河南省南阳市2024-2025学年高二年级上册1月期末考试 数学试卷

2024年秋期高中二年级期终质量评估

数学试题

注意事项：

1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.

2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔

书写，字体工整，笔迹清楚.

4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.）

1.直线的倾斜角为（）

A.45°B.135°C.90cD.不存在

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知直线方程确定倾斜角即可.

【详解】因为直线x=l与x轴垂直，所以倾斜角为90c.

故选：C

（北师大选择性必修一第140页A组第3题）

2.若/一a,且7=[2,沉,1]为直线/的一个方向向量，n=|1,-4.'为平面a的一个法向量，则相的值

为（）

A.-4B.-6C.-8D.8

【答案】C

【解析】

【分析】由题意〉G,利用空间向量共线的坐标表示求参数值.

2_m_1

【详解】由题意知7G,即1=二=7,解得附=-8.

故选：c

第1页/共19页

3.已知圆心:|*+1「+(.|，+1「=2，圆。2：丁+.『-4'-4'=()，则两圆的公切线条数为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】确定两圆的位置关系后可得公切线条数.

【详解】圆G标准方程为(x-2/+(.i，-2)'=8,

则已知两圆圆心分别为C,(-1,-1),0(2,2),半径分别为V2,20,

圆心距为储仁I=J(2+lf+(2+T=3应=应+2应，

因此两圆外切，它们有三条公切线，

故选：B.

4.已知事件A,B互斥，P(月U8)=：,且P(，)=2Pl8),则尸(与)=()

7451s

A.77B.-C.-rD.—

991818

【答案】A

【解析】

2

【分析】由互斥事件的加法及已知可得?(8)=再由对立事件概率求法求产(月).

242

【详解】因为P(4U8)=P(/)+P(B)=T且P(/)w2P(8),所以P(4)=§,P(a)=§,

一27

所以P(5)=1-P(8)=1-5=3.

故选：A

5.一批电阻的阻值X(单位：Q)服从正态分布N(1000,5：］,根据行业标准，概率低于0.003视为小概

率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011。和982Q,则下列结论正确

的是()

A,甲、乙两箱电阻均可出厂B.甲、乙两箱电阻均不可出厂

C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂

【答案】C

【解析】

【分析】根据定义结合正态分布的概率得出结论.

第2页/共19页

【详解】依题意x~N（1000,5）,所以胃=1000"=5,

所以4-3。=1000-IS=985,p+3。=1000+15=1015,[/!-3。/+3。]=[985,1015],

H^;101le[985,1015],982g[985,1015|,

所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂.

故选：C.

6.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、8。分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知

48=；■!（'=3,8D二-.CD=6,则该二面角的余弦值为（）

【答案】D

【解析】

【分析】由1万二C'.1.1。-BD,应用向量数量积的运算律及已知可得充•而=-g,即可求二面角余弦

值.

【详解】由而=”+行+环，且1C1IO,

得而：=（有+茄+茄尸=百，而'+而，+2百布+2布•而+2行・丽，

故36=9+4+16+0+0+2CA-BDnCA-BD=—,即AC-BD=——,

--77

所以3M=倩谶_2__2_＞即二面角的余弦值为一百

3x4=2424

故选：D

7.用1,2,3,4,5,6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1,3相邻的条件下，数字2,4也相

邻的概率为（）

【答案】B

第3页/共19页

【解析】

【分析】应用排列数及条件概率公式求条件概率即可.

【详解】记“数字1,3相邻”为事件A,“数字2,4也相邻”为事件8,

贝1」/力）=牛1,p（48）=然岂，所以2团/）=与警=；

A®A®A2A§5

故选：B

r*v*

8.已知片,后分别是双曲线一T-二=1＜。＞0,6＞0）的左、右焦点，点。为坐标原点，过「的直线分别交

«■b

双曲线左、右两支于A,8两点，点C在x轴上，希=3曰.86平分4到渐近线的距离为卡，

则双曲线的方程为（）

，，，，，，，

.广厂1X*厂，X*厂，，.

