广西壮族自治区2025届高三年级上册12月模拟考试数学试题（解析版）

广西壮族自治区名校2025届高三上学期12月模拟考试

数学试题

（考试时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

jr

1.复数5=cos,+isin'，则在复平面内z对应的点位于（）

55

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

4兀JT..7171..71

【解析】因为彳=cos—+isin—,所以Z=cost71--Jism——=-cos---ism——,

55555

兀C

cos—>0

5（兀71\

因为1所以在复平面内Z对应的点卜C0SM，-sin《J,位于第三象限.

•兀C

sin—>0

5

故选：C

2.已知。力为单位向量，且。在6上的投影向量为16,则囚-司=（）

A.2B.3C.272D.273

【答案】C

【解析】设a与方的夹角为。，由题意得^cos。小；.cose=g,

所以（3a—b）=9c/2~6a-b+b=9-6x-^+l=8,|3a-Z>|=2-J1

故选：C

3.某次数学考试后，为了分析学生的学习情况，从该年级数学成绩中随机抽取一个容量为

〃的样本，整理得到的频率分布直方图如图所示，已知成绩在（50,60］范围内的人数为

B.这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为85%

C.估计学生成绩的第75百分位数为80分

D.总体分布在（50,60］的频数与总体分布在（80,90］的频数相等

【答案】C

【解析】（0.0。5+0.010+2。+0.025+0.030）X10=1,解得。=0.015,

所以成绩在（50,60］范围内的频率为0.015x10=0.15,Fy&i+O.ISMM）人，故A错

误；

1-（0.005+0.015）x10=0.8,所以这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为80%,

故B错误；

成绩在［40,80］的频率为（0.005+0.015+0.03+0.025）x10=0.75,

所以估计学生成绩的第75百分位数为80分，故C正确；

样本分布在（50,60］的频数与样本分布在（80,90］的频数相等，

但总体分布在（50,60］的频数与总体分布在（80,90］的频数不一定相等，故D错误.

故选：C

9Y-2

4.函数=―在区间［T3］上的图象大致是（

x—2尤+2

【答案】B

举（\2x-22（x-l）i

【解析】口为x?-2x+2（x-1）?+1'Xe[T,3],

所以〃2+x）+A-小高3+—^=。，

所以了（无）的图象关于点（1,0）的中心对称，故排除c,D,

6-24

又/⑶=n/广三〉。，故排除A.

故选：B

5.已知直线4:2%+/>-1=0与直线4：3ax-y+9=0,贝i|“a=6”是《，[的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为直线/i：2x+/y—1=0与直线4:3以—y+9=0,

若/1_L/2，贝!12x3“+（-l）xa2=0,解得a=0或a=6,

所以“a=6”是“乙，4”的充分不必要条件.

故选：A

22

6.已知双曲线E:5—3=1（。〉0]〉0）的左、右焦点分别为耳,后，过点片的直线/交

ab

3

E的左支于A,B两点用=Q片I（O为坐标原点），点0到直线/的距离为贝|J该

双曲线的离心率为（）

A.72B.若C.如D.芈

【答案】D

【解析】令双曲线E的半焦距为c,取12的中点。，连接OD,

由侬=|西，得。。，耳8,则|00=3=全，

连接骂B,由。为耳耳的中点，得BF2//OD,

所以忸闾=

2d=3a,BF2_LBFX,—\BF^—2a=a,

因此|%「+忸片「=闺闾2,

即（3a『+a2=（2c）2,整理得5a2=2。2,

故选：D

7.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形

构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所

成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、

正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切

球的表面积的比为（）

【答案】D

【解析】设正八面体的棱长为正八面体的中心到顶点的距离就是外接球半径R,

Ji

/.R=—a,中心到面的距离就是内切球半径r,

2

正八面体的体积V-—

323

务,解得「半

V=—xS^xr=—x8x-x«x«xsin60°|r=

3表32J

、2

-271a2,

根据球的表面积公式S=4a2,外接球表面积S]=4nR-=47：1--2----Cl

7

2［屈丫27r2

内切球表面积S2=^nr-=4%—a——a；

16)3

S12兀/

---------A

则外接球与内切球表面积之比s,27r2—

~Ta

故选：D

8.己知aeR力>0,若函数/(x)=(x—a/e*—Z?”0,则a+：的最小值为()

