江苏南京2024-2025学年高一年级上册期末学情调研数学试题+答案

南京市2024-2025学年度第一学期期末学情调研测试

高一数学2025.01

注意事项：

1.本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解

答题（第15题~第19题）四部分。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上指定的位置。

3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；

如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.设集合U={1,2,3,4,5,6},A=[1,3,6},B=[2,3,4},则4门（[出）=

A.{3}B.{1,6}C.{5,6)D.{1,3)

2."0”是“HW0”的

A.必要且不充分条件B.充分且不必要条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.函数y（x）=ig（i—国）的定义域为

A.(—8,-1]U[1,+8)B.(一8,—1)U(1,+°°)

C.[-1,1]D.(-1,1)

4.将函数y=sin（x—今图象上每个点的横坐标变为原来的;倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为

A.尸sin%一多71

B.y=sin(2x—j)

C.尸sin5-62兀

D.y=sin(2x—~^)

1兀3兀

5.已知cosa=­§,则cos(g+a)的值为

A.4B.—¥C.|D.¥

4兀_i

6.已知〃=log23,Z?=siiry,c=3则

A.a>b>cB.d>c>>bC.c>b>aD.c>d>b

7.根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm,在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不

受到影响.已知某室内二氧化碳浓度y（ppm）与开窗通风的时长4分钟）之间的关系式为尸500+104加-%

eR）.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm,要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，

则需要开窗通风的时长至少约为（参考数据：111321.099,ln5-1.609）

A.6分钟B.8分钟C.10分钟D.12分钟

8.若命题“Vx>0,（ar—1）（尤2—2or—1）20”是真命题，则实数a的取值集合为

A.{g}B.{馅}C.{3心率}D.{a[0<aW/}

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，

请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.

9.若a>b>0,则

A.a3>b3B.ab<b2C.D.y+-<2

aba+bba

10.在平面直角坐标系xOy中，点A（一点令，角。的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于点8

（A,2不重合），下列说法正确的是

A.若cosd=—则点A和点8关于无轴对称

B.若cosO=1,则点A和点B关于y轴对称

C.若点A和点B关于直线>=—X对称，则sin0=]

D.若。4和OB相互垂直，贝ijtan（9=j

II.函数1x）满足：Vx£R,兀c+l）/（x）=2.已知当xd[0,1）时，/x）=2\则

A./1）=1B.火x）为周期函数

V

C.4尤）为偶函数D.方程/（尤）=]恰有3个解

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

12.已知函数人尤）=loga（x+2）（a>0,aWl）的图象经过定点P（m,"）,则%+"=▲.

f1

13.已知函数人x）=[二.二」且皤）=、△，则a=▲，使得上）<、。成立的x的取值范围是▲

14.已知函数/）=$皿3+夕）（0>0,0<9<刍图象的一个对称中心是（一泉0）,一条对称轴是直线x=9,

Zoo

且人劝在区间（0,刍上有且仅有两个零点，则。=▲

O

四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证

明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知6m=2,6"=5.

(1)求62山一”的值；

(2)用9,“表示Iog2ol5.

16.（本小题满分15分）

已知检尸

sinot-cosa

(1)若sina+cosa—且0<1<兀，求五㈤的值;

2，

(2)若求sin2a—3sinacosa的值.

17.(本小题满分15分)

已知函数Kx)的定义域为R,函数g(x)=y(—X)一大X).

(1)判断g(x)的奇偶性，并加以证明；

(2)若>x)=3「

①用函数单调性的定义证明：g(x)在R上单调递减;

②解关于x的不等式g(4*—9)+g(6—2#i)>0.

18.(本小题满分17分)

已知函数/(x)=Asin(ox+9)(A>0,co>0,一兀<p<0)图象上相邻的一"Is1最高点和一个最低点分别

为(居，2),(富，-2).

(1)求/(尤)的解析式；

(2)求“X)在［0,兀］上的单调增区间；

(3)设加>1,证明：函数g(x)=/(»u)一时(x)在(0,+oo)上必有零点.

19.（本小题满分17分）

设函数八x）在非空数集M上的取值集合为N.若NNM,则称“X）为M上的“T函数”.

（1）判断/（x）=sin2r是否为信JT，笥57r上的“T函数”，并说明理由；

9

（2）若/（x）=log2qZH—1）为团，切3<6）上的“T函数”，证明：。+6<2；

（3）若存在实数b,使得/（x）=（x—。）2+6为［0,1］上的“T函数”，求实数。的取值范围.

南京市2024-2025学年度第一学期期末学情调研测试

高一数学参考答案2025.01

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.B2.A3.D4.B5.D6.B7.C8.A

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,

请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.

9.AC10.ACD11.BCD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

12.-113.（—8,2）14.18

四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证

明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

62m4

解：（1）62"—"=逆=于.....................................................5分

（2）因为6那=2,6'=5,

所以；〃=log62,n=log65................................................7分

从而1。82015=警导.....

