2025年中考数学几何模型综合训练专题28解直角三角形模型之实际应用模型解读与提分精练（教师版）

专题28解直角三角形模型之实际应用模型

解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关

系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解

直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角

不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角

三角形的实际应用模型。

.........................................................................................................................................................................................2

模型1.背靠背模型..........................................................................................................................................2

模型2.母子模型..............................................................................................................................................6

模型3.拥抱模型............................................................................................................................................12

.................................................................................................................................................17

【知识储备】

图1图2图3图4图5

如图1，30°-60°-90°三边比值1：3：2；如图2，45°-45°-90°三边比值1：1：2

如图3，30°-30°-120°三边比值1：1：3；如图4，30°-45°-105°三边比值2：2：13

如图5，45°-60°-75°三边比值2：6：13。

上面五个结论在于运用勾股定理和方程，当然也可用三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也

是类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。希望同学能够自己动手计算并研究记忆这些特

殊角度三角形的三边比值，这些结论在选填题特别好用。

模型1.背靠背模型

背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其

中公共边（高）CD是解题的关键。

图1图2图3图4图5

重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB；

如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF；

如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。

例1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼

顶部点C的仰角为60，测得底部点B的俯角为45，点A与楼BC的水平距离AD50m，则这栋楼的高度

为m（结果保留根号）．

【答案】50503/50350

【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意

得BAD45，CAD60，AD50m，然后利用三角函数求解即可．

【详解】解：依题意，BAD45，CAD60，AD50m．

在Rt△ABD中，BDADtan4550150m，

在Rt△ACD中，CDADtan60503503m，

∴BCBDCD50503m．故答案为：50503．

例2．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，

他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正

对岸A处的俯角为50，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，

39

P在同一平面内），那么大汶河此河段的宽AB为米．（参考数据：sin40，sin63.6，

510

6

tan50，tan63.62）

5

【答案】74

【分析】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关

键．

根据题意可得NPCPCF63.6，MPABAP50，BCEF12m,PE60m，则

PFPEEF48m，再通过解直角三角形求得AE和BE，最后根据线段的和差即可解答．

【详解】解：由题知NPCPCF63.6，MPABAP50，BCEF12m,PE60m,

PF

∴PFPEEF48m,在RtPFC，tan63.62，∴CF24m,∴BE24m,

CF

PE6

在RtAPF中，tan50,∴AE50m,∴ABAEBE74m．故答案为：74．

AE5

例3．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，是某市在城区河道上新建成的一座大桥，学校数学兴趣小组在一次

数学实践活动中对桥墩的高度进行了测量，测得斜坡BC长为50米，CBE30，在斜坡顶端C处水平地

面上以3.6km/h的速度行走半分钟到达点D，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为34．

(1)水平地面CD长为米；

(2)求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.68，31.73）

【答案】(1)30；

(2)AB74.8米．

【分析】本题考查路程问题，解直角三角形的应用——仰角俯角问题，添加适当的辅助线构造直角三角形

是解题的关键．（1）根据“路程＝速度×时间”计算即可；（2）延长DC交AB于点H，可知AHDBHD90，

在Rt△CBH中，根据特殊角的三角函数表示出CH和BH，再在RtADH中，求出AH的长，进一步可得AB

的长．

【详解】（1）解：∵3.6km/h1m/s，∴CD13030（米）；故答案为：30

（2）解：延长DC交AB于点H，

∵DC∥BE，CBE30，∴BCHCBE30，AHDBHD90，

311

∴在Rt△CBH中，HCBCcosBCH50cos3050253（米），BHBC5025（米），

222

∴DHCDHC25330（米），∵ADH34，

∴在RtADH中，AHDHtanADH25330tan34251.73300.6849.81（米），

∴ABAHBH49.812574.8174.8（米）．

例4．（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从

安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决

方案中的问题．

方案

滑梯安全改造

名称

测量

测角仪、皮尺等

工具

方案如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE1m，并将原来的滑梯CF改为EG，（图中所有点均在同

