河北省某中学2024-2025学年高三年级上册第五次综合素养数学试题（含答案解析）

河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期第五次综合素养数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数z满足(4+3i)z=-i,则Z的虚部为()

444.4.

A.-----B.——C.-------1D.——1

25252525

2.在V/BC中，AC=2DC,CB=2BE,CA=a,CB=b,则方豆=()

13-13-13f13-

A.——a+—bB.—a+—bC.——a——bD.—a---b

22222222

3.用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上、下底面边

长分别为1和2,侧棱与底面所成的角为则该四棱台的体积是()

4

A.ZB.逑C.逑D.逆

6632

4.已知等差数列{为}的前〃项和为工，若%+40=24,且。3=6,则§8=()

A.60B.72C.120D.144

5.已知两条不同的直线/,m,两个不同的平面a,许则下列条件能推出a//月的是()

A.lua,mua,且/〃4，mlI/3

B.lua,mu(3,且/〃加

C.ILa,m±/?,且/〃加

D.Illa,mlI[3,且/〃加

「XI-Y*_1

，若+-〃5),则实数a的取值范围是()

(X—1

A.{-1}B.(-<»,-1]

C.[-l,+℃)D.

7.当x=l时，函数/(x)=alnx+2取得最大值一2,则八2)=()

X

,11

A.—1B.—C.-D.1

22

8.已知正方体/BCD-42cA，。为下底面NBCA的中心，P为棱。。的中点，则下列说法

试卷第1页，共4页

错误的是()

A.直线用。与直线48所成角为60。B.直线BC与直线。尸所成角为90°

C.直线3(，平面p/cD.直线及c与底面ABC。所成角为45。

二、多选题

9.已知〃2,〃是两条不重合的直线，生〃是两个不重合的平面，则下列说法正确的是()

A.若1亩/a,m工0,则aJ_/B,若mua,nu〃。,〃〃a,贝jja〃/?

C.若a_L£,加〃ar,“〃/，则机_L〃D.若muajn〃/3,aC0=”,则〃

10.已知定义在R上的函数/'(x),g(x),其导函数分别为/'(x),g'(x),

/(l-x)=6-g,(l-x),/(l-x)-g,(l+x)=6,且g(x+2)为奇函数，则()

A.g（x）的图象关于x=l对称

B.g1x+6）=g1x）

C./，（6）=/,（2）

D./（2021）+/（2023）=12

11.已知V48c中，ABVBC,AB=BC=2,E,尸分别在线段A4,CA±,且砺=20，

CF=2C4(彳e(0,1)).现将AAEF沿EF折起,使二面角A-EF-C的大小为«(«e(0,%)).以

下命题正确的是()

A,若％=［，a=j则点尸到平面NBC的距离为"

232

B.存在4使得四棱锥4-5C尸E有外接球

C.若2=9,则棱锥尸-/E8体积的最大值为普

381

JT2

D.若a=g,三棱锥斯的外接球的半径取得最小值时，2=4

23

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高

超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证.一名身高1.7m的同学假期到河北省正定县旅游，

他在A处仰望须弥塔尖，仰角为45。，他沿直线(假设他的行走路线和塔底在同一条直线上)

向塔行走了17nl后仰望须弥塔尖，仰角为60。，据此估计该须弥塔的高度约为

m.(参考数据：V2»1.414,73»1.732,结果保留整数)

13.如图，圆。与x轴的正半轴的交点为A,点C,8在圆。上，且点C位于第一象限，点

8的坐标为Z.AOC=a|^C|=1,则。。052q-5出00)$0-立^的值

\72222

为.

14.曲线y=|lnx|在/(再,%)，5(工2，%)两点处的切线分别为4,4，且4，贝1再％=:

若4，4交点的横坐标为W，则西退+/工3=

四、解答题

15.已知V/3C的面积为20行，。为边3c的中点，OA=5,OAOB^2Q.

(1)求BC的长；

(2)求角C的正弦值.

16.已知函数/(x)=x(l-alnr)(a70).

