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文档简介
河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期第五次综合素养数
学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.已知复数z满足(4+3i)z=-i,则Z的虚部为()
444.4.
A.-----B.——C.-------1D.——1
25252525
2.在V/BC中,AC=2DC,CB=2BE,CA=a,CB=b,则方豆=()
13-13-13f13-
A.——a+—bB.—a+—bC.——a——bD.—a---b
22222222
3.用平行于底面的平面截正四棱锥,截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上、下底面边
长分别为1和2,侧棱与底面所成的角为则该四棱台的体积是()
4
A.ZB.逑C.逑D.逆
6632
4.已知等差数列{为}的前〃项和为工,若%+40=24,且。3=6,则§8=()
A.60B.72C.120D.144
5.已知两条不同的直线/,m,两个不同的平面a,许则下列条件能推出a//月的是()
A.lua,mua,且/〃4,mlI/3
B.lua,mu(3,且/〃加
C.ILa,m±/?,且/〃加
D.Illa,mlI[3,且/〃加
「XI-Y*_1
,若+-〃5),则实数a的取值范围是()
(X—1
A.{-1}B.(-<»,-1]
C.[-l,+℃)D.
7.当x=l时,函数/(x)=alnx+2取得最大值一2,则八2)=()
X
,11
A.—1B.—C.-D.1
22
8.已知正方体/BCD-42cA,。为下底面NBCA的中心,P为棱。。的中点,则下列说法
试卷第1页,共4页
错误的是()
A.直线用。与直线48所成角为60。B.直线BC与直线。尸所成角为90°
C.直线3(,平面p/cD.直线及c与底面ABC。所成角为45。
二、多选题
9.已知〃2,〃是两条不重合的直线,生〃是两个不重合的平面,则下列说法正确的是()
A.若1亩/a,m工0,则aJ_/B,若mua,nu〃。,〃〃a,贝jja〃/?
C.若a_L£,加〃ar,“〃/,则机_L〃D.若muajn〃/3,aC0=”,则〃
10.已知定义在R上的函数/'(x),g(x),其导函数分别为/'(x),g'(x),
/(l-x)=6-g,(l-x),/(l-x)-g,(l+x)=6,且g(x+2)为奇函数,则()
A.g(x)的图象关于x=l对称
B.g1x+6)=g1x)
C./,(6)=/,(2)
D./(2021)+/(2023)=12
11.已知V48c中,ABVBC,AB=BC=2,E,尸分别在线段A4,CA±,且砺=20,
CF=2C4(彳e(0,1)).现将AAEF沿EF折起,使二面角A-EF-C的大小为«(«e(0,%)).以
下命题正确的是()
A,若%=[,a=j则点尸到平面NBC的距离为"
232
B.存在4使得四棱锥4-5C尸E有外接球
C.若2=9,则棱锥尸-/E8体积的最大值为普
381
JT2
D.若a=g,三棱锥斯的外接球的半径取得最小值时,2=4
23
试卷第2页,共4页
三、填空题
12.河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产,是我国建筑之精品,是中国古代高
超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证.一名身高1.7m的同学假期到河北省正定县旅游,
他在A处仰望须弥塔尖,仰角为45。,他沿直线(假设他的行走路线和塔底在同一条直线上)
向塔行走了17nl后仰望须弥塔尖,仰角为60。,据此估计该须弥塔的高度约为
m.(参考数据:V2»1.414,73»1.732,结果保留整数)
13.如图,圆。与x轴的正半轴的交点为A,点C,8在圆。上,且点C位于第一象限,点
8的坐标为Z.AOC=a|^C|=1,则。。052q-5出00)$0-立^的值
\72222
为.
14.曲线y=|lnx|在/(再,%),5(工2,%)两点处的切线分别为4,4,且4,贝1再%=:
若4,4交点的横坐标为W,则西退+/工3=
四、解答题
15.已知V/3C的面积为20行,。为边3c的中点,OA=5,OAOB^2Q.
(1)求BC的长;
(2)求角C的正弦值.
