函数不等式恒成立问题-2024年高考数学一轮复习突破卷（新高考）

专题突破卷04函数不等式恒成立问题

题型预览G

判别式法

分离参数法

最值法

函数不等式

恒成立问题数形结合法

变更主元法

分类讨论法

题型突破“

1.判别式法

1.“关于X的不等式--2办+0＞0对VxeR恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A.0<a<1B.0<〃<2C.0<Q<一D.a>0

一2

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的判断即可求得结果.

【详解】由“关于％的不等式％2一2依+。〉0对WxeR恒成立“，可得A=（-2a）2-4。＜0,

解得0＜。＜1,则的一个充分不必要条件是0＜。＜；.

故选：C.

2.已知不等式机x?+4刃x-4＜0对任意实数x恒成立，则加的取值范围是（）

A.1m|-l<m<0jB.1m|-l<m<Oj

C.{加|加4-1或加〉0}D.|m|-l<m<O}

【答案】D

【分析】分加=0和加wO,结合二次函数的图象分析得解.

【详解】①若加=0,则-40恒成立，满足题意；

fm<0

②加w0,则，2八，

[A=16m+116m4<0

\m<0

<m<0

综上所述-1<加00.

故选：D

3.若函数=—的定义域为R,则实数。的取值范围为.

x+ax+a

【答案】（0,4）

【分析】根据题意转化为x2+ax+aw0在xeR恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解.

【详解】由函数=—的定义域为R,即V+ax+awO在xeR恒成立，

x+ax+a

结合一元二次方程的性质，则满足4=/一44<0,解得0<。<4,

所以实数。的取值范围为（0,4）.

故答案为：（。,4）

4.（多选）命题“VxeR,ax?-2办+3>0恒成立”是假命题的一个充分不必要条件是（）

A.a<0B.a<0C.a>3D."0或a>3

【答案】ACD

【分析】先讨论a=0和a#0时求出“VxeR,苏-2办+3>0恒成立”对应的。的范围，再利用充分不必要

条件的性质即可得解.

【详解】当VxwR,af-2办+3>0恒成立时，

当a=0时，3>0恒成立，满足题意，

（a>0

当a*0时，）2。c，解得0<。<3,

[△A=4/一12。<0

综上，“VxeR,4_2办+3>0恒成立”对应的。的范围为[0,3）,

所以命题“VxeR,苏-2嫌+3>0恒成立”是假命题时，对应的。的范围为（-8,0）U[3,+OO）,

故它的一个充分不必要条件是(-叫0)U[3,+⑹的真子集，故ACD正确.

故选：ACD.

5.设加为实数，/(x)=(?；2+l)x2-mx-\

⑴当相=一3时，解不等式/(x)VO；

(2)若不等式/(x)+加>0的解集为0,求实数机的取值范围.

【答案】⑴｛x|x±l或

【分析】(1)直接解一元二次不等式即可；

/、fm+1<0

(2)由题意得+一加X+机-140恒成立，贝1A<0，解不等式组可求出实数加的取值范围.

【详解】(1)当机=一3时，/(X)=-2X2+3X-1<0,

解得x21或xvg

故不等式的解集为｛x|xNl或xW；｝,

(2)由题意可得，(加+1)-一加X+加_140恒成立，

fm+l<0八万

则A2“1V八^，解得加(一包

[A=m-4(zw+l)(m-1)<03

故ZM的取值范围为一巴一行斗

6.若不等式、2—2x+5N〃2—3〃对任意实数X恒成立，则实数〃的取值范围为()

A.[-1,4]B.(-00,-2)o[5,+oo)

C.(一8,-1)U[4,+。)D.[-2,5]

【答案】A

【分析】求出二次函数的最小值，从而可得关于〃的不等式，求出其解后可得其取值范围.

【详解】x2-2x+5=(x-l)2+4>4,当且仅当x=l时等号成立，

故。2一3。(4,故

故选：A.

2.分离参数法

7.已知函数/z(x)=d-x2+4x-3的定义域为集合/,〃x)=2cosx+2的值域为集合3,若

g(x)^x2-2ax+l,xeA的值域也为集合B.

(1)求实数。的值；

(2)若不等式g(3')-鼠9,20在xe［l,+”)上恒成立，求实数上的取值范围.

