沪教版六年级数学重难点专练：数的整除的应用题（解析版）

重难点01数的整除的应用题（40专练）

一、解答题

1.（2022秋•上海静安•六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）暑假期间，小丽、小杰决定定期

到敬老院打扫卫生，小丽每4天去一次，小杰每6天去一次，如果8月1日他们俩都在敬老院打扫卫生，

那么，他们下一次同时在敬老院打扫卫生的时间是几月几日？

【答案】8月13日

【分析】根据4、6的最小公倍数是12,则他们每隔12天相遇一次，所以他们应在12天以后，即第13日

再相遇.

【详解】解：4、6的最小公倍数是12,所以他们应在12天以后，即第13日再相遇.

答：他们下一次同时在敬老院打扫卫生的时间是8月13日.

【点睛】本题主要是利用最小公倍数进行求解，熟练掌握其性质是解决此题的关键.

2.（2022秋•上海•六年级专题练习）小明的外婆从家乡带来一篮苹果，小明数了数，发现每次拿出4个、

每次拿出5个或每次拿出6个，都恰好拿完，又知道苹果的总数超过100个，但又不足150个，试问这篮

苹果共多少个？

【答案】苹果的个数是120个.

【详解】试题分析：由题意，所求苹果个数为4、5、6三个数介于100到150之间的公倍数，且为4、5、

6最小公倍数的倍数，先求出4、5、6的最小公倍数，然后找出介于100到150之间的公倍数即可.

试题解析：4、5、6的最小公倍数是60,所以苹果的个数是60的倍数.

13苹果的总数超过100个，但又不足150个，

回苹果的个数是120个.

答：苹果的个数是120个.

3.（2022秋•六年级单元测试）一间客厅长8米，宽4.5米，现要铺正方形的地砖，市场上地砖有

30x30cm2,40x40cm2,50x50cm2,GOxGOcn?四种规格.请问选择哪种规格的地砖能整块铺满，并计

算出需要这样的地砖多少块？

【答案】选50x5001?规格，需要144块

【分析】要想地砖能整块铺满，那么正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，在四种尺寸中，

边长50是客厅的地面的长和宽的公因数，所以该选50x50的正方形地砖；然后求出块数即可，据此解

答.

【详解】（1）该选50x50的正方形地砖；

（2）地砖需要的块数：8nn=800cm,4.5m=450cm,（800250）x（450+50）=16x9=144（块）

答：该选50x50的正方形地砖；需要144块.

【点睛】本题实际考查了灵活应用公因数问题解决实际问题，关键要从地砖整块铺满这个角度，找到符合

要求的公因数.

4.（2022秋•六年级单元测试）某学校学生做操，把学生分成10人1组，14人一组，18人一组，正好分

完.并且知道这个学校学生的人数超过1000人，这个学校至少有多少个学生？

【答案】1260

【分析】求出10,14,18的最小公倍数，再乘以2就可求出这个学校有多少个学生.

【详解】解：010=2x5,14=2x7,18=2x9,

所以10、14、18的最小公倍数是：2x5x7x9=630.

630x2=1260个.

答：这个学校至少有1260个学生.

【点睛】本题主要是一道估算题，根据把同学们分成10人一组，14人一组，18人一组，正好分完，

可以判断学生人数是10、14、18的倍数，根据题意，先求出三个数的最小公倍数，再根据学生的人数超

过1000人进行估算.

5.（2022秋•上海•六年级专题练习）把一张长30厘、宽24厘米的长方形纸裁成同样大小面积尽可能大的

正方形，纸没有剩余，可以裁多少个正方形？（画出示意图）

【答案】20个，图见解析

【分析】求出30和24的最大公因数，然后应用整数除法即可求解，最后按照求出的个数画出示意图.

【详解】30和24的最大公因数是6,所以面积尽可能大的正方形的边长是6厘米，

30+6=5,24+6=4,

所以可以裁得正方形的个数为：5x4=20（个）

答：至少可以裁20个正方形.

故可以裁20个正方形.

【点睛】本题考查了公因数和最大公因数的问题，熟练掌握公因式的概念是解题的关键.

6.（2022秋・上海•六年级专题练习）一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的

前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做"精

巧数”.如：123的第一位数"1"可以被1整除，前两位数"12”可以被2整除，"123"可以被3整除，则123是

一个“精巧数”.

（1）243/精巧数”（填是或不是）；3246「精巧数”（填是或不是）；

⑵若四位数由是一个"精巧数"，请直接写出左的值.

