2025年中考数学几何模型综合训练专题31最值模型之将军饮马模型解读与提分精练（学生版）

专题31最值模型之将军饮马模型

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系

列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥

或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边

形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）..............................................................................................1

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）..............................................................................................3

模型3.将军饮马模型（多线段和的最值）..................................................................................................4

...................................................................................................................................................6

模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）

条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。

模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：

模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：

图（1）图（2）

模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。

模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小

值即为：线段A’B的长度。

例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，ABBC4，AD8，AG2，

ABC90，E是边CD上的一动点，F为AE的中点，则AFGF的最小值为．

例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在YABCD中，AB4，AD5，ABC30，点M为直线BC上

一动点，则MAMD的最小值为．

例3．（2024·广东·二模）如图，菱形ABCD的一条对角线AC43，DAB60，P是对角线AC上的一

个动点，E，F分别为边DA，DC的中点，则PEPF的最小值是（）

A．2B．23C．4D．43

例4．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形BOC中，BOC＝60，OD平分BOC交BC于点D，点E

为半径OB上一动点．若阴影部分周长的最小值为22，则扇形的半径OB的长为．

3

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）

条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。

模型（1）：点A、B在直线m同侧：模型（2）：点A、B在直线m异侧：

图（1）图（2）

模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|

＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。

模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。

当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，

当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。

例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线

CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为___△_．

例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形ABCD中，E为AB边中点，而点F在DC边上，P为对角线AC

所在直线上一动点，已知AB8，DF2，且ABC60，则PFPE的最大值为．

例3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形ABCD中，AB8，AC与BD交于点O，N是AO

的中点，点M在BC边上，且BM6．P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为．

模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）

模型（1）：两定点+两动点

条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）

图1-1图1-1图1-1图2

模型（2）：一定点+两动点

条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。

图1-1图1-1图1-1图2

模型（1-1）（两点都在直线外侧型）

如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。

模型（1-2）（直线内外侧各一点型）

如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，

根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。

模型（1-3）（两点都在直线内侧型）

如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,

根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，

根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。

模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,

根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，

再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。

例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE1，点P，Q分别

是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是（）

3943

A．B．C．D．

4255

例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM3,ON5，

点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是（）

A．34B．35C．342D．352

例3．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在Rt△ABC中，B90，AB3，BC4．若点P

是边AC上一点．则BP的最小值为．（2）如图②，在Rt△ABC中，ÐB=90°，ABBC2，点E是

BC的中点．若点P是边AC上一点，求PBPE的最小值．（3）公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如

图③．若AD2000米，CD1000米，A60，B90，C150．为满足市民健身需求，现要修一

条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修

的这条步行景观道最短，即CEEFFC的值最小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计）

1．（2024·河南周口·一模）如图，正方形ABCD中，点M，N分别为AB，BC上的动点，且AMBN，DM，

AN交于点E，点F为AB的中点，点P为BC上一个动点，连接PE，PF．若AB4，则PEPF的

最小值为（）

9

A．101B．2102C．5D．

2

2．（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD5，点E是AD边的点，ED3，点F是

线段CD上一点，连接EF，以EF为直角边作等腰直角EFG，FG为斜边，连接AG，则AGEG的最小

值为（）

13

A．6B．210C．D．35

2

3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，ABC120，

点A3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PDPE的最小值是（）

3

A．3B．5C．D．3

222

4．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=10，AD42，点P是边AD上

一点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E

在边AD上，ME∥DN，则AMME的最小值是（）

A．23B．3C．32D．42

5．（2023·安徽·统考中考真题）如图，E是线段AB上一点，VADE和BCE是位于直线AB同侧的两个等边

三角形，点P,F分别是CD,AB的中点．若AB4，则下列结论错．误．的是（）

A．PAPB的最小值为33B．PEPF的最小值为23

C．CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为33

6．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE1，F为对

角线BD上一动点，连接CF，EF，则CFEF的最小值为．

7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经

过点O，AB6，AP3，BC8，点E是边AB上一动点．则EPQ周长的最小值为．

8．（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形ACBD中，BACBAD60，ACBADB90，BC6，

连接CD、AB交于点O，点E为AB上一动点，连接CE，点P为CE的中点，连接OP、DP，则OPDP的

最小值为．

9．（2024·陕西商洛·三模）如图，点O为正方形ABCD的对称中心，点E为AD边上的动点，连接OE，作

OFOE交CD于点F，连接EF，P为EF的中点，G为边CD上一点，且CD4CG8，连接PA，PG，

则PAPG的最小值为．

10．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，Rt△ABC中，C90，AC8，BC6，I为Rt△ABC的内心，

若M、N分别是斜边AB和直角边AC上的动点，连接IM、MN，则IMMN的最小值为．

11．（2024·海南·三模）如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，

AE1，△AEQ沿EQ翻折形成FEQ，连接PF、PD，则EF，PFPD的最小值是.

12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在YABCD中，连接AC，DCAD，AB的垂直平分线交AB于

E，交AC于F，P是线段EF上一动点，点Q为BC的中点．若BC4，YABCD的面积是24，则PBPQ

的最小值为．

13．（2024·山东淄博·一模）如图，线段AC与BD相交于点E，保持BEC60，已知AC3，BD2，则

ADBC的最小值是．

14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连

接CE，将CE绕点C顺时针旋转60得到CF．连接AF，EF，DF，则CDF周长的最小值是．

15．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图，CD是O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧

AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD4时，APBP的最小值为.

16．（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，A60，AB6，点E为AB的中点，点F

在CD上，且CF2，点G为直线BD上一动点，GFGE的最大值是___________．

17．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，ABC90，AB5，BC4，

CD3，点P为直线BC左侧平面上一点，BCP的面积为2，则PAPC的最大值为______．

18．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD8，BC15，

点E为AD的中点，点F为BC上一点，连接EF，EF∥CD，则BF的长为________；

【问题探究】（2）如图2，菱形ABCD的边长为8，且ABC60，E是CD的中点，F为对角线AC上一

动点，连接DF、EF，求DEF周长的最小值；

【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形ABCD所

示，经测量，BC24米，CD16米，BCD90，并沿着对角线BD修建一条隔墙（厚度不计）将该空

地分成△ABD和△BCD两个区域，其中△ABD区域为幼苗培育区，△BCD区域为作物观察区，BD的中点

P处有一扇门，现计划在BC上取点E、F（点E在点F左侧），并沿EF修建一面结果记录墙（厚度不计），

根据规划要求，EF5米，且PE与DF的长度之和最小，请问PEDF的值是否存在最小值？若存在，求

出PEDF的最小值；若不存在，请说明理由．

19．（23-24九年级上·河南周口·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄

昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：

如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请

问怎样走才能使总的路程最短？

作法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在BD的延长线上，取B关于河岸的对称点B，连

接AB，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由

P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．

(1)观察发现如图2，在等腰梯形ABCD中，ABCDAD2,D120，点E、F是底边AD与BC的中

点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BPAP最短．

作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BPAP的

最小值为_______．

(2)实践运用如图3，已知O的直径MN1，点A在圆上，且AMN的度数为30，点B是弧AN的中点，

点P在直径MN上运动，求BPAP的最小值．

(3)拓展迁移如图，已知抛物线yax2bxca0的对称轴为x1，且抛物线经过A1,0、C0,3两点，

与x轴交于另一点B．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线x1上找到一点M，

使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．

k

20．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数yx8的图象与反比例函数yx0的图象交于Aa,6，

x

B两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)在y轴上存在点P，使得