16.已知函数/(x)=x(l-alnr)(a70).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=l时,设匹,工2为两个不相等的正数,且满足/(占)=/(乙),证明:xl+x2<e.
17.已知等差数列{%}前"项和为S“(〃eN+),数列已"}是等比数列,%=3,1=1,
试卷第3页,共4页
b2+S2=10,a5-2b2—%.
(1)求数列{凡}和也}的通项公式;
A〃为奇数
⑵若g=,设数列{C,J的前"项和为北,求应.
4,”为偶数
18.如图,在四棱锥S-48cD中,平面S3。_L平面48CD,底面是正方形,且E、
厂分别是S3、SD上靠近S的三等分点.
(1)求证:AC1SB;
⑵在SC上是否存在一点M,使平面〃平面/EF?若存在,求出丝的值;若不存在,
请说明理由.
19.设/=/(x)是定义域为。且图象连续不断的函数,若存在区间[。/仁。和x°e(a,b),
使得>=/(x)在[a,%)上单调递增,在(%,6]上单调递减,则称y=/(x)为“山峰函数”,/为
“峰点”,[d可称为V=/(x)的一个“峰值区间”.
⑴判断g(x)=x2+cosr是否是“山峰函数”?若是,请指出它的一个峰值区间;若不是,请说
明理由;
⑵己知机>1,4(力=(加+2)》-/-4是山峰函数,且[0,1]是它的一个峰值区间,求机的取
值范围;
(3)设〃eR,函数/(无)=[x'-2nx2+(4«-4MliK-$3+”/-g”-4}.设函数了=/(尤)是
山峰函数,[s刁是它的一个峰值区间,并记"s的最大值为d(〃).若/(曾<(),且
⑴,/[卜/⑴,求d(〃)的最小值.(参考数据:ln|=0.4)
试卷第4页,共4页
参考答案:
题号12345678910
答案AABBCABCADACD
题号11
答案ACD
1.A
【分析】由复数除法运算法则直接计算,结合复数的虚部的概念即可求解.
所T_T1=34
【详解】因为(4+3i)z=-i,所"~4+3i(4+3i)(4-3i)2525
,-4
所以z的虚部为-石.
故选:A.
2.A
—»3—►—►1―►
【分析】先结合图形表示出=。=5以;再根据向量的减法运算即可解答.
【详解】
因为就=25e,Q=2砺,B=O,Q=6一,
—►3—.—►1—►
所以。£=—CB,CD=-CA.
22
——►—►——►3―►1—>3—1一
所以。£=CE—CQ=—C8——CA=-b——a.
2222
故选:A
3.B
【分析】根据正四棱台性质可求得该棱台的高,代入棱台的体积公式即可求得结果.
【详解】如下图所示:。,a分别为上下底面的中心,作GE,4。于点£,
答案第1页,共15页
7T
根据题意可知4耳=1,/2=2,侧棱与底面所成的角即为NGCE,可知=
因此可得GE=CE,
易知NC=2后,4C=拒,由正四棱台性质可得CE=g(/C-4G)=F;
所以该正四棱台的高为C\E=CE=*,
因此该四棱台的体积是厂=4俨+2?+-2、龙:亚.
3\/26
故选:B
4.B
【分析】根据给定条件,利用等差数列性质及前〃项和公式计算即得.
【详解】在等差数列{凡}中,2&=g+4。=24,解得&=12,
所以工=8(。;。8)=4(%+&)=4*(6+12)=72.
故选:B
5.C
【分析】利用线面垂直的性质推理判断C;举例说明判断ABD.
【详解】对于A,若/uc,mua,且/〃。,mll13,此时c,4可能相交,如下图所示:
当erf?/=〃,/,加都与〃平行时,见£相交,A错误;
对于B,若/ua,mu。,且/〃加,此时a,月可能相交,如下图所示:
答案第2页,共15页
a
当&n/=〃,/,加都与月平行时,氏〃相交,B错误;
对于C,由/J_a,Him,得机_Le,而加_L〃,所以a//尸,C正确;
若"/a,,”//£,且〃/加,此时生力可能相交,如下图所示:
当2口£=",mua,lu。,/,加都与〃平行时,a,£相交,D错误.