A.-----IB.--=1C.-----=1D.x*—--1

7656366

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知有记/亮~A£BC,|K目=2c,|C&=4c,设闷|=f,则|叫|=3448|=2/,结合

角平分线的性质、双曲线的定义得到的尼=|.4?；|=|JBI=4a,在中应用余弦定理得到双曲线参数

的关系，即可得方程.

【详解】如图fG=3F.J,易知~A"8C,出入|=2c,|C6|=4c,

\BC\|F,Cl

由",平分"酢=局=阖=2则|BC|=2\BF]\=6rJ4FJ=1|5C|=2/,

由双曲线定义知|/玛=f=2。,|M|-|8£j=2a,

所以|"J=»FJ=|/M=4a,gpZilF,•6。。，

第4页/共19页

忻8『+优废-|6曰［(6疗+(4力-(24_1

在中cos/F/E化简得c=々a,

2阳B|F026a4a~2

由।得，半，居到渐近线的距离为#,则上―亚

所以。=6,4=1,故双曲线的方程为：V-I.

6

故选：D

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.）

9.关于的展开式，下列说法中正确的是（)

A.各项系数之和为1B.第二项与第四项的二项式系数相等

C.常数项为15D.有理项共有4项

【答案】CD

【解析】

【分析】赋值法求二项式中各项系数之和判断A；由二项式系数定义求对应项的二项式系数判断B；应用二

项式展开式通项求常数项、有理项判断C、D.

【详解】对于A,令、=1时，则展开式中各项系数之和为0,错误;

6x5x4

对于B,第二项二项式系数C=6,第四项的二项式系数C：=丁三一=20,第二项与第四项的二项式系

3x2x1

数不相等，错误；

—X展开式的通项为C：（七）(-X)'=(-l)'C；x"2,(r=0,1,….6),

对于C,

令-3+，•=（）,得-2,展开式中的常数项为正确;

对于D,当r=Q.2,L6时，-3+：eZ,所以展开式的有理项共有4项，正确.

故选：CD

23

10.某同学投篮两次，第一次命中率为三.若第一次命中，则第二次命中率为:；若第一次未命中，则第

34

二次命中率为g.记=L2j为第z•次命中，x为命中次数，贝IJ（）

第5页/共19页

2443

A.FlI>B,E(X)=；C.D(X)=-D.P(4J4)=T

3394

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式可判定A、D选项，利用期望与方差公式可判定B、C选项.

【详解】对于A,易知P(%)=P(4)P(4|4+P4P卜,二十天彳=；，故A正确;

'1''34323

23

P(AiAy)?”43

对于D,易知P(4I4)=D'=-5=7,故D正确；

3

对于B、C,易知X可取。，则P(X=0]=?x：=!，尸(X=|)=§x；+!x!=!，

32634323

P\X=21="x-=—,所以E(Z¥)=OX，+1X!+2XL=±

3426323

xlfp-ijx-L=5故B正确；C错误；

\*/ov3J3\3)L7

故选：ABD

11.如图，在棱长为4的正方体，48CD-中，o为3c和8。的交点，点N在线段上，

VC=2VD,E,尸分别为棱4〃和8「的中点，则下列选项正确的是（）

A.若点P是线段X，上一动点，则直线P8平面8C*

B.若点。是平面』；DD内一点，且满足-鹿）8=/D0V,则点。的轨迹是抛物线

C.若点M为平面〔8D内一点，且满足0"-BD,则0M的最小值为呼

3

D.过线段8。且垂直于平面4石下的截面图形为等腰梯形

【答案】ACD

【解析】

第6页/共19页

【分析】根据正方体的性质易证平面，’8。平面BC*即可判断A；由题意易得\,结合

己知有构建坐标系求点。的轨迹判断B；AC与3。的交点为G,连接CG,先得到点M的轨

迹为线段C.G,并确定0M的最小值即。到直线C6的距离，应用等面积法求结果判断C；取I8.；。的

中点分别是X、T,根据已知证得0〃，平面4所，进而得面8D77/1面4E尸，进而确定截面形状判

断D.