【答案】⑴是；不是

（2）%=2或6

【分析】（1）根据“精巧数”的定义判断即可得出答案；

（2）前是"精巧数”判断出1230+左是4的倍数，进而得出k+2是4的倍数，即可求解.

（1）

解：回243的第一位数"2"可以被"1"整除，前两位"24"可以被"2"整除，"243"可以被"3"整除，

0243是“精巧数”,

EI3246的第一位数"3"可以被"1"整除，前两位数"32"可以被"2"整除，前三位数"324"可以被"3"整除，"3246"

不能被"4"整除，

回3246不是“精巧数”，

故答案是：是，不是；

（2）

西第一位数"1"可以被"1"整除，前两位数"12"可以被"2"整除，前三位数"123"可以被"3"整除,

回四位数123%是一个"精巧数"，

回四位数百可以被"4"整除，即（1230+均是4的倍数,

1230+^=1228+^+2,

%+2=4或8,

k-2或k=6.

【点睛】此题是新定义题目，主要考查了数的整除，理解"精巧数”是解本题的关键.

7.（2022秋•上海•六年级校考阶段练习）有一批图书，平均分给6位同学的话多3本，平均分给8位同学

的话多5本，平均分给9位同学的话少3本，那么这批图书最少有多少本？

【答案】这批图书最少有69本

【分析】设这批图书共有x本，根据题意可得出（x+3）是6,8,9的倍数，由6,8,9的最小公倍数为

72,即可得出x的最小值为69.

【详解】解：设这批图书共有尤本，

团3+3=6,5+3=8,

团（x+3）是6,8,9的倍数，

又回6,8,9的最小公倍数为72,

团（x+3）的最小值为72,

取的最小值为72-3=69.

故答案为：69.

【点睛】本题考查了约数与倍数，由各数量之间的关系，找出这批图书数是6,8,9的倍数，是解题的关

键.

8.（2022秋•上海•六年级开学考试）小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是

1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校.已知小明的速度是70米/分

钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？

【答案】770米

【分析】先求出小明提前3分钟所走的路程，用总路程一小明前3分钟所走的路程=两人合走的路程；再

根据时间=路程一速度和求出合走路程所需要的时间，进而得出小明到学校所用的总时间；最后根据路程

=时间x速度，求出小明家到学校的距离即可.

【详解】70x3=210（米）

两家之间的所剩路程是：1410-210=1200（米）

两人的速度和是：70+80=150（米）

所剩路程需：12004-（70+80）

=12004-150

=8（分钟）

小明家距离学校：70x（8+3）

=70x11

=770（米）

答：小明家距离学校有多远770米.

【点睛】本题考查学生对速度=路程、时间这一公式的运用，解答时需要结合题目实际进行灵活运用.

9.（2023・上海♦六年级假期作业）在欢庆中华人民共和国成立七十周年之际，学校在一块长80米，宽24

米的长方形绿地四周插上彩旗，长方形的四个角各插一面彩旗，并且要求相邻两面彩旗间的距离相等.

⑴在各个方案中，相邻两面彩旗之间最大距离是多少米？

（2）在所有方案中，至少要在绿地四周插多少面彩旗？

【答案】（1）8米

（2）26面

【分析】（1）找到80与24的最大公因数是8,即可求解；

（2）根据（1）的结果可知相邻两面彩旗间最大距离是8米，此时彩旗数量最少.

【详解】（1）解：回80=24x5,24=23x3,

080与24的最大公因数是8,

团相邻两面彩旗间的距离相等，

国即相邻两面彩旗间最大距离是8米；

（2）解：要使得使用的彩旗数量最少，则要求相邻两面彩旗之间的距离最大，

根据（1）结果可知相邻两面彩旗间最大距离是8米，

即：80+8=10,24+8=3,

团长方形的长边植树口棵，宽边植树4棵，

团则总的彩旗数量为：11?2蟀26（面）.

答：至少在绿地四周插26面彩旗.

【点睛】本题主要考查了求解两个数的最大公约数的知识，掌握最大公约数的求法是解答本题的关键.

10.（2022秋•上海・六年级专题练习）已知一块A型长方形木板长为40厘米，宽为25厘米，用若干块A

型长方形木板拼成一个正方形（无重叠无缝隙），那么所拼得的正方形的边长最小是多少厘米？此时需要

多少块A型长方形木板？

【答案】200厘米；40块.

【分析】先先求出40和25的最小公倍数是200,即边长为200厘米能拼成正方形，然后根据题意可得

（200+40）x（200+25）计算即可.

