《勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系研究》5600字

勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系研究目录TOC\o"1-4"\h\z\u摘要 勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系摘要:随着数学的发展,积分迎来了新的发展.数学专业的同学都知道黎曼积分与勒贝格积分在数学中是非常难学和难以理解的内容.因此本文简要的概述了黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系,为同学们的学习提供一些参考.本文首先介绍勒贝格积分和黎曼积分的研究背景;其次运用比较分析法,从定义、可积条件、性质、极限定理、几何意义这五个方面，分析这两种积分;最后根据比较分析的结果,得出结论.关键词：黎曼积分;勒贝格积分;可积;极限.引言积分学开始于公元前3世纪，当时阿基米德使用圆的内接多边形计算圆的周长和面积.同时在中国的魏晋时期,刘徽发明了割圆术,主要用于计算圆的周长、面积、圆周率等.随后,南北朝时期的祖冲之改进了割圆术,成功提高了圆周率的精度.17世纪,牛顿创作了《流数简论》,此时微积分正式诞生.同时，莱布尼茨发明了微积分符号,使微积分的概念更加准确和简洁.18世纪微积分迅速发展,欧拉引入了形式化的观点.19世纪初,柯西给出了微积分基本定理的现代形式,之后黎曼发现了黎曼积分.但是随着积分学的发展,数学家们越来越感到黎曼积分存在着严重的的缺陷:一是黎曼意义下可积的函数类太少;二是黎曼积分与极限可交换的条件过于苛刻.例如:函数看上去非常简单,但在黎曼意义下不可积.为了弥补黎曼积分的不足,法国数学家勒贝格第一次阐述了被今人称之为勒贝格积分的思想,从而引发了积分学的变革.勒贝格积分是《实变函数》中非常重要的内容，目前许多学者对勒贝格积分进行了研究.[1-6]文献[1]对黎曼积分做了介绍;文献[2]与[3]讲述了与勒贝格积分相关的理论知识;文献[4]阐述了勒贝格积分与黎曼积分的关系;文献[5]也对勒贝格积分、黎曼积分做了深入的研究,并点明了二者之间的区别与联系.本文在上述文献的基础上,进一步总结了勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系,为同学们的学习提供参考.1.积分定义的比较1.1黎曼积分的定义(1)黎曼积分的“极限式”定义定义1[1]设上有个点,依次是,它们把分成个小区间.这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割,记为.小区间的长度用表示,并且称为分割的模.定义2[1]设函数在上有定义,.若,,使得对的任何分割以及在其上任意选取的点集,如果,就有,则称函数在区间上黎曼可积(Riemann可积,简称可积);称为在上的黎曼积分.(2)黎曼积分的“确界式”定义定义3[2]设在上有界,表示的任一分划,,这里为任一自然数,可随而不同.设,分别表示在上的上、下确界().分别称,,为关于分划的达布上和与下和,这里;分别称,为在上的达布上积分与下积分.如果,则称在区间上可积,并称此共同值为在上的黎曼积分,记为.(3)达布定理定理1[1]设是测度有限集上的有界函数,对的任一分划,当分划的最大区间长时,,.显然基于定理1,定义2与定义3等价.1.2勒贝格积分的定义(1)勒贝格积分的极限式定义定义4[3]设为可测集,,函数在上有界可测.实数,使得.在中任取一分点组:,记,,并任取.作和,若有限实数,满足,则称是在上的勒贝格积(Lebesgue积分,简称积分).记作.(2)非负简单函数的勒贝格积分定义5[6]设是(可测,互不相交)上非负简单函数,称为在上的积分.(3)非负可测函数的勒贝格积分定义6[7]设为可测集,函数在上非负可测,则在上的积分定义为.显然,若,则称在上可积.(4)一般可测函数的勒贝格积分定义7[8]设为可测集,函数在上可测.令,,则和都是上的非负可测函数,且当时,,.=1\*GB3①若或,则称在上积分确定,称为在上的积分,记作.=2\*GB3②若且,则称在上可积.定义4是用分割方法来定义的,定义7则是利用两个非负可测函数的积分给出的.虽然定义4比定义7复杂,但仍然是相互等价的.通过比较积分与积分的定义,我们发现这两种积分在定义方面既有相同点又有不同点.相同点是:这两种积分都是通过分割区间来进行的.不同点是:分割的对象不同,前者是对定义域进行分割,后者是对值域进行分割.2.