1

A.—B.1C.eD.3

e

【答案】B

【解析】函数/(无)=(x—a)(e*—。)20,等价于(x—a)(x—lnb)20,

即X2—(a+lnZ?)x+alnZ?N0在R上恒成立，

2211

即AHa+lnb)-4alnb=(^a-InZ?)KO,4Z=lnZ?.]Jl!ja+—=ln/?+—,

令g伍)=lnb+｝伍>0),对其求导得g'(b)=：—/=>0),

当o<》<Lg'。)<o,g(b)在(o,i)上单调递减，

当>>i,g'3)>o,g。)在(i,y)单调递增,

所以"£L=(g"))m「g⑴"I

故选：B

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设函数/(%)=Acos(eyx+^)(A^0,®>0,0<^<7i)的图象关于直线了=一1对称，

它的最小正周期是兀，则以下结论正确的是()

A./(%)的图象过点](),—

B.“X)在上是减函数

C./(力的最大值与A的取值有关

D./(%)的一个对称中心是1-W，。)

【答案】ACD

【解析】函数/(x)=Acos(a>x+^)(A^0,&>>0,0<^<7i)的最小正周期是兀，

.2兀

••=71,(D=2,

CO

又，f(x)的图象关于直线x=—二对称，，2x(-刍+0=E(%eZ),

33

二.夕=E+与(％£Z),

27c(,力、

又0<°<兀，：.邛=工,/./(x)=Acos^2x+—J,

〃0)=Acos^=V，.•J(x)图象过(0,/],故A正确；

A的正负未知，故无法确定〃龙)的单调性，故B错误；

显然〃无)的最大值与A的取值有关，故C正确；

了(-金卜Acos^O,.(吉0)是/(x)的一个对称中心’故D正确.

故选：ACD

10.己知函数/(工)=三一3ar+l,则()

A.7(%)必有两个极值点

B.存在实数/使得/■'(%)=/(%)

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心

D.若曲线y=/(x)有两条过点(2,1)的切线，则a=0或g

【答案】BCD

【解析】对于A,因为八x)=3,一3a,当。>0时，/'(X)=0有两个不相等实数根，所以

/(X)有两个极值点，

当aWO时，f'(x)N0恒成立，所以无极值点，故A错误；

对于B,f'(x)=3x2-3a,令/'(x)=/(x),则d-3亦+1-3/+3a=0,

323

4g(x)=x-3x-3ax+3a+l,g(l)=l-3-3a+3a+l=-l<0,当x-»+8时g(x)>0,

根据函数零点存在定理，存在实数与eQ，+8)使得/'(/)=/(%),故B正确；

对于C,由/(一*)+/(%)=—无3+3依+1+%3一3依+1=2,知/(%)的图象关于(0,1)

中心对称，

所以点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心，故c正确；

对于D,/(彳)=/_3<«+1过(2,1)的切线的切点为5，%),

切线斜率为/'(司)=3君-3a,则切线方程为y-y0=(3%o-3fl)(x-x0),

把点(2,1)代入可得-尤;+3CIXQ=(3%Q—3(z)(2—AQ),化简可得—6君+6a=0,

令"(x)=29-6/+6。，则〃'(x)=6x?-12彳，令/(X)=6--12x=0可得％=0或x=2,

"'(X)在(-8,0)和(2,+8)上大于零，所以"(x)在(-8,0)和(2,+8)上单调递增，

/(x)在(0,2)上小于零，所以"(X)在(0,2)单调递减,

要使"(x)=0有两个解，一个极值一定为0,

若函数“(X)=24-6/+6。在极值点x=0时的函数值"(0)=0,可得。=0,

4

若函数"(x)=2d_6x2+6“在极值点x=2时的函数值"(2)=60-8=。，可得。=—,

3

4

所以若曲线y=/(x)有两条过点(2,1)的切线，则a=0或1,故D正确.