设计一平面内，点B,C,E在同一直线上，点A,D,F,G在同一直线上）

【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD1.8m；

测量

【步骤二】在点F处用测角仪测得CFD42；

数据

【步骤三】在点G处用测角仪测得EGD32．

解决

调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）

问题

171752739

（参考数据：sin32,cos32,tan32,sin42,cos42,tan42）

3220840410

【答案】调整后的滑梯会多占1.88m的一段地面

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作EHAG于H，则四边

形CDHE是矩形，可得DHCE1m，EHCD1.8m，再解直角三角形求出DF，GH的长即可得到答案．

【详解】解：如图所示，过点E作EHAG于H，则四边形CDHE是矩形，∴DHCE1m，EHCD1.8m，

CD1.81.8

CDDF2m

在Rt△CDF中，∠CDF90，∠CFD42，∴tan∠CFD，∴tan∠CFDtan429，

DF

10

EH

在Rt△EHG中，∠EHG90，∠EGH32，∴tan∠EGH，

HG

EH1.81.8

HG2.88m

∴tanEGHtan325，∴FGDHGHDF2.88121.88m，

8

答：调整后的滑梯会多占1.88m的一段地面．

模型2.母子模型

图1图2图3图4

母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共

边BC是解题的关键。

重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC-BC=DB；

如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。

图5图6图7图8图9

如图5，BE+EC=BC；如图6，EC-BC=BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；

如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；

如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。

例1．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）

成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模

拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为

36.87，AD17米，BD10米．

(1)求CD的长；(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时

间．（参考数据：sin36.870.60，cos36.870.80，tan36.870.75）

【答案】(1)CD的长约为8米；(2)模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒．

【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．

（1）过点B作BE∥CD交AD于点E，根据余弦值求出CD的长即可；（2）先由勾股定理，求出AC的长，

再利用正弦值求出BC的长，进而得到AB的长，然后除以速度，即可求出下降时间．

【详解】（1）解：如图，过点B作BE∥CD交AD于点E，

由题意可知，DBE36.87，BDC36.87，在△BCD中，C90，BD10米，

CD

cosBDC，CDBDcos36.87100.808米，即CD的长约为8米；

BD

（2）解：QAD17米，CD8米，ACAD2CD215米，

BC

在△BCD中，C90，BD10米，sinBDC，

BD

BCBDsin36.87100.606米，ABACBC1569米，

模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，

模拟装置从A点下降到B点的时间为924.5秒，

即模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒．

例2．（2024·湖南长沙·模拟预测）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测

得旗杆顶部的仰角为60，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水

平线上，已知CD12米，求旗杆AB的高度．

【答案】18米

【分析】该题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的性质和判定，解题的关键是理解题意，

正确作出辅助线．如图，过点D作DHAB于点H，则四边形ACDH是矩形，设BHxm，在RtBDH中，

求出DH3x，得出ACDH3x，AHCD12，在RtABC中，求出AB3x，根据ABBH12，

求出x6，即可求解；

【详解】解：如图，过点D作DHAB于点H，

则四边形ACDH是矩形，

BH3

设BHxm，在RtBDH中，tanBDHtan30，

DH3

∴DH3x，∴ACDH3x，AHCD12，

AB

在RtABC中，tanACBtan60，∴ABACtan603x，

AC

∵ABBH12，∴3xx12，解得，x6，

∴ABAHBH12618，答：旗杆AB的高度为18m．

例3．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学

兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮

汐塔顶端A的俯角为22，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45（点

M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（）

（结果精确到1m．参考数据：sin220.37,cos220.93,tan220.40）

A．41mB．42mC．48mD．51m

【答案】B

【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅

助线是解题的关键．

延长BA交MN于点C，根据题意得BCMN,BC119m,MN74m，然后在Rt△CNB中，利用锐角三角函

数的定义求出CN的长，从而求出MC的长，再在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，

最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．

【详解】如图，延长BA交MN于点C．

由题意得BCMN,BC119m,MN74m．

BC

在Rt△CNB中，CNB45，CN119m，MCMNNC193m．

tan45

在Rt△AMC中，AMC22，ACMCtan221930.477.2(m)，

ABBCAC11977.242(m)．故选B．

例4．（2024·山西大同·模拟预测）在新农村建设中，某村依托当地区位条件，资源特色和市场需求，围绕体

验性、参与性和互动性，打造一批休闲农业类旅游景点，如图是景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意

图，B，A在C的正西方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏东30方向上，E在A的东北方向上，C，

D相距20003m，E在BD的中点处．则景点B，A之间的距离是m．（结果保留根号）

【答案】100031000

【分析】此题考查直角三角形的问题，先求出BE的长度，过E作EFAB与F，在RtΔAEF中，求得EF，

在RtΔBEF中，求得BF，于是得到结论，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角

三角形的常规思路．

【详解】解：由题意得，C90，CBD60，CAE45，

CD

CD20003m，BC2000m，BD2BC4000m，

tan60

1

E在BD的中点处，BEBD2000m，如图，过E作EFAB于F，

2

在RtAEF中，EFAFBEsin6010003m，在Rt△BEF中，BFBEcos601000m，

ABAFBF100031000m，故答案为：100031000，

例5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同

学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台ED上架设测角仪EF，从F处测得塔的最高点A的仰角

为42，测出DEBC23m，台阶可抽象为线段CD，CD203m，台阶的坡角为30，测角仪EF的高度

为2.5m，塔身可抽象成线段AB．(1)求测角仪EF与塔身AB的水平距离；

(2)求塔身AB的高度．（结果精确到0.1）（参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90，31.73）

