2025年中考数学几何模型综合训练专题17全等三角形模型之奔驰模型解读与提分精练（教师版）

专题17全等三角形模型之奔驰模型

对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我

们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”

我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。今天的这主要

讲“奔驰模型”之旋转全等类型。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）...............................................................................................1

模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）......................................................................................7

模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）...................................................................................13

.................................................................................................................................................18

模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）

此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特

征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。

等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。

条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足PA2PB2PC2（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5），

结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）

3

常用结论等边三角形的面积公式：SAB2（选填题非常适用）

ABC4

证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。

∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；

'

∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴ABPACP（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；

∵PA2PB2PC2，∴P'P2P'C2PC2，∴∠PP’C=90°，

∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。

注意：多线段共端点常考旋转。

例1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA2，PB1.5，PC2.5，

则APB的度数为．

【答案】150

【分析】将BPC绕点B逆时针旋转60后得到的△BEA．首先证明PBC≌EBA，推出PBEB，

EBPABC60，所以VBPQ为等边三角形，得BQP60，可得PEPB1.5，EPB60，

AEPC2.5，PA2，即可得到VAPE为直角三角形，则APE90，所以APB9060150；由此

即可解决问题．

【详解】解：如图，将BPC绕点B逆时针旋转60后得到的△BEA．

∴PBC≌EBA，∴PBEB，EBPABC60，

∴△PBE为等边三角形，∴PEPB1.5，EPB60，

∵AEPC2.5，PA2，∴PE5AP2AE2，∴VAPE为直角三角形，

∴APE90，∴APB9060150；故答案为：150．

【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股

定理逆定理的应用，属于中考常考题型．

例2．（2022·湖南·中考真题）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA2，OB1，OC3，则AOB

与BOC的面积之和为（）

3333

A．B．C．D．3

424

【答案】C

【分析】将AOB绕点B顺时针旋转60得BCD，连接OD，得到BOD是等边三角形，再利用勾股定理

的逆定理可得COD90，从而求解．

【详解】解：将AOB绕点B顺时针旋转60得BCD，连接OD，

OBOD，BOD60，CDOA2，BOD是等边三角形，ODOB1，

2

∵OD2OC21234，CD2224，OD2OC2CD2，DOC90，

3133

AOB与BOC的面积之和为SSSS1213．故选：C．

BOCBCDBODCOD424

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将

AOB与BOC的面积之和转化为SBOCSBCD，是解题的关键．

例3.（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，VABC，CDE都是等边三角形，将CDE绕点C旋转，使得点

A，D，E在同一直线上，连接BE．若BE2，AE7，则CD的长是．

【答案】5

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是

解题的关键．根据题意证明CBE≌CAD(SAS)，即可求解．

【详解】解：VABC，CDE都是等边三角形，BCAC,CEDC，ACBDCE60，

ACDDCBACB60，DCBBCEDCE60，ACDBCE，

BCAC

在△CBE和CAD中，BCEACD，CBE≌CAD(SAS)，BEAD，

CEDC

BE2，AE7，BEAD2，DEAEAD725，CD5．故答案为：5．

例4．（2024·安徽·一模）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA3，PB4，PC5，以BC为边在ABC

外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中不正确的是（）

A．PBQ60B．PQC90C．APC120D．APB150

【答案】C

【分析】根据ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，

PA=QC=3，∠△BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；△根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据BPQ

是等边三角形，PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC△≠30°，

即可判断C．△

【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，

∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，

∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正确，不符合题意；

PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，

∴∠PQC=90°，所以B正确，不符合题意；

∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴BPQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，

∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQ△C=60°+90°=150°，所以D正确，不符合题意；

∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，

∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正确，符合题意．故选：C．

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决

本题的关键是综合应用以上知识．

例5．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，O是正VABC内一点，OA3，OB4，OC5，将线

段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，下列结论，①△BOA可以由BOC绕点B逆时针旋

转60得到；②点O与O的距离为5；③AOB150；④四边形AOBO¢面积643；⑤

9

SS63，其中正确的结论是（）

△AOC△AOB4

A．①④⑤B．①③④C．①③④⑤D．①③⑤

【答案】C

【分析】根据正三角形性质，得ABBCAC，ABC60；根据旋转的性质，得OBO60，BOBO，

根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明△BOA≌△BOC，即可判断①；根据勾股定理逆定理，得