【答案】(1)。=1

⑵(-得

【分析】(1)先求出集合/、集合B,分析函数g(x)的对称轴，对。和I的大小进行分类讨论，结合g(x)

的单调性及值域即可求出实数”的值；

(2)将(1)中解析式代入不等式中进行全分离，然后进行换元，根据换元后的函数解析式及定义域，分

析函数性质求出最值，即可求得上的取值范围.

【详解】(1)解：因为〃(x)=J-x)+4x-3,4'-X2+4X-3>0,

则/_4x+3V0,解得1VXV3,则集合/=［1,3］,

因为-iWcosjcWl,所以/(x)=2cosx+2的值域为［0,4］,即集合8=［0,4］,

所以g(x)=(x-a)?+1-%©0,3］的值域为［0,4］,

当a<1时，g(x)在1,3］上单调递增,

所以g(x)min=g6=2-2a=0,解得a=l,与a<1矛盾，故舍去；

当14.W3时，g(x)min=g(a)=l-/=0,解得a=±l,

故a=l,此时g(x)=(x_l『，满足xe［1,3］时其函数值域为［0,4］；

当。>3时,g(x)在［1,3］上单调递减，

所以g(xL=g⑶=l()-6a=°，解得。=(<3,舍去•

综上所述：«=1；

(2)由(1)知g(x)=Y-2x+l,所以原不等式可化为：

(3*)2-2义3，+1-h9―0在xe[L+e)上恒成立,

即左42+1在xe[l,+e)上恒成立,

7

令，="1，因为xe[l,+。)，所以,

3工

则不等式可化为：^</2-2f+l=(/-l)2,/efo,|恒成立,

所以只需人4「(1)1即可,

L-Imin

记〃⑺=(-1)2,所以〃⑺对称轴为f=l,

所以在[og上，单调递减，所以〃(f)min=〃I4

44

故左所以上的取值范围为—00—

9

X

8.已知定义域为R的函数〃x)=W-7|-kA是奇函数.

⑴求b的值;

(2)若对任意的，wR,不等式/仅2一川+/(2/2一左)<0恒成立，求左的取值范围.

【答案】⑴6=1

⑵后

【分析】根据奇函数的定义求出6；

先判断了(X)得单调性，再根据单调性和奇偶性求解不等式.

一>+h

【详解】(1)因为定义域为尺的函数是奇函数,

_1A

所以/(0)=^—=0,解得6=1,

-2X+111-2X

经检验，当6=1时，y(x)=

2X+1+2~2'1+2X

2A-111-2X

=-/(x),函数为奇函数,

22、+121+2X

所以6=1;

11-2X12

(2)/(x)=-1,显然f(x)是减函数,

21+2*212"+1

即/“2-2。</(—2/+左)，t2-2t>-2t2+ky3t2—2t>k.

当”;时，函数y=3〃-2l有最小值为，左<—g；

综上，6=.

9.设函数〃x)=2'+(0-1>2"是定义域为R的偶函数.

⑴求P的值；

⑵若g(x)=〃2x)-2h(2-2-，)在[1,+8)上最小值为-4,求人的值；

⑶若不等式-4对任意实数x都成立，求实数加的范围.

【答案】(1)2=2

⑵后=^6

⑶(一叫3)

【分析】(1)根据偶函数的定义，即可求得答案.

(2)由(1)可得/⑴解析式，代入所求，即可得g(x)解析式，令可得g«)=产-2〃+2,根

据x的范围，可得/的范围，利用二次函数的性质，分别讨论左4：和左>彳两种情况，结合题意，即可求得

22

答案.

,_____2

(3)根据2*+>,2*-=2，原不等式可化为加<(2*+2一*)+；^—―,令/=2*+2一*,可得/的范围,

-2+2r

根据对勾函数的性质，即可求得g(f)的最小值，即可得答案.

【详解】⑴・・・/(©是偶函数，.••/(-X)=/(X)恒成立，

即2—)•2,=2x+(p-l)-2-x恒成立，即(p-2)(2x-2-x)=0,

p=2.

(2)由(1)知f(x)=2x+2-x,

g(x)=22X+*-2k-(2*-2T)=(2*-『一2人(2"-)+2,xe[l,+<»).