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a=l时，设匹,工2为两个不相等的正数，且满足/(占)=/(乙)，证明：xl+x2<e.

17.已知等差数列｛%｝前"项和为S“(〃eN+),数列已"｝是等比数列,%=3,1=1,

试卷第3页，共4页

b2+S2=10,a5-2b2—%.

(1)求数列｛凡｝和也｝的通项公式；

A〃为奇数

⑵若g=,设数列｛C,J的前"项和为北，求应.

4，”为偶数

18.如图，在四棱锥S-48cD中，平面S3。_L平面48CD,底面是正方形，且E、

厂分别是S3、SD上靠近S的三等分点.

(1)求证：AC1SB；

⑵在SC上是否存在一点M,使平面〃平面/EF?若存在，求出丝的值；若不存在,

请说明理由.

19.设/=/(x)是定义域为。且图象连续不断的函数，若存在区间［。/仁。和x°e(a,b),

使得＞=/(x)在［a,%)上单调递增，在(％,6］上单调递减，则称y=/(x)为“山峰函数”，/为

“峰点”，［d可称为V=/(x)的一个“峰值区间”.

⑴判断g(x)=x2+cosr是否是“山峰函数”？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说

明理由；

⑵己知机＞1,4(力=(加+2)》-/-4是山峰函数，且［0,1］是它的一个峰值区间，求机的取

值范围；

(3)设〃eR,函数/(无)=［x'-2nx2+(4«-4MliK-$3+”/-g”-4｝.设函数了=/(尤)是

山峰函数，［s刁是它的一个峰值区间，并记"s的最大值为d(〃).若/(曾＜(),且

⑴，/［卜/⑴，求d(〃)的最小值.(参考数据：ln|=0.4)

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案AABBCABCADACD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.

所T_T1=34

【详解】因为(4+3i)z=-i,所"~4+3i（4+3i）（4-3i）2525

,-4

所以z的虚部为-石.

故选：A.

2.A

—»3—►—►1―►

【分析】先结合图形表示出=。=5以；再根据向量的减法运算即可解答.

【详解】

因为就=25e,Q=2砺,B=O,Q=6一,

—►3—.—►1—►

所以。£=—CB,CD=-CA.

22

——►—►——►3―►1—>3—1一

所以。£=CE—CQ=—C8——CA=-b——a.

2222

故选：A

3.B

【分析】根据正四棱台性质可求得该棱台的高，代入棱台的体积公式即可求得结果.

【详解】如下图所示：。,a分别为上下底面的中心，作GE，4。于点£，

答案第1页，共15页

7T

根据题意可知4耳=1，/2=2,侧棱与底面所成的角即为NGCE,可知=

因此可得GE=CE,

易知NC=2后，4C=拒，由正四棱台性质可得CE=g(/C-4G)=F；

所以该正四棱台的高为C\E=CE=*,

因此该四棱台的体积是厂=4俨+2?+-2、龙:亚.

3\/26

故选：B

4.B

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前〃项和公式计算即得.

【详解】在等差数列｛凡｝中，2&=g+4。=24,解得&=12,

所以工=8(。；。8)=4(%+&)=4*(6+12)=72.

故选：B

5.C

【分析】利用线面垂直的性质推理判断C；举例说明判断ABD.

【详解】对于A,若/uc,mua,且/〃。，mll13,此时c,4可能相交，如下图所示:

当erf?/=〃，/,加都与〃平行时，见£相交，A错误;

对于B,若/ua,mu。，且/〃加，此时a,月可能相交，如下图所示:

答案第2页，共15页

a

当&n/=〃，/,加都与月平行时，氏〃相交，B错误；

对于C,由/J_a,Him,得机_Le,而加_L〃，所以a//尸，C正确;

若"/a,，”//£,且〃/加，此时生力可能相交，如下图所示：

当2口£=",mua,lu。,/,加都与〃平行时，a,£相交，D错误.

故选：C.

6.A

【分析】原不等式变形为/[5(/+l)]v/(-10a),再利用分段函数的单调性即可得到不等

式，解出即可.