AOO90，结合等边三角形△OBO，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算

得SOBO，从而判断④；VAOB绕点A逆时针旋转60得到AMC，根据等腰三角形、勾股定理及其逆定理

的性质计算，可判断⑤，即可得到答案．

【详解】解：连接OO，如下图：∵正VABC∴ABBCAC，ABC60

∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，

∴OBO60，BOBO∴△OBO为等边三角形∴OOOB4，即②错误；

∵OBOABOABO60，ABCABOOBC60∴ABOOBC

ABBC

△BOA和BOC中ABOOBC∴△BOA≌△BOC

BOBO

∴OAOC5，△BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到，即①正确；

∵OOOB4，OA3∴OA2OO2OA2∴AOO90

∵△OBO为等边三角形∴BOO60∴AOBAOOBOO150，即③正确；

11

∵AOO90∴SAOOO346过点B做BNOO，交OO于点N

AOO22

1

∵△OBO为等边三角形∴BNO30∴ONOB2∴22

2BNOBON23

11¢

∴SOOBN42343∴四边形AOBO面积SAOOSOBO643，即④正确；

OBO22

∵正VABC∴VAOB绕点A逆时针旋转60得到AMC，如下图：

∵OAM60，AOAM3，MCOB4，SAOBSAMC∴AOM为等边三角形∴OMAOAM3

13

过点A做AGOM，交OM于点G，如下图：∵AOM为等边三角形∴OAG30∴OGOM

22

33113393

∴AGOA2OG2∴SAGOM3

2AOM2224

∵MC4，OM3，OC5∴OC2MC2OM2∴OMC90

1193

∴SOMCOMMC346∴SSSS6

22AMCAOCAOMOMC4

93

∴SSSS6，即⑤正确；故选：C．

AOBAOCAMCAOC4

【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋

转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解．

模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）

2

条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足PB22PAPC2，

结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）

证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。

∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形；

∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，P'P2PA，∠AP’P=45°；

'

∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴ABPACP（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；

2

∵PB22PAPC2，∴P'C2P'P2PC2，∴∠PP’C=90°，

∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。

例1．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角△ACB，ACBC，点P在△ACB内，PC2，

PA3，PADACP则PB的长为（）

A．17B．13C．52D．5

【答案】A

【分析】先利用等腰直角△ACB，ACBC，得到CAB45，再证明APD45，接着把CBP绕点C

顺时针旋转90得到VCAE，连接PE，根据旋转的性质得到CEPC2，AEBP，PCE90，则可判

断△CPE为等腰直角三角形，从而PE2PC22，CPE45，然后计算APE90，从而利用勾股

定理计算出AE即可．

【详解】解∶∵等腰直角△ACB，ACBC，∴CAB45，

∵PADACP，∴APDACPPACPADPACDAC45，

如下图，把CBP绕点C顺时针旋转90得到VCAE，连接PE，

∴CEPC2，AEBP，PCE90，∴△CPE为等腰直角三角形，

∴PE2PC22，CPE45，∴APE180APDCPE180454590，

∴PBAEPE2PA2(22)23217，故选∶A．

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及旋转的性质，对应点到旋转中心的距离

相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是解

题的关键．

例2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE

的垂线交AE于点P，若DEDP2，PC25则下列结论：①△APD≌△CED；②AECE；③点C

到直线DE的距离为23；④S正方形ABCD26其中结论正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【分析】利用正方形性质即可证明①，利用全等三角形性质即可推出②，过点C作CFDE的延长线于点F，

利用勾股定理求出PE，CE，再利用解直角三角形即可判断③，利用勾股定理得到CD，进而得到正方形面

积，即可判断④．

【详解】解：四边形ABCD为正方形，ADCD，ADC90ADPPDC，

DEDP，EDP90CDEPDC，ADPCDE，

DEDP2，APD≌CEDSAS，故①正确；

EDP90，DEDP2，DEPDPE45，

△APD≌△CEDDECDPA180DPE135，

AECDECDEP90，AECE，故②正确；

过点C作CFDE的延长线于点F，如图所示，

EDP90，DEDP2，PEDE2DP22，

AEC90，PC25，CEPC2PE24，

DEPDPE45，FEC180AECDEP45，

F90，FCE45FEC，CFCEcos4522，故③错误；

CF22，EF22，DFEFDE32，CDCF2DF226，

2

S正方形ABCDCD26，故④正确；综上所述，正确的有3个，故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，正方形性质，勾股定理，解直角三角形，垂直的判定，正方