【答案】(1)76m(2)53.6m

【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解．

（1）延长AB交ED的延长线于点G，过点F作FHAG于点H，过点C作CMDG于点M，则

1

GMBC23m，BGCM，易得CMCD103m，根据勾股定理得出DMCD2CM230m，

2

最后FHDEDMBC即可解答；（2）由（1）可知，FH76m，根据题意得出GHEF2.5m，BGCM103m，

AH

AFG42，则tanAFHtan420.90，AH0.90FH，根据ABAHGHBG，即可解答．

FH

【详解】（1）解：如图，延长AB交ED的延长线于点G，过点F作FHAG于点H，过点C作CMDG

1

于点M，则GMBC23m，BGCM，由题意可知，CDM30，CD203m，CMCD103m，

2

22

DMCD2CM220310330m，FHDEDMBC23302376m，

答：测角仪EF与塔身AB的水平距离为76m；

（2）解：由（1）可知，FH76m，由题意可知，GHEF2.5m，BGCM103m，AFG42，

AH

tanAFHtan420.90，AH0.90FH0.907668.4m，

FH

ABAHGHBG68.42.510353.6m，答：塔身AB的高度约为53.6m．

例6.（2024·江苏徐州·模拟预测）如图1，徐州云龙山是国家5A级景区，它既有自然风光，又有人文景观．小

明沿图2所示的路线图登顶云龙山，他从山脚A出发；沿行走166米到达点B，再沿BC到山顶点C．已

知山高为142米，从点A看点B的仰角1为30，从点𝐴B看点C的仰角2为50．求小明从山脚点A

到达山顶𝐶点C共走了多少米？（结果精确到1米）．

（参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19）

【答案】243m．

【分析】本题主要考查解直角三角形得应用，过点B作BFAD，垂足为F，过点B作BGCD，垂足为

1

G．则BFGD，BGFD．在RtABF中，利用含30度角的直角三角形的性质得BFAB，则可得CG，

2

CG

在RtBCG中，求得BC，即可得ABBC．

sin50

【详解】解：过点B作BFAD，垂足为F，过点B作BGCD，垂足为G．如图，

1

则BFGD，BGFD．在RtABF中，AB166m，BAF30，∴BFAB83m．

2

∵CD142m，∴CG1428359m．

CG59

在RtBCG中，BC76.6m．∴ABBC16676.6243m．

sin500.77

答：小明从山脚点A到达山顶点C共走了243m．

模型3.拥抱模型

拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。

图1图2图3图4

重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+FC+CE=BE；如图3，BC+CE=BE；

如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。

例1．（2024·四川·校考一模）如图，电视塔是西安市的标志性建筑之一，学习测量后，小强想测量其高度如

图，他先在电视塔附近一楼房的底端A点处观测电视塔顶点C处的仰角是72，然后爬到该楼房顶端B点处

观测电视塔底部D处的俯角恰好是30，已知楼房高AB为46米，根据以上观测数据，请你求出电视塔的高

度CD．（结果精确到1米）（参考数据：sin721.0，cos720.3，tan723.1，31.7）

【答案】电视塔的高度CD约为242米

AB

【分析】爬到该楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30，得到ADB30，根据tan30，

AD

463

即，得到AD463，根据在电视塔附近一楼房的底端A点处观测电视塔顶点C处的仰角是72，

AD3

得到CAD72，得到结果．

【详解】解：爬到该楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30，ADB30，

AB463

在RtVABD中，AB46，tan30，即，解得，AD463，

ADAD3

在电视塔附近一楼房的底端A点处观测电视塔顶点C处的仰角是72，CAD72．

在Rt△ACD中，CDADtan72461.73.1242．

答：电视塔的高度CD约为242米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用正切定义计算．

例2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下：

活动任务：测量旗杆的高度

【步骤一】设计测量方案

小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2．

【步骤二】准备测量工具

筷子，皮尺和测倾器，如图3．皮尺的功能是直接测此任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤

和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角

【步骤三】实地测量并记录数据

方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射

角等于入射角，法线lAD，12），如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解

过程如下：

测量过程：小明将镜子放在距离旗杆AB底部am的点C处，然后看若镜子沿直线AC来回移动，直至看到

旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得CDbm，小明的眼睛离地面的高度

DEcm．

求解过程：由测量知，ACa，CDb，DEc．

法线lAD，12，BCAECD

①______，ABC∽DEC．

ABACABa

，即．

DECDcb

AB②______（m）．故旗杆的高度为③______m．

方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角BEC32．量出测点D到旗杆的

距离AD18m，量出测倾器的高度DE1.68m．

(1)补全小明求解过程中①②③所缺的内容；(2)请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到0.1m）．（参考

