高考备考资料之数学人教A版全国用课件第八章立体几何与空间向量85

§8.5

直线、平面垂直的判定与性质第八章

立体几何与空间向量基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的

直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.

知识梳理任意一条

文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条_____直线都垂直，则该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____(2)判定定理与性质定理相交a，b⊂αa∩b＝O平行l⊥al⊥ba⊥αb⊥α2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和

所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是

，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是

的角.(2)范围：

.3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的

所组成的图形叫做二面角；它在平面上的射影直角0°两个半平面②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作

的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是

，就说这两个平面互相垂直.垂直于棱直二面角

文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的

，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于

的直线与另一个平面垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理垂线交线重要结论(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.【知识拓展】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(

)(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(

)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(

)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(

)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.(

)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(

)题组一思考辨析基础自测××√×12456√3×2.[P73T1]下列命题中错误的是

A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β题组二教材改编12456解析3答案√解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的.12456答案3.[P67T2]在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的_____心；3外解析解析如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.

12456答案(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的_____心.3垂解析解析如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.题组三易错自纠4.(2017·湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m⊥β的是

A.α⊥β且m⊂α

B.α⊥β且m∥αC.m∥n且n⊥β

D.m⊥n且α∥β解析12456答案√3解析由线面垂直的判定定理，可知C正确.5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是

A.与AC，MN均垂直B.与AC垂直，与MN不垂直C.与AC不垂直，与MN垂直D.与AC，MN均不垂直

12456答案√3解析解析因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，124563所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是

A.MN∥AB B.平面VAC⊥平面VBCC.MN与BC所成的角为45° D.OC⊥平面VAC

解析124563解析由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.答案√题型分类深度剖析典例

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；

题型一直线与平面垂直的判定与性质师生共研证明证明在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.证明由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.证明证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.思维升华跟踪训练

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；

证明由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.证明证明因为棱柱A-BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.(2)BC1⊥AB1.证明典例

(2018·开封模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.(1)求证：CE∥平面PAD；

证明题型二平面与平面垂直的判定与性质师生共研证明方法一取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD.方法二连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.证明因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，所以AB⊥平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.证明1.在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.引申探究证明因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.又MN⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.证明2.在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥PA，FG∥AC，又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理FG∥平面PAC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC.证明(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.思维升华跟踪训练

(2017·南昌模拟)如图，已知在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点.(1)求证：平面EFG⊥平面PAD；

证明因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，且CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.又因为在△PCD中，E，F分别是PD，PC的中点，所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD.因为EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAD.证明(2)若M是线段CD上一点，求三棱锥M—EFG的体积.解答解因为EF∥CD，EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，所以CD∥平面EFG，因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，所以V三棱锥M—EFG＝V三棱锥D—EFG，取AD的中点H，连接GH，EH，FH，则EF∥GH，因为EF⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，所以EF⊥EH.因为平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD＝EH，△EHD是正三角形，所以三棱锥M—EFG的体积题型三垂直关系中的探索性问题师生共研典例

如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点.(1)证明：AE∥平面BDF；

证明连接AC交BD于点O，连接OF.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点.又F为EC的中点，∴OF∥AE.又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF.证明解答(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.解当点P为AE的中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE的中点H，连接DP，PH，CH.∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB.又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，且H为BE的中点，∴CH⊥BE.又CH∩CD＝C，且CH，CD⊂平面DPHC，∴BE⊥平面DPHC.又PM⊂平面DPHC，∴PM⊥BE.(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手.一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.思维升华跟踪训练

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝

.(1)求证：B1C∥平面A1BM；

证明连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM.在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1的中点，∴OM∥B1C，又∵OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，∴B1C∥平面A1BM.证明(2)求证：AC1⊥平面A1BM；证明证明∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，∴AA1⊥BM，又∵M为棱AC的中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.∵AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，∴BM⊥平面ACC1A1，∴BM⊥AC1.∵AC＝2，∴AM＝1.∴∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，∴A1M⊥AC1.∵BM∩A1M＝M，BM，A1M⊂平面A1BM，∴AC1⊥平面A1BM.(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时

的值；如果不存在，请说明理由.解答平面AC1N⊥平面AA1C1C.证明如下：设AC1的中点为D，连接DM，DN.∵D，M分别为AC1，AC的中点，又∵N为BB1的中点，∴DM∥BN，且DM＝BN，∴四边形BNDM为平行四边形，∴BM∥DN，∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面AA1C1C.又∵DN⊂平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.典例

(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.