积分可积条件的比较2.1黎曼可积(1)必要条件定理2[9]若在上可积,则在上有界;反之不成立.(2)充要条件引理1[10]设函数在上有定义且有界,在上的振幅用表示,则.定理3设函数在上有界,则在上可积当且仅当下述条件之一成立:=1\*GB3①在上的上积分与下积分相等,即;=2\*GB3②当时,();=3\*GB3③在上的不连续点成一零测度集.证明=1\*GB3①必要性:设在上可积,.由定义2得,,,只要,就有.又因为与分别为积分和关于点集的上、下确界,所以当时又有,.这说明当时,与都以为极限.由定理1,.充分性:设.由达布定理得.,,当时,满足.从而在上可积,且.=2\*GB3②必要性:设在上可积,有.于是,,只要足够小,总分割,使得.充分性:若条件=2\*GB3②得到满足,则由可推得.由于的任意性,必有,故由=1\*GB3①证得在上可积.=3\*GB3③必要性:若在上可积,则的达布上、下积分相等.从而由引理1可知.因为,所以,a.e..这说明在上是几乎处处连续的.充分性:若在上的不连续点集是零测集,则的振幅函数几乎处处等于零,从而由引理1知,即.所以在上可积.条件=1\*GB3①和条件=2\*GB3②没有将函数的可积性归结到函数的其他内在性质,如连续性.而条件=3\*GB3③就很好地解决了这个问题.并且由条件=3\*GB3③,我们可以得出:对于上的有界函数,不连续点的测度决定了其可积性,而不连续点处的状态并不能决定可积.2.2勒贝格可积定义8[8]设是一个非空可测集,如果,(各为互不相交的非空可测集),则称有限集合族是的一个可测分划,简称分划.定理4设函数在可测集上有界,则在上可积当且仅当下列条件之一成立:=1\*GB3①,的划分使,这里.换言之，即.=2\*GB3②在上可测.证明=1\*GB3①充分性:由得.因为是任意的,故.必要性:设,的分划,,使,.因此,对分划,有,.将这两式相加,即得.=2\*GB3②充分性:设在上可测,且,任给,作的任意分划：使.令,则各可测且互不相交,,所以构成的一个分划.关于它的大和与小和,显然有,,这是因为.从而.因为可以任意小,所以在上可积.必要性:设在上可积,我们可以用两列简单函数从上、下两方面来逼近,从而证明可测.首先对,依次作分划使.不妨假设这列中的各分划是逐步加细.如果不是如此变化,只需用,,来代替即可,这时仍有.设,,,.由此出发作两列简单函数:,当;,当,;显然而且由于一个比一个细,且因此,存在.由于从而作为简单函数的极限与也都是可测函数.所以若我们能证明a.e.于,则一定有a.e.于,从而也就证明了的可测性.假定a.e.于不成立,则由于,必使.记,则在上有,从而有,也就是当时,,这样一来便有这同(),矛盾.因此,可测.从定理2、3、4,我们可以清楚地看出,积分比积分有明显的优点,它可以把可积函数类推广到一般可测函数,而不是局限于有限函数,弥补了积分的缺点.并且积分的可积函数类范围更广,比如：上的连续函数可积,也可积,函数可积但不可积.2.3勒贝格积分与黎曼积分的关系定理5[11]设有界函数在上可积,则它在上必可积,且.证明因为在上可积,所以在上的不连续点成一零测度集.此时,在上有界可测,故在上可积.令则当时,;当为的连续点且时,.因而a.e.于.于是积分与积分有着一定的关系,对于函数,如果它是可积的,则一定是可积,而且积分值相等.但是可积的函数未必可积.例如函数.例1对于函数其在闭区间上不是可积而是可积的,且积分值为0.证明.设是区间的任意分割,.若取,且是上的有理数，则积分和.若取,且是上的无理数,则积分和.从而,但.根据定义,在上不是可积.但因为是简单函数,所以可测.所以是可积的且积分值为.3.积分性质的比较3.1黎曼积分的性质(1)线性性=1\*GB3①如果和在上可积,和是常数,则;=2\*GB3②如果和在上可积,是常数,则.(2)有限可加性若,,均为有限区间,,则有.(3)单调性设,在上可积,且,则.3.2勒贝格积分的性质(1)线性性=1\*GB3①设,在可测集上可积,则在上也可积,且；=2\*GB3②设在上可积,则常数,在上也可积,且.证明=1\*GB3①由于,在上可积,故,,,都在上非负可积.所以和都在上非负可积.由于,,所以和都在上非负可积,因而在上可积.由于,,,故,所以.因为所以即.=2\*GB3②是显然的,假设,这时同理可证.所以再设,则由,据积分的定义,有从而.(2)可数可加性设为可测集,,这里每个都是可测集且时.设在上积分确定,则.证明,令,则每个在上非负可测,且当时,,所以同理.由于在上积分确定,所以两个正项级数和中至少一个收敛,因而(3)单调性设,在上可积,且,则;特别地,当时,有.