【详解】解：回40=2?3?25=5?,

国40与25的最小公倍数为瘠200,

EK200?）40?200?泉（块）.

答：所拼得的正方形的边长最小是200厘米，此时需要40块A型长方形木板.

【点睛】本题主要考查了最小公倍数的应用，求出40和25的最小公倍数并结合题意列式求出长方形木板

的块数是解答本题的关键.

11.（2022秋•上海,六年级专题练习）某校六年级（1）班开展少先队活动，买来练习本45本，水笔75

支.现将这些奖品平均分成若干份，则最多能分成多少份奖品？每份奖品中练习本、水笔各有多少？

【答案】15份；3支、5支

【分析】根据题意，可以计算出45和75的最大公因数，即可得到现将这些奖品平均分成若干份，则最多

能分成多少份奖品，每份奖品中练习本、水笔各有多少.

【详解】：如下图可知：45和75的最大公因数是3x5=15.

34575

51525

35

答：则最多能分成15份奖品；每份奖品中练习本有3本，水笔有5支.

【点睛】本题考查最大公因数，解答本题的关键是明确题意，求出45和75的最大因数.

12.（2023・上海•六年级假期作业）己知一个三位数而，试证明：若a+6+c能被9整除，则而能被9整

除.

【答案】证明见解析

【详解】解：^=100a+10b+c=（99a+90）+（a+b+c）,

因为99a+96能被9整除，能被9整除，

所以abc能被9整除.

【点睛】本题考查了三位数的表示方法，以及整除的运用，熟练掌握多位数的表示法是解答本题的关键.

13.（2023・上海,六年级假期作业）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，

如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数一一"好数

定义：对于三位自然数小各位数字都不为0,且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称

这个自然数"为"好数

例如：426是"好数因为4,2,6都不为0,且4+2=6,6能被6整除；

643不是“好数"，因为6+4=10,10不能被3整除.

⑴判断312,875是否是“好数”？并说明理由；

（2）求出百位数字比十位数字大5的所有"好数"的个数，并说明理由.

【答案】⑴312,875均是"好数"，理由见解析

（2）611,617,721,723,729,831,941,理由见解析

【分析】（1）根据"好数"的意义，判断即可得出结论；

（2）设十位数数字为。，则百位数字为。+5（04的整数），得出百位数字和十位数字的和为2a+5,再

分别取。=1,2,3,4,计算判断即可得出结论.

【详解】（1）解：312是"好数"，因为3,1,2都不为0,且3+1=4,4能被2整除；

875是“好数”，因为8,7,5都不为0,且8+7=15,15能被5整除；

（2）解：611,617,721,723,729,831,941共7个，理由：

设十位数数字为。，则百位数字为。+5（0<44的整数），

a+a+5=2a+5，

当〃时，2a+5=7,

.♦.7能被1,7整除,

,满足条件的三位数有611,617,

当a=2时，2a+5=9,

；.9能被L3,9整除,

满足条件的三位数有721,723,729,

当。=3时，2。+5=11,

.•.11能被1整除，

•・・满足条件的三位数有831,

当。=4时，2。+5=13,

.•.13能被1整除，

•・・满足条件的三位数有941,

即满足条件的三位自然数为611,617,721,723,729,831,941共7个.

【点睛】本题主要考查了数的整除问题和新定义问题，理解并灵活运用新定义是解本题的关键.

14.(2023•上海•六年级假期作业)在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除

时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数一一"合8数”.定义：对于一个自然数，

如果这个数除以7余数为1,且除以5余数为3,则称这个数为"合8数".

例如：43+7=61,43+5=83,所以43是“合8数"；22+7=31,但22:5=4.2,所以22不是“合8

数".

⑴判断64和148是否为"合8数"？请说明理由；

⑵求大于300且小于400的所有"合8数".

【答案】⑴64不是“合8数”,148是“合8数"，理由见解析

(2)323、358、393

【分析】(1)根据"合8数”的定义，求解即可；

(2)根据"合8数”的定义，求解即可.

【详解】(1)解：64不是"合8数"，148是"合8数"，理由如下：

0644-7=91,但64+5=124,

团64不是“合8数"；

0148+7=211,148+5=293,

即48是“合8数"；

(2)解：回大于300且小于400的数除以7余数为1的有：302、309、316、323、330、337、344、

351、358、365、372、379、386、393,

大于300且小于400的数除以5余数为3的有303、308、313、318、323、328、333、338、343、

348、353、358、363、368、373、378、383、388、393、398,

团大于300且小于400的数除以7余数为1,且除以5余数为3的有：323、358、393,

团大于300且小于400的所有"合8数”为：323、358、393.