故选:C.
6.A
【分析】原不等式变形为/[5(/+l)]v/(-10a),再利用分段函数的单调性即可得到不等
式,解出即可.
【详解】当x<l时,/(x)=e,+x-4,因为y=e"=x-4在(-8,1)上单调递增,此时/'(x)
单调递增,
当尤21时,易知/(x)=lnx单调递增,且当x=l时,e1+l-4=e-3<0=lnl,
则/(x)在R上单调递增,
因为1+121,则/(/+1)+〃5)=111(片+1)+山5=1115(/+,=小片+)],
所以由/(/+1)"(-10。)-〃5)得/[5(/+3”(一10°),
所以5(/+l)4-10a,解得a=-l.
故选:A.
7.B
【分析】根据题意可知/⑴=-2,/(1)=0即可解得应6,再根据/'(x)即可解出.
【详解】因为函数“X)定义域为(0,+8),所以依题可知,/(1)=-2,/(1)=0,而
答案第3页,共15页
/(x)="3,所以6=-2,。-6=0,即。=-2,6=-2,所以((》)=二+力,因此函数f(x)
XJCXX
在(0,1)上递增,在(1,+8)上递减,x=l时取最大值,满足题意,即有/'⑵=-l+g=-g.
故选:B.
8.C
【分析】在正方体中,利用空间线、面的平行或垂直的判定与性质,结合正方体中已知的位
置关系逐一对选项判断即可,注意题目要求的是错误的选项.
【详解】
对于选项A:因为4C//4。,直线用c与直线48所成角即为直线4。与直线45所成角,
因为是正三角形,故直线4。与直线48所成角为60。,A正确;
对于选项B:因为。P//2,,又BQBq,2G,面8CC4,
而B.Cu平面BCCXBX,故2cl,4C,而2GcBG=q,D£,BGU平面BCR,
故3(,面3G2,所以直线30,22,故2c与直线。尸所成角为90。,B正确;
对于选项C:同选项A结合正方体的性质可知直线8。与/C不垂直,故C不正确;
对于选项D:由CG1平面ABCD可知直线B、C与底面ABCD所成角为/片C3,3cB=
45°,故D正确.
故选:C.
9.AD
【分析】利用空间线、面平行或垂直的判定与性质,对每个选项逐一判断,正确的加以证明,
不正确的举出反例.
【详解】对于选项A:过"?作平面7交平面a于/,如下图,因为"?||e,所以就〃,而机,尸,
所以而/ua,故选项A正确;
答案第4页,共15页
对于选项B:举反例如下图,设0;|"|尸=/,当机///,〃〃/时,mca,ncP,m//fi,n//a,
符合题目条件,但《〃〃不成立,故选项B不正确;
对于选项C:举反例如上图,aL/3,m//a,n///3,但此时加//”,选项C不正确;
对于选项D:若机ua,加〃£,打□£=”,由线面平行的性质定理可得加〃",D正确;
故选:AD
10.ACD
【分析】先根据条件分析出g(x)的周期性和对称性,再得到/(x)的周期性,根据函数性质、
简单复合函数求导逐个判断即可得结果.
/(l-x)=6-g,(l-x)
【详解】由题意可得两式相减可得g'(l+x)—@
/(I-x)=6+g'(l+x)
所以g(l+x)=g(l-x)+C,令x=o,可得C=0,
所以g(l+x)=g(l-x),
所以g(x)的图象关于x=l对称,故A正确;
因为g(久+2)为奇函数,所以g(x)关于(2,0)中心对称,
所以g(x)+g(4-x)=0②,②式两边对x求导可得g,(x)=g,(4-x),
结合g'(l+尤)=-g'(l-X),可得:g'(x)=-g'(2-x)
所以g'(4-x)=-g'(2-x),令4-x=t,可得:g'(f)=-g'(-2),
所以g'(t)=g'(t-4)即g'(t)=g'(t+4),故B错,
因为/(x)=6-g'(x),可知〃尤)也是周期为4的周期函数,
BP/(x+4)=/(%),两边求导可得<'(x+4)=r(x),所以/'(6)=广(2),故C正确;
〃x)是周期为4的周期函数,所以〃2021)+〃2023)=〃1)+/(3),
因为g'(l+x)=-g'(l-x),令x=0,则g«)=-g'(l),即g”)=0,
答案第5页,共15页
又g'«)=-g'("2),所以g,(-l)=H(l)=O,又因为g'(尤)是周期为4的周期函数,
/⑴=6-g<1)=6
则g'(3)=g'(-1)=0,由〃x)=6_g,(x)可得;:二;,
⑶=6-g(3)=6
所以/⑴+"3)=12,所以/(2021)+/(2023)=12,D正确.