形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．

例3．（2023年湖北省武汉市中考一模）如图，Rt△ABC中，ACB90，AC43，BC6．点P为ABC

内一点，且满足PA2PC2AC2．当PB的长度最小时，则△ACP的面积是．

【答案】63

【分析】取AC中点O，连接OP，BO，由PA2PC2AC2即可得到APC90，再由BPBOOP，可

1

得当点P在线段BO上时，BP有最小值，然后利用直角三角形的性质可得POAOCOAC23，即

2

可推出BOC60，则COP是等边三角形，求得COP的面积，根据OAOC可得S△ACP2S△COP63．

【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OP，BO，

∵PA2PC2AC2，∴APC90，∴点P在以AC为直径的圆上运动，

在△BPO中，BPBOOP，∴当点P在线段BO上时，BP有最小值，

1

∵点O是AC的中点，APC90，∴POAOCOAC23，

2

CB

∴tanBOC3，∴BOC60，∴COP是等边三角形，

OC

323

∴SOC1233，∵OAOC，∴S△ACP2S△COP63，故答案为：63．

△COP44

【点睛】本题主要考查了正切的定义与特殊角的三角函数值，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直

角三角形斜边上的中线，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够综合应用各种性质解题．

例4．（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA5，PB2，PC1，求BPC

的度数．

【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是

将BPC绕点B逆时针旋转90，得到了BPA（如图2），然后连结．

'

【解决问题】请你通过计算求出图2中BPC的度数；��

【比类问题】如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA213，PB4，PC2．

（1）BPC的度数为；（2）直接写出正六边形ABCDEF的边长为．

【答案】（1）135；（2）120；27．

【分析】解决问题：由旋转的性质可得BPBP2，PBP90，∠BPA∠BPC，APPC1，然

后证明PA2PA2PP2得到APP90，则BPCBPAAPPBPP135；

（1）仿照【分析】中的思路，将BPC绕点B逆时针旋转120，得到了BPA，连接．如图所示，根据

'

旋转的性质可得：PBC≌PBA，从而得出BPP为等腰三角形，��

PBPB4，PCPA2，BPCBPA，，由PBP120，得到BPP30，可以求得PP43，

由勾股定理的逆定理就可以求出APP90，从而得出结论；

（2）延长AP，作BGAP于点G，在RtPBG中，PB4，BPG60，就可以得出PG2，BG23，，

则AGPGPA224，在Rt△ABG中，根据勾股定理得ABAG2BG227．

【详解】解决问题：由旋转的性质可得BPBP2，PBP90，∠BPA∠BPC，APPC1，

2

2

∴BPPBPP45，PPBP2BP22，∵PA55，PA2121，PP2224，

∴PA2PA2PP2，∴APP90，∴BPCBPAAPPBPP135；

（1）仿照【分析】中的思路，将BPC绕点B逆时针旋转120，得到了BPA，连接．如图5，

'

��

∴PBC≌PBA，∴PBPB4，PCPA2，BPCBPA，∴BPP为等腰三角形，

∵PBP120，∴BPP30，作BGPP于G，∴PGB90，PP2PG．

∵PBPB4，BPP30，∴BG2，∴PG23∴PP43，

在APP中，∵PA213，PP43，PA2，∴PA252，PP248，PA24，

∴PA2PP2PA2∴PPA是直角三角形，∴APP90．

∴BPCBPA3090120．故答案为：120

（2）延长AP，作BGAP于点G，如图6，

在RtPBG中，PB4，BPG180APB60，∴PBG30，

∴PG2，BG23，∴AGPGPA224，

在Rt△ABG中，根据勾股定理得ABAG2BG227．故答案为：27

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，多边形内角和，等腰三角形的性质与判定，含30度

角的直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质．

模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）

模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若CP2AP2BP2，结论：∠CPA=30°。

2

模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若CP22APBP2，结论：∠APC=45°。

（注意：上述两个模型结论和条件互换也成立）

图1图2

鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非常有

意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。

模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。

∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；

∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴BAPCAD（SAS），∴BP=CD；

∵CP2AP2BP2，∴PC2DP2CD2，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。

模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。

∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形；

∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，DP2PA，∠APD=45°；

∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴ABPACD（SAS），∴BP=CD；

2

∵CP22APBP2，∴CP2DP2CD2，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。

例1．（2024九年级上·重庆·专题练习）如图，P是等边三角形ABC外一点，PA3，PB4，PC5，求BPA

的度数．

【答案】30

【分析】由等边三角形的性质可知，BABC，ACB60；将△APC绕点C顺时针旋转60得△BCD，

连PD，首先证明△PCD为等边三角形，可确定PDPC5，由勾股定理的逆定理可证明△PBD为直角三

角形，且PBD90，然后计算BPA的度数即可．

【详解】解：∵VABC为等边三角形，∴BABC，ACB60，

可将△APC绕点C顺时针旋转60得△BCD，连PD，如下图，

∴BDAP4，CDPC5，PCD60，DBCPAC，∴△PCD为等边三角形，∴PDPC5，

在△PBD中，PD5，BD3，PB4，∴PD2PB2PA2，∴△PBD为直角三角形，且PBD90，

∴PBCCBDPBCPAC360PBD270，

∴BPA360(PBCPAC)ACB3602706030．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、四边形内角和等知

