2025年中考数学几何模型综合训练专题29解直角三角形模型之新定义模型解读与提分精练（教师版）

专题29解直角三角形模型之新定义模型

解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试

题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数

学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对

学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这

方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.新定义模型..........................................................................................................................................1

.................................................................................................................................................16

模型1.新定义模型

新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定

理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也

可利用初中数学知识证明。

若无特殊说明，一般认为ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；

△

图1图2图3

abc

1）正弦定理：如图1，2R（其中R是三角形外接圆的半径）。

sinAsinBsinC

证明：作ABC的外接圆，记圆心为O，作直径BE，连接CE，如图2，

△BCaa

则BCE90，EA，∴sinBACsinBEC，∴2R，

BE2RsinBAC

bcabc

同理，2R，2R，∴2R；

sinABCsinACBsinBACsinABCsinACB

111

2）正弦面积公式：如图1，SabsinCbcsinAacsinB.

222

证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D，

AD11

在Rt△ABD中，sinABC，∴ADcsinABC，∴SaADacsinABC，

cABC22

AD11

在Rt△ACD中，sinACB，∴ADbsinACB．∴SaADabsinACB．

bABC22

1111

同理可得SbcsinBAC．因此有SacsinABCabsinACBbcsinBAC．

ABC2ABC222

3）余弦定理：如图2，a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC．

证明：如图3，在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c过点A作ADBC于点H，

BDBD

则cosB，即BDccosB，于是DCaccosB．

ABc

在Rt△ABD中，AD2AB2BD2，在Rt△ADC中，AD2AC2DC2，

2

c2c2cos2Bb2accosB，整理得b2a2c22accosB。

同理：a2b2c22bccosA；c2a2b22abcosC。

图4图5

sin

4）同角三角函数的基本关系式:sin2cos21，tan。

cos

证明：如图4，设∠A=，∵在RtABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。

△2222

aba22ababsinaba

又∵sin,cos，tan，∴sincos1；tan。

ccbccc2cosccb

5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）：

sin()sincoscossin;sin22sincos（已证）.

cos()coscossinsin;cos2cos2sin22cos2112sin2.

tantan2tan

tan()tan2（已证）.

1tantan1tan2

证明：如图4，在RtABC中，在RtABC中，∠C=90°，设∠A=。

△AB1

如图5，取AB的中点O，连接OC，即：OCc，过点C作CDAB于点D，则COB2，

22

利用锐角三角函数在RtABC中表示ACABcosccos，BCABsincsin。

CDcsincos

11sin22sincos

∵ACBCABCD（等面积），即CDcsincos；OC1

22c

2

1

在Rt△CBD中，BDBCsincsin2，则ODOCBDccsin2。

2

1

cossin

CD2cossin2tan

2

tan222

12

ODccsin12sin1tan

2

例1．（2024·山西大同·三模）阅读与思考

阅读下列材料，并解决后面的问题．

CE

在锐角VABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，过C作CEAB于E（如图1），则sinB，

a

CEbaca

sinA，即CEasinB，CEbsinA，于是asinBbsinA，即．同理有，

bsinBsinAsinCsinA

cbabc

，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．

sinCsinBsinAsinBsinC

运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元

素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图1，在VABC中，A60，C45，BC30，则AB______；

(2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间

后，到达位于灯塔北偏东45方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）

(3)在（2）的条件下，试求75的正弦值．（结果保留根号）

26

【答案】(1)106；(2)256；(3)

4

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正弦定理，正确的理解正弦定理是解题的关键．

（1）由题意根据正弦定理即可得到结论；（2）由题意得到∠A60，∠B45，根据正弦定理即可得到

结论；（3）先求出APB75以及AB的长，根据正弦定理即可得到结论．

abc

【详解】（1）解：由题意可知：，

sinAsinBsinC

30AB

BCAB

∵A60，C45，BC30，∴，即32，∴AB106，故答案为：106．

sin60sin45

22

abc

（2）解：如图：由题意可知，APE60，BPF45，AB∥EF，AP50海里，，

sinAsinBsinC

BP50

BPAP

∴AAPE60，BBPF45，∴，即32，

sin60sin45

22

∴BP256，∴B处与灯塔的距离为256海里，故答案为：256．

（3）解：如图：由题可知，PA50海里，PCAB，∴EPCFPC90，

∵APE60，BPF45，∴APC30，bPC45，

13

∴APBAPCBPC75，在Rt△APC中，ACPA25海里，PCPA253海里，

22

在Rt△BPC中，BCPC253海里，∴ABACBC25253海里，

ABPA2525350

由前面定理可知：，则，

sinAPBsinBsin75sin45

2525322626

∴sin75，∴75的正弦值．

50244

例2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）【材料阅读】如图1，在ABC中，设A,B,C的对边分别为a，b，c，

