2025年中考数学一轮知识梳理考前突破04圆的相关证明与计算（2大必考题型）原卷版

考前突破04圆的相关证明与计算（2大必考题型）题型一：圆的基本性质的证明与计算题型二：与切线有关的证明与计算题型一：圆的基本性质的证明与计算【中考母题学方法】1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．(1)如图1，若，，求的半径；(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．(1)如图1，若，，求的半径；(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）3．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，．(1)求证：；(2)设，垂足为M，若，求的长．4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，D为中点，，，是的外接圆．(1)求的长；(2)求的半径．5．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．(1)求证：；(2)若的半径，，，求的长．6．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，．(1)求证：；(2)若，求的长．7．（2024·贵州·中考真题）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．(1)写出图中一个与相等的角：______；(2)求证：；(3)若，，求的长．8．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．(1)求证：平分；(2)如果，，求的半径．9．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．(1)求证：；(2)若，，求的半径．【中考模拟即学即练】10．（2025·山东临沂·一模）如图，为的外接圆，直径于E，过点A作的切线与的平分线交于点F，交于点G，交于点H，交于点M，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长．11．（2024·广东·模拟预测）综合运用如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分．(1)求证：．(2)若，求证：．(3)求证：．12．（2024·湖北·模拟预测）如图，在中，弦，相交于点M，且．(1)求证：；(2)连接，，若是的直径，，求的长．13．（2024·贵州·模拟预测）如图，四边形内接于，，，交于点，，，三点共线．(1)图中与相等的是_______；(2)求证：；(3)若，，求的长．14．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，．(1)求证：；(2)连接，作直线，求证：．15．（2024·贵州黔东南·二模）如图，是的外接圆，且过点B作，垂足为点E，延长交于点D，连接，并延长交于点F．(1)写出图中一个与相等的角∶；(2)求证∶(3)若，求的半径．16．（2024·天津红桥·一模）已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．(1)如图①，若为的中点，求的大小；(2)如图②，连接与相交于点，求证：．17．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已知的内接为等边三角形，连接顶点C与圆心O，并延长交于点，交于点，连接，．(1)图中与全等的三角形是，图中度数为的角有个；(2)求证：；(3)连接，，判断四边形的形状，并说明理由．18．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，内接于⊙是⊙的直径，为优弧的中点，连接，延长交于点．(1)求证：．(2)求证：．19．（2025·安徽·模拟预测）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．

(1)求证：；(2)若，，，求的长．20．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长．21．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．

(1)求证：；(2)若，，求．22．（2024·浙江·模拟预测）如图，AB是半径为的的直径，是的中点，连接CD交AB于点，连接．(1)求证：．(2)若，求AD的长．(3)如图，作于点，交AD于点，射线CB交AD的延长线于点，若，求的长．23．（2024·贵州黔东南·一模）如图，为的弦，为的直径，与相交于点，连接，，，过点作于点．(1)求证：；(2)当时，求证：；(3)在（2）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积．24．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：为的直径，弦交于点H，点F为弧上一点，连接交于点E，交于点G，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，在（1）的条件下，连接，当，，时，求的长．25．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．(1)如图1，若，，求的半径；(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）26．（2024·湖北十堰·一模）如图，在中，以为直径作，交于点，过作交于点，连接．(1)求证∶；(2)若，，求的度数；(3)若，，求的长．27．（2024·湖南·模拟预测）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，连接交于点．(1)如果，求证：四边形为平行四边形；(2)如图（2）所示，连接，如果，求边的长；(3)连接，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．题型二：与切线有关的证明与计算【中考母题学方法】1．（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：与相切；(3)若，，求的半径．2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．(1)求证：；(2)若，，求的半径．4．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的半径．5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，以为直径的交于点，垂足为．的两条弦相交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，求扇形的面积．6．（2024·四川·中考真题）如图，AB为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．

(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若，求的面积．7．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，．(1)如图1，求证：是的切线；(2)如图2，若，，求的长．8．（2024·山东济宁·中考真题）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．(1)若，求的长；(2)求证：是的切线．9．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．10．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．11．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，求证：；(3)若于D，，，求的长．12．（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．(1)求证：是的切线．(2)求证：．(3)若，，求的长．13．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．

(1)求证：是的切线；(2)求的长．14．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．15．（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为5，，求的长．16．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．(1)若，为直径，求的度数．(2)求证：①；②．17．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的直径．18．（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．(1)求证：与相切；(2)若，求的长．19．（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径AB交CD于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．(1)求证：是的切线；(2)若．①求DE的长；②求的半径．20．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结．(1)若，求证：是的切线；(2)若，求的半径．21．（2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接．【特例感知】（1）若．则_______．（2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形；【深入探究】若在点C运动过程中，始终有，连接．（3）如图2，当与相切时，求的长度；（4）求长度的取值范围．22．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．(1)当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；(2)若，为的外接圆，设的半径为．①求的取值范围；②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．【中考模拟即学即练】23．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知四边形中，，点是的中点，，以为直径作半圆．(1)求证：是的切线；(2)若与的交点是的中点，的半径为2，求的长．24．（2024·河北·模拟预测）如图1，在中，，，，延长至点D，使，连接，以为直径的绕点A顺时针旋转．(1)如图2，旋转°时，与第一次相切．(2)在（1）的条件下，判断与的位置关系并加以证明．(3)如图3，若与相切于点M，与相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值．25．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，为的直径，点E，F是上异于A，B的两点，延长相交于点D，在的延长线上取点C，连接，已知，，(1)求证：是的切线；(2)若的半径为2，，求的长．26．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知AB为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接CD，过点作于点，交CD于点，且满足．(1)求证：直线CD是的切线；(2)若，，求的长．27．（2024·云南昆明·一模）如图，与等边的边，分别交于点D，E，是直径，过点D作于点F．(1)求证：是的切线；(2)连接，当是的切线时，求的半径r与等边的边长a之间的数量关系．28．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交AD于点F，连接，DE．(1)求证：CD是的切线；(2)若，求的长．29．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，点是的中点，．(1)求证：是的切线；(2)求的长．30．（2025·湖北黄石·一模）如图，内接于，为直径，作交于点E，且．

(1)求证：直线是的切线．(2)如果，，求图中阴影部分的面积．31．（2025·广西柳州·一模）如图，是的直径，四边形内接于，连接，，过点作交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为5，求的长．32．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D（点D与点A不重合），交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G．(1)求证：是的切线；(2)如图1，若；求的半径；(3)如图2，连接，交点为H，当时，