函数综合压轴题（32题）原卷版-2024年中考数学试题分类汇编

函数综合压轴题（32题）

一、单选题

1.（2024・四川广元•中考真题）如图，已知抛物线好办2+/+C过点C（0,-2）与无轴交点的横坐标分别为

%,x2,且-1<为<0,2<x2<3,则下列结论：

①a-6+c<0；

②方程g?+bx+c+2=0有两个不相等的实数根；

③a+6>0；

三2

④

⑤〃一4m>4".其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）如图，正方形N8CD的顶点A,C在抛物线>=-工2+4上，点。在V轴

上.若4C两点的横坐标分别为小“（优>〃>0）,下列结论正确的是（）

A.m+n=lB.m—n=1C.mn=1D.—=1

n

3.（2024・山东济南•中考真题）如图1,是等边三角形，点。在边上，BD=2,动点尸以每秒1

个单位长度的速度从点8出发，沿折线3C-。匀速运动，到达点A后停止，连接。尸.设点P的运动时

间为f（s）,D产为y.当动点P沿2C匀速运动到点C时，了与/的函数图象如图2所示.有以下四个结论:

1

①43=3；

②当f=5时，>=1；

③当4Wf<6时，i«yV3；

④动点尸沿3C-C/匀速运动时，两个时刻4，,2亿<,2）分另IJ对应必和%,若%+%=6,则%>为.其中

正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②C.③④D.①②④

图1

二、填空题

4.（2024•湖北武汉•中考真题）抛物线了=办2+加+。（a,b,c是常数，a<0）经过（T,l）,（见1）两点,

且0〈根<1.下列四个结论：

①6>0；

②若0cx<1,贝1]+b（x-l）+c>1；

③若。=-1,则关于x的一元二次方程”/+瓜+0=2无实数解；

④点/（占,乂），8（工2,力）在抛物线上，若不+工2>-；，%>%2，总有弘<%，则

其中正确的是（填写序号）.

5.（2024・江苏宿迁・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点/在直线>=3[%上，且点力的横坐标为4,

4

直角三角板的直角顶点C落在X轴上，一条直角边经过点力,另一条直角边与直线04交于点3,当点C

在x轴上移动时，线段的最小值为.

2

6.（2024•黑龙江大庆•中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称

为“倍值函数”，该点称为“倍值点”.例如：“倍值函数”了=3x+l,其“倍值点”为（-1，-2）.下列说法不正

确的序号为.

①函数V=2x+4是“倍值函数”；

Q

②函数y=：的图象上的“倍值点”是（2,4）和（-2,-4）；

14

③若关于X的函数y=（加+加X+彳加的图象上有两个''倍值点”，则m的取值范围是机＜］；

④若关于x的函数〉=/+（小一左+2》+；-：的图象上存在唯一的“倍值点”，且当-lWmW3时，〃的最

小值为七则左的值为土好.

2

7.（2024・四川巴中•中考真题）若二次函数歹=如2+乐+4。＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于了轴

对称.则下列说法正确的序号为.（少选得1分，错选得。分，选全得满分）

①”2

a

3S

②当;WaV；时，代数式a2+b2-5b+8的最小值为3

③对于任意实数优，不等式a"/+Zwz-a+b20一定成立

④P（xi,yi）,QQ：2,y2）为该二次函数图象上任意两点，且再＜%.当再+尤2+2＞0时，一定有％＜外

三、解答题

8.（2024•江苏常州•中考真题）将边长均为6cm的等边三角形纸片4BC、。所叠放在一起，使点E、3分

别在边ZC、DF上（端点除外），边AB、E尸相交于点G,边BC、相交于点

（2）如图2,若EF〃BC,求两张纸片重叠部分的面积的最大值；

（3）如图3,当AE＞EC,时,AE与”有怎样的数量关系？试说明理由.

3

9.（2024・四川资阳•中考真题）已知二次函数了=-；/+法与丁=；/-法的图像均过点4（4,0）和坐标原

点。，这两个函数在0VxV4时形成的封闭图像如图所示，P为线段。4的中点，过点P且与x轴不重合的

直线与封闭图像交于8,C两点.给出下列结论：

①b=2；

②PB=PC；

③以0,A,B,C为顶点的四边形可以为正方形；

④若点5的横坐标为1,点。在了轴上（。，B,C三点不共线），则△BC。周长的最小值为5+9.

