与A。，若存在，求出券的值；若不存在，说明理

由.

【题型11］平行的存在性问题（确定动点轨迹）

基础知识

动点轨迹即为两个平面的交线

【例1】如图，在边长为近的正方体ABC。-44GA中，点M在底面正方形A3CZ）内运动，若

4"〃平面R4c,则动点M的轨迹长度为

【例2】如图，在长方体ABCD-A耳G2中，AB=2BC=2CQ=4,E,F分别为BC,CQ的中点,

点尸在矩形BCG用内运动（包括边界），若4/〃平面AEF,则动点尸的轨迹长度为（）

c.2V2D.

[例3]（23-24高三上•北京朝阳・期末）如图，在正方体A3。-A用G2中，点”是平面4801口内

一点，且MB〃平面ACQ,则tanNDA/p的最大值为（）

【巩固练习1】如图，在三棱锥P-ABC中，点。，E分别为棱PB,BC的中点.若点F在线段AC上,

AF

且满足AD〃平面尸跖，则——的值为（）

FC

12

C.D.

27

【巩固练习2】（2023高三・全国・专题练习）如图,正三棱柱ABC-A4G的底面边长是2,侧棱长是

2拓，M为AG的中点，N是侧面BCG用上一点，且脑V//平面ABCX,则线段MN的最大值为（）

AB

C

“

C1

A.2A/2B.2C.72D.4

【巩固练习3】如图，在棱长为1的正方体中，M是AA的中点，点尸是侧面CDDg

上的动点，且〃截面做C,则线段M尸长度的取值范围是()

AG

AB

A.］乎,3B.［也，网

C.悸，同D.p,3］

【题型12］截面问题(通过作平行线或延长线补全截面)

基础知识

一、如何做截面？

作出过EFG三点的截面

法一：作平行线并标出棱