广东省江门市2017-2018学年高二上学期调研测试（一）理科数学试题

江门市2018年普通高中高二调研测试（一）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.非充分非必要条件D.充要条件【答案】B【解析】求解指数不等式有：，则，据此可得：“”是“”的必要非充分条件本题选择B选项.2.与向量平行的一个向量是（）A.B.C.D.【答案】C........................本题选择C选项.3.在中，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意结合正弦定理有：，不妨设，由余弦定理有：.本题选择C选项.4.若，则的（）A.最大值是9B.最小值是9C.最大值是18D.最小值是18【答案】D【解析】由题意结合对数的运算法则有：，由均值不等式的结论有：，当且仅当时等号成立，据此可得：的最小值是18.本题选择D选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5.设是数列的前项和，若，则（）A.4033B.4034C.4035D.4036【答案】A【解析】由通项公式与前n项和的关系有：.本题选择A选项.6.下列命题中，真命题是（）A.，函数都是奇函数B.，使函数是奇函数C.，函数都是偶函数D.，使函数是偶函数【答案】D【解析】当时，为偶函数，即，使函数是偶函数.若函数是奇函数，则：恒成立，即：恒成立，明显矛盾.综上可得，只有选项D的说法正确.本题选择D选项.7.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，为预测人口数，为初期人口数，为预测期内年增长率，为预测期间隔年数。如果在某一时期有，那么在这期间人口数（）A.呈下降趋势B.呈上升趋势C.摆动变化D.不变【答案】A【解析】若，则，结合类指数函数单调递减，即在这期间人口数呈下降趋势.本题选择A选项.8.若抛物线的准线与椭圆相切，则正常数（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由抛物线的标准方程可得其准线为：，直线与椭圆相切，则椭圆过点，即：，据此可知：正常数2.本题选择B选项.9.若的三边互不相等且边长成等差数列，则它的最小边与最大边比值的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】设三角形的三边长度为：，三角形满足两边之和大于第三边，则：，恒成立，恒成立，最小边与最大边的比值：，，很明显，据此可得：最小边与最大边比值的取值范围是.本题选择B选项.10.若，均有，则常数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得：对于恒成立，则，由一次函数的性质可得，当时，据此可得，常数的取值范围是.本题选择A选项.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.11.若圆锥曲线的焦点在圆上，则常数（）A.4B.6C.4或6D.或【答案】D【解析】若，则圆锥曲线为双曲线，其标准方程为：，则，其焦点坐标为，由题意可得：，利用排除法可知选项ABC错误，本题选择D选项.12.如图，空间四边形的每条边和、的长都等于，点、分别是、的中点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图所示，将正四面体补形为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，正方体的棱长为，则：，，，，结合中点坐标公式有：，，则.本题选择C选项.点睛：1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.命题“奇函数的图像关于原点对称”的否命题是__________．【答案】若一个函数不是奇函数，则它的图像不关于原点对称【解析】要得到一个命题的否命题，需要同时否定条件和结论，据此可得：命题“奇函数的图像关于原点对称”的否命题是：“若一个函数不是奇函数，则它的图像不关于原点对称”.14.若满足约束条件．则的最大值__________．【答案】5【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值.15.以椭圆焦点为双曲线的顶点，以椭圆的顶点为双曲线的焦点，则该双曲线的方程是__________．【答案】【解析】由题中椭圆的标准方程可得双曲线的顶点坐标为，顶点在轴上，则其焦点坐标为，即双曲线的焦点位于轴，且：，则该双曲线的方程是.16.数列满足，，则__________．【答案】1【解析】由数列的递推关系可得：，，，则数列是周期为的周期数列，结合可得：.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是等差数列，，，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若单调递增，且的前项和，求的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）11.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合函数的解析式有，，由等差数列的性质有，据此得到关于实数x的方程，解方程可得或，则数列的通项公式为或；(Ⅱ)结合题意和(Ⅰ)中的结论可得，由等差数列前n项和公式可得，求解不等式可得的最小值为11.试题解析：（Ⅰ）设公差为，因为，得解得或当时，，，，，当时，，，，，（Ⅱ）若单调递增，则，，由不等式解得（且）所以的最小值为1118.的角的对边分别是、、.（Ⅰ）求边上的中线的长；（Ⅱ）求的面积.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)在中，由余弦定理得，且，在中，由余弦定理知可得，则所以；(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中的结论可得，结合面积公式有.试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得由是边上的中点知，在中，由余弦定理知所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，三角形中所以的面积是19.一种设备的单价为元，设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数）.用表示设备使用的年数，记设备年平均费用为，即(设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数.（Ⅰ）求关于的函数关系式；（Ⅱ）当，时，求这种设备的最佳更新年限.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）15年【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可知设备维修和消耗费用构成以为首项，为公差的等差数列，结合等差数列前n项和公式可得(Ⅱ)由题意结合均值不等式的结论有，则，当且仅当时，年平均消耗费用取得最小值，即设备的最佳更新年限是15年.试题解析：（Ⅰ）由题意，设备维修和消耗费用构成以为首项，为公差的等差数列，因此年维修消耗费用为于是（Ⅱ）∵，所以，，当且仅当，即，时，年平均消耗费用取得最小值所以设备的最佳更新年限是15年点睛：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．20.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可证得，，则平面，由线面垂直的性质有，由三角形中位线的性质可得，则(Ⅱ)（方法一）为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，计算可得平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为.（方法二）由等体积法可得点到平面的距离，据此可得与平面所成角的正弦值为.试题解析：（Ⅰ）因为底面，平面，所以又因为正方形中，，所以平面又因为平面，所以因为分别是、的中点，所以所以（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知，，，两两垂直，以为轴，以为轴，以为轴，设，，，，，，，设平面的一个法向量，，解得设直线与平面所成角为，则（方法二）设点到平面的距离为等体积法求出设直线与平面所成角为，21.已知为椭圆的一个焦点，过原点的直线与椭圆交于两点，且，的面积为.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若，过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合椭圆的对称性可知四边形为矩形，由题意得到关于a,b,c的方程组，消元整理可得，则椭圆的离心率(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论可得椭圆的方程为联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和中点坐标公式可得点横坐标为：，结合知点横坐标的取值范围为：试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为，左焦点为，∵，∴由椭圆的对称性可知四边形为矩形，∴得，由消去上式的得，即，椭圆的离心率（Ⅱ）∵的坐标为，由（1）中，∴，，椭圆的方程为设直线的斜率为，直线不与坐标轴垂直，故直线的方程为将方程与椭圆方程联立得：，消得：由韦达定理得：，设线段中点坐标为，则，则垂直平分线的方程为.令，点横坐标为：因为，所以，故点横坐标的取值范围为：点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.设命题；命题关于的不等式对一切均成立.（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围（用集合表示）；（Ⅱ）若命题为真命题，且命题为假命题，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可知对一切均成立，结合一次函数的性质可得实数的取值范围是；(Ⅱ)由题意可得命题一真一假，据此分类讨论可得实数的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）当命题为真命题时，不等式对一切均成立，∴∴实数的取值范围是；（Ⅱ）由命题为真，且为假，得命题一真一假当真假时，则，；当假真时，则，得，∴实数的取值范围是23.设实数满足约束条件.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（Ⅰ）8;（Ⅱ）【解析】试题分析：(Ⅰ)绘制不等式组表示的平面区域，目标