令7=2,-2-工，为增函数，xe[l,+动，则te|,+»^,

g(，)=/-2〃+2,te5'+0°),

为对称轴为直线/=左，开口向上的抛物线，

①当左45时，g(。在递增，所以g(，)mm=g[gj=9-3左，

：.--3k=-4,k=—(不合题意)，

412

3

②当%>5时，g«)min=g(左)=一左2+2,

-k2+2=-4,解得左=卡或左=一遍(舍去)，

g(x)的最小值为-4时，k的值为".

(3)不等式/(2x)>“/(x)-4,即22工+2-2">加(2*+2-工)一4,

2*+2"=2，当且仅当尸1时等号成立.

22X+2~2X+4(2"+2-")2+22

/.m<=(2、+2一、)+------

2X+2T2X+2~X-2X+2-X

2

令1=2*+2-"?e[2,+oo),贝ijgQ)=f+—,ze[2,+co),

又对勾函数8(。在［2,+8)上递增，，8«焉=8(2)=3,;.加<3.

故实数加的取值范围为(-8,3).

10.已知二次函数〃x)的最小值为1,且〃0)=/(2)=3.

(1)求加)的解析式；

(2)若段)在区间［3见。+1］上不单调，求实数a的取值范围；

(3)在区间xe［T,l］上，y=/(x)的图象恒在夕=2x+2:〃+l的图象上方，试确定实数机的取值范围.

【答案】⑴/(x)=2(尤-以+1

⑵陷

⑶(fT)

【分析】⑴根据题意，设〃x)=aa-l)2+l,根据〃0)=3,求得a=2,即可得到函数的解析式;

(2)由函数/(X)在区间［3凡。+1］上不单调，利用二次函数的性质，得到3“<l<a+l,即可求解；

(3)把在区间［7,1］上，V=/(x)的图象恒在夕=2x+2机+1的图象上方，转化为不等式加一3工+1在区

间［-M］上恒成立，令g(x)=x2-3x+l,结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】(1)由题意，函数〃尤)是二次函数，且〃0)=/'⑵，可得函数对称轴为x=l,

又由最小值为1，可设〃x)=a(x-l)2+l,

又/(。)=3，HPax(0—I)2+1=3,解得a=2,

所以函数的解析式为〃X)=2(X_1)2+1=2X2_4X+3.

(2)由(1)函数/(x)=2p-4x+3的对称轴为x=l,

要使“X)在区间国,。+1］上不单调，贝嗨足3"l<a+l,解得0<a<g,

即实数。的取值范围是(0,；).

(3)由在区间［-1用上，>=的图象恒在y=2x+2俏+1的图象上方，

可得2x?-4x+3>2x+2m+1在区间［-14］上恒成立，

化简得机</-3x+1在区间［T,1］上恒成立，

设函数g(x)=x?-3x+l,

则g(x)在区间上单调递减

.♦.g(x)在区间［T,l］上的最小值为g⑴=-1,

m<-\.

故实数冽的取值范围为：(-00,-1).

11.已知函数〃X)=1-士，则/(x)+f(-x)=,若不等式/(如+/(412力>1对Vxe［l,2023卜恒

成立，则实数上的取值范围是.

【答案】1(1,+⑹

【分析】判断函数〃幻=1-3的单调性，利用其解析式推出/(x)+/(-x)=l,则可将原不等式转化为

e+1

/(foc)>l-/(x2-2x)=/(-x2+2x)对Vxe［l,2023］恒成立，即人>-x+2对Vxe［1,2023］恒成立，结合一次函

数的性质即可求得答案.

【详解】由题意知〉=/+1单调递增，且e*+l>0在R上恒成立，故/(x)=l-1在R上单调递增，

e+1

11X.1

又/(%)+/(-X)=l---------+1-----------=2---=1,

ex+le-i+lex+l

故不等式/(^)+/(x2-2x)>1对Vxe［1,2023］恒成立，

即f(kx)>1-/(x2-2x)=/(-x2+2x)对Vxe［1,2023］恒成立,

所以丘＞2+2x，即左＞-x+2对Vxe[1,2023]恒成立,

又函数y=-x+2在R上单调递减，当Vxe[l,2023]时，-2021<-x+2<1,

故上>1,即实数后的取值范围是(1,+8),

故答案为：1；(1,+8).

12.(2023•黑龙江大庆・统考三模)已知函数〃司=言，则/(x)+/(f)=；若Vxe(O,+s),不

等式/(4-办)+/(尤2)23恒成立，则实数。的取值范围是.