证明由于a.e.于,故a.e.于且a.e.于.又因为,都在上积分确定,故(4)绝对连续性设是上可积,则,及任何可测子集,当时有.证明由于在上可积,故在上可积.对于,上的非负简单函数,使得当时,,且.令,,则对于任何可测子集,只要,就有(5)绝对可积性设在上可积，则在上也可积，且.证明由于在上可积,故在上可测,,和在上非负可测且,.因而由此可知在上非负可积且积分满足线性性、单调性、有限可加性,同样在积分理论下也具有这些性质,但是也有一些性质是积分独有的.如:可数可加性、绝对可积性,弥补了积分的缺陷.从有限可加性到可数可加性,反映了现代社会人们对于客观世界的看法正在不断地改变和提高,从“有限”的初级水平逐渐发展成为“可数无限”的高级水平.此外,积分本身就是一种绝对收敛的积分,即在在上可积当且仅当在上可积(在上可测).绝对可积性对积分成立,但对积分不成立.如例2.例2设显然在上不是可积,但,在上可积.由此知是上的可积函数,则也是上的可积函数.4.积分极限的比较4.1黎曼积分极限定理定理6[12]若函数列在上一致收敛且每一项都连续,则.4.2勒贝格积分极限定理(1)莱维(Levi)定理定理7[13]设为可测集上的一列非负可测函数,当时,,有,令,,则.证明首先,由于是单调列,所以存在可测且,可得,从而得.其次,为了得到相反的不等式,对于固定的,考虑可测函数列:在上它们都有定义而且不难证明.设,如果,使,则对有,从而故.如果有,则,这时.总之无论哪种情况,都成立.因此由控制收敛定理得.所以.(2)法图(Fatou)引理定理8设为可测集上的非负可测函数序列,则.证明令,则是上的一列非负可测函数,且当时,.于是.由Levi定理得.(3)勒贝格控制收敛定理定理9设为可测集上的一列可测函数.是上的非负可积函数,如果,a.e.于且a.e.于,则(1);(2).证明(1)显然在上可测且a.e.于.由在上可积,每个也在上可积.令,,则在上非负可积,a.e.于且a.e.于.因而和都a.e.于.由法图引理得所以.由于,故,即.(2)由(1)即得.通过定理7、8、9的证明,我们可以得到这三个定理的关系如图1所示.图1这表明定理7、8、9是等价的,这三个定理被称为勒贝格三大收敛定理.其中勒贝格控制收敛定理常被用来判断积分与极限之间是否可交换.通过定理6、7、8、9我们了解到,为了保证极限与积分之间的的运算在黎曼积分意义上是可交换的,必须加上一个强条件,即一致收敛;而在勒贝格积分的意义下,只要很弱的条件即收敛就可以.因此,在黎曼积分的范围内不能求的最小极限在勒贝格积分的范围内更容易得到.例3求.解因为在积分中不一致收敛,所以在积分中该题无法计算.又因为,满足勒贝格控制收敛定理,所以.又因为所以.例4函数列求函数列积分的极限.解因为函数列在闭区间上处处收敛于.又因为在上的最大值为,于是.所以函数列在上非一致收敛于.但在上,.由定理9知积分和极限的次序可交换,即.5.积分几何意义的比较5.1黎曼积分的几何意义设定义在上的非负函数可积,则的几何意义是由直线及曲线所围成的曲边梯形的面积.(如图2所示)0图25.2勒贝格积分的几何意义定义9[14]设在上非负,则称中的点集为在上的下方图形,记作.定理10设为可测集上的非负函数,则①是上的可测函数的充要条件是是中的可测集;②当在上可测时,.证明设,则所以中的可测集.设为上的简单函数,因为对于(各可测,互不相交),总有,故可测.设是上的非负可测函数,总一列简单函数使,.所以.所以且.又因为是简单函数,所以都可测,所以可测.反之,如果是可测的,是在中a.e.有定义的可测函数,且所以在上可测且.定理10表明积分的几何意义就是求函数下方图形的测度.并且对于一般的在上的可积函数有.即在上的积分相当于的正部与负部下方图形的测度之差.这与积分的几何解释是一致的.结束语本文首先对勒贝格积分和黎曼积分分别做了简单的说明和介绍,其次详细阐述了这两种积分的基本性质、可积条件、极限定理等,并在论文中给出了相关的证明.最后得出结论,勒贝格积分是黎曼积分推广,是为了弥补黎曼积分的缺点.此外,因为本人的知识有限,本文在内容上还存在着不足.对于这两种积分之间的区别与关联还有待进一步深入.我们都知道科学技术是不断进步的,那么数学也还是在不断前进的,未来仍然会有许多关于黎曼积分和勒贝格积分特殊联系的问题等着我们一起去研究发现.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001:204-216.[2]孙雨雷,冯君淑.实变函数与泛函分析基础同步辅导及习题全解[M].北京:中国水利水电出