【点睛】本题考查了整数问题的综合运用以及新定义题的理解，灵活运用新定义的特征解答是解本题的关

键.

15.(2022秋,上海•六年级校考阶段练习)在体育场环形跑道的周围放花盆，从一点起，先每隔10米放一

盆月季花，然后每隔8米放一盆石榴花，若放了月季花的地方就不再放石榴花，恰好放了80盆花，问跑

道的外围长多少米？

【答案】跑道的外围长400米

【分析】根据题意，10与8的最小公倍数为40,每隔10米放一盆月季花，然后每隔8米放一盆石榴花，

也就是说在40米范围内，能放40-10=4盆月季花；能放40+8=5盆石榴花，由于放了月季花的地方就不

再放石榴花，第5盆石榴花刚好与第4盆月季花重合，所以后放的石榴花就不放了，从而得到在40米范围

内放了4盆石榴花刚好与第4盆月季花，共8盆花，从而得到跑道长为40x(80+8)=400米.

【详解】解：由题意知，10与8的最小公倍数为40,

每隔10米放一盆月季花，然后每隔8米放一盆石榴花，也就是说在40米范围内，能放40+10=4盆月季

花；能放40+8=5盆石榴花，由于放了月季花的地方就不再放石榴花，第5盆石榴花刚好与第4盆月季花

重合，所以后放的石榴花就不放了，从而得到在40米范围内放了4盆石榴花刚好与第4盆月季花，共8盆

花，

•••跑道长为40x(80+8)=400米，

答：跑道的外围长400米.

【点睛】本题考查倍数解实际应用题，读懂题意，得到10与8的最小公倍数为40,弄懂在40米范围内放

了4盆石榴花刚好与第4盆月季花，是解决问题的关键.

16.(2022秋・上海•六年级校考阶段练习)在地铁人民广场站，地铁1号线每隔4分钟有一列车开出，地铁

2号线每隔6分钟有一列车开出，在早上8点恰好地铁1号线与2号线同时有车从这个站发车，那么到正

午12点时，两条地铁线在本站同时发车的次数有多少？

【答案】21

【分析】由于地铁1号线每隔4分钟有一列车开出，地铁2号线每隔6分钟有一列车开出，在早上8点恰

好地铁1号线与2号线同时有车从这个站发车，先求出4与6的最小公倍数，从而用240分除以4与6的

最小公倍数即可得解.

【详解】解瓯4=2x2,6=2x3,

回4与6的最小公倍数是2x2x3=12,

又12-8=4小时=240分钟,

0240^12=20(次)

再加上开始的一次，故恰有2/次同时出发，

答回两条地铁线在本站同时发车的次数有21次.

【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型.

17.(2023•上海,六年级假期作业)用0、1、2、5四个数字中的两个或三个，按下列要求排成没有重复数

字的数：

⑴能被2整除，但不能被5整除；

(2)能被5整除，但不能被2整除；

(3)能被2整除，但不能被3整除；

(4)能被3整除，但不能被2整除；

⑸既能被2整除，又能被5整除；

⑹既能被2整除，又能被3、5整除；

【答案】(1)12>52、102,502、152、512

(2)15、25、105、125、205、215

(3)20、10、50,52、520、250、502、152、512

(4)21、201、51、501、15、105

(5)10、20、50、120、210、150、510、250、520

(6)120,150、210、510

【分析】(1)根据个位数为2作答即可；

(2)根据个位数为5作答即可；

(3)根据个位数为2或0,各位数字之和不能被3整除作答即可；

(4)根据个位数不能为。或2,各位数字和能被3整除作答即可，

(5)根据个位数为。作答即可；

(6)根据个位数为0,各位数字和能被3整除作答即可.

【详解】(1)能被2整除，但不能被5整除；12、52、102、502、152、512；

(2)能被5整除，但不能被2整除；15、25、105、125、205、215；

(3)能被2整除，但不能被3整除；20、10、50,52、520、250、502、152、512；

（4）能被3整除，但不能被2整除；21、201、51、501、15、105；

（5）既能被2整除，又能被5整除；10、20、50、120、210、150、510、250、520

（6）既能被2整除，又能被3、5整除；120、150、210、510

【点睛】本题考查的是能够被2或3或5整除的数的特征，熟记整除的含义是解本题的关键.