【答案】3(-叫4]

【分析】先整理得〃x)=3-急，再求得〃_x)=3-言/从而即可求得〃x)+/(f)的值；进而将

“4-办)+/优/3转化为/(4-G)N3-/(X2)=/(T2),再得到/(x)在R上为增函数，从而得到

4-办对Vxe(O,+s)恒成立，再分离参数，结合基本不等式即可求得实数。的取值范围.

【详解】由〃尤)=当=3--则〃-x)=3--^=3-¥，所以贝V(x)+/(-x)=3,

1+e1+e1+ee+1

所以〃4-*+/卜2”3可转化为〃4一*23-/卜2)=/(_巧，

因为>=1+e*在R上为增函数，所以f(x)=----=3------在R上为增函数，

1+e1+e

所以4-办2--对,€(0,+00)恒成立，即a4x+士对Vxe(0,+oo)恒成立，

X

44

因为％>0,所以—24,当且仅当％=—，即％=2时取等号，

XX

所以aV4,即实数。的取值范围(-。,4].

故答案为：(-双4].

3.最值法

13.已知函数y(x)=x+g,g(x)=2x+a.

4ri

⑴求函数/(x)=x+；在-,1上的值域；

⑵若,3x2e[l,3],使得〃玉)会(三)，求实数a的取值范围.

-17'

【答案】(1)5,§

⑵(-甩3]

【分析】(1)利用导数可求得了(x)单调性，结合单调性可确定最值，由此可得/(x)值域;

(2)将问题转化为了(芭)向„28(%需，结合一次函数性质即可构造不等式求得结果.

【详解】(1)•.丁(尤)=1一==("+2)卜-2),...当时，r(x)<0;

・•・/(X)在]1]上单调递减，”(x)111ax=吗卜：+8号,小)1nto=/(1)=1+4=5；

-1~|「17-

.•J(x)在-,1上的值域为5,5.

(2)VVX161,1,叫41,3],使得/㈤咕㈤，.•J(X%/g(x2)mhl；

当％e[1,3]时,g(^)min=g(l)=2+a；

由(1)知：当X|€1,1时，/(^i)min=5,:.5>2+a,解得：a<3,

即实数。的取值范围为(-*3].

14.函数/(x)=3sin'cos'+>/§sin22-避^+加，若对于任意的-W二-有/(x)20恒成立，则实数小的

'/444233

最小值是.

【答案】:3

【分析】利用三角恒等变换得到〃力=八亩(彳-2]+加，由4得到从而求出

V2Oy333200

/(X)最小值为-：+加，列出不等式，求出答案.

兀2兀

——<x<——

33

兀兀兀

,—<-x-----<一

…3-26-6，

,.,y=J^sinz在上的最小值为一I，

36」2

、333

/•/(X)最小值为一/+机，令一万■+冽20,解得初

3

则实数加的最小值是万.

3

故答案为：I

2X

15.已知函数/(%)=---------FU

1+2、

⑴若工=佃1110。一道)吗!，证明/(x)为奇函数；

a'7sin50

(2)若/(x)之0在xe[-1,1]上恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)一；,+，)

【分析】(1)根据三角恒等变换得。=-；，/(h=；一'7,再判断函数奇偶性即可；

(2)由题知/(x)1nmz0,再令f=2"进而得y=m+l+*畿；,2,再根据单调性求最值即可得答

案.

【详解】(1)解：—=(tanl0°—r=(tan100-tan60°)-C°S

a'，sin50''sin50

sin10_sin60]sin10sin10°cos60°-sin60cos10°cos10

cos10cos60Jsin50cos60°cos10°sin50

sin(60°-10°)cos10°_1_?

cos60°cos10°sin50°cos60°

”一;,即/⑴二2X1_2X+1-11_11

所以，定义域为R,

1+2X21+2"221+2X

,一

x11一;=-小)，

所以，

一1+2-「2.-1+2、

所以，/(x)为奇函数.

(2)解：・.・/卜)之0在「«-1』上恒成立,

.,.J/(\x)/min>0.

