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函数综合压轴题(32题)

一、单选题

1.(2024・四川广元•中考真题)如图,已知抛物线好办2+/+C过点C(0,-2)与无轴交点的横坐标分别为

%,x2,且-1<为<0,2<x2<3,则下列结论:

①a-6+c<0;

②方程g?+bx+c+2=0有两个不相等的实数根;

③a+6>0;

三2

⑤〃一4m>4".其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.(2024•内蒙古赤峰•中考真题)如图,正方形N8CD的顶点A,C在抛物线>=-工2+4上,点。在V轴

上.若4C两点的横坐标分别为小“(优>〃>0),下列结论正确的是()

A.m+n=lB.m—n=1C.mn=1D.—=1

n

3.(2024・山东济南•中考真题)如图1,是等边三角形,点。在边上,BD=2,动点尸以每秒1

个单位长度的速度从点8出发,沿折线3C-。匀速运动,到达点A后停止,连接。尸.设点P的运动时

间为f(s),D产为y.当动点P沿2C匀速运动到点C时,了与/的函数图象如图2所示.有以下四个结论:

1

①43=3;

②当f=5时,>=1;

③当4Wf<6时,i«yV3;

④动点尸沿3C-C/匀速运动时,两个时刻4,,2亿<,2)分另IJ对应必和%,若%+%=6,则%>为.其中

正确结论的序号是()

A.①②③B.①②C.③④D.①②④

图1

二、填空题

4.(2024•湖北武汉•中考真题)抛物线了=办2+加+。(a,b,c是常数,a<0)经过(T,l),(见1)两点,

且0〈根<1.下列四个结论:

①6>0;

②若0cx<1,贝1]+b(x-l)+c>1;

③若。=-1,则关于x的一元二次方程”/+瓜+0=2无实数解;

④点/(占,乂),8(工2,力)在抛物线上,若不+工2>-;,%>%2,总有弘<%,则

其中正确的是(填写序号).

5.(2024・江苏宿迁・中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点/在直线>=3[%上,且点力的横坐标为4,

4

直角三角板的直角顶点C落在X轴上,一条直角边经过点力,另一条直角边与直线04交于点3,当点C

在x轴上移动时,线段的最小值为.

2

6.(2024•黑龙江大庆•中考真题)定义:若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点,则把该函数称

为“倍值函数”,该点称为“倍值点”.例如:“倍值函数”了=3x+l,其“倍值点”为(-1,-2).下列说法不正

确的序号为.

①函数V=2x+4是“倍值函数”;

Q

②函数y=:的图象上的“倍值点”是(2,4)和(-2,-4);

14

③若关于X的函数y=(加+加X+彳加的图象上有两个''倍值点”,则m的取值范围是机<];

④若关于x的函数〉=/+(小一左+2》+;-:的图象上存在唯一的“倍值点”,且当-lWmW3时,〃的最

小值为七则左的值为土好.

2

7.(2024・四川巴中•中考真题)若二次函数歹=如2+乐+4。>0)的图象向右平移1个单位长度后关于了轴

对称.则下列说法正确的序号为.(少选得1分,错选得。分,选全得满分)

①”2

a

3S

②当;WaV;时,代数式a2+b2-5b+8的最小值为3

③对于任意实数优,不等式a"/+Zwz-a+b20一定成立

④P(xi,yi),QQ:2,y2)为该二次函数图象上任意两点,且再<%.当再+尤2+2>0时,一定有%<外

三、解答题

8.(2024•江苏常州•中考真题)将边长均为6cm的等边三角形纸片4BC、。所叠放在一起,使点E、3分

别在边ZC、DF上(端点除外),边AB、E尸相交于点G,边BC、相交于点

(2)如图2,若EF〃BC,求两张纸片重叠部分的面积的最大值;

(3)如图3,当AE>EC,时,AE与”有怎样的数量关系?试说明理由.

3

9.(2024・四川资阳•中考真题)已知二次函数了=-;/+法与丁=;/-法的图像均过点4(4,0)和坐标原

点。,这两个函数在0VxV4时形成的封闭图像如图所示,P为线段。4的中点,过点P且与x轴不重合的

直线与封闭图像交于8,C两点.给出下列结论:

①b=2;

②PB=PC;

③以0,A,B,C为顶点的四边形可以为正方形;

④若点5的横坐标为1,点。在了轴上(。,B,C三点不共线),则△BC。周长的最小值为5+9.

其中,所有正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

4

10.(2024•江苏常州•中考真题)在平面直角坐标系中,二次函数y=--+云+3的图像与x轴相交

于点/、B,与y轴相交于点C.