【详解】当x<l时，/(x)=e，+x-4,因为y=e"=x-4在(-8,1)上单调递增，此时/'(x)

单调递增，

当尤21时，易知/(x)=lnx单调递增，且当x=l时，e1+l-4=e-3<0=lnl,

则/(x)在R上单调递增，

因为1+121,则/(/+1)+〃5)=111(片+1)+山5=1115(/+,=小片+)],

所以由/(/+1)"(-10。)-〃5)得/[5(/+3”(一10°),

所以5(/+l)4-10a,解得a=-l.

故选：A.

7.B

【分析】根据题意可知/⑴=-2,/(1)=0即可解得应6,再根据/'(x)即可解出.

【详解】因为函数“X)定义域为(0,+8),所以依题可知，/(1)=-2,/(1)=0,而

答案第3页，共15页

/(x)="3,所以6=-2，。-6=0，即。=-2,6=-2,所以((》)=二+力，因此函数f(x)

XJCXX

在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，x=l时取最大值，满足题意，即有/'⑵=-l+g=-g.

故选：B.

8.C

【分析】在正方体中，利用空间线、面的平行或垂直的判定与性质，结合正方体中已知的位

置关系逐一对选项判断即可，注意题目要求的是错误的选项.

【详解】

对于选项A：因为4C//4。，直线用c与直线48所成角即为直线4。与直线45所成角,

因为是正三角形，故直线4。与直线48所成角为60。，A正确;

对于选项B：因为。P//2，，又BQBq,2G，面8CC4，

而B.Cu平面BCCXBX,故2cl，4C，而2GcBG=q,D£,BGU平面BCR,

故3(，面3G2,所以直线30，22,故2c与直线。尸所成角为90。，B正确；

对于选项C：同选项A结合正方体的性质可知直线8。与/C不垂直，故C不正确；

对于选项D：由CG1平面ABCD可知直线B、C与底面ABCD所成角为/片C3,3cB=

45°,故D正确.

故选：C.

9.AD

【分析】利用空间线、面平行或垂直的判定与性质，对每个选项逐一判断，正确的加以证明,

不正确的举出反例.

【详解】对于选项A：过"?作平面7交平面a于/,如下图，因为"?||e,所以就〃，而机，尸,

所以而/ua,故选项A正确；

答案第4页，共15页

对于选项B：举反例如下图，设0；|"|尸=/,当机///,〃〃/时，mca,ncP，m//fi,n//a,

符合题目条件，但《〃〃不成立，故选项B不正确;

对于选项C：举反例如上图，aL/3,m//a,n///3,但此时加//”，选项C不正确；

对于选项D：若机ua,加〃£,打□£=”,由线面平行的性质定理可得加〃"，D正确;

故选：AD

10.ACD

【分析】先根据条件分析出g(x)的周期性和对称性，再得到/(x)的周期性，根据函数性质、

简单复合函数求导逐个判断即可得结果.

/(l-x)=6-g,(l-x)

【详解】由题意可得两式相减可得g'(l+x)—@

/(I-x)=6+g'(l+x)

所以g(l+x)=g(l-x)+C,令x=o,可得C=0,

所以g(l+x)=g(l-x),

所以g(x)的图象关于x=l对称，故A正确；

因为g(久+2)为奇函数，所以g(x)关于(2,0)中心对称，

所以g(x)+g(4-x)=0②，②式两边对x求导可得g，(x)=g，(4-x),

结合g'(l+尤)=-g'(l-X),可得：g'(x)=-g'(2-x)

所以g'(4-x)=-g'(2-x),令4-x=t,可得：g'(f)=-g'(-2),

所以g'(t)=g'(t-4)即g'(t)=g'(t+4),故B错，

因为/(x)=6-g'(x),可知〃尤)也是周期为4的周期函数，

BP/(x+4)=/(%),两边求导可得＜'(x+4)=r(x),所以/'(6)=广(2),故C正确;

〃x)是周期为4的周期函数，所以〃2021)+〃2023)=〃1)+/(3),

因为g'(l+x)=-g'(l-x),令x=0,则g«)=-g'(l),即g”)=0,

答案第5页，共15页

又g'«)=-g'("2),所以g，(-l)=H(l)=O,又因为g'(尤)是周期为4的周期函数,

/⑴=6-g<1)=6

则g'(3)=g'(-1)=0,由〃x)=6_g，(x)可得；:二;,

⑶=6-g(3)=6

所以/⑴+"3)=12,所以/(2021)+/(2023)=12,D正确.