令，=2",因为XE[T,1],所以"；,2,

t-1「1一

所以，y=~,---^-ci=-----F1+Q,te—,2,

1+%1+£\_2J

-1「1一

因为歹=币+1+。在2,2单调递增，

—1111

所以%J++”〃+§,即〃苫需5+不

2

所以解得。之一§,

所以Q的取值范围是一]-%)，

16.已知/(x)=，-2x-l,g(x)=logax(a>0且awl),若对任意的％e,都存在/e[2,4],使得

/(』)<g(马)成立，则实数a的取值范围是.

【答案】(1,2)

【分析】求出函数/(x)在[-1,2]上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答.

2

【详解】当xe[-l,2]时，/(X)=(X-1)-2,贝U/(x)max=〃-l)=2,

因为对任意的西都存在马42,4],使得/■(xj<g(x2)成立，

因此函数/3在[-1,2]上的最大值小于函数8(%)在[2,4]上的最大值，

而当0<。<1时，xe[2,4].logax<0,不符合题意，

于是。>1,函数8(刈=1。&工在[2,4]上单调递增，则log.4>2,即1</<4,解得

所以实数。的取值范围是(1,2).

故答案为:(1,2)

【点睛】结论点睛：一般地，已知函数y=/(x),xe[a,b],y=g(x),xe[c,d]

⑴若，再「[见可,总有/(xJvgG)成立,故[(x)111ax<g(x)1nhi；

(2)若％e[a,6],3x2e[c,d],有/(xj<g(z)成立，故/(工心<8⑺皿;

(3)若叫e[a,可,3x2e[c,d],有/(再)<g&)成立,故/⑺1nto<g(x)1nhi.

17.已知。为正的常数，若不等式行工21+二-二对一切非负实数x恒成立，则。的最大值为______.

2a

【答案】8

【分析】令7171=/,将带有根式的不等式问题转化成整式不等式的问题，然后结合二次函数性质处理.

【详解】原不等式即《21+土一加二①，令t",贝Ux=f2_i,

a2

将x=d_i代入①式，贝ij有==

a~2222

«+l)2(l)2>(I)"对一切:21恒成立，二('+1)2_L对才21恒成立，

a2a2

即2(f+l)&a,根据二次函数的性质，>=2。+1『在此1时单调递增，故2(7+1>22(1+1尸=8,

所以8Wa,又。为正的常数，则。的最大值为8.

故答案为：8

4.数形结合法

18.用max{a,6}表示0,6两个数中的最大值，设函数〃力=11^卜|+1，!-，（》>0）,若机+1恒

成立，则加的最大值是.

【答案】1/0.5

【分析】根据题中定义，结合函数的单调性、数形结合思想进行求解即可.

【详解】因为x>0,

X+1,X之一

=maxjx+l,--x2

所以〃x)=max|x|+1,----X

l-x,O<x<l

lx2

根据函数单调性的性质可知当0<X<g时，函数单调递减,

而当时，函数单调递减，故当A：时，函数有最小值，最小值为了I3

31

所以要想/（x）>加+1恒成立，只需加+1（5=加（5,

因此机的最大值是

故答案为：;

【点睛】关键点睛：根据题中定义把原函数解析式化简成分段函数的解析式形式，结合函数的单调性进行

求解是解题的关键.

19.若不等式丁<log.x（a>0,且"1）在xe（l,2］内恒成立，则实数a的取值范围为（）

A.[1,2)B.(1,2)

C."]D.(2,V2)

【答案】B

【分析】分析出。<。<1时，不成立，当。>1时，画出/(x)=10g“x,g(x)=(x-l)2的图象，数形结合得到

实数a的取值范围.

【详解】若0<。<1,此时xe(l,2],log”x<0,而(x-lpNO,故<log。x无解；

若a>l,此时xe(l,2],log,x>0,Ifff(x-l)2>0,

令〃x)=log.x,g(x)=(x-l)2,

画出两函数图象，如下：

故要想(x-1)2<logax14x6(1,2]内恒成立，

则要log"',解得：”(1,2).

故选：B.

20.己知当时，函数/(x)=loga(-4x2+bg/)的图象恒在x轴下方，则。的取值范围是

()

A.W，1B.。，9C.坐/D.(0,1)

L2JI2JL4J

【答案】A

【分析】依题意/(工)=嚏(1(-4/+嚏(1”<0对任意工€[0,；)恒成立，转化为log“x>4x2+l,xe(0,；)恒

成立，利用数形结合法求解.

