2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册十三　余弦定理

十三余弦定理(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)在△ABC中,AB=1,AC=2,cosA=56,则BC=(A.1 B.52 C.53 D【解析】选D.由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=53,解得BC=152.(5分)(2024·成都高一检测)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sinC=()A.378 B.34 C.74【解析】选A.由a=4,b=5,c=6,得cosC=42+5所以sinC=1−cos2C=1−(3.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2+c2-a2=2bc,则角A为()A.π6 B.π4 C.π3 【解析】选B.因为b2+c2-a2=2bc,所以cosA=b2+c2−又A∈(0,π),所以A=π4【补偿训练】在△ABC中,A=60°,且边AB,AC的和为9,积为323,那么BC=(A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选C.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由题意有b+c=9,bc=323,则BC=a=b(b+c)4.(5分)(2024·大同高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=7,B=5π6,c=3,则a=(A.2 B.3 C.2 D.1【解析】选D.在△ABC中,因为b=7,B=5π6,c=3,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即7=a2+3-2a×3cos5π6,可得a2+3a-4=0,解得a=1或a=-4(舍去5.(5分)(2024·重庆高一检测)在△ABC中,5a=7b=8c,则△ABC的最大角与最小角的和是A.60° B.90° C.120° D.135°【解析】选C.结合5a=7b=8c,不妨设a=5,b=7,c=8,根据大边对大角可知:A<B<C,由余弦定理可得:cosB=a2+c2−b22ac=25+64−492×5×8=12,又因为0°<B<180°,所以B6.(5分)(多选)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是()A.在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则C是锐角B.在△ABC中,若a2<b2+c2,则A>B+CC.在△ABC中,若4sinAcosA=0,则△ABC一定是直角三角形D.任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3【解析】选ACD.对于A,由a2+b2-c2>0及余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab>0,又C∈(0,π),所以C∈0,π2,对于B,由a2<b2+c2及余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc>0,又A∈(0,π),所以A∈0,π2,所以A是锐角,所以B+C>对于C,因为4sinAcosA=0,A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosA=0,则A=π2,所以△ABC一定是直角三角形,故C正确对于D,若三角形三边之比是1∶2∶3,不妨设三边分别为x,2x,3x(x>0),则两短边之和为3x,不满足三角形两边之和大于第三边,故任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3,故D正确.7.(5分)若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为__________.

答案:4【解析】由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60°=ab,则ab+2ab=4,所以ab=438.(5分)(2024·开封高一检测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=23,a=3b,则cosA=答案:-6【解析】因为cosC=23,a=3b,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,所以c2=9b2+b2-2×3b×b×23,所以c=6b,所以cosA=c2+b9.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB+acosC=b+c,则△ABC的形状是______________.

答案:直角三角形【解析】在△ABC中,acosB+acosC=b+c,所以a×a2+c2−b22ac所以(b+c)(a所以a2-b2-c2+2bc=2bc,所以a2=b2+c2,则A=π2所以△ABC为直角三角形.10.(10分)(2024·忻州高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形:(1)已知b=3,c=1,A=60°,求a;(2)已知a=31,b=5,c=6,求A.【解析】(1)在△ABC中,b=3,c=1,A=60°,由余弦定理可得,a=b2+c2−2(2)在△ABC中,a=31,b=5,c=6,由余弦定理可得,cosA=b2+c2−a22bc=25+36−312×5×6=【补偿训练】已知A,B,C为△ABC的三个内角,其所对的边分别为a,b,c,且2cos2A2+cosA=0(1)求A的大小;(2)若a=23,b=2,求c的值.【解析】(1)因为cosA=2cos2A2-1,2cos2A2+cosA=0,所以2cos所以cosA=-12所以A=120°.(2)由余弦定理,知a2=b2+c2-2bccosA,又a=23,b=2,cosA=-12所以(23)2=22+c2-2×2×c×-12,化简,得c2+2c-8=0,解得c=2或c=-4(舍去).【综合应用练】11.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=6,c=4,sinB2=33,则b=(A.9 B.36 C.2 D.6【解析】选D.因为sinB2=33,所以cosB=1-2sin2B2=1-2×332=13.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=62+42-2×6×4×13=36,【补偿训练】(多选)在△ABC中,满足(a2+c2-b2)tanB=3ac的角B的值为()A.π6 B.π3 C.5π6 【解析】选BD.因为(a2+c2-b2)tanB=3ac,所以a2+c2−即cosB·tanB=sinB=32因为0<B<π,所以角B的值为π3或2π12.(5分)(多选)(2024·张家口高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是()A.若cos2B2=a+c2cB.若ab>c2,则0<C<πC.若·>0,则△ABC是锐角三角形D.若△ABC为锐角三角形,则sinA>cosB【解析】选BD.对于A项,因为cos2B2=1+cosB2=a+c2c由cosB=a2+c2−b化简得a2+b2=c2,故△ABC一定为直角三角形,故A错误;由ab>c2,得cosC=a2+b2−c22ab>a2+因为C∈(0,π),所以0<C<π3,故B正确对于C项,因为·=bccosA>0,所以cosA>0,所以A为锐角,但无法确定角B,C是否为锐角,故C错误;对于D项,因为△ABC为锐角三角形,所以0<A则0<π2-B<A<π又因为y=sinx在0,π2内单调递增,所以sinπ2-B<sinA,即cosB<sinA,故D项正确.13.(5分)(2024·唐山高一检测)在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,D是AB边上一点,CD⊥AB,则CD=________.

答案:43【解析】因为AB=5,BC=7,AC=8,所以由余弦定理可得:cosA=AC2+AB2−因为0<A<π,所以A=π3,所以在Rt△ACD中,CD=8sinA=8sinπ3=414.(10分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc.(1)求A的大小;(2)若b+c=2a=23,试判断△ABC的形状.【解析】(1)因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc,所以a2=b2+c2-bc,而a2=b2+c2-2bccosA,所以2cosA=1,所以cosA=12因为A∈(0,π),所以A=π3(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,且a=3,所以(3)2=b2+c2-2bc·12=b2+c2-bc.又因为b+c=23,与①联立,解得bc=3,联立b+c=23,bc=3,所以△ABC为等边三角形.15.(10分)在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-23x+2=0的两个根,且2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数;(2