数据：sin320.530，cos320.848，tan320.625）

acac

【答案】(1)①BACEDC90（或BE）；②；③(2)旗杆的高度AB约为12.9m

bb

【分析】（1）本题考查相似三角形的性质与判定，根据题意证明△ABC∽△DEC，再利用相似三角形对应

边成比例，建立等式求解，即可解题．（2）本题考查解直角三角形，根据题意得出EC、AC，利用

BC

tanBEC，求得BC，再根据ABACBC，即可解题．

EC

【详解】（1）解：由测量知，ACa，CDb，DEc，

法线lAD，12，BCAECD，EDCBAC90，ABC∽DEC，

ABACABaacac

，即，AB（m），故旗杆的高度为m．

DECDcbbb

acac

故答案为：BACEDC90（或BE）；；；

bb

（2）解：由题知，BEC32，AD18m，DE1.68m，BCE90，EC18m，AC1.68m，

BCBCBC

tanBEC，tan32，即0.625，解得BC11.25（m），

EC1818

ABACBC1.6811.2512.93（m），12.9312.9，旗杆的高度AB约为12.9m．

例3．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡

度i1:3，BE6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为

60．(1)求点B离水平地面的高度AB．(2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）．

【答案】(1)AB3m；(2)电线塔CD的高度639m．

AB13

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．（1）由斜坡BE的坡度i1:3，求得，

AE33

利用正切函数的定义得到BEA30，据此求解即可；（2）作BF⊥CD于点F，设DFx，先解Rt△DBF

33

得到BFx，解RtVDCE得到ECx3米，进而得到方程33x3x，解方程即可得到答案．

33

AB13

【详解】（1）解：∵斜坡BE的坡度i1:3，∴，

AE33

AB31

∵tanBEA，∴BEA30，∵BE6m，∴ABBE3m；

AE32

（2）解：作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，ABCF3m，BFAC，设DFxm，

DFDF

在Rt△DBF中，tanDBF，∴BFxm，

BFtan∠DBF

DC

在Rt△ABE中，AEBE2AB233，在RtVDCE中，DCDFCFx3m，tanDEC，

EC

x333

∴ECx3，∴BFAEEC，∴33x3x，

tan6033

∴x636，∴CD6363x639答：电线塔CD的高度639m．

1．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A

处仰望楼顶，测得仰角为30，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60，那么这栋楼的高度为（人