【详解】对于A,由正方体性质知BDH与。，8。a面/〃，BRu面,

所以80面,叫〃，又/同理可证8（面.世〃

又8DC8c=8且都在面9C*内，则平面•8/，平面,

又直线咫（=平面■18”，所以直线尸8平面BCH,正确；

对于B,由。N,面/凹4，u面4DR4,则DN1,即d'D0=9（1，,

又乙408=ND”，易知qD\'-@48,由于YC=2N。，则空=：，

\）A3

在面打出出构建如下图示的平面直角坐标系,且DW,若0（t.n,

第7页/共19页

半径为m的圆，错误;

对于C,AC与2。的交点为G,连接C.G,

因为8。,面44cG，8Cu面8C*,所以面63。1面《力。q,交线为C|G，

所以点/的轨迹为线段CG,则的最小值即。到直线CG的距离，

当Y。时，因为一是宜角三角形，所以"G•(",=「(，-(〃/,

则""线彩=寥=给即的最小值为孚正确;

对于D,取』B.1!!的中点分别是反、T,由。」一面』PB",则.4〃是0〃在面」38上上的射影,

由£是88的中点，则微=小，又44=/同，4B4="44=90。,

所以易得N4/£4,+/£44=90。，则£W_L4E，

同理。〃_L4£,J,£c4尸=4都在面从上厂内，所以/)〃一平面从上下，

而HT//80,则0〃u面8077/，故面面4所，

所以四边形BOTH即所求截面，而DT=B"，故四边形BOTH为等腰梯形，正确.

第8页/共19页

【点睛】关键点点睛：根据各项给定条件证明相关线面、面面平行或垂直，综合几何法、解析法确定动点

的轨迹为关键.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.一个底面半径为2圆柱被与其底面所成角是60c的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率为

【答案】,

【解析】

【分析】根据题设可得椭圆的长半轴为。=4,结合椭圆参数关系求。=2力，即可得离心率.

【详解】因为底面半径为R的圆柱被与底面成60c的平面所截，其截口是一个椭圆,

R

则这个椭圆的短半轴为R2,长半轴为4=-=7=4,且/>=2，

cos600

a2=b2+c2c--2'=2>/3,

.椭圆的离心率为e="=；

a42

故答案为：f

13.唐代诗人李顾诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣

的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，

第9页/共19页

怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为「+JT।,若将军从点出2,处出

发，河岸线所在直线方程为x+=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，贝ij“将军饮马”的最

短总路程为.

【答案】上叵-1

5

【解析】

【分析】求出点川2.0|关于直线x+2r=3的对称点的坐标，再求出8到圆上的点的距离最小值.

【详解】设点川2,0）关于直线I+=3的对称点8M饵，

：a~2b

AB的中点为|

\*•L

依题意即为点B到军营最短的距离,

所以“将军饮马，，的最短总路程为

4M

故答案为:

~~5~

14.甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号I」.3.4,5,6.'的卡片各1张，两人轮流从中不放回的

随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽

卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.

29

【答案】通

【解析】

第10页/共19页

【分析】依题意可知游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张卡片数字之和为12,乙抽取的两张卡片

数字之和不为12,分别计算出所对应的排列总数即可得出结论.

【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张，

且甲抽取的三张卡片数字之和为12,乙抽取的两张卡片数字之和不为12；

总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共6种排法；

其中三张卡片数字之和为12的组合有1.4.7；1、5,6；2,3,7；2,4,6；3,4.5共5种情况;

当甲抽取的数字为L4J；2,6；2,3,7；3,4,5时,

乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有4A；A：种;

当甲抽取的数字为2,L6时,

若乙抽取的两张卡片数字可能为5,7,此时不合题意，此时共有A；-A」种;

所以符合题意的排列总数为4A:A；+A：（A；-A：）种,

4A；A：+A；（A：-A；）4x6x12+6x10

58_29

可得所求概率为P=

A：7x6x5x4x37x5x4x3-110

故答案为：—

210

【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及数字之和的所有情

况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.直线/经过两直线（：x+2y-6=0和:2t—3.y+2=0的交点.