识，正确作出辅助线，构建直角三角形和等边三角形是解题关键．

例2．（2023·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形ABC外一点，连接PA，PC，若PA7，PB9，

APB30，则PC的长是．

【答案】130

【分析】把PB绕点B顺时针旋转60，连接PQ，AQ，可证PBQ是等边三角形，利用SAS证明PBC≌QBA，

得出PCQA，在Rt△APQ中，利用勾股定理求出AQ，即可求解．

【详解】解：把PB绕点B顺时针旋转60，连接PQ，AQ，如图所示：

则PBQB，PBQ60，∴PBQ是等边三角形，∴QPB60，PQPB，

∵VABC是等边三角形，∴ABCB，ABC60，∴PBCQBA60PBA，

∴PBC≌QBASAS，∴PCQA，∵QPB60，∴APQ90，

又AP7，PBPQ9，∴PCAQAP2PQ27292130．故答案为：130．

【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，三角形全

等的判定和性质，掌握旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键．

例3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，

则BD的长为（）

A．34B．41C．43D．59

【答案】D

【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，

BACA

在BAD与CAD′中，BADCAD，∴△BAD≌△CAD′（SAS），

ADAD

△△

∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=AD2AD252，∠D′DA+∠ADC=90°

由勾股定理得CD′=DC2DD2325059，故选D．

例4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图1，

在四边形ABCD中，ABAC，ABC60，ADC30，AD4，BD5，求的长．”经过小组合作

交流，找到了解决方法：构造旋转全等．将△BCD绕点B逆时针旋转到BAE�，�连接．则BDE是

60°��

等边三角形，所以DEBD5，导角可得DAE=90，所以CDAEDE2AD23．

（1）请补全图形；

AD3

【探究应用】（2）如图2，在VABC中，ABAC，BAC120．D为VABC外一点，且ADB50，，

BD3

求ADC的度数；

【拓展延伸】（3）如图3，在VABC中，ABAC，BAC120，ADBC于D，M为上一点，连接，

N为上一点，若AN2，BN3，BANCBN30，连接CN，请直接写出线𝐶段CN的长___�__�_．

𝐵

【答案】（1）见解析；（2）ADC110；（3）3

【分析】本题主要考查了三角形的综合，灵活运用旋转构造相似三角形，利用相似三角形的判定和性质是

本题解题的关键．（1）题意补全图形即可；（2）将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，连接ED，作AFED

AD3

于F，根据含30度的直角三角形的性质及勾股定理求得，推出EDBDCE，据此求解即可；

DE3

（3）延长AN构造等边三角形，然后利用两组三角形相似求出AB，最后利用勾股定理求解．

【详解】解：（1）补全图形，如图，

；

（2）将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，连接ED，作AFED于F，

由旋转的性质知ADAE，CAEBAD，BDCE，CEABDA50，

∵ABAC，BAC120，∴DAEDACEACDACBAD120，

∴ADFAEF30，∴CED503020，AD2AF，

AD2AF3

由勾股定理得，DF3AF，DE23AF，∴，

DE23AF3

AD3

∵，∴EDBDCE，∴EDCECD80，∴ADC3080110；

BD3

（3）延长BM交AC于F，延长AN到E，使NEBN，连接BE，如图，

BANCBN30，BANCBN30，BNEBANABNCBNABN3060，

NEBN，BEN是等边三角形，E60，

ANB180BNE120BAC，△ABN∽△FBA，

ABBNANABBEAE

，BAEAFB，△ANF∽△BEA，，

BFABAFAFANFN

232

AEAN233253322

FN，BFFNBN，ABBNBF56，

BE333

过F作FGBC于F，过N作NHBC于H，ACB30，

1136323223

FGFCABAFAB，CGAB，BGBCCG3ABABAB，

226222

NHBNBH3363233

∵NH∥GF，∴△BNH∽△BFG，，NHAB，BHAB，

GFBFBG5610261026

7332

CHBCBHAB，CN2CH2NH29，∴CN3．故答案为：3．

1026

1．（2024九年级·重庆·期中）如图，在等边ABC内有一点P，使得APC:APB:BPC7:8:9，那么

以AP，BP，CP的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为．

【答案】5：3：4

【分析】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定与性质，利用图形的旋转添加辅助线是解答本题的关