故选：BCD

11.法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画法几何”创始人“微分

几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心

的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆E?+%=l(a>b>0)的蒙日圆为C:f+y2=

4

,"，过圆。上的动点M作椭圆石的两条切线，交圆。于RQ两点，直线P2交椭圆E

于A3两点，则下列结论正确的是()

A.椭圆E的离心率为渔

3

B.若点丰)在椭圆E上，且直线的斜率之和为0,则直线AB的斜率为

V6

6

C.点M到椭圆E的左焦点的距离的最小值为Q—3)。

3

D.面积的最大值为有片

【答案】AB

【解析】对于A,依题意，过椭圆E的上顶点作>轴的垂线，过椭圆E的右顶点作x轴的垂

线，

则这两条垂线的交点(。力)在圆。上，

4

所以得1=3",所以椭圆石的离心率，故A正

确;

由A可知/+%=1，又过点。1，

对于B,

+:=1'解得〃a2=3

所以--7

3b之b2=1

所以椭圆方程为三+V=1,

3-

因为点都在圆C上，且NPMQ=90。，所以尸。为圆C的直径，

所以直线PQ经过坐标原点，易得点A,B关于原点对称，

,_A/6__A/6

设4（尤Q1）,贝%）,X]W±1,3%=fF

X]_1_X]_1

所以MA+MB=2^+；；=°'所以xg=4'

又才+3y；=3,「.x：=2,所以心B=%4=?=然"=乎，故B正确；

人12°

对于C,设/（后,%），椭圆C的左焦点为歹（―c,o），连接Mb，

因为02=/一。2=2/,即0=逅。，

33

所以=（X。+c）~+yj=xj+券+2/。+，

=-1-a2+2xx<2+-|-a2=2

02a+2sax0,

又—巫aWx°W正a，所以IMF/N一芈

33。3I

所以则M到左焦点的距离的最小值为之故C不正确;

对于D,因为点M,尸，Q都在圆。上，且ZPMQ=90。，所以尸2为圆。的直径，则

|PQ|=2x舟^=孚〃，

设点河到PQ的距离为d,则0<壮¥.,

所以乙加尸。面积S=4|PQ|d4[|PQ|xg7=1x^ax¥“=U“2,故D不正确;

22V32333

故选：AB

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

17JT4,lTT

12.己知P（办5）是角终边上的一个点，将0P绕原点。顺时针旋转,至。。，

63

则点。的坐标为.

【答案】（0,-10）

【解析】设。（％,丁），因为tana=tan^^=tan[37i—1]=—tan]=—^,

o1。JoJ

由正切函数定义可得tana=',解得根=-5有；

m

\0P\=扃+52'=10，

ll।s（4兀）1八「17兀4兀\5371c

所以％=10cos[a--\=lOcosI-------I=10cos-=0,

y=10sin[a—9]=lOsinf^-^--=lOsin—=-10,

I3）I63J2

即点。的坐标为（。，―1。）.

故答案为：（0,-10）.

13.已知等差数列｛4｝的前〃项和是S〃,S8>0,S9<0,则数列｛d｝中最小的项为第一

项.

【答案】5

【解析】s9=9（q；%）=9%<0,S8=8（"I；“8）=4（%+%）>0，

.・.。4>0且。4>-%>。，；]。4|>卜。5|，故等差数列｛4｝为递减数列，即公差为负数，

>a|,且。>%>%，，一。6>-%>。，片，所以数列｛%；｝中最小的项是第5项.

故答案为：5.

14.箱子里有大小相同的4种点数不同的纸牌各若干张，每次从中摸出4张纸牌为一组，

其中摸出恰有3种点数组合纸牌的不同取法为种：若要保证至少有2组纸牌的

点数组合是一样的，则至少要摸出_________组纸牌.(两空均用数字作答)

【答案】0.12②.36

【解析】先计算取出一组的类型取法数，

取一组有1种点数的取法数：C；xl=4,

取一组有2种点数的取法数：C；x(C；+Cj=18,

取一组有3种点数的取法数：C：xCg=12,

取一组有4种点数的取法数：Ctxl=l,故共有4+18+12+1=35种不同的组合取法.

此时最不利的情况即每种组合各取一次，

接着再取一组，就一定可以保证有2组纸牌的点数组合一样，即所求为35+1=36种.

故答案为：12；36.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.在锐角VABC中，内角对边分别为a,b,c,已知2反os(兀—3)+acosC+

ccosA=0.

(1)求5；

(2)求cosA-cosC的取值范围.