（1）若直线/与直线+丫-2=°垂直，求直线/的方程；

（2）若直线/与圆（X+1）2+J；=9相切，求直线/的方程.

【答案】（1"-35+4=Q；

⑵x=2或-34=0.

【解析】

【分析】（1）求已知直线的交点，根据直线的垂直关系求直线方程即可；

（2）讨论直线/的斜率存在性，结合直线与圆相切的性质列方程求参数，即可得直线方程.

【小问1详解】

第11页/共19页

x+2v-6=0：X=2

由',、c，得＜,,，所以交点坐标为（22；

2x-3r+2=O,V=2

又直线/与直线3x+v-2=0垂直，设直线/的方程为一”一（.=（）,

将（2」I代入得C=4,所以直线I的方程为1-3.丫+4=Q.

【小问2详解】

当直线I的斜率不存在时，直线/的方程为X=2,

此时圆心I1，°）到直线/的距离为3,等于圆的半径，故直线/与圆相切，满足题意；

当直线/斜率存在时，设直线/的方程为「-2=Hi-,即上「-2；-2=Q,

,*2"2||3〃-2|,5

因为直线/与圆相切，所以圆心（-1.（））到直线/的距离"=J（_1/+,=*+/=3'解得女=一立，

此时直线/的方程为51・IN=0,

综上所述，直线/的方程为'=2或5.-I?-34=I）.

（北师大选择性必修一第129页第4题）

16.己知：如图，三角形ABC为正三角形，AE和CZ）都垂直于平面ABC,且」E=」8=2CD=2,F为

8E的中点.

B

（1）求点8到平面AOF的距离；

（2）求平面与平面A8C所成锐二面角的正弦值.

【答案】（1）、万；

⑵孝

【解析】

【分析】（1）在平面ACQE内，过点。向EA做垂线，垂足记为G,根据已知证明8E一平面AOF,则点B

到平面ADF的距离为线段3尸的长，即可求距离.

第12页/共19页

(2)构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的正弦值.

【小问1详解】

在平面ACDE内，过点D向EA做垂线，垂足记为G,又4E=2C0,

B

EG=,1E-CD=2-1=1.0G=JC=2,

在直角△DEG中，口E：在G--ni==JT,

在直角△8C。中，BD=4CD、BC，=71+4=yf5，

DEBD,又尸为BE的中点，

DF1BE,又AE=4B,则IFlBE,

JFHDF=FF.DFc平面ADF,

.BE1平面ADR即点B到平面A。尸的距离为线段的长，

因为BE=，AE工+//=h+22=2&*，所以BF=；BE=五.

小问2详解】

如图，取AC的中点O,连接80,则

以。为坐标原点，AO,2。分别为尤，y轴，过。作平行于AE的直线为z轴，建立空间直角坐标系,

则4(1,0叫,8(0,6,0b门-1,0,0),。卜1,(11),£(1,0,2),

可得荏=(0,0,2),而=(1,-＞笈,2),方=(2,0,1),易知7F是平面ABC的一个法向量，

BEm=0jx->/3j+2z=0

设平面BDE的一个法向量为m=(X,v,z),则

DEm|2x+z=0

令工=】，贝U卜=二=-2,所以=(1,-6,-2),贝()COS〈/E,M〉=

所以平面BDE与平面ABC所成锐二面角的正弦值为Jl-C0S、.I£

第13页/共19页

D

17.甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环.根据统计资料

可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7,0.2,0.1,乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6,

0.2,0.2,且甲、乙两人射击相互独立.

(1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率；

(2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列

与数学期望.

【答案】(1)0.2

(2)分布列见解析，fI,V)=*1.0

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算得解.