其中，所有正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

4

10.(2024•江苏常州•中考真题)在平面直角坐标系中，二次函数y=--+云+3的图像与x轴相交

于点/、B,与y轴相交于点C.

(I)oc=；

(2)如图,已知点/的坐标是(T,0).

①当iWxWm,且机＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t,s-t=2,求加的值；

②连接/C,尸是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点(点2除外)，过点尸作轴，垂足为

。.作乙0尸。=乙4。。，射线尸。交y轴于点0,连接。0、PC.若。。=尸C,求点P的横坐标.

5

11.（2024・北京・中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识

和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，

当1号杯和2号杯中都有％mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度九（单位：cm）和2号杯的水面

高度为（单位：cm）,部分数据如下：

V/mL040100200300400500

4/cm02.55.07.510.012.5

h21cm02.84.87.28.910.511.8

（1）补全表格（结果保留小数点后一位）;

（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画用与修，刈与忆之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这

两个函数的图象;

Ah/cm

V/mL

（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题:

①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm

（结果保留小数点后一位）；

②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约

6

为cm（结果保留小数点后一位）.

12.（2024•吉林・中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图

（1）所示，输入x的值为-2时,输出》的值为1;输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3

时，输出y的值为6.

（图1）（图2）

（1）直接写出左，a,6的值.

（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）.

I.当y随x的增大而增大时，求x的取值范围.

II.若关于x的方程/+法+37=0。为实数），在0〈尤＜4时无解，求f的取值范围.

III.若在函数图像上有点尸，0（?与。不重合）.P的横坐标为机，0的横坐标为-加+1.小明对尸，Q

之间（含尸，0两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随加的变化而变化，直接

写出加的取值范围.

13.（2024・四川宜宾•中考真题）如图，抛物线j=x2+bx+c与x轴交于点/（TO）和点8,与y轴交于点

7

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)在y轴上是否存在一点M,使得AADM"的周长最小.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理

由；

⑶若点K在以点P(3,0)为圆心，1为半径的。尸上，连接NE,以NE为边在/E的下方作等边三角形

AEF,连接3尸.求母'的取值范围.

14.(2024•江苏苏州•中考真题)如图①，二次函数y=x2+bx+c的图象G与开口向下的二次函数图象G

8

均过点/(-1,0),S(3,o).

(1)求图象£对应的函数表达式；

(2)若图象G过点C(0,6),点尸位于第一象限，且在图象G上，直线/过点尸且与x轴平行，与图象C2的另

一个交点为。(。在P左侧)，直线/与图象G的交点为"，N(N在〃左侧).当尸0=+时，求

点P的坐标；

(3)如图②，D,E分别为二次函数图象G，Q的顶点，连接4D,过点/作胫，4).交图象C2于点R

连接斯，当E尸〃4D时，求图象C,对应的函数表达式.

15.(2024•黑龙江绥化•中考真题)综合与探究

9

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线〉=-/+反+。与直线相交于A,8两点，其中点/(3,4),

5(0,1).

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)过点3作3(?〃》轴交抛物线于点C,连接NC,在抛物线上是否存在点P使tan4BCP=!tan4C8.若

存在，请求出满足条件的所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.(提示：依题意补全图形，并解答)

⑶将该抛物线向左平移2个单位长度得到必=%/+3+《(为二0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点

。，点E为原抛物线对称轴上的一点，尸是平面直角坐标系内的一点，当以点5、D、E、尸为顶点的四

边形是菱形时，请直接写出点尸的坐标.

10

3

16.（2024•云南・中考真题）已知抛物线＞=/+云-1的对称轴是直线工=5.设加是抛物线＞=/+反_1

与无轴交点的横坐标，记"=

（1）求b的值；

⑵比较,与孚的大小•

17.（2024•江苏常州•中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一

定的距离"后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移

关联图形”.