故选:ACD
11.ACD
【分析】对于A,由线面平行将点尸到平面/BC的距离转化成点E到平面N3C的距离即可
求解,对于B,通过四边形BCEE没有外接圆即可判断,对于C,确定尸的长度,结
合体积公式及基本不等式即可判断,对于D,补全长方体即可判断.
【详解】前=4强,CF=2C3(2e(0,l)),易知EF||BC,所平面A8C,BCu平面N8C,
易知EF〃面A8C
故点F到平面ABC的距离为即为点E到平面ABC的距离,
因为N8L8C,所以4BLEF,所以EF_LBE,EF_LAE,
所以N8E4为二面角/-跖-C的平面角,
又AE,BE为平面/3E内两条相交直线,
所以所_1_平面ABE,
所以3C_L平面/BE,又3c在平面A8C内,
所以平面ABC1平面ABE,
所以E到平面48C的距离即为£到/8,
IJT冗
A选项:A=-,a=-,^\BE=AE=l,ZBEA=-,三角形/BE等边三角形,
233
可得:£到的距离为lxsin60°=W,故A正确;
2
B选项:由于直角梯形EFC5不可能共圆,所以四棱锥/-3CFE无外接球,所以B错误;
C选项:由题意可知BE=22,AE=2-2A,跖=2-22,sinZAEB=a
VF_AEB=-SNABE义EF=—AExBExsinZAEBxEF,
sinZ.AEB,
44+2—24+2—2464
由基本不等式可知:44(2-24)(2-22)W
27
答案第6页,共15页
当且仅当42=2-22=2-22,即几=;时取得最大值,
所以VF-AEB=-x2A(2-22)(2-2A)sinNAEB<—sinZAEB,
681
所以当%=sin4E3=a=]时,体积取到最大值:,故正确;
D选项:由题意可知3£=2彳,^£=2-22,EF=2-2A,
7T
a=—,也即川,助,£4两两垂直,
2
可以依次构造长方体,长方体的体对角线即为外接球的直径,设外接球半径为小
贝!1(2/产=4力+2(2—2;1)2二口力一164+8,AG(0,1),
所以%4时,2r取得最小值马反,此时*n=",所以D正确.
333
故选:ACD
12.42
【分析】作出图形,求出角度,利用正弦定理结合15°的正弦值,求出答案.
【详解】如图,4耳=17,因为/C41A=45°,NCBQ=60°,所以/4。4=15°,
C
所以£黑蟹产=嚼警
其中sinl50=sin(60°-45°)=sin60cos450-cos600sin450=-x---t——=----
v722224
答案第7页,共15页
17旦
17sin45°_2_34634A/IX(而+逝)
故3=
sinl5\[6—V2V6—V2—也+应)
4
p17(3+On厂uuzcc17x4.732,八。
又CD,=CB.sin600=―--------,且百名1.732,所以CR=--------------40.2,
1122
又该同学身高1.7m,所以塔高约为40.2+1.7=41.9m。42m.
故答案为:42.
【分析】由倍角公式和辅助角公式可得6cos24-sin3cos3-YLsin(Ja],由题意
222213)
JT
/AOB=--a,再由三角函数的定义即可求sin//。瓦
3
【详解】•••8[^,-3:,|03=1,;.圆0的半径为1.
又庐c|=l,.1ABOC为等边三角形.