(2)求出X的可能值，由(1)结合二项分布的概率求出分布列及期望.

【小问1详解】

设甲击中的环数多于乙击中的环数为事件A,

则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环,

所以P3I=(1,2*0.6+(1.1＞：(1.6-(1.1-：(1,2=(1.2.

【小问2详解】

依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,

由(1)知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2,则I、8(3.Q.2),

因此P(X=0)=C,x0.2°x(l-0.2)3=0.512,P(X=l)=C；x0.2x(l-0.2-=0.384,

P(X=2)=C；x0.22x(1-0.2)=0.096,尸(X=3)=C；xO.23x(l-0.2)°=0.008,

所以X的分布列为

X0123

第14页/共19页

P0.5120.3840.0960.008

期望£（I）=3x0.2=0.6.

95

18.在平面直角坐标系了。》中，动点P与定点FlSJl的距离和它到定直线/：x=q的距离之比是常数

记P的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）设过点，且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点N（异于点A）,求证：直线MN过定

点.

【答案】（1）----------=1;

916

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据两点距离、点线距离求曲线£的方程；

（2）法一：讨论直线斜率存在性，设直线方程并联立双曲线方程，利用韦达定理及1-IV求出相

关参数，得到直线方程，进而确定直线是否过定点；法二：将〃3视作对称中心，齐次化处理相关方程、

设直线方程，联立方程并结合人小厂自、，=T求方程中所含的参数值，进而确定直线是否过定点；

【小问1详解】

95

设Pm,因为P与定点的距离和它到定直线/：x=q的距离之比是常数

^J（x—5y+y252222

所以一^—=?,化简得/一匚=I,曲线E的方程为'-匚I.

X--916916

【小问2详解】

解法一：设”|莅,凹），可（三」2）,

当直线斜率不存在，直线AM,AN分别为J=「LI=7+3,

分别联立有L-二二，=1,可得》=一二■或x=3（A点横坐标，舍），贝U

9169167

4—或

第15页/共19页

75f75„

此时直线MN的方程为》=-亍，过点［一了,0

当直线MN斜率存在时，设其方程为r=h+m,U*±y

由3-16”,消去y得|16-9卜卜;1弘松-9"-144=0,

y=kx^m

所以A=(-18Am):-4(16-9A;||-9/w:-144)>0,

1QL

m—9w"-144

由根与系数的关系得％+x2=竟黑

16-9*2

因为/M1AN,所以」「3、=,上W=T,即乂%=-(%-3)(马・3)»

X1-JX,-J

即।kx}+m\(tv,+m\=I*3)(.v.-31,

2

即kX}X2+hn($+X?)+=_x、x2+3(x1+x2)-9,

18^i-9/n2-144

将A+A,----TV，*/,=-rr-代入化简得‘m：-54bj-144L=0,

16-91216-9公

,,75

所以卅=-3k或m=亍-

当仇=3仁时，直线MN方程为।=M.r-3）（不合题意，舍），

当"|=±-人时，直线A/N方程为J="'+了|,MN恒过定点1-亍，。

解法二：（齐次化）设不过点A的直线MN的方程为mix-31+"，二I,

第16页/共19页

22

将双曲线E的方程变形为：[。-3)+3]_匕=],gpI6(x_3)+96(V-3)-V=0,

916

将直线MN的方程代入得，16(x-3)2+96(x-3)[w(.v-3)+m]-F2=0,

整理得，(16*96/K)(v-3)24-96/z(v-3)r-v'=0，

变形得-96/j^-^-(16+96/n)=0.

由题意，直线AM、AN的斜率存在，且人川球队=一I,

设M(工J•'I4、*)•=”~~工7,-2,

X,-3x:-3

则是方程9(上-96〃」^-(16+96m)=0的两个根，

，1一(16・96/〃).左“曰7

所以L=----------------二-1,解得m=------，

996

则直线MN的方程为-—(.V-3)•nv=1,整理得：—96八+7二