八V

"G

-x*

ABCDEA

图1

（1）如图1,B、C、。是线段的四等分点.若/E=4,则在图中，线段NC的“平移关联图形”是

,d=（写出符合条件的一种情况即可）；

（2）如图2,等边三角形N3C的边长是2.用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形“，且满足"=2

（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（3）如图3,在平面直角坐标系xQy中，点。、E、G的坐标分别是（-1,0）、（1,0）、（0,4）,以点G为圆心，『

为半径画圆.若对。G上的任意点尸，连接DE、EF.ED所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足

423,直接写出厂的取值范围.

11

18.(2024•江苏宿迁•中考真题)如图①,已知抛物线必=x2+bx+c与x轴交于两点0(0,0)、，(2,0),将抛

物线必向右平移两个单位长度，得到抛物线％，点尸是抛物线必在第四象限内一点，连接尸/并延长，交

抛物线力于点。.

(1)求抛物线外的表达式；

(2)设点尸的横坐标为与，点。的横坐标为々，求%-Xp的值；

(3)如图②，若抛物线%=x2-8x+l与抛物线必=/+bx+c交于点C,过点C作直线MN,分别交抛物线必

和为于点M、N(M、N均不与点C重合)，设点M的横坐标为相，点N的横坐标为“，试判断|机-川是

否为定值.若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由.

12

19.（2024•山东济南・中考真题）在平面直角坐标系xQy中，抛物线G：了=/+6x+c经过点

/（0,2）,3（2,2）,顶点为。；抛物线G：y=x2-2s+/-加+2（〃-1）,顶点为0.

（1）求抛物线G的表达式及顶点D的坐标；

（2）如图1,连接40,点E是抛物线G对称轴右侧图象上一点，点尸是抛物线G上一点，若四边形4D产£

是面积为12的平行四边形，求加的值；

⑶如图2,连接82。。，点又是抛物线G对称轴左侧图像上的动点（不与点A重合），过点M作上W〃

交x轴于点N,连接8N,ON,求ABZW面积的最小值.

13

20.(2024・湖北・中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线了=-/+云+3与x轴交于点/(TO)和点8,

与丁轴交于点C.

⑴求6的值；

(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，NMAB=ZACO,求点M的横坐标；

(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L£与夕轴交于点N.设乙的顶点横坐标为力NC

的长为d.

①求d关于〃的函数解析式；

②工与x轴围成的区域记为U,。与A/BC内部重合的区域(不含边界)记为忆当d随”的增大而增大,

且少内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出〃的取值范围.

14

k

21.(2024・四川雅安•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象/与反比例函数y=人的图

X

(1)求反比例函数及一次函数的表达式；

(2)求的面积；

(3)若点尸是y轴上一动点，连接尸PN.当尸A/+PN的值最小时，求点P的坐标.

15

22.（2024・四川巴中•中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线了="2+法+3（。*0）经过5（3,0）

两点，与了轴交于点c,点尸是抛物线上一动点，且在直线BC的上方.

（1）求抛物线的表达式.

（2）如图1,过点P作尸。，无轴，交直线2C于点E,若PE=2ED,求点P的坐标.

（3）如图2,连接ZC、PC、AP,AP与BC交于点、G,过点尸作P尸〃/C交2c于点尸.记A/CG、APCG、

△PG尸的面积分别为牛S］、S3.当萨+称取得最大值时，求sin/BCP的值.

d2dl

16

23.(2024・四川雅安・中考真题)在平面直角坐标系中，二次函数>=如2+云+3的图象与x轴交于/。,0),

8(3,0)两点，与y轴交于点C.

图①图②

⑴求二次函数的表达式;

(2)如图①，若点尸是线段8c上的一个动点(不与点8,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点

Q,当线段的长度最大时，求点。的坐标;

(3)如图②，在(2)的条件下，过点。的直线与抛物线交于点S.ZCQD=2ZOCQ.在丁轴上是否存

在点E,使得ABDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

17

24.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图，已知二次函数y="2+2x+c的图象与x轴交于A,8两点.A

点坐标为(-1,0),与V轴交于点C(0,3),点M为抛物线顶点，点E为中点.

⑴求二次函数的表达式；

(2)在直线2c上方的抛物线上存在点。，使得/QCB=2ZA8C,求点。的坐标；

(3)已知。，尸为抛物线上不与A,8重合的相异两点.