TT
.e.Z-AOB=---cc,且a为锐角.
3
a/-1+cosa
二.43cos2--sin—cosAJBX----------sina-——
22222
coscr--sin^=sin[--J
=sinZ4OB.
22<3)
3
由三角函数的定义可得,smZAOB=~.
3
故答案为:
【点睛】本题考查三角函数的定义,倍角公式和辅助角公式,公式的熟练运用是解决问题的
关键.
14.12
【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式,结合导数的几何意义、互相垂直的两直线
的斜率的关系分类讨论进行求解即可.
—,x>1
Inx,x>1
【详解】由>=加司==><=〈X
-Inx,0<x<1
—,0<x<1
IX
答案第8页,共15页
不妨设尤i<苫2,切线4,/?的斜率分别为左,h,
当三时,则有匕=?2?此时g=5>0
显然左左2工-1,
因此4^/2不成立,不符合题意;
一
当0<西<々<1时,则有勺二一~L,左2一"此时《他二」>。,
玉x{x2
显然左/2W-1,因此不成立,不符合题意;
<
当0<玉<14%2时,则有左二一■",后2—,此时左/2=----~0,
X1
由4_L4可得桃2=T=玉%2=1,
此时切线4,,2的切线方程分别为:y+ln%=-J(x-玉),y-lnx2=^(x-x2),
y+In/=-----(x—%)
.王22
两个方程联立,得nx=--------=>x3
再+x23+x2
y-]nx2=-(x-x2)
2
因止匕再9+X2X3=工3(再+12)=,(国+工2)=2,
xl+x2
故答案为:1;2
【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用对数运算性质化简函数的解析式,利用两直线垂直
的斜率之间的关系进行求解.
15.(1)16
〃、5月
(86
【分析】(1)根据三角形面积及向量数量积可知tanN/O8,进而可得|。/与忸C|;
(2)在△NOC中,用余弦定理可知再由正弦定理可知角。的正弦值.
【详解】(1)由己知。为边8c的中点,
所以S“Bc=2S.AOB=2fo/HoasinNAOB=20m,
即3sinZAOB=2(\/3,
又况•砺=|O/|-p8|-cosZ/4O8=20,
则tanNN。8=百,
答案第9页,共15页
TT
即=
又=5
则■||。8|=20,
即Q却=8,忸C|=2|O同=16;
(2)由(1)得2408=m,\OC\=\OB\=8,
2兀
贝Lc=?,
在AAOC中,由余弦定理可知|NC「=|。4『+|OC|2-2\OA\-\OC\-cosNAOC,
1
gp|^C|9=25+64+2x5x8x-=129,
则|NC|=@,
又由正弦定理可知」例
sinZCsinZ.AOC
VV3
\0A\-sinZAOC_3,工5回
则sin/C=
\AC\—V129-86
16.(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)利用导数的正负判断函数单调性,求出/'(x)=-a]nx+l-a=0的根,当。>0时,
/'(x)单调减;当.<0时,/'(X)单调增;分别求出了'(">0与/'(无)<0的解即可;
(2)构造函数9(x)=〃x)-〃e-x),XG(0,1),利用导数研究9(x)单调性进一步得到
xe(0,l),^9(x)>0,故。(西)=/(西)一/仁一玉)>。,由/(再)=/@2)得到
/(x2)>/(e-x1),再由/(x)在(1,+00)上单调递减得证.
【详解】(1)/(x)=x(l-aln.r),xe(0,+co),
所以/'(x)--^Inx+1-4Z,
令/'(x)=0,得x—e宁.
\—a\—a
当Q>0时,x£(0,ea)J(x)>0;X£(ea,+00)<0;
答案第10页,共15页
所以/'(可在(0,e不)上单调递增,在(e;+00)上单调递减.
\—a\—a
当。<0时,xe(0,e"),/(尤)<0;xe(e。,+<»)/(尤)>0;
所以/'(x)在(0,eV)上单调递减,在化子,+00)上单调递增.
(2)当°=1时,由(1)知/(无)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,
当尤.0时,/(x)->0,/(l)=l,/(e)=0,x>e,/(x)<0.