立体几何证明问题中的转化思想思想方法思想方法指导规范解答思想方法指导

(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理.(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等.(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件，步骤书写要规范.规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形，

[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[4分]

又∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，

[10分]∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]课时作业1.若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则

A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直基础保分练12345678910111213141516解析对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误.D正确.解析答案√2.(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为

A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P垂直于直线l的直线在平面α内C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β答案12345678910111213141516√解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确；根据面面垂直的性质定理，知选项C，D正确.解析123456789101112131415163.设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β

A.若l⊥β，则α⊥β

B.若α⊥β，则l⊥mC.若l∥β，则α∥β

D.若α∥β，则l∥m答案√解析选项A，∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β，A正确；选项B，α⊥β，l⊂α，m⊂β，l与m的位置关系不确定；选项C，∵l∥β，l⊂α，∴α∥β或α与β相交；选项D，∵α∥β，l⊂α，m⊂β，此时，l与m的位置关系不确定.故选A.解析4.(2017·中原名校联盟联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是

A.α⊥β且m⊂α

B.α⊥β且m∥αC.m∥n且n⊥β

D.m⊥n且n∥β√解析对于选项A，由α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；对于选项B，由α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，由m∥n且n⊥β，可得m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立.故选C.解析答案123456789101112131415165.(2018·衡水调研)如图，在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是

A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC

解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516解析因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确.解析答案12345678910111213141516√6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是

A.①②

B.①②③C.①

D.②③

12345678910111213141516解析对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确.123456789101112131415167.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为___.答案4解析∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形.解析123456789101112131415168.(2018·洛阳模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_____________________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析解析

∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)9.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_____________；与AP垂直的直线有____.12345678910111213141516答案AB，BC，ACAB解析解析

∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为____.12345678910111213141516答案解析12345678910111213141516解析设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.11.(2018届“超级全能生”全国联考)如图1，四边形ABCD为等腰梯形，AB＝2，AD＝DC＝CB＝1，将△ADC沿AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，E为AB的中点，连接DE，DB(如图2).(1)求证：BC⊥AD；

12345678910111213141516证明12345678910111213141516证明作CH⊥AB于点H，∴AC⊥BC，∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ADC，又AD⊂平面ADC，∴BC⊥AD.(2)求点E到平面BCD的距离.12345678910111213141516解答12345678910111213141516解∵E为AB的中点，∴点E到平面BCD的距离等于点A到平面BCD距离的一半.而平面ADC⊥平面BCD，∴过A作AQ⊥CD于Q，又∵平面ADC∩平面BCD＝CD，且AQ⊂平面ADC，∴AQ⊥平面BCD，AQ就是点A到平面BCD的距离.1234567891011121314151612345678910111213141516证明(1)证明：BD⊥平面MAC；12345678910111213141516证明由题意可知ABM—DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，∴MA⊥平面ABCD，∴MA⊥BD.又AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又MA∩AC＝A，MA，AC⊂平面MAC，∴BD⊥平面MAC.12345678910111213141516解答12345678910111213141516解设刍童ABCD—A1B1C1D1的高为h，13.(2018届南宁市联考)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是_______.(填序号)①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面.技能提升练12345678910111213141516答案解析①③④12345678910111213141516解析折之前AG⊥EF，CG⊥EF，折之后也垂直，所以EF⊥平面AHG，折之前∠B，∠D，∠C均为直角，折之后三点重合，所以折之后AH，EH，FH三条直线两两垂直，所以AH⊥△EFH所在平面，②对；同时可知AH⊥HG，又HF⊥△AEH所在平面，过AE不可能做两个平面与直线HF垂直，③错；如果HG⊥△AEF所在平面，则有HG⊥AG，与②中AH⊥HG矛盾，④错；若AG⊥△EFH所在平面，则有AG⊥HG，与②中AH⊥HG矛盾，所以①也错.14.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.解析12345678910111213141516答案①②③12345678910111213141516解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C