【详解】因为函数〃x)=loga(lx?+]og.x)的图象恒在x轴下方，

所以〃X)=loga(-4x?+]0g0x)<o对任意Xe恒成立，

又0<a<l时，可得-4x2+log.x>l对任意恒成立，

即log0x>4f+1,xeg)恒成立,

在同一坐标系中作出函数y=lQg.X,y=4x?+l的图象，如图所示:

角军得Q之走，又所以正工4<1,

22

故选：A

21.设函数的定义域为R,满足〃x+2)=；〃x),且当xe(O,2］时，”x)=x(x-2).若对任意

3

xe[w,+oo),都有〃x)N-白，则加的取值范围是()

16

A)C.

A.B.D.

【答案】D

【分析】由题设条件画出函数/(X)的简图，由图象分析得出切的取值范围.

【详解】当xe(O,2］时，x+2e(2,4］,则〃》+2)==gx(x-2)=；仁+2-2加+2-4)«-1,0］,

即当xe(2,4］时，/(x)=1(x-2)(x-4)e-1,0,

同理当xe(4,6］时，/(x)=；(x-4)(x-6)e-；,0；

当xe(6,8］时，/(x)=，(x-6)(x-8)e0.

以此类推，当x>6时，都有〃

16

函数/(X)和函数y=-\在(0,8］上的图象如下图所示：

311

—me(5,6),解得加二7,

16?2

113，即加的取值范围是£，+W1•

即对任意XG—,+00，都有/（工”-五

210

故选：D

【点睛】关键点睛：解决本题的关键对〃x+2）=；/（x）的理解，并结合图象，非常直观的得出满足条件的

m的取值范围.

22.已知函数/(x)=max1-x2+2x,-x+l,x-2j.

⑴求〃尤）的最小值;

（2）若/（X）叫力1对任意xeR恒成立，求k的取值范围.

【答案】（1）0

⑵1W

【分析】（1）由题意分别画出三个函数的图象，即可分析出/（X）的图象，通过图象可得最小值；

（2）设g（x）=Hx|-l,可知g（x）恒过点作图并分类讨论左，结合条件根据图象，求出片的取值

范围.

【详解】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数>=—V+2x,>=-x+l,y=x-2的图象，如图1所

图1

由一x?+2x=-x+1,MWsKx=+

22

由一X2+2x=x—2,解得x=—1或％=2.

4广-小

-x+l,x<--------

2

-x2+2x,--吏^<x<2,

由图象易得/(')=<

2

x-2,x>2

结合图象可知，当x=2时，/(x)取得最小值，

即/⑸—⑵*

(2)设g(尤)叫x|-l,则g(x)恒过点M(O,-1),

因为/(D2)=。，所以记4(2,0),

由(1)知，/(x)的图象如图2所示，

当上40时，g(x)=A:|x|-l<-l,即g(x)1mx=T,

所以/(xU>g(xh，不等式恒成立.

当左>0时，易知直线//的斜率3M=g,

由图象可知，根据/(x)2g(x)恒成立，

k<-11

可得2,解得左4],所以0〈人

k<\22

综上所述，上的取值范围是，叫g.

5.变更主元法

23.已知函数〃x)=；x3+2无，对任意的/式一3,3],〃笈-2)+/(x)<0恒成立，则x的取值范围是.

【答案】"

【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得氏-2<-x,然后构造新函数g⑺=/x+x-2,最后根据一次函

数的图像与性质可得结果.

【详解】由/(x)=；x3+2无，可知定义域为我

则=可知函数/(X)为奇函数

又丁=；/，»=2尤均为单调递增的函数，

所以/(x)为单调递增的函数，

由〃田-2)+〃尤)<0,则

即贝悟一2<一了，

月f以txx—2<0.

据题意可知：

对任意的/£[-3,3],/(^-2)+/(x)<0恒成立

即任意的,e[-3,3],比+工一2<0恒成立

令g(f)=及+%-2

g(―3)=—3x+x—2<01

所以V〉、=>-l<x<-

g⑶=3x+x-2<02

所以xe(一七]

故答案为：(一1，；)

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，掌握等价转换的方法，同时当含多个未知量的

时候，一般给出谁的范围，谁就是主元，属中档题.

24.已知函数/(》)=工2+ax.