AD△111

过点A作ADBC，垂足为D，会有sinC，则SBCADBCACsinC=absinC，

ACABC222

111

即SabsinC，同理SbcsinA，SacsinB．有以上三式可得：

ABC2ABC2ABC2

abc

正弦定理：==，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理

sinAsinBsinC

如图2，在VABC中，设A,B,C的对边分别为a，b，c，则①a2=b2+c22bccosA

②b2=a2+c22accosB③c2=b2+a22bacosC用以上的公式和定理解决问题：

【简单应用】（1）在锐角VABC中，设A,B,C的对边分别为a，b，c，且2csinA2a，求C；

（2）如图3，在DEF中，F60，EF3，DF8，求DEF的面积与周长．

33

【灵活应用】（3）如图4，在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知A60，VABC的面积为，

4

1

设M为BC的中点，且AM2，求VABC的周长．（参考数据：cos120）

2

【答案】（1）C45；（2）DEF的面积为63，周长为18；（3）112

【分析】本题考查三角形的性质、锐角三角函数，理解题中新定义并灵活运用是解答的关键．

asinC2

（1）利用题意正弦定理得到sinA，进而得到sinC，利用特殊角的三角函数值可求解；

c2

（2）根据题中面积公式和余弦定理求解即可；

（3）延长AM，使得MDAM，连接CD，证明CMD≌BMASAS得到DBAM，CDAB，则

CD∥AB，进而得到ACD180BAC120，ACD180BAC120，利用题中正弦定理和余

弦定理求得ACAB3，AC2AB25，BC2，进而求得ACAB11，即可求解．

acasinC

【详解】解：（1）∵=，∴sinA，

sinAsinCc

asinC2

∵2csinA2a，∴2c2a，即sinC，∴C45；

c2

113

（2）∵在DEF中，F60，EF3，DF8，∴S△EFDFsinF3863，

DEF222

1

DE2EF2DF22EFDFcosF328223849，∴DE7（负值舍去），

2

∴周长C△DEFEFDFDE38718；

33

（3）∵在VABC中，A60，VABC的面积为，

4

133

∴ACABsin60，则ACAB3，延长AM，使得MDAM，连接CD，

24

∵M为BC的中点，∴CMBM，又CMDBMA，∴CMD≌BMASAS，

∴DBAM，CDAB，∴CD∥AB，则ACD180BAC120，

在ACD中，AD2AM22，AD2AC2CD22ACCDcosACD，

2

221

∴22ACAB23，则AC2AB25，

2

1

∴在VABC中，BC2AC2AB22ACABcosBAC5232，∴BC2（负值舍去），

2

2

∵ACABAC2AB22ACAB11,∴ACAB11（负值舍去），

∴VABC的周长为ACABBC112．

例3．（2024·广东·二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．

问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究．

探究一：如图1，在VABC中，ABC90，ACb，BCa，C，求VABC的面积．

AB11

在Rt△ABC中，ABC90，sinABbsin．SABCBCABabsin．

AC22

探究二：如图2，VABC中，ABACb，BCa，B，求VABC的面积（用含a、b、代数式

表示），写出探究过程．

探究三：如图3，VABC中，ABb，BCa，B，求VABC的面积（用a、b、表示）写出探究

过程．

问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）．

问题应用：如图4，已知平行四边形ABCD中，ABb，BCa，B，求平行四边形ABCD的面积（用

a、b、表示）写出解题过程．

问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用a、b、c、d、、表示），

其中ABb，BCc，CDd，ADa，A，C．

11

【答案】absin，见解析；absin，见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半；absin；

22

11

S四边形absincdsin

ABCD22

【分析】探究二：如图2中，作AHCB于H．求出高AH，即可解决问题；

探究三：如图3中，作AHCB于H．求出高AH，即可解决问题；

1

问题解决：SabsinC（C）是a、b两边的夹角）；

2

问题应用：如图4中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解决问题；

问题拓广：如图5，连接BD，由探究三的结论可得出答案．

【详解】解：探究二：如图2中，作AHCB于H．ABACb，BCa，B，BC，

AH11

在RtAHC中，AHC90，sin，AHb·sin，SABCBCAHabsin．

AC22

探究三：如图3中，作AHCB于H．

AH11

在RtAHC中，AHC90sin，AHb·sinSABCBCAHabsin．

AC22

问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半．

故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半．

问题应用：如图4中，作AHCB于H．

AH

在RtAHB中，AHB90sin，AHb·sinS平行四边形ABCDBCAHabsin．

AB

11

问题拓广：连接BD，由探究三的结论可得：SABDABADsinabsin．

22

1111

SBCCDcdsin．S四边形absincdsin．

BCD22ABCD22

【点睛】本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积，锐角三角函数知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