故选：ACD

11.ACD

【分析】对于A,由线面平行将点尸到平面/BC的距离转化成点E到平面N3C的距离即可

求解，对于B,通过四边形BCEE没有外接圆即可判断，对于C,确定尸的长度，结

合体积公式及基本不等式即可判断，对于D,补全长方体即可判断.

【详解】前=4强，CF=2C3(2e(0,l)),易知EF||BC，所平面A8C,BCu平面N8C,

易知EF〃面A8C

故点F到平面ABC的距离为即为点E到平面ABC的距离，

因为N8L8C,所以4BLEF,所以EF_LBE,EF_LAE,

所以N8E4为二面角/-跖-C的平面角，

又AE,BE为平面/3E内两条相交直线，

所以所_1_平面ABE,

所以3C_L平面/BE,又3c在平面A8C内，

所以平面ABC1平面ABE,

所以E到平面48C的距离即为£到/8,

IJT冗

A选项：A=-,a=-,^\BE=AE=l,ZBEA=-,三角形/BE等边三角形，

233

可得：£到的距离为lxsin60°=W,故A正确；

2

B选项：由于直角梯形EFC5不可能共圆，所以四棱锥/-3CFE无外接球，所以B错误；

C选项：由题意可知BE=22,AE=2-2A,跖=2-22,sinZAEB=a

VF_AEB=-SNABE义EF=—AExBExsinZAEBxEF,

sinZ.AEB,

44+2—24+2—2464

由基本不等式可知：44(2-24)(2-22)W

27

答案第6页，共15页

当且仅当42=2-22=2-22,即几=；时取得最大值，

所以VF-AEB=-x2A（2-22）（2-2A）sinNAEB<—sinZAEB,

681

所以当％=sin4E3=a=］时，体积取到最大值：，故正确；

D选项：由题意可知3£=2彳，^£=2-22,EF=2-2A,

7T

a=—,也即川，助,£4两两垂直，

2

可以依次构造长方体，长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为小

贝!1（2/产=4力+2（2—2；1）2二口力一164+8,AG（0,1）,

所以％4时，2r取得最小值马反，此时*n="，所以D正确.

333

故选：ACD

12.42

【分析】作出图形，求出角度，利用正弦定理结合15°的正弦值，求出答案.

【详解】如图，4耳=17,因为/C41A=45°,NCBQ=60°,所以/4。4=15°,

C

所以£黑蟹产=嚼警

其中sinl50=sin(60°-45°)=sin60cos450-cos600sin450=-x---t——=----

v722224

答案第7页，共15页

17旦

17sin45°_2_34634A/IX（而+逝）

故3=

sinl5\[6—V2V6—V2—也+应）

4

p17（3+On厂uuzcc17x4.732，八。

又CD,=CB.sin600=―--------，且百名1.732,所以CR=--------------40.2,

1122

又该同学身高1.7m,所以塔高约为40.2+1.7=41.9m。42m.

故答案为：42.

【分析】由倍角公式和辅助角公式可得6cos24-sin3cos3-YLsin（Ja],由题意

222213）

JT

/AOB=--a,再由三角函数的定义即可求sin//。瓦

3

【详解】•••8[^,-3：，|03=1,；.圆0的半径为1.

又庐c|=l,.1ABOC为等边三角形.

TT

.e.Z-AOB=---cc,且a为锐角.