18.（2023・上海•六年级假期作业）两人沿着铁路线边的小道，从两地出发，两人都以每秒1米的速度相对

而行.一列火车开来，全列车从甲身边开过用了10秒.3分后，乙遇到火车，全列火车从乙身边开过只用

了9秒.火车离开乙多少时间后两人相遇？

【答案】火车离开乙1701秒后两人相遇

【分析】首先根据题意求出车速是每秒19米，然后求出车遇到乙时车与甲的路程差，进而求出车从乙身

边过时甲乙之间的路程，即可求解.

【详解】根据题意可得，

0（车速-1）xl0=10x车速-10=车长，

（车速+1）x9=9x车速+9=车长，

团比较上面两式可知车速是每秒19米.

团车遇到乙时车与甲的路程差，也是甲与乙的相距距离为：（19-1）x（10+190）=3420（米），

车从乙身边过时甲乙之间的路程为：3420-（1+1）x9=3402（米），

团车离开乙后，甲乙两人相遇的时间为3402+（1+1）=1701（秒），

答：火车离开乙1701秒后两人相遇.

【点睛】此题考查了形成问题，解题的关键是求得货车速度与人行速度的关系.

19.（2023•上海•六年级假期作业）一只小船运木料，逆流而上，在途中掉下一块木头在水中，2分钟后，

小船掉头追木头，（不算掉头时间）再经过多少分钟，船可以追上木头？

【答案】再经过2分钟，船可以追上木头

【分析】由题可知，木头的速度就是水流速度，在途中掉下一块木头在水中后，木头会顺着水流的速度往

下漂，船继续逆流而上，船和木头的速度和就是船在静水中的速度，所以2分钟后，船和木头的距离是：

2*船速，此后船返回去追木头，变成了追及问题，船的速度是船在静水中的速度+水流速度，木头的速度

还是水流速度，所以船和木头的距离速度差还是船在静水中的速度，即可求出船追上木头的时间.

【详解】2分钟后船和木头之间的距离是：2x（船速-水速）+2x水速=2x船速

小船追木头的时间：2x船速+（船速+水速-水速）=2（分钟）

答：再经过2分钟，船可以追上木头.

【点睛】本题的关键理清两点：木头的速度就是水流的速度，船和木头的速度差还是船在静水中的速度.

20.（2023•上海•六年级假期作业）孔目江上，码头A在8上游600千米处，甲、乙两船在A、B之间往返

运送货物.若甲、乙两船的静水速度分别为每小时20和30千米，水速为每小时10千米，则两船同时从A

出发，经过多少小时后甲第二次与乙迎面相遇？

【答案】经过52小时后甲第二次与乙迎面相遇

【分析】刚开始甲、乙两船都是从A出发顺利而下，当乙船到达2码头的时间是：6004-（30+10）=15（小

时），此时甲船离8码头还有600-15x（20+10）=150（千米），甲船继续顺流而下，乙船则逆流而上，甲

船到达2码头的时间150+（20+10）=5（小时），此时乙船已逆流而上行驶了5x（30-10）=100（千米），

甲、乙两船都是逆流而上，乙船逆流而上还要再行驶（600-100）+（30-10）=25（小时），在这25小时的时

间内甲船逆流行驶了25x（20-10）=250（千米），离A码头还有600-250=350（千米），甲船继续逆流而

上，乙船顺流而下，两船变成了相遇问题，相遇时间=350+（30+20）=7（小时），所以到甲、乙两船第二

次相遇所需要的时间是：15+5+25+7=52（小时）.

【详解】解：600-（30+10）

=600+40

=15（小时）

[600-15x（20+10）]4-（20+10）

=[600-15x30]H-30

=[600-450]4-30

=150+30

=5（小时）

（600-100）4-（30-10）

=500:20

=25（小时）

[600-25x（20-10）]+（20+30）

=[600—25xl0]:50

=[600-250]-50

=350+50

=7（小时）

15+5+25+7=52（小时）

答：经过52小时后甲第二次与乙迎面相遇.

【点睛】解答本题一定要画图，甲、乙两船的速度在变化，所以要分段进行分析.当乙船到达2地时，甲

船在哪里？当乙船逆流而上到达A时，甲船又在哪里？此时两船是相对而行，即第2次相遇.

21.（2023・上海•六年级假期作业）园林工人在长60米的小路两边每隔5米栽一棵树（首尾都栽），现在要改

成每隔4米栽一棵树，那么不用移栽的树有多少棵？

【答案】8棵

【分析】不用移栽的树应是4和5的公倍数，用60除以4和5的公倍数，再加上1,就是一边不用移栽的

树；因为在路两边都栽树，计算出结果再乘2即可.