的身高忽略不计）（）

A．253米B．25米C．252米D．50米

【答案】A

【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三

角形．

设DCx米，在RtACD中，利用锐角三角函数定义表示出AC，在RtBCD中，利用锐角三角函数定义

表示出BC，再由ACBCAB50列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值即可．

【详解】解：设DCx米，

在RtACD中，A30，

DCx3

tanA，即tan30，

ACAC3

整理得：AC3x米，

在RtBCD中，DBC60，

DCx

tanDBC，即tan603，

BCBC

3

整理得：BCx米，

3

∵AB50米，

3

∴ACBC50，即3xx50，

3

解得：x253，

侧这栋楼的高度为253米．

故选：A．

2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为45，

小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53，则电子厂AB的高度为（）（参考数据：

434

sin53，cos53，tan53）

553

A．22.7mB．22.4mC．21.2mD．23.0m

【答案】A

【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形EFDG、EFBM、

AM

CDBN是矩形，再设GMxm，表示EMx5m，然后在RtAEM，tanAEM，以及

EM

AN4

RtACN，tanACN，运用线段和差关系，即MNANAMxx50.3，再求出x15.9m，即

CN3

可作答．

【详解】解：如图：延长DC交EM于一点G，

∵MEFEFBCDF90

∴四边形EFDG是矩形

∵MEFEFBB90

∴四边形EFBM是矩形

同理得四边形CDBN是矩形

依题意，得EFMB1.8m，CD1.5m，AEM45，ACN53

∴CG1.81.5m0.3m，FDEG5m

∴CGMN0.3m

∴设GMxm，则EMx5m

AM

在RtAEM，tanAEM，

EM

∴EM1AM

即AMx5m

AN

在RtACN，tanACN，

CN

4

∴CNtan53xAN

3

4

即ANxm

3

4

∴MNANAMxx50.3

3

∴x15.9m

∴AM15.9520.9m

∴ABAMEFAMMB20.91.822.7m

故选：A

3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，

秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最

高位置秋千底部所经过的路径长为（）．

24

A．2米B．π米C．米D．米

33

【答案】C

OC1

【分析】本题考查了求弧长，过点A作ACOB于点C，得出OCODCD1m，求出cosAOC，

OA2

则AOC60，最后根据弧长公式，即可解答．

【详解】解：过点A作ACOB于点C，

∵当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，

∴CD1m，

∵OAOD2m，

∴OCODCD1m，

OC1

∴cosAOC，

OA2

∴AOC60，

60224

∴秋千底部所经过的路径长m，

1803

故选：C．

4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80

海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处

观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了海里．（精确到1海里，参考数据：

sin700.94，cos700.34，tan702.75）

【答案】58

【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，根据题意可得：AB30海里，ACCE,然后在

Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而求出BC的长，再在RtBCE中，利用锐角三角

函数的定义求出CE的长，从而求DE的长．

【详解】解：由题意得：AB30（海里），ACCE,

在Rt△ACD中，CAD45，CD80海里，

CD

∴AC80（海里）

tan45

BCACAB803050（海里），

在RtBCE中，CBE70，

∴CEBCtan70502.75137.5（海里），

DECECD137.58057.558（海里），

即乙船向正东方向航行了58海里，

故答案为：58

5．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点

P处，测得教学楼底端点A的俯角为37，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼

顶端点B的俯角为45，则教学楼AB的高度约为m．（精确到1m，参考数据：sin370.60，

cos370.80，tan370.75）

【答案】17

【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长AB交直线PQ于点H，先用三角函数解Rt△PHA求

出PH，进而求出QH，再证QHBH，最后根据ABAHBH即可求解．

【详解】解：如图，延长AB交直线PQ于点H，则PHA90，

由题意知AH30m，

AH30

在Rt△PHA中，tanPHA，即tan370.75，

PHPH

解得PH40m，

QHPHPQ4026.613.4m，

PHA90，QHB45，

QBHQHB45，

QHBH13.4m，

ABAHBH3013.416.617m，

故答案为：17．

6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡CD的坡度i1:2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，

当太阳光与水平面的夹角为60时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为米．

【答案】41525/25415

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．

如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，设BHx米，EH2x米，勾股定理求出x25，

解直角三角形求出AHtanAEHEH3EH415，进而求解即可．

【详解】解：如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，

则BEHDCF，

BH1

在Rt△BEH中，tanBEHtanBCFi，

EH2

设BHx米，EH2x米，

BEEH2BH25x10，

x25，

BH25米，EH45米，

QAEH60，

AHtanAEHEH3EH415（米），

ABAHBH41525（米），

答：大树AB的高度为41525米．

故答案为：41525．

7．（2024·内蒙古通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点

测得杨树底端B点的仰角是30，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45，

求杨树AB的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：31.73)．

【答案】6.2米

【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，勾股定理，等腰直角三角形性质定理，熟练

掌握勾股定理是解题的关键．分别在RtBCE表示出BE，CE，在得出DE，在Rt△AED中，根据等腰三

角形的性质得AEDE，即可得出答案．

【详解】解：过点B作BEDC于点E，

在RtBCE中，BCE30，BC6米，

1

∴BEBC3米，CEBC2BE2623233米，

2

DC4米，

DEDCCE433米

在Rt△AED中，ADE45，

AEDE433米，

ABAEBE4333133米，

31.73，

AB131.736.196.2米．

8．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点

P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ4m，仰角为；淇淇向前走了3m后到达点D，透

过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离ABCD1.6m，

点P到BQ的距离PQ2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）

(1)求的大小及tan的值；(2)求CP的长及sinAPC的值．

1334

【答案】(1)45，(2)2m，

434

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；

（1）根据题意先求解CEPE1m，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；

CH1

（2）利用勾股定理先求解CP2m，如图，过C作CHAP于H，结合tantanPAE，设

AH4

CHxm，则AH4xm，再建立方程求解x，即可得到答案．

【详解】（1）解：由题意可得：PQAE，PQ2.6m，ABCDEQ1.6m，

AEBQ4m，ACBD3m，

∴CE431m，PE2.61.61m，CEP90，

∴CEPE，

PE1

∴PCE45，tantanPAE；

AE4

（2）解：∵CEPE1m，CEP90，

∴CP12122