3

a/-1+cosa

二.43cos2--sin—cosAJBX----------sina-——

22222

coscr--sin^=sin[--J

=sinZ4OB.

22<3）

3

由三角函数的定义可得，smZAOB=~.

3

故答案为：

【点睛】本题考查三角函数的定义，倍角公式和辅助角公式，公式的熟练运用是解决问题的

关键.

14.12

【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义、互相垂直的两直线

的斜率的关系分类讨论进行求解即可.

—,x>1

Inx,x>1

【详解】由＞=加司==><=〈X

-Inx,0<x<1

—,0<x<1

IX

答案第8页，共15页

不妨设尤i＜苫2,切线4,/?的斜率分别为左，h,

当三时，则有匕=?2?此时g=5＞0

显然左左2工-1，

因此4^/2不成立，不符合题意;

一

当0＜西＜々＜1时，则有勺二一~L，左2一"此时《他二」＞。,

玉x{x2

显然左/2W-1，因此不成立，不符合题意;

＜

当0＜玉＜14％2时，则有左二一■",后2—，此时左/2=----~0，

X1

由4_L4可得桃2=T=玉%2=1，

此时切线4,，2的切线方程分别为：y+ln%=-J(x-玉)，y-lnx2=^(x-x2),

y+In/=-----(x—%)

.王22

两个方程联立，得nx=--------=>x3

再+x23+x2

y-]nx2=-(x-x2)

2

因止匕再9+X2X3=工3(再+12)=,(国+工2)=2,

xl+x2

故答案为：1；2

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数运算性质化简函数的解析式，利用两直线垂直

的斜率之间的关系进行求解.

15.(1)16

〃、5月

(86

【分析】(1)根据三角形面积及向量数量积可知tanN/O8,进而可得|。/与忸C|；

(2)在△NOC中，用余弦定理可知再由正弦定理可知角。的正弦值.

【详解】(1)由己知。为边8c的中点，

所以S“Bc=2S.AOB=2fo/HoasinNAOB=20m,

即3sinZAOB=2(\/3,

又况•砺=|O/|-p8|-cosZ/4O8=20,

则tanNN。8=百，

答案第9页，共15页

TT

即=

又=5

则■||。8|=20,

即Q却=8,忸C|=2|O同=16；

(2)由(1)得2408=m,\OC\=\OB\=8,

2兀

贝Lc=?,

在AAOC中，由余弦定理可知|NC「=|。4『+|OC|2-2\OA\-\OC\-cosNAOC,

1

gp|^C|9=25+64+2x5x8x-=129,

则|NC|=@,

又由正弦定理可知」例

sinZCsinZ.AOC

VV3

\0A\-sinZAOC_3,工5回

则sin/C=

\AC\—V129-86

16.(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用导数的正负判断函数单调性，求出/'(x)=-a]nx+l-a=0的根，当。>0时,

/'(x)单调减；当.<0时，/'(X)单调增；分别求出了'(">0与/'(无)<0的解即可;

(2)构造函数9(x)=〃x)-〃e-x),XG(0,1),利用导数研究9(x)单调性进一步得到

xe(0,l),^9(x)>0,故。(西)=/(西)一/仁一玉)>。,由/(再)=/@2)得到

/(x2)>/(e-x1),再由/(x)在(1,+00)上单调递减得证.

【详解】(1)/(x)=x(l-aln.r),xe(0,+co),

所以/'(x)--^Inx+1-4Z,

令/'(x)=0,得x—e宁.

\—a\—a

当Q>0时，x£(0,ea)J(x)>0；X£(ea,+00)<0；

答案第10页，共15页

所以/'(可在(0,e不)上单调递增，在(e；+00)上单调递减.

\—a\—a

当。<0时，xe(0,e"),/(尤)<0；xe(e。，+<»)/(尤)>0；

所以/'(x)在(0,eV)上单调递减，在化子,+00)上单调递增.

(2)当°=1时，由(1)知/(无)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

当尤.0时，/(x)->0,/(l)=l,/(e)=0,x>e,/(x)<0.

