2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册四十九　概率的基本性质

四十九概率的基本性质(时间:45分钟分值:95分)【基础全面练】1.(5分)(多选)下列说法正确的是()A.必然事件的概率等于1B.随机事件的概率可以等于1.1C.不可能事件的概率是0D.P(A∪B)=P(A)+P(B)【解析】选AC.必然事件一定发生,故其概率是1,A正确;必然事件的概率是1,故概率为1.1的事件不存在,B不正确;不可能事件的概率是0,C正确;当A,B为互斥事件时,P(A∪B)=P(A)+P(B),D不正确.2.(5分)甲、乙两队举行足球比赛,若甲队获胜的概率为13,则乙队不输的概率为(A.56 B.34 C.23 【解析】选C.乙队不输的概率为1-13=23.(5分)(2024·重庆高一检测)已知A,B,C,D四个开关控制着1,2,3,4号四盏灯,只要打开开关A则1,4号灯就会亮,只要打开开关B则2,3号灯就会亮,只要打开开关C则3,4号灯就会亮,只要打开开关D则2,4号灯就会亮.开始时,A,B,C,D四个开关均未打开,四盏灯也都没亮.现随意打开A,B,C,D这四个开关中的两个不同的开关,则其中2号灯亮的概率为()A.16 B.13 C.12 【解析】选D.由题意,随意打开A,B,C,D这四个开关中的两个不同的开关,共有AB,AC,AD,BC,BD,CD种,其中只有打开AC开关时2号灯不会亮,其余情况2号灯均会亮,所以2号灯灯亮的概率为1-16=54.(5分)(多选)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品有20件,合格品但非一等品的有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A为“是一等品”,B为“是合格品”,C为“是不合格品”,则下列结果正确的是()A.P(B)=710 B.P(A∪B)=C.P(A∩B)=0 D.P(A∪B)=P(C)【解析】选ABC.由题意知A,B,C为互斥事件,故C正确;又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件,所以P(B)=710,P(A)=210,P(C)=110,则P(A∪B)=5.(5分)(2024·石家庄高一检测)掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率为16.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A∪B(B表示事件B的对立事件)发生的概率为(A.13 B.12 C.23 【解析】选C.由题意,知B表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件B互斥,由概率的加法计算公式可得P(A∪B)=P(A)+P(B)=26+26=466.(5分)围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出两粒都是黑子的概率是17,从中取出两粒都是白子的概率是1235,则从中任意取出两粒恰好是同一色的概率是________,任意取出两粒恰好不同色的概率是【解析】易知事件“从中取出两粒都是黑子”与“从中取出两粒都是白子”为互斥事件,事件“两粒恰好是同一色”与“两粒恰好不同色”为对立事件.故两粒恰好是同一色的概率为17+1235=1735,两粒恰好不同色的概率为1-17答案:17357.(5分)某公司三个分厂的职工情况为:第一分厂有男职工4000人,女职工1600人;第二分厂有男职工3000人,女职工1400人;第三分厂有男职工800人,女职工500人.如果从该公司职工中随机抽选1人,则该职工为女职工或为第三分厂的职工的概率为________.

【解析】记事件A为“抽取的职工为女职工”,事件B为“抽取的职工为第三分厂的职工”,则A∩B表示“抽取的职工为第三分厂的女职工”,A∪B表示“抽取的职工为女职工或第三分厂的职工”.由题意可知,该公司三个分厂的职工共有4000+1600+3000+1400+800+500=11300(人),则P(A)=1600+1P(B)=800+50011300P(A∩B)=50011300所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=35113+13113-5113答案:438.(5分)(2024·梅州高一检测)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是____________.

【解析】由题意可知0<所以0<2-a所以54<a≤4即实数a的取值范围为(54,43答案:(54,49.(10分)一名射击运动员在一次射击中射中10环,9环,8环,7环,7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这名射击运动员在一次射击中:(1)射中10环或9环的概率;(2)至少射中7环的概率;(3)射中环数小于8环的概率.【解析】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A,B,C,D,E,可知它们彼此之间互斥,且P(A)=0.24,P(B)=0.28,P(C)=0.19,P(D)=0.16,P(E)=0.13.(1)P(射中10环或9环)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事件“至少射中7环”与事件E=“射中7环以下”是对立事件,则P(至少射中7环)=1-P(E)=1-0.13=0.87.所以至少射中7环的概率为0.87.(3)事件“射中环数小于8环”包含事件D=“射中7环”与事件E=“射中7环以下”两个事件,则P(射中环数小于8环)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29.10.(10分)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:(1)该队员只属于一支球队的概率;(2)该队员最多属于两支球队的概率.【解析】分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A,B,C.由题图可知3支球队共有球员20名,则P(A)=520,P(B)=320,P(C)=(1)令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件D.则D=A∪B∪C,因为事件A,B,C两两互斥,所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=520+320+420(2)令“抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件E,则E为“抽取一名队员,该队员属于3支球队”,所以P(E)=1-P(E)=1-220=9【综合应用练】11.(5分)(2024·吉安高一期末)已知事件A,B是互斥事件,P(A)=16,P(B)=23,则P(A∪B)=(A.118 B.49 C.12 【解析】选C.因为P(B)=1-P(B),P(B)=23,所以P(B)=1因为事件A,B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=16+13=12.(5分)(多选)(2024·深圳高一检测)口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状、大小相同的小球,从中任取2球,事件A=“取出的两球同色”,B=“取出的2球中至少有一个黄球”,C=“取出的2球中至少有一个白球”,D=“取出的两球不同色”,E=“取出的2球中至多有一个白球”,下列判断中正确的是()A.事件A与D为对立事件B.事件B与C是互斥事件C.事件C与E为对立事件D.P(C∪E)=1【解析】选AD.由对立事件定义得A与D为对立事件,故A正确;B与C有可能同时发生,故B与C不是互斥事件,故B错误;C与E有可能同时发生,不是对立事件,故C错误;P(C)=1-615=35,P(E)=1415,P(CE)=815,从而P(C∪E)=P(C)+P(E)-P13.(5分)事件A,B互斥,它们都不发生的概率为25,且P(A)=2P(B),则P(A)=________【解析】因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为25,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1-25=35.又因为P(A)=2P(B),所以P(A)+12P(A)=35,所以P答案:214.(10分)某校在元旦联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分别设置一等奖、二等奖、三等奖、无奖.从中任取一张,不中奖的概率为12,中二等奖或三等奖的概率为5(1)任取一张,求中一等奖的概率;(2)若任取一张,中一等奖或二等奖的概率为14,求中三等奖的概率【解析】(1)设事件A=“任取一张,中一等奖”,事件B=“任取一张,中二等奖”,事件C=“任取一张,中三等奖”,事件D=“任取一张,不中奖”,则事件A,B,C,D两两互斥.由条件可得P(D)=12P(B∪C)=P(B)+P(C)=512由题意知P(A)=1-P(B∪C∪D)=1-P(B∪C)-P(D)=1-512-12=所以任取一张,中一等奖的概率为112(2)因为P(A∪B)=P(A)+P(B)=14,且P(A)=112,所以P(B)=14-1又因为P(B∪C)=P(B)+P(C)=512所以P(C)=14所以任取一张,中三等奖的概率为1415.(10分)某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过4小时.(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13,停车费多于14元的概率为5(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.【解析】(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A,“一次停车1到2小时”为事件B,“一次停车2到3小时”为事件C,“一次停车3到4小时”为事件D.由已知得P(B)=13,P(C∪D)=5又因为事件A,B,C,D两两互斥,且P(A∪B∪C∪D)=1,所以P(A)=