【详解】解：4和5的最小公倍数：4x5=20,

60+20+1

=3+1

=4（棵），

4x2=8（棵），

答：不用移栽的树有8棵.

【点睛】本题的关键是让学生理解不用移栽的树是4和5的公倍数，注意因首尾都栽，起始的一棵也不用

移栽.还要注意路两边植树.

22.（2023・上海•六年级假期作业）今年父亲的年龄是48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍，当弟弟长到哥哥

现在的年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和，请问：今年哥哥多少岁？

【答案】24岁

【分析】今年哥哥的年龄是弟弟的2倍，当弟弟长到哥哥现在的年龄时，哥哥的年龄是今年弟弟的（2+1）

倍，弟弟的年龄是今年弟弟的（1+1）倍，爸爸的年龄是今年弟弟的（2+1+1+1）倍，因此今年爸爸的年龄是

今年弟弟的（2+1+1+1-1）倍，据此求解即可.

【详解】今年弟弟的年龄为：48+（2+1+1+1-1）=12（岁），

所以今年哥哥的年龄为12x2=24（岁）.

【点睛】本题考查年龄问题，倍数问题，推出今年爸爸的年龄是今年弟弟的（2+1+1+1-1）倍是解题的关

键.

23.（2023・上海•六年级假期作业）43=1008x2,其中8均为自然数，8的最小值是多少？

【答案】588

【分析】1008=24x32x7,由&是自然数即可求解.

【详解】解：因为1008=24x32x7,

所以=24x32x7x3,

）5ffl?ZA3=24x32x7x（22x3x72）,

所以8=22x3x7?=588.

【点睛】本题考查了分解素因数，掌握分解方法是解题的关键.

24.（2023,上海•六年级假期作业）有一个自然数，用它分别去除25、38、43,三个余数之和为18,这个

自然数是几？

【答案】11

【分析】根据倍数与约数进行分析推理即可得解.

【详解】解:团25、38、43中，最小数为25,

团所求数显然小于26,

又由18+3=6可知，所求数大于6.

回（25+38+43）—18=88,

回88是所求数的整倍数，推知所求数是8、11或22.

025+8=3LL1,38+8=4LL6,43+8=5LL2,

町+6+2=9?18,

国所求数不是8；

025+11=2LL3,38+11=2LL5,43+11=3LL10,

03+5+10=18,

团所求数是11:

025+22=ILL3,38+22=ILL16,43+22=ILL21,

01+16+21?18,

团所求数不是22

综上所述，这个自然数是11.

【点睛】本题考查了整除，倍数与约数，熟练掌握倍数的概念是解题的关键.

25.（2022秋,上海•六年级专题练习）在自然数1到100中所有的具有6个因数的自然数的和是多少？

【答案】872

【分析】2?有1、2、4这三个因数，2?再乘上一个除2以外的质数，得到的数一定是有6个因数，32有

1、3、9这三个因数，3?再乘上一个质数，得到的数一定是有6个因数，同理5Z和7。也一样.

【详解】解：P=22x3+22x5+22x7+22xll+22xl3+22xl7+22xl9+22

x23+32x2+32x5+32x7+32xll+52x2+52X3+72X2+25=872.

【点睛】本题考查因数，解题的关键是掌握因数的概念.

26.（2022秋•上海•六年级专题练习）两个数的最大公因数是21.最小公倍数是252,则这两个数的和是多

少？

【答案】这两个数的和是273或147

【分析】根据题意，最小公倍数除以这两个数的最大公约数等于这两个数独有因数的乘积，用最大公约数

分别乘这两个数独有因数，就可以得到这两个数，然后再相加即可得到答案.

【详解】解：252+21=12

因为：12=3x4=2x6=1x12,

所以这两个数独有因数是3和4或1和12,

21x3=63,21x4=84,

63+84=147；

21x1=21,21x12=252,

21+252=273.

答：这两个数的和是147或273.

【点睛】本题主要考查的是两个数的最小公倍数除以这两个数的最大公约数等于这两个数独有因数的乘积.

27.（2022秋・上海・六年级专题练习）一本陈年老账上记着：84只桶共口22.4口元.口处字迹已不清楚，请把

口处数字补上，并求出桶的单价.

【答案】522.48,单价6.22元；或622.44,单价7.41元；或722.40,单价8.60元

【分析】84=4x3x7,22.4不管它最前面是什么数都是可以被4除尽，所以最后的数字必为4或8或0,

才能除尽，分类讨论即可.