①若点尸与点C重合，,且加＞1,求证：D,E,尸三点共线；

②若直线4D,BF交于点P,则无论。，尸在抛物线上如何运动，只要。，E,尸三点共线，AAMP,

△MEP,A/AP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明

理由.

18

25.（2024・江苏无锡・中考真题）己知二次函数y=a/+x+c的图象经过点和点8（2,1）.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若点。（加+1,乂），。（加+2,%）都在该二次函数的图象上，试比较必和%的大小，并说明理由;

⑶点尸，。在直线48上，点〃在该二次函数图象上.问：在了轴上是否存在点N,使得以尸，。，M,

N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

26.（2024•山东济宁・中考真题）己知二次函数了=—+6x+c的图像经过（0,-3）,（也c）两点，其中0,b,

c为常数，且而＞0.

(1)求a,c的值;

（2）若该二次函数的最小值是-4,且它的图像与x轴交于点/,8（点/在点3的左侧），与y轴交于点C.

①求该二次函数的解析式，并直接写出点/,3的坐标；

②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点尸，过点尸作x轴的垂线，垂足为。，与直线/C交于

点E,连接尸C,CB,BE.是否存在点P,使=若存在，求此时点尸的横坐标；若不存在，请

说明理由.

19

27.（2024•辽宁•中考真题）已知必是自变量x的函数，当％=孙时，称函数力为函数%的“升基函数”.在

平面直角坐标系中，对于函数弘图象上任意一点称点5（加,加〃）为点A"关于%的升累点”，点8在

函数%的“升累函数”外的图象上.例如：函数M=2X,当%=XM=X-2X=2V时，则函数%=2/是函数

M=2x的“升累函数”.在平面直角坐标系中，函数弘=2x的图象上任意一点/（加,2加），点B（机,2一）为点

A“关于%的升暴点”，点8在函数乂=2x的“升哥函数=2/的图象上.

yk

3

（2）如图1,点A在函数必=—（x>0）的图象上，点A"关于M的升哥点”3在点A上方，当N8=2时，求点A

X

的坐标；

（3）点A在函数必=-》+4的图象上，点A"关于M的升幕点”为点5,设点A的横坐标为加.

①若点5与点A重合，求加的值；

②若点8在点A的上方，过点5作x轴的平行线，与函数%的“升募函数”力的图象相交于点C,以N8,BC

为邻边构造矩形N8CD,设矩形的周长为V,求了关于机的函数表达式；

③在②的条件下，当直线V=%与函数V的图象的交点有3个时，从左到右依次记为£,F,G,当直线>=右

与函数了的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M,N,若EF=MN,请直接写出右一%的值.

20

28.(2024•四川资阳•中考真题)已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线了=-：/+乐+。与x轴

交于/,B两点,与y轴的正半轴交于C点，且B(4,0),BC=4^2.

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

⑵如图1,点尸是抛物线在第一象限内的一点，连接尸民尸C,过点P作尸轴于点。，交BC于点

K.记△尸BC,ABZJK的面积分别为工，S”求国-$2的最大值；

(3)如图2,连接"C,点E为线段/C的中点，过点£作交x轴于点尸.抛物线上是否存在点0,

使N。尸£=2/0。？若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

21

29.（2024•甘肃兰州•中考真题）在平面直角坐标系xQy中，给出如下定义：点尸是图形印外一点，点。

PO1一

在尸。的延长线上，使得万石=不，如果点。在图形少上，则称点尸是图形少的“延长2分点”，例如：如

（3、PO1

图1,/（2,4）,8（2,2）,尸-1,-5是线段"外一点，。（2,3）在尸。的延长线上，且万方=$，因为点。在线

图形％的“延长2分点”;

⑵如图2,已知图形%:线段5C,8(2,2),C(5,2),若直线AW:y=-x+6上存在点尸是图形％的“延

长2分点”，求6的最小值:

⑶如图3,已知图形%:以T&1）为圆心，半径为1的©T,若以。（-1,-2）,£（-1,1）,尸（2,1）为顶点的

等腰直角三角形。斯