例4．（2023·云南昆明·二模）【问题引入】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角

abc

形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p，

2

那么三角形的面积为：Sppapbpc，在VABC中，A，B，C所对的边长分别为a，b，c，

若a3，b4，c5，则VABC的面积为6；

abc

【问题探索】如图一，在VABC中，设BCa，ACb，ABc，p，M是VABC的内切圆，eN

2

分别与AC的延长线、AB的延长线以及线段BC均只有一个公共点，M的半径为m，eN的半径为n．

(1)分析与证明：如图二，连接MA、MB、MC，则VABC被划分为三个小三角形，用S表示VABC的面积，

即SS△MBCS△MCAS△MAB．那么Spm是否成立？请证明你的结论．

(2)理解与应用：当A60，m2，n6时，求VABC的面积．

【答案】(1)见解析；(2)123．

【分析】（）根据题意得到、、，再结合材料给出的面积公式即可解答；

1S△MBCSMCASMAB

（2）根据角平分线的判定得到AN是BAC的角平分线，再利用锐角三角函数得到AHAK43，最后

根据切线长定理得到ABBCACAHAK43即可解答．

111

【详解】（1）解：Spm成立，理由如下：∵Sam，Sbm，Scm，

MBC2MCA2MAB2

111a＋b＋cabc

∴SS△S△S△am＋bm＋cmm，∵p，∴Spm．

MBCMCAMAB22222

（2）解：连接AN，连接NH、NK，

∵AH与eN相切于点H，NK与M相切于点K，∴NHAH，AKNK，∴AN是BAC的角平分线，

∵BAC60，∴HAN30，∵NH6，

NH63NH6

AH663AK63

∴tanHAN33，tanNAK3，

33

ABBCAC123

∴ABBCACAHAK123，∴63，

22

∵的半径为，∴．

M2SABC263123

【点睛】本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，锐角三角函数，切线长定理，掌握锐角三角函数

是解题的关键．

例5．（2024·山东济宁·一模）关于三角函数有如下的公式：

①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；

tantan2

③tan（α+β）＝1tantan0．

1tantan

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan（45°+60°）

tan45tan6013(13)(13)423

＝＝＝＝＝(23)．

1tan45tan60113(13)(13)2

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

（1）求cos75°的值；（2）如图，直升机在一建筑物CD上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，

底端点C的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．

62

【答案】（1）﹣；（2）建筑物CD的高为84米．

44

【分析】（1）根据cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ可求cos75°的值；

（2）先求出俯角β的正切值，进而根据BC求得AB，再求出俯角α的正切值，进而根据BC求得A、D两点

垂直距离，最后CD的长即可求得．

62

【详解】解：（1）cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°＝﹣；

44

（2）∵β＝75°，BC＝42米，

3

1

tan45tan303

∴AB＝BC•tanβ＝42tan75°＝42×＝42×＝42（3+2）米，

1tan45gtan303

1

3

∵α＝60°，BC＝42米∴A、D垂直距离为BC•tanα＝423米，

∴CD＝AB﹣423＝84米．答：建筑物CD的高为84米．

【点睛】本题是阅读材料题，考查了特殊的锐角三角函数值，解题关键是将不特殊三角函数转化为特殊三

角函数并结合图像解直角三角形．

例6．（2024·重庆·校考一模）材料一：证明：sin2cos21．

证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E．

DEAEDE2AE2

∵DE⊥AB于点EsinBAC，cosBACsin2BAC，cos2BAC

ADADAD2AD2

DE2AE2DE2AE2AD2

∵在RtADE中，DE2+AE2=AD2sin2BACcos2BAC1

AD2AD2AD2AD2

△22

∵∠BAC=∠a∴sincos1．

材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道

直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度

数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角

形的第三条边一定可以求出来.

应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长．

△

(2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的长度吗？如果可以，写出推

导过程；如果不可以，说明理由．

【答案】(1)27(2)能，过程见解析

【分析】(1)过点A作ADBC于点D，根据解直角三角形即可求得；

(2)过点A作ADBC于点D，根据解直角三角形即可求得．

【详解】（1）解：过点A作ADBC于点D

31

AD=ACsin60423，CD=ACcos6042

22

2

DB=CBCD=62=4AB=AD2DB2=2342=27

（2）解：如图，过点A作ADBC于点D

AD=ACsinbsin，CD=ACcosbcosDB=CBCD=abcos

22

AB=AD2DB2=bsinabcos

b2sin2a22abcosb2cos2b2a22abcos．

【点睛】本题考查了解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键．

例7．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与

两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建

立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．

底边BC

如图①：在VABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大

腰AB

小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)sad60；(2)对于0A90，A的正对值sadA的取值范围是；

12

(3)如图②，已知cosA，其中A为锐角，试求sadA的值．

13

26

【答案】(1)1(2)0sadA2(3)