(I)oc=;

(2)如图,已知点/的坐标是(T,0).

①当iWxWm,且机>1时,y的最大值和最小值分别是s、t,s-t=2,求加的值;

②连接/C,尸是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点(点2除外),过点尸作轴,垂足为

。.作乙0尸。=乙4。。,射线尸。交y轴于点0,连接。0、PC.若。。=尸C,求点P的横坐标.

5

11.(2024・北京・中考真题)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯),在科技活动中,小云用所学数学知识

和人工智能软件设计了一个新水杯,并将其制作出来,新水杯(记为2号杯)示意图如下,

当1号杯和2号杯中都有%mL水时,小云分别记录了1号杯的水面高度九(单位:cm)和2号杯的水面

高度为(单位:cm),部分数据如下:

V/mL040100200300400500

4/cm02.55.07.510.012.5

h21cm02.84.87.28.910.511.8

(1)补全表格(结果保留小数点后一位);

(2)通过分析数据,发现可以用函数刻画用与修,刈与忆之间的关系.在给出的平面直角坐标系中,画出这

两个函数的图象;

Ah/cm

V/mL

(3)根据以上数据与函数图象,解决下列问题:

①当1号杯和2号杯中都有320mL水时,2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm

(结果保留小数点后一位);

②在①的条件下,将2号杯中的一都分水倒入1号杯中,当两个水杯的水面高度相同时,其水面高度约

6

为cm(结果保留小数点后一位).

12.(2024•吉林・中考真题)小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图

(1)所示,输入x的值为-2时,输出》的值为1;输入x的值为2时,输出y的值为3;输入x的值为3

时,输出y的值为6.

(图1)(图2)

(1)直接写出左,a,6的值.

(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像,如图(2).

I.当y随x的增大而增大时,求x的取值范围.

II.若关于x的方程/+法+37=0。为实数),在0〈尤<4时无解,求f的取值范围.

III.若在函数图像上有点尸,0(?与。不重合).P的横坐标为机,0的横坐标为-加+1.小明对尸,Q

之间(含尸,0两点)的图像进行研究,当图像对应函数的最大值与最小值均不随加的变化而变化,直接

写出加的取值范围.

13.(2024・四川宜宾•中考真题)如图,抛物线j=x2+bx+c与x轴交于点/(TO)和点8,与y轴交于点

7

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;

(2)在y轴上是否存在一点M,使得AADM"的周长最小.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理

由;

⑶若点K在以点P(3,0)为圆心,1为半径的。尸上,连接NE,以NE为边在/E的下方作等边三角形

AEF,连接3尸.求母'的取值范围.

14.(2024•江苏苏州•中考真题)如图①,二次函数y=x2+bx+c的图象G与开口向下的二次函数图象G

8

均过点/(-1,0),S(3,o).

(1)求图象£对应的函数表达式;

(2)若图象G过点C(0,6),点尸位于第一象限,且在图象G上,直线/过点尸且与x轴平行,与图象C2的另

一个交点为。(。在P左侧),直线/与图象G的交点为",N(N在〃左侧).当尸0=+时,求

点P的坐标;

(3)如图②,D,E分别为二次函数图象G,Q的顶点,连接4D,过点/作胫,4).交图象C2于点R

连接斯,当E尸〃4D时,求图象C,对应的函数表达式.

15.(2024•黑龙江绥化•中考真题)综合与探究

9

如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线〉=-/+反+。与直线相交于A,8两点,其中点/(3,4),

5(0,1).

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)过点3作3(?〃》轴交抛物线于点C,连接NC,在抛物线上是否存在点P使tan4BCP=!tan4C8.若

存在,请求出满足条件的所有点尸的坐标;若不存在,请说明理由.(提示:依题意补全图形,并解答)

⑶将该抛物线向左平移2个单位长度得到必=%/+3+《(为二0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点

。,点E为原抛物线对称轴上的一点,尸是平面直角坐标系内的一点,当以点5、D、E、尸为顶点的四

边形是菱形时,请直接写出点尸的坐标.

10

3

16.(2024•云南・中考真题)已知抛物线>=/+云-1的对称轴是直线工=5.设加是抛物线>=/+反_1

与无轴交点的横坐标,记"=

(1)求b的值;

⑵比较,与孚的大小•

17.(2024•江苏常州•中考真题)对于平面内有公共点的两个图形,若将其中一个图形沿着某个方向移动一

定的距离"后与另一个图形重合,则称这两个图形存在“平移关联”,其中一个图形叫做另一个图形的“平移

关联图形”.