不妨设占<起,则
令。(x)=/(x)-/(e-x),xe(0,1),
贝|^(x)=-ln[x(e-x)],
令=x(e-x),xe(0,1),则h'(x)=e-2x>0,
所以〃(x)在(0,1)上单调递增.
因为/!(0)=0,/7(l)=e-l>l,
所以存在Xoe(O,l),使得=
且工€(0,%),〃(》),从@>1,
所以x40,x()),d(x)>O;xe(xo,l),(p\@<0,
所以。(x)在(0,%)上单调递增,在(%,1)上单调递减,
当x.O时,9(x)-0,以1)=/(])-/(e-1)>C,
所以对任意xw(0」),O(x)>0,
所以夕(不)=/(西)一/仁一毛)>0,
因为/'(尤J=/(尤2)>所以/(3)-/(6-不)>0,
所以/伍)>/仁-西),
因为%>l,e-a>1,且/(x)在(1,+8)上单调递减,
所以尤2<6-再,所以XI+X2<e得证.
答案第11页,共15页
17.(1)4=2〃+1,b“=2"j;
1+72n+11
⑵T”—
【分析】(1)设等差数列{。“}的公差为d,等比数列血J的公比为4(4片0),根据等差等
比数列通项公式基本量的计算可得结果.
(2)求出S“=〃(〃+2),代入求出c“,再分组求和,利用裂项求和方法和等比数列的求和
公式可求得结果.
【详解】(1)设等差数列也,}的公差为",等比数列次,}的公比为4(g*0),
a1=3,4=1,Z?2+S?=10,—2b2=a,,
q+3+3+d=10
得3+4d-2q=3+2d,解得片,Q=2,
所以《=2〃+1,4=2”T.
(2)由(1)知,S"="(3+;”+D=〃("+2),
1
因此当〃为奇数时,c„=—^―-=--一二,当”为偶数时,cn=2'-,
所以
=C
T2n\+。2+。3+。4+。5。2〃4+Q
=--------—)+0+2+2+..•+”
335%—1%+1
_11।2(1-4〃)_1+22/11
一_2一+11-4-32.+1.
18.(1)证明见解析
(2)%3=:,理由见解析
【分析】(1)借助面面垂直的性质定理,可得线面垂直,再借助线面垂直的性质定理可得线
线垂直;
(2)假设存在该点,构造出相应的点后结合性质即可得.
【详解】(1)因为四边形N3C。是正方形,所以
因为平面平面/BCD,平面SADPI平面48cZ)=AD,/Cu平面48cZ),
所以/C,平面SB。,
答案第12页,共15页
又S8u平面SB。,所以/C_LS8.
(2)设/Cn5Z)=O,则。为正方形N2CD的中心,
如图,连接SO,交所于点G,连接/G并延长交SC于点
若平面〃平面4EF,平面“CD平面=平面S/CPI平面,所以
OMIIAH.
因为E、尸分别是SB、SD上靠近S的三等分点,
所以EF11BD,所以^——=—,
GO2HM2
又。是NC的中点,所以OM////7,
“2HMAO,SM3
所以---=——=1,所cr以iu——=-.
MCOCMC2
故SC上存在一点M,使平面AffiD〃平面/EV,此时空的值为
MC2
S
AL-------------』
19.(1)不是“山峰函数”,理由见解析
(2)(e,+8)
【分析】(1)由函数解析式,求导,利用导数与函数单调性的关系,结合题意,可得答案;
(2)由函数解析式,求导,根据导数的单调性,建立不等式组,构造函数,利用函数单调
性解不等式,可得答案;
(3)由函数解析式求导,分情况讨论导数与零的大小关系,可得函数的单调性,根据二次
函数,可得答案.
【详解】(1)由g(x)=x2+cosr,求导可得g'(无)=2尤一sinx,xeR;
令0(x)=2x-sinx,则有p'(x)=2-cosr>0,所以p(x)=g'(x)在R上单调递增,
又g'(0)=0,所以当x<0时,g'(x)<0,g(x)在(-8,0)上单调递
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