13

【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，

理解新定义是解此题的关键．（1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即

12

可；（2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）由cosA，令AC12a，AB13a，则

13

22BC5a5

BCAB2AC213a12a5a，sinA，在AB上取点D，使ADAC12a，连

AB13a13

接CD，作DHAC，H为垂足，表示出DH、AH的长，再计算出CH、CD，最后由正对的定义即可求解．

【详解】（1）解：根据正对定义可得：

18060

当顶角为60时，等腰三角形底角为60，则三角形为等边三角形，

2

sad60底边腰长1，故答案为：1；

（2）解：当A接近0时，底边长接近0，由定义知sadA接近0，

当A接近90时，等腰三角形的底接近腰的2倍，由定义知sadA接近2，

A的正对值sadA的取值范围是0sadA2，故答案为：0sadA2；

12

（3）解：如图：在VABC中，ACB90，cosA，

13

22

令AC12a，AB13a，则BCAB2AC213a12a5a，

AC12a12BC5a5

∴cosA，sinA，

AB13a13AB13a13

在AB上取点D，使ADAC12a，连接CD，作DHAC，H为垂足，

560a12144a

∴DHADsinA12a，AHADcosA12a，

13131313

22

144a12a2212a60a1226

CHACAH12a，∴CDCHDHa，

1313131313

1226

a

CD26．

sadA13

AC12a13

例8．（23-24九年级下·四川达州·期中）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在

Rt△ABC中，ACB90,AB1,A，求sin2（用含sinα,cosα的式子表示）．

聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CDAB于点D，则COB2，

然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC,BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出

CDsinACsincos

sin22sincos

OC11．

22

阅读以上内容，回答下列问题：在Rt△ABC中，C90,AB1．

1

(1)如图③，若BC，则sin__，sin2_____；．

3

(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2的表达式．（用含sin,cos的式子表示）

1422cossin

【答案】(1)；；(2)tan22

3912(sin)

【分析】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线作所求角

的直角三角形．（1）根据勾股定理求得AC，再根据三角函数的定义即可求得sin和cos，再根据

sin22sincos求解即可；（2）取AB的中点O，连接OC，过点C作CDAB于点D，则COB2，

11

OCAB，在Rt△ACD中表示出CD，勾股定理求得OD，即可求解．

22

22

【详解】（1）由勾股定理可得：ACAB2BC2

3

BC1AC22

由三角函数的定义可得sin，cos

AB3AB3

42142

由材料可得：sin22sincos故答案为；；

939

（2）取AB的中点O，连接OC，过点C作CDAB于点D，如下图：

11

则COB2，OCOBAB，290，45

22

在Rt△ABC中，ACcos，BCsin在Rt△ACD中，CDACsincossin，

1

在Rt△CBD中，BDBCsin(sin)2，则ODOCBD(sin)2

2

CDcossin2cossin

tan22cossin

2

则OD1212(sin)故答案为tan22．

(sin)12(sin)

2

例9．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用

研究0360间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图1所示的

A的对边A的邻边A的对边

直角三角形ABC，A是锐角，那么sinA，cosA，tanA．为了研究

斜边斜边A的邻边

需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：

设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴Ox，建立直角坐标系（图2），在

角α的终边OQ上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，终边OQ可以看作是将射线OX绕点O逆时针

旋转后所得到的，P和原点的距离为rx2y2（r总是正的）然后把角α的三角函数规定为：

yx�y0,0

sin，cos，tan（其中x，y分别是点P的横、纵坐标）我们知道，图1的三个比值的大小

rrx

与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个

比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点P在角α的终边位置无关．

比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列

问题．

(1)如图3，若270360，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα，其中取正值的是．

(2)已知α是钝角，则下列说法正确的是．

A．sin2cos21B．sintancosC．sinα0D．tanα

>0

(3)若角α的终边与直线y3x重合，则sinαcosα．

1

(4)若角α是锐角，其终边上一点P12,y且siny，试求y和tanα的值．

13

13135

【答案】(1)cosα(2)A(3)或(4)y的值为5；tanα的值为

2212

yxy

【分析】（1）由点在第四象限，推出x0,y0，根据sin,cos,tan，即可判断；

rrx

��,�

（2）根据三角函数的定义分析求解即可；（3）分两种情形讨论即可解决问题；（4）根据α是锐角，终

y1

边上一点P12,y在第一象限，y0，进而得y，进而得解得y5或y5（舍去），从而

144y213

即可得解．

【详解】（1）解：∵270360，∴点在第四象限，∴x0,y0，

yxy

∵sin,cos,tan,r0，∴s�in�,�0,cos0,tan0,，

rrx

∴取取正值的是cos，故答案为：cos；

（2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限，∴x0，y0，而rx2y2，

>0

2222

22yxxy

∴sincos1，故A正确；

rrr2

yyy2xx2

∵sintan，cos