八V

"G

-x*

ABCDEA

图1

(1)如图1,B、C、。是线段的四等分点.若/E=4,则在图中,线段NC的“平移关联图形”是

,d=(写出符合条件的一种情况即可);

(2)如图2,等边三角形N3C的边长是2.用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形“,且满足"=2

(保留作图痕迹,不要求写作法);

(3)如图3,在平面直角坐标系xQy中,点。、E、G的坐标分别是(-1,0)、(1,0)、(0,4),以点G为圆心,『

为半径画圆.若对。G上的任意点尸,连接DE、EF.ED所形成的图形都存在“平移关联图形”,且满足

423,直接写出厂的取值范围.

11

18.(2024•江苏宿迁•中考真题)如图①,已知抛物线必=x2+bx+c与x轴交于两点0(0,0)、,(2,0),将抛

物线必向右平移两个单位长度,得到抛物线%,点尸是抛物线必在第四象限内一点,连接尸/并延长,交

抛物线力于点。.

(1)求抛物线外的表达式;

(2)设点尸的横坐标为与,点。的横坐标为々,求%-Xp的值;

(3)如图②,若抛物线%=x2-8x+l与抛物线必=/+bx+c交于点C,过点C作直线MN,分别交抛物线必

和为于点M、N(M、N均不与点C重合),设点M的横坐标为相,点N的横坐标为“,试判断|机-川是

否为定值.若是,直接写出这个定值;若不是,请说明理由.

12

19.(2024•山东济南・中考真题)在平面直角坐标系xQy中,抛物线G:了=/+6x+c经过点

/(0,2),3(2,2),顶点为。;抛物线G:y=x2-2s+/-加+2(〃-1),顶点为0.

(1)求抛物线G的表达式及顶点D的坐标;

(2)如图1,连接40,点E是抛物线G对称轴右侧图象上一点,点尸是抛物线G上一点,若四边形4D产£

是面积为12的平行四边形,求加的值;

⑶如图2,连接82。。,点又是抛物线G对称轴左侧图像上的动点(不与点A重合),过点M作上W〃

交x轴于点N,连接8N,ON,求ABZW面积的最小值.

13

20.(2024・湖北・中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线了=-/+云+3与x轴交于点/(TO)和点8,

与丁轴交于点C.

⑴求6的值;

(2)如图,M是第一象限抛物线上的点,NMAB=ZACO,求点M的横坐标;

(3)将此抛物线沿水平方向平移,得到的新抛物线记为L£与夕轴交于点N.设乙的顶点横坐标为力NC

的长为d.

①求d关于〃的函数解析式;

②工与x轴围成的区域记为U,。与A/BC内部重合的区域(不含边界)记为忆当d随”的增大而增大,

且少内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时,直接写出〃的取值范围.

14

k

21.(2024・四川雅安•中考真题)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象/与反比例函数y=人的图

X

(1)求反比例函数及一次函数的表达式;

(2)求的面积;

(3)若点尸是y轴上一动点,连接尸PN.当尸A/+PN的值最小时,求点P的坐标.

15

22.(2024・四川巴中•中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线了="2+法+3(。*0)经过5(3,0)

两点,与了轴交于点c,点尸是抛物线上一动点,且在直线BC的上方.

(1)求抛物线的表达式.

(2)如图1,过点P作尸。,无轴,交直线2C于点E,若PE=2ED,求点P的坐标.

(3)如图2,连接ZC、PC、AP,AP与BC交于点、G,过点尸作P尸〃/C交2c于点尸.记A/CG、APCG、

△PG尸的面积分别为牛S]、S3.当萨+称取得最大值时,求sin/BCP的值.

d2dl

16

23.(2024・四川雅安・中考真题)在平面直角坐标系中,二次函数>=如2+云+3的图象与x轴交于/。,0),

8(3,0)两点,与y轴交于点C.

图①图②

⑴求二次函数的表达式;

(2)如图①,若点尸是线段8c上的一个动点(不与点8,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点

Q,当线段的长度最大时,求点。的坐标;

(3)如图②,在(2)的条件下,过点。的直线与抛物线交于点S.ZCQD=2ZOCQ.在丁轴上是否存

在点E,使得ABDE为等腰三角形?若存在,直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

17

24.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图,已知二次函数y="2+2x+c的图象与x轴交于A,8两点.A

点坐标为(-1,0),与V轴交于点C(0,3),点M为抛物线顶点,点E为中点.