【详解】84=4x3x7,22.4不管它最前面是什么数都是可以被4除尽，所以最后的数字必为4或8或0,

才能除尽，

若最后的数字为4,则又能被3除尽，则最前面的数字只能是：3,6,9；还要被7除尽，只有622.44可

以，此时桶的单价：622.44+84=7.41（元）；

若最后的数字为8,则又能被3除尽，则最前面的数字只能是：2,5,8；还要被7除尽，

只有522.48可以，此时桶的单价：522.48+84=6.22（元）；

若最后的数字为0,则又能被3除尽，则最前面的数字只能是：L4,7；还要被7除尽，

只有722.40可以，此时桶的单价：722.40+84=8.60（元）.

【点睛】本题考查整除的应用，掌握能被3,4,7整除的数的特征是解题的关键.

28.（2022秋•上海•六年级专题练习）小明翻看2019年的日历发现儿童节正好是周六，请你帮他算算2020

年的儿童节应该是周几？

【答案】周一

【分析】根据题意，根据整数除法和分数的性质计算，即可得到答案.

【详解】EI2019年儿童节到2020年儿童节，总共为365+1=366天

0366^7=52-

7

02019年儿童节是周六

团2020年儿童节是周六往后推2天，即周一

故答案为：周一.

【点睛】本题考查了整数和分数的知识；解题的关键是熟练掌握整数除法和分数的性质，从而完成求解.

29.（2022秋•上海•六年级专题练习）用96朵红花和72朵白花做花束，如果每个花束里的红花朵数都相

等，每个花束里的白花朵数也都相等.每个花束里最少有几朵花？

【答案】每个花束里最少有7朵花.

【分析】要求每个花束最少有几朵花，即要求最多有多少束花，即要求96和72的最大公因数，用红花朵

数和白花朵数分别除以96和72的最大公因数得到每个花束里面，红花和白花的朵数，最后求和即可.

【详解】解：96和72的最大公因数为24.

96+24+72+24=4+3=7（朵）.

答：每个花束里最少有7朵花.

【点睛】本题主要考查最大公因数的应用，将求解花的朵数问题转化为最大公因数的求解问题是解题关

键.

30.（2023・上海•六年级假期作业）甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2.甲、乙两数之和

是478,那么甲、乙、丙三数之和是多少？

【答案】714或517或489

【分析】根据题意得出以下关系式：甲数=乙数x商+2；乙数=丙数x商+2,从而根据差倍关系分析求解.

【详解】解：由"余数是2,甲、乙两数之和是478”,因此478-2=476是乙的倍数，因为

476=2x2x7x17,

甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2,则剔除商比乙大或商小于3的组合.

容易得到：(238x1+2=240,2x7x17=238,236),

则甲、乙、丙三数之和：240+238+236=714；

同理：(68x6+2=410,2x2x17=68,11),

甲、乙、丙三数之和为：410+68+11=489；

(119x3+2=359,7x17=119,39),

甲、乙、丙三数之和为：359+119+39=517.

答：甲、乙、丙三数之和是714或517或489.

【点睛】此题属于比较复杂的差倍问题，需认真分析，进行推理，得出结果.

31.(2023•上海•六年级假期作业)如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7

圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？

【答案】甲、乙，丙三个齿轮最少应分别是14齿，10齿，35齿

【分析】结合题意，根据最小公倍数的性质计算，即可得到答案.

【详解】分别设甲、乙，丙三个齿轮齿数为a、b、c

根据题意，得：5a=76=2c

回5、7、2的最小公倍数为70

团当5。=7%=2c=70时,

甲有70+5=14齿

乙有70+7=10齿

丙有70+2=35齿

回甲、乙，丙三个齿轮最少应分别是14齿，10齿，35齿.

【点睛】本题考查了最小公倍数的知识；解题的关键是熟练掌握最小公倍数的性质，从而完成求解.

32.（2023・上海,六年级假期作业）今年爷爷的年龄是小明的6倍，若干年后，爷爷的年龄是小明的5倍，

再过若干年后，爷爷的年龄是小明年龄的4倍，小明今年多少岁？

【答案】12岁

【分析】爷爷与小明两人的年龄差不变，是今年小明年龄的6-1=5倍，是若干年后小明年龄的5-1=4

倍，还是再过若干年后小明年龄的4-1=3倍，那么这个年龄差能同时被3、4、5整除，即是60的倍数，

两人的年龄差只能是60岁；根据差倍公式求出爷爷今年的年龄，然后再进一步解答.