⑴当xe[-2,2]时，恒成立，求实数。的取值范围;

⑵若对一切ae[-3,3],-3恒成立，求实数x的取值范围.

【答案】(l)-4VaV0；

(2)(-oo,-3]u[0,+oo).

【分析】(1)构造函数g(x)=/+ax-a,讨论其对称轴和区间之间的位置关系，在不同情况下结合二次函数

单调性求其最小值，结合题意，即可求得参数范围；

(2)构造关于。的一次函数为(。)=(尤-1"+》2+3,根据题意，即可求得结果.

【详解】(1)/(x)=x2+办，；./(无)2。对xe[-2,2]恒成立，即/(X)-对xe[-2,21恒成立,

令g(x)=x。+ax-a,xe[—2,2],

；.g(x)血/0,因为g(x)的对称轴为x=-(开口向上,

根据对称轴与区间-2,2]的位置关系，分以下三种情况讨论ga).,

①当一羡4一2,即“24时，•.•g(x)在[-2,2]上单调递增,

••・g(xL=g(-2)=4-3a,

Ja>4

a无解;

[4-3t7>0

②当-122时，即a4-4时，••飞3在[-2,2]上单调递减,

，g(x)1nin=g(2)=4+。，

[QW—4

•••)、c，解得a=-4,

[4+a>0

/.实数。的取值范围为a=-4；

③当一2<\<2,即一4<a<4时，g(x)1111n=g[f=一亍一a,

-4<a<4

・•・,a2八，解得-4<〃40,

-------a>0

I4

实数。的取值范围为-4<aW0.

综合①②③可得，实数。的取值范围是-44a40；

(2)/(x)2a-3对一切ae[-3,31恒成立,

x2+办+3-°20对一切ae[-3,31恒成立,

^/i(a)=(x-l)a+x2+3,ae[-3,3],要使〃(a)NO在区间[-3,3]上恒成立,

%(-3)20x~-3x+620

则《解得xNO或xV-3,

“3)20x2+3x>0

实数x的取值范围是(-®,-3]u[0,+oo).

25.已知函数/(x)=e'-er,对任意的左e[-3,3],/(依-2)+/(乃<0恒成立，则x的取值范围为.

【答案"心

【分析】先判断函数/(x)的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的

性质，求得x的取值范围.

【详解】由于/(f)=-/(x)故函数为奇函数，而〃x)=e-g为式上的增函数，故由/(区-2)+/(x)<0,

有了侬一2)<-/(%)=/(—%),所以质-2<-%，即求+%-2<0,将主变量看成左(Ew[-3,3]),表示一条

直线在[-3,3]上纵坐标恒小于零，则有3…-2<0，解得T<x</所以填/1,句.

【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次

不等式组的解法，属于中档题.

26.已知函数〃x)=2023;2023-，+/3,对任意的h[-3,3],〃♦一2)+〃x)<0恒成立,则x的取值范围

为.

【答案】[一1,；)

【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得fcc-2<-x,然后构造新函数g(左)=依+丫-2,根据函数的性质

可得结果.

【详解】f(x)=2023x-2023-x+x2a23,定义域为R,

贝|/(一可=2023-'一2023'-/°23=-/(》)，可知函数/(x)为奇函数,

又y=2023'/=-2023T/=x^3均为增函数，所以/(x)为增函数,

由/g2)+〃x)<0,得〃右一2)<-〃尤),gp/(fcr-2)</(-%),

则依一2<-x,即质+x—2<0,

由题意可知，对任意的左£-3,3],丘+x—2<0恒成立,

令g（左）=kx+x-2,

昕（一"=一无一

L'Jg3x+2<°解得-l<x<g,

[g（3）=3x+x-2<0

所以X的取值范围为

故答案为：

6.分类讨论法

27.已知函数/(x)=\IAX2+AX+1-x.

(1)若函数/(x)的定义域为R,求实数2的取值范围；

⑵若不等式/(Inx)<0对任意xe[e,e2]都成立，求实数A的取值范围.

【答案】⑴04244；

(2)A<0.

【分析】(1)根据定义域，将问题转化为对任意的xeR./V+Xx+lNO恒成立，分类讨论结合利用二次函

数的性质即可求解，

(2)由换元法将问题转化成[G-l»+l](:+l)<0对任意的注[10恒成立，利用一元二次不等式的解即可

分类讨论求解.