不妨设占<起，则

令。(x)=/(x)-/(e-x),xe(0,1),

贝|^(x)=-ln[x(e-x)],

令=x(e-x),xe(0,1),则h'(x)=e-2x>0,

所以〃(x)在(0,1)上单调递增.

因为/!(0)=0,/7(l)=e-l>l,

所以存在Xoe(O,l),使得=

且工€(0,%),〃(》),从@>1,

所以x40,x())，d(x)>O;xe(xo,l),(p\@<0,

所以。(x)在(0,%)上单调递增，在(%,1)上单调递减，

当x.O时，9(x)-0,以1)=/(])-/(e-1)>C,

所以对任意xw(0」)，O(x)>0,

所以夕(不)=/(西)一/仁一毛)>0,

因为/'(尤J=/(尤2)>所以/(3)-/(6-不)>0,

所以/伍)>/仁-西),

因为%>l,e-a>1,且/(x)在(1,+8)上单调递减,

所以尤2<6-再，所以XI+X2<e得证.

答案第11页，共15页

17.(1)4=2〃+1,b“=2"j；

1+72n+11

⑵T”—

【分析】(1)设等差数列｛。“｝的公差为d,等比数列血J的公比为4(4片0),根据等差等

比数列通项公式基本量的计算可得结果.

(2)求出S“=〃(〃+2),代入求出c“，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和

公式可求得结果.

【详解】(1)设等差数列也,｝的公差为"，等比数列次,｝的公比为4(g*0),

a1=3,4=1,Z?2+S?=10,—2b2=a,，

q+3+3+d=10

得3+4d-2q=3+2d，解得片，Q=2,

所以《=2〃+1,4=2”T.

(2)由(1)知，S"="(3+；”+D=〃("+2),

1

因此当〃为奇数时，c„=—^―-=--一二，当”为偶数时，cn=2'-,

所以

=C

T2n\+。2+。3+。4+。5。2〃4+Q

=--------—)+0+2+2+..•+”

335%—1%+1

_11।2(1-4〃)_1+22/11

一_2一+11-4-32.+1.

18.(1)证明见解析

(2)%3=:，理由见解析

【分析】(1)借助面面垂直的性质定理，可得线面垂直，再借助线面垂直的性质定理可得线

线垂直；

(2)假设存在该点，构造出相应的点后结合性质即可得.

【详解】(1)因为四边形N3C。是正方形，所以

因为平面平面/BCD,平面SADPI平面48cZ)=AD,/Cu平面48cZ),

所以/C,平面SB。，

答案第12页，共15页

又S8u平面SB。，所以/C_LS8.

(2)设/Cn5Z)=O,则。为正方形N2CD的中心，

如图，连接SO,交所于点G,连接/G并延长交SC于点

若平面〃平面4EF,平面“CD平面=平面S/CPI平面,所以

OMIIAH.

因为E、尸分别是SB、SD上靠近S的三等分点，

所以EF11BD,所以^——=—,

GO2HM2

又。是NC的中点，所以OM////7,

“2HMAO,SM3

所以---=——=1，所cr以iu——=-.

MCOCMC2

故SC上存在一点M,使平面AffiD〃平面/EV,此时空的值为

MC2

S

AL-------------』

19.(1)不是“山峰函数”，理由见解析

(2)(e,+8)

【分析】(1)由函数解析式，求导，利用导数与函数单调性的关系，结合题意，可得答案;

(2)由函数解析式，求导，根据导数的单调性，建立不等式组，构造函数，利用函数单调

性解不等式，可得答案；

(3)由函数解析式求导，分情况讨论导数与零的大小关系，可得函数的单调性，根据二次

函数，可得答案.

【详解】(1)由g(x)=x2+cosr,求导可得g'(无)=2尤一sinx,xeR；

令0(x)=2x-sinx,则有p'(x)=2-cosr>0,所以p(x)=g'(x)在R上单调递增，

又g'(0)=0,所以当x<0时,g'(x)<0,g(x)在(-8,0)上单调递