【详解】6-1=5,5-1=4,4-1=3；

3、4、5的最小公倍数是60；

即两人的年龄差是60的倍数；

根据生活实际判断，年龄差只可能是60岁.

小明：60+（6-1）=12（岁）

爷爷：12x6=72（岁）

答：爷爷今年72岁，小明今年12岁.

【点睛】本题较为复杂难懂，关键是分析题干所给条件，求出爷爷与小明的年龄差，然后再根据差倍公式

进一步解答.

33.（2023•上海•六年级假期作业）某校预初年级开展了古诗文大赛，设有一、二、三等奖.其中获得一等

奖的人数占参赛人数的看1，获得二等奖的人数占参赛人数的1"，获得三等奖的人数占参赛人数的：1.已知

该年级共有学生400人.

⑴求这次评选参赛的同学有多少名？

（2）求这次评选获得一等奖的同学有多少名？

【答案】⑴273

（2）21

【分析】（1）根据题意：获得一等奖、二等奖和三等奖人数的比是化简得21:39:91,实际就是

求21、39和91的最小公倍数273.

（2）根据（1）中求得的人数是273,可求得获得一等奖的同学人数是21.

【详解】（1）0^：|：1=21:39:91,

团21、39、91的最小公倍数是3x7x13=273,

答：这次评选参赛的同学有273名；

（2）由（1）可知这次评选参赛的同学有273名，

团评选获得一等奖的同学有273x^=21名，

答：这次评选获得一等奖的同学有21名.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握求几个数的最小公倍数的方法.

34.（2023・上海•六年级假期作业）证明：4侬+1054是个合数.

【答案】见解析

【分析】4105=（3+1）105J054=[（100+5）2]2=121550625,利用奇偶性计算即可.

10510510501041032105

【详解】H^4=（3+l）=C°053xl+C]053xl+C；053xl++C^3°xl

=3105x1°+C：°53104xHe,3103xl2++1,

因为3是奇数，

所以前104项的和偶数，余下奇数1,

因为1054=[（100+5）2T=121550625,

所以121550625+1=121550626是偶数，

根据偶数+偶数=偶数，

所以4侬+105’是偶数即为2的倍数，

所以43+105”是个合数.

【点睛】本题考查了数的奇偶性特点，合数的定义即除了1和自身外，还有其他的约数的数，熟练掌握定

义是解题的关键.

35.（2022秋•上海•六年级专题练习）如果一个自然数〃能被不超过三的所有的非0自然数整除，我们称

自然数〃为"牛数

请写出所有的牛数.

【答案】1、2、3、…、20、22、24、26、28、30、36、48、60

【分析】抓住"牛数"的定义，分类讨论求解即可.

【详解】自然数〃属于1-9,卡都小于1,故不存在非。自然数，故都属于"牛数"；

自然数〃属于10-19时，不超过E的非0整数为1,故都能够整除，都属于"牛数"；

自然数〃属于20-29时，不超过三的非0整数为1和2,其中偶数都能够整除1和2,也就是20、22、

24、26、28都属于"牛数”；

自然数”属于30-39时，不超过R的非0整数为1、2和3,其中30、36能够整除它们三个属于"牛数"；

自然数〃属于40-49时，不超过日的非0整数为1、2、3、4,其中48能够整除它们四个属于"牛数"；

自然数”属于50-59,不超过已的非0整数为1、2、3、4、5,没有数能够全部整除它们五个，故不存在

“牛数"；

自然数”属于60-69时，不超过木的非0整数为1、2、3、4、5、6,60能够整除它们六个的数，60是“牛

数”；

自然数再大，需要整除前面所有不超过R的所有的非0自然数整除的最小公倍数，当该数字大于70时，

它们的最小公倍数大于了自然数本身，不能整除所有不超过去的所有的非0自然数.

故所有"牛数”有1、2、3、...、20、22、24、26、28、30、36、48、60.

【点睛】本题考查了整除，正确理解"牛数”是解题的关键.

36.（2022秋•上海•六年级专题练习）已知。是一个素数，b是一个偶数，X+方=2018,求6的值，并把

它分解素因数.

【答案】/?=2014=2x19x53

【分析】2、3、5、7、11、13、17、19是常见的素数，利用这些素数进行分析求解.

【详解】/+6=2018,b是偶数,2018是偶数，

因此“2一定是偶数，

而偶数中只有2是素数，

因此。=2,6=2018-4=2014,

/,=2014=2x19x53.

【点睛】本题考查对素数的认识，20以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19,熟练掌握是关键.

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