【详解】(1)“X)的定义域为R,则对任意的xeR./Y+Xx+lNO恒成立，

当4=0时，120显然成立，故4=0符合，

当1fA>40-5。时,即°<花4，

综上：0<A<4；

(2)令/=lnx,由于xe[e,e2],则”[1,2],则问题转化成：/(。40恒成立，即必了右两边平

方整理得(2-l)f2+Af+l<0,进一步得[(X-l)t+1]"+1)<0,

当彳-1>0时，即2>1,此时[。-»+l](f+l)=0的解为:=-1<0/2=-不\<0,此时不等式

[(九-1"+1]。+1)>0,故4>1不符合，

当九-1=0时，即2=1,此时不等式为人140,当不等式不成立，故4=1不符合,

当4一1<0时，即彳<1,此时[(入-1)/+1](，+1)=0的解为％=-1<04=--->0,

X.—1

故[3一+l](r+1)<0的解为｛x\x<T或,故要对作［1,2］,/⑺40恒成立，则满足

--一解得/V0,

九一1

综上，A<0.

28.已知函数/(x)=ln(3x-a),g(x)=e2"-1.

（1）当。=1时，函数〃无）的定义域是；

（2）若/⑺8⑴刈对任意的工相号+^恒成立，则实数。=.

【答案】2

【分析】由对数函数的性质可求/（x）的定义域，结合对数函数和指数函数性质化简不等式，由此可求即

【详解】当0=1时，/（x）=ln（3x-l）,由〃x）=ln（3x-l）有意义可得3x—l>0,

所以函数/（x）=ln（3x-l）的定义域为，,+，|,

因为〃x）g（x"0对任意的xe|m，+oo1恒成立，

又当0<3x-a<l时，ln（3x-a）<0,所以当_|<x<g时，g（x）=e2j-fl-1<0,

又当3x-a>l时，ln（3x-a）>0,所以当x>等时,g（x）=e2x-fl-1>0,

当3x-a=l时，ln（3x-a）=0,所以当。=苫1时,g（x）=e?…-1可取任意实数，

又函数g（x）=e2i-1在仁,+］单调递增，

所以产一1=0，

故a=2.

故答案为：f—5+°°J；2.

/、—M_1,X0

29.已知函数/无=一、八，若/（尤”。龙，贝匹的取值范围是（）

ln（x+l）,x>0

A.[1,2]B.[1,+co)C.[2,+co)D.

【答案】A

【分析】分x>0,xWO两种情况进行讨论，x>0时可知要使不等式恒成立，令g(x)=ln(x+l)-办,x>0,

分aWO,0<。<1和讨论其单调性即可；xWO时，再分x=0,x<0两种情况讨论，分离参数。后化为

函数最值可求，注意最后对。范围取交集.

【详解】当x>0时，ln(x+l)>。，要使/(x)Vax,即ln(x+l)-办W0恒成立,

令g(x)=ln(x+l)-ax,x>…3$一°

当a«0时，g'(x)〉O,故g(x)单调递增,所以g(“〉g(O)=O,不满足，舍去;

当0<〃<1时，令g'(x)=0,解得x=l-1,

a

当x<0,：-j时，g'(x)>0,故g(x)单调递增，所以g(x)>g⑼=0,不满足，舍去;

当时，g")<0,故g(x)单调递减,所以g(x)<g(O)=O,

综上所述，«>1

当xWO时，-x2-l<ax,若x=0,则-140恒成立，所以。取任意实数；

若X<0时，-/0»可化为。勺-》--，

X

4A(x)=-x-l>2卜)卜力=2,当且仅当x=-1时取等号，

此时须满足aV2,

综上可得，。的取值为[L2],

故选：A.

30.已知函数〃x)=：噫(4*+1)-1

(1)求证：/(x)的图象关于原点对称；

⑵设g(x)=：-l,若/(X)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数X的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

⑵(-8,0)3唾43,+力).

【分析】(1)根据奇函数的定义即得；

(2)由题可得:log2(4，+l)>：,然后分x>0和x<0讨论结合函数的单调性即得.

【详解】⑴因为〃x)=：log2(4，+l)-1,定义域为R,

所以/（_x）=_!logj3+l]_l=_Llog24_l=_L[log2（4"+l）_log241_l

X\Jx■X

=-1[log2（4"+1）-2%]-1=