⑴求二次函数的表达式;

(2)在直线2c上方的抛物线上存在点。,使得/QCB=2ZA8C,求点。的坐标;

(3)已知。,尸为抛物线上不与A,8重合的相异两点.

①若点尸与点C重合,,且加>1,求证:D,E,尸三点共线;

②若直线4D,BF交于点P,则无论。,尸在抛物线上如何运动,只要。,E,尸三点共线,AAMP,

△MEP,A/AP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积,不必说明

理由.

18

25.(2024・江苏无锡・中考真题)己知二次函数y=a/+x+c的图象经过点和点8(2,1).

(1)求这个二次函数的表达式;

(2)若点。(加+1,乂),。(加+2,%)都在该二次函数的图象上,试比较必和%的大小,并说明理由;

⑶点尸,。在直线48上,点〃在该二次函数图象上.问:在了轴上是否存在点N,使得以尸,。,M,

N为顶点的四边形是正方形?若存在,请直接写出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.

26.(2024•山东济宁・中考真题)己知二次函数了=—+6x+c的图像经过(0,-3),(也c)两点,其中0,b,

c为常数,且而>0.

(1)求a,c的值;

(2)若该二次函数的最小值是-4,且它的图像与x轴交于点/,8(点/在点3的左侧),与y轴交于点C.

①求该二次函数的解析式,并直接写出点/,3的坐标;

②如图,在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点尸,过点尸作x轴的垂线,垂足为。,与直线/C交于

点E,连接尸C,CB,BE.是否存在点P,使=若存在,求此时点尸的横坐标;若不存在,请

说明理由.

19

27.(2024•辽宁•中考真题)已知必是自变量x的函数,当%=孙时,称函数力为函数%的“升基函数”.在

平面直角坐标系中,对于函数弘图象上任意一点称点5(加,加〃)为点A"关于%的升累点”,点8在

函数%的“升累函数”外的图象上.例如:函数M=2X,当%=XM=X-2X=2V时,则函数%=2/是函数

M=2x的“升累函数”.在平面直角坐标系中,函数弘=2x的图象上任意一点/(加,2加),点B(机,2一)为点

A“关于%的升暴点”,点8在函数乂=2x的“升哥函数=2/的图象上.

yk

3

(2)如图1,点A在函数必=—(x>0)的图象上,点A"关于M的升哥点”3在点A上方,当N8=2时,求点A

X

的坐标;

(3)点A在函数必=-》+4的图象上,点A"关于M的升幕点”为点5,设点A的横坐标为加.

①若点5与点A重合,求加的值;

②若点8在点A的上方,过点5作x轴的平行线,与函数%的“升募函数”力的图象相交于点C,以N8,BC

为邻边构造矩形N8CD,设矩形的周长为V,求了关于机的函数表达式;

③在②的条件下,当直线V=%与函数V的图象的交点有3个时,从左到右依次记为£,F,G,当直线>=右

与函数了的图象的交点有2个时,从左到右依次记为M,N,若EF=MN,请直接写出右一%的值.

20

28.(2024•四川资阳•中考真题)已知平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线了=-:/+乐+。与x轴

交于/,B两点,与y轴的正半轴交于C点,且B(4,0),BC=4^2.

图1图2

(1)求抛物线的解析式;

⑵如图1,点尸是抛物线在第一象限内的一点,连接尸民尸C,过点P作尸轴于点。,交BC于点

K.记△尸BC,ABZJK的面积分别为工,S”求国-$2的最大值;

(3)如图2,连接"C,点E为线段/C的中点,过点£作交x轴于点尸.抛物线上是否存在点0,

使N。尸£=2/0。?若存在,求出点。的坐标;若不存在,说明理由.

21

29.(2024•甘肃兰州•中考真题)在平面直角坐标系xQy中,给出如下定义:点尸是图形印外一点,点。

PO1一

在尸。的延长线上,使得万石=不,如果点。在图形少上,则称点尸是图形少的“延长2分点”,例如:如

(3、PO1

图1,/(2,4),8(2,2),尸-1,-5是线段"外一点,。(2,3)在尸。的延长线上,且万方=$,因为点。在线

图形%的“延长2分点”;

⑵如图2,已知图形%:线段5C,8(2,2),C(5,2),若直线AW:y=-x+6上存在点尸是图形%的“延

长2分点”,求6的最小值:

⑶如图3,已知图形%:以T&1)为圆心,半径为1的©T,若以。(-1,-2),£(-1,1),尸(2,1)为顶点的

等腰直角三角形。斯

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