键．将△BAP绕点B顺时针旋转60得到△BCQ，连结PQ，可证得PBQ是等边三角形，从而得到

ÐBPQ=ÐBQP=60°，BPPQ，所以△PQC就是以AP，BP，CP的长度为边长的三角形，进一步求出

△PQC的内角度数，即得答案．

【详解】将△BAP绕点B顺时针旋转60得到△BCQ，连结PQ，

则BQBP，PBQ60，APCQ，PBQ是等边三角形，

\ÐBPQ=ÐBQP=60°，BPPQ，PQC就是以AP，BP，CP的长度为边长的三角形，

7

APC:APB:BPC7:8:9，\�APC窗360=105，

24

89

�APB窗360=120，�BPC窗360=135，

2424

\ÐCPQ=135°-60°=75°，ÐPQC=ÐBQC-ÐBQP=ÐAPB-60°=60°，

\ÐPCQ=180°-ÐCPQ-ÐPQC=45°，

以AP，BP，CP的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为

CPQ:PCQ:PQC75:45:605:3:4．故答案为：5:3:4．

2．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件

相对集中，以达到解决问题的目的．

【发现问题】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA2，PB3，PC1，求BPC的度数．

解：如图①，将线段BP绕点B逆时针旋转60得到线段BP，连接AP，PP．

BPBP，PBP60，PBP是等边三角形，BPP60，PPPB3，

ABC是等边三角形，ABC60，BCBA，

ABCABPPBPABP，即PBCPBA．请你补充完整解答过程．

【应用问题】如图②，在正方形ABCD内有一点P，若PA41，PB4，PC3，则BPC．

【拓展问题】如图③，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在直线AD上方（包括直线AD）

有一点P，PA4，PD2，连接PO，则线段PO的最大值为．

【答案】发现问题：150，应用问题：135，拓展问题：32

【分析】发现问题∶由SAS可判定ABP≌CBP，由全等三角形的性质得APCP1，∠BPA∠BPC，

由勾股定理的逆定理得△APP是直角三角形，即可求解；

应用问题：将BP逆时针旋转90，连接AP、PP，由勾股定理得PP2BP42，同理可证△APP是

直角三角形，即可求解；拓展问题：将OP顺时针旋转90得OP，连接DP、PP，同理可证AOP≌DOP，

由全等三角形的性质得APDP4，PPPDDP即可求解．

【详解】发现问题∶证明：补充如下：如图，

BABC

在△ABP和CBP中PBAPBC，ABP≌CBP(SAS)，APCP1，∠BPA∠BPC，

BPBP

2

12322，AP2PP2AP2，APP是直角三角形，APP90，

BPABPPAPP150，BPC150；

应用问题：解：如图，将BP逆时针旋转90，连接AP、PP，

ABPABP90，BPBP4，BPP45，PP2BP42，

四边形ABCD是正方形，ABC90，ABCB，ABPCBP90，ABPCBP，

BABC

在△ABP和CBP中PBAPBC，ABP≌CBP(SAS)，APCP3，∠BPA∠BPC，

BPBP

22

324241，AP2PP2AP2，APP是直角三角形，

APP90，BPABPPAPP135，BPC135；故答案：135；

拓展问题：解：如图，将OP顺时针旋转90得OP，连接DP、PP，

DOPDOP90，OPOP，PP2OP，

四边形ABCD是正方形，OAOD，ACBD，AOPDOP90，AOPDOP，

OAOD

在AOP和△DOP中AOPDOP，AOP≌DOP(SAS)，APDP4，

OPOP

PPPDDPPP6，2OP6，OP32，∴OP的最大值为32，故答案：32．

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定及

性质，正方形的性质等，能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键．

3．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读下面材料：张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC

内有一点P，且PA3，PB4，PC5，求APB的度数．

张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△APC，连接PP，得到两个特殊的三角形，

从而将问题解决．

(1)请你计算图1中APB的度数；(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形ABCD

内有一点P，且PA22，PB1，PD17，求APB的度数．

【答案】(1)150(2)135

【分析】（1）将APB逆时针旋转60°得到AP′C，根据旋转的性质可知ABP≌ACP′，求证APP′为等边

三角形，再根据△勾股定理的逆定理得出∠P△P′C=90°，即可求出∠AP′C=∠△APB=1△50°；△

（2）将APB绕点A顺时针旋转90°，根据旋转的性质可知APP是等腰直角三角形，求证∠APP′=45°，

用勾股定△理逆定理求出∠P′PB=90°，最后求出∠APB=∠P'PB+∠APP'=135°即可．

【详解】（1）（1）如图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP，

由旋转的性质，PAPA3，PCPB4，PAP60，APBAPC，

∴APP是等边三角形，∴PPPA3，APP60，

∵PP2PC2324225，PC25225，∴PP2PC2PC2，∴PPC90，

∴APCAPPPPC6090150；∴APBAPC150；

（2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP，

由旋转的性质，PAPA22，PDPB1，PAP90，

∴APP是等腰直角三角形，∴PP2PA4，APP45，

2

∵PP2PD2421217，PD21717，∴PP2PD2PD2，∴PPD90，

∴APDAPPPPD4590135，∴APBAPD135．

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，全等

三角形的判定与性质，做辅助线构造直角三角形是解答的关键.

4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）（1）已知如图1，在VABC中，ABBC，ABC90，点D在VABC

内部，点E在VABC外部，满足BDBE，且BDBE．求证：ABD≌CBE．

（2）已知如图2，在等边VABC内有一点P，满足PA5，PB4，PC3，求BPC的度数．

【答案】（1）详见解析；（2）150°

【分析】（1）先证∠ABD=∠CBE，根据SAS可证ABD≌△CBE；

（2）把线段PC以点C为中心顺时针旋转60°到线段△CQ处，连结AQ．根据旋转性质得PCQ是等边三角

形，根据等边三角形性质证BCP≌△ACQ（SAS），得BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC，根据△勾股定理逆定理

可得∠AQP=90°，进一步推出△∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°.

【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥BE

∴∠ABC=∠DBE=90°即∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE∴∠ABD=∠CBE．

又∵AB=CB，BD=BE∴△ABD≌△CBE（SAS）．

（2）如图，把线段PC以点C为中心顺时针旋转60°到线段CQ处，连结AQ．

由旋转知识可得：∠PCQ=60°，CP=CQ=3，∴△PCQ是等边三角形，∴CP=CQ=PQ=3．

又∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°=∠PCQ，BC=AC，

∴∠BCP+∠PCA=∠PCA+∠ACQ，即∠BCP=∠ACQ．

CPCQ

在BCP与ACQ中BCPACQ∴△BCP≌△ACQ（SAS）∴BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC．

BCAC

△△

又∵PA=5，∴PB2PC2423225PA2．∴∠AQP=90°

又∵△PCQ是等边三角形，∴∠PQC=60°∴∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°=150°∴∠BPC=150°．

【点睛】考核知识点：等边三角形，全等三角形，旋转，勾股定理.根据旋转性质和全等三角形判定和性质

求出边和角的关系是关键.

5．（2023·四川绵阳·一模）如图，四边形ABCD是正方形，点P为平面内一点，

(1)若点P在正方形内，如图1，PA1,PB2,PD2，求APB的度数；

(2)若点P在正方形外，如果PAa,PBb，如图2，且APB45°，求PD的长．（用a,b表示）

【答案】(1)135(2)PDb22a2

【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解决本题

的关键是掌握旋转的性质．(1)把△APD绕点A顺时针旋转得到△AFB，连接PF,AD与AB重合，PA

旋转到AF的位置，证APF为等腰直角三角形，利用等腰直9角0°三角形的性质，结合勾股定理逆定理求出证

出BPF90，即可得出结果．(2)把△APD绕点A顺时针旋转得到AFB，连接PF，AD与AB重

合，PA旋转到AF的位置，证APF为等腰直角三角形，利用等腰直9角0°三角形的性质，结合勾股定理求出FB，

即可得出结果．

【详解】（1）解：把△APD绕点A顺时针旋转得到△AFB，连接PF,AD与AB重合，PA旋转到AF的

位置，如图1，90°

∴APAF1,PAF90,PDFB2，∴APF为等腰直角三角形，∴APF45，PF2AP2，

∵PF2PB2224BF2，∴BPF90，∴APB4590135；

（2）解：把△APD绕点A顺时针旋转90°得到AFB，连接PF，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，

如图2，∴APAFa,PAF90,PDFB，∴APF