9分

Iog620

_log65+log63

11分

log65+log64

Iog65+log63

Iog65+21og62'

因为Iog62+log63=l,

log65+1-log62〃+l—m

所以10g3615..............................13分

16.（本小题满分15分）

(1)解法1:»=sina+cosa

sina-cosa

因为sina+cosa=巫

2，

所以(sina+cosa)2=T，即2sinoccosa=—

2分

3

从而(sina—cosa)2=1-2sinacosa=2,4分

因为OVaVmsina>0,

又因为sinacosa<0,所以cosaVO,因此sina—cosQ>0,

从而sina—cos(x=?................................................................................................6分

故池=加+3。

7分

sinoc-cosa

解法2：由sina+cosoc=j■■及sin2a+cos2a=1,2分

y[2—y[6

解得sina=」:立,

cosa=A

t.g—加加+也

或since=A,cosot=A,....................................................................4分

因为令<[<兀，

诉“・—逅±2也y[2~y[6

所以sina—4，cosoc—4，

所以sina—cosa=J............................................................................................6分

啦

因此也吐皿=主=坐.....................................7分

sina-cosa^/63

(八到什.zv、sina+cosa1

(2)解法1：fia)=-------------

sinoc-cosa31

所以2sina=—4cosa,...................................................................................................9分

假设cosa=0,则由上式知sina=0,与sin2a+cos2a=l矛盾，

所以cosaWO,

从而tana=12..............................................................................................................11分

siiAx—3sinacosatan2a—3tana

则sin2a_3sinacosa=14分

sin2a+cos26ttan2a+l

4+6

=------=2

4+1乙..................................................................................15分

解法2：人或=电丝31

sinoc-cosa3,

所以sina=—2cosa,

又sin2(x+cos2oc=1,.................................................................................................9分

所以5cos2。=1,即cos2a=±,.............................................................................11分

因止匕sin2(x—3sinacosa=4cos2a+6cos2a=10cos2a..............................................14分

=2.....................................................................................15分

17.(本小题满分15分)

解：(1)g(x)是R上的奇函数.

因为g(x)定义域为R，对于任意的XGR,都有一xdR,且

g(—x)=fix)~A—x)=~g(x),...........................................3分

所以g(x)是R上的奇函数...........................................4分

(2)①g(尤)=/—3\

任取X1，尤2GR，不妨设X1<X2,

因为Xi,X2^R,X!<X2,且函数y=3*在R上单调递增，

所以斗一3&>0,1+5%>。，

从而g(Xl)—g(X2)>0,即g(Xl)>g(X2)，

因此g(x)在R上单调递减...........................................9分

②因为g(4*—9)+g(6—2#1)>0,

又g&)是R上的奇函数，且单调递减，

所以g(4‘一9)>g(2/i—6),

从而4工一9<2工+1—6,................................................12分

解得一

所以不等式的解集为(一8,bg23)....................................15分

18.(本小题满分17分)

解：(1)由题意，A=2,.......................................................1分

又。>0,所以匹=与即0=2........................3分

21212ZCDZ

根据题意，当x=57^r寸，sin(2X萱57r+9)=1,

5兀兀兀

从而不+夕=1+2析，即9=一§+2女兀，kGZ,

71

又一兀V°V0,故9=一］・...........................................5分

所以F(x)=2sin(2%一令...............................................6分

(2)令一1+2EW2x—§.5+2%兀，.................................8分

贝!J—2knW2xW不+2%兀，左£Z,

TTS71

即一五适+%兀，kRZ,

TTSIT

所以/(%)的单调增区间为[一五+fai,五+far],%£Z.....................................10分

故〃尤)在[0,河上的单调增区间为[0,曾57r]和1屋1jr，兀]...................12分

(3)g(x)=2sin(2mx—2)—2msin(2x——2[sin(2mx—2)—msin(2x—^)]»

当m>1时,

则g(0)=,(%—l)>0,.........................................................................................14分

57rSH77rTT

g(五)=2[sin(-^-一1)一汨/2(1—〃z)<0,...........................................................16分

又g(x)在(0,+oo)上的图象是一条不间断的曲线，

所以由零点存在性定理知，

当机>1时，函数g(x)=f(mjc)-mf(x)^(0,+℃)上必有零点...........17分

19.(本小题满分17分)

解：⑴由xe哈,瑞],得2xe京，

所以sin2xdg,1],即/(x)的取值集合为七，1],..............................................2分

因为怦,1叵帝泮

所以〃x)=sin2x是为IT哈，S7兰T]上的“T函数”.........................4分

9

(2)因为f(x)=log2q”-1)为[。，切(a<6)上的减函数，

所以/(x)在[a,切的取值集合为l/S),/(a)],......................................................5分

因为了。)为口切上的“T函数”，

所以|/(b),f(a)]^[a,b],

因此/S)2a,/(a)W6,

9Q

即log2l)》a，log21)W6,.........................................................7分

所以（2。+1）（2匕+1）忘9,（2。+1）（2〃+1）29,

从而（2。+1）（26+1）=9