解：⑴因为2Z?cos(兀一JB)+〃COSC+CCOSA=0,

所以-2Z?cosB+4zcosC+ccosA=0,

由正弦定理可得一2sinBcosB+sinAcosC+sinCcosA=0,

所以一2sin5cos5+sin(A+C)=0,即一2sinBcosB+sinB=0,

XsinB>0,所以cos5=」，

2

因为6武0,兀)，所以3=m

(2TI

(2)由(1)知cosA-cosC=cosA-cos[?--A

=cosA+gcosA-g^sinA=^cosA一堂^sinA=6cos]A+.

2222

八2兀4兀

0<-----A<—

因为《32

0<A<—

I2

71,7171.71271

—<A<一，/.—<A+—<——

62363

百叵

/.cosA-cosCe,即cosA-cosC的取值范围为T,TJ

16.为了调查某校学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问

卷调查，得到如下的2x2列联表:

喜欢跑步不喜欢跑步合计

女生a90120

男生b55k

合计m145200

(1)计算”力,加次的值，并依据小概率值。=0.100的72独立性检验，判断性别与喜欢

跑步是否有关？

(2)从上述的200名学生中按性别比例用分层抽样的方法抽取10名学生，再在这10人中

抽取3人调查其是否喜欢跑步，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望.

2_n(ad-be)”

(a+b)(c+d)(a+c)伍+d)

a0.1000.0500.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

解：(1)a=120-90=30,7^=200-145=55,6=55-30=25,左=200—120=80,

零假设为"o：性别与学生喜欢跑步无关，

200x(30x55-25x90)2

由题意得z2=»0.940<2.706

-55x145x120x80~

依据小概率值a=0.100的％?独立性检验，没有充分证据认为Ho不成立,

所以判断性别与喜欢跑步无关；

(2)由题意，参与调查的200人中，女生有120人，男生有80人，

因120:80=3:2,按性别比例分层抽样抽出10人，则女生抽6人，男生抽4人,

从10人中随机抽取3人，则X的取值可以为01,2,3,

3

r°r4二1

尸(X=0)=-^

4120-30

363

PI(YX=1n)=^T=T^o=io

：

P(X=2)=年3假=

JCo1202

C|c»_20__1

P(X=3)

%120-6

则随机变量X的分布列为

X0123

13j_

p

3010~26

1311Q

£(X)=0XX+1XA+2XI+3XI=|.

17.如图，在正三棱柱48。-4与。1中，侧棱与底面边长均为2,点及/分别为AC,C。

B

(1)求证：4，D,E,E四点共面;

(2)求直线44]与平面DE尸所成角的正弦值.

解：(1)证明：取用。中点〃，过〃作于G,连接5,GC,

则DG=Gfi,HG//BB.//CF,HG=^BBl=CF,

所以四边形HGCP是平行四边形，，GC//H尸，

由AD」AB得AD==AB=4B-2£)G,DG=^-AB=AD,

333

又AE=EC,：.DEHGC,:.DEHHF,所以“，D，E,产四点共面,

又BieDH,所以8],D，E,尸四点共面；

4G

B

H,

C

(2)由已知得6ELAC,如图，以石为原点，石A为x轴，以为＞轴,

建立空间直角坐标系E一到z,则A(l,0,0),4(1,0,2),B(0,^3,0),

B|(0,y/3,2),C(—1,0,0),F(—1,0,1),

.'.EF=(-1,0,1),EBX=(0,A/3,2),

n-EF=0-x+z=0

设平面OEF4的法向量为〃=(x,y,z),则由＜,，得1

6y+2z=0

TI-EB,i-0

令y=—得x=z=3,.1”=(3,-2布，3),

730

/.cosn,A4j=八1----------/6

又A4]=(0,0,2),A10，

同1Ai2X^32+(-2A/3)2+32

设直线与平面DEF所成角为6,则sin0=|cosn,|=■

18.已知点£(2,1)在抛物线C:Y=2处＞0)上，按照如下方法依次构造点Pn(n=2,3,4,

…)，过点作斜率为-;的直线与抛物线。交于另一点2i，作点2-关于y轴的对称

点匕，记匕的坐标为(乙,%).

(1)求抛物线C的方程;

1

(2)求数列｛玉｝的通项公式，并求数列＜，的前〃项和7；；

(3)求▲匕匕+1匕+2(neN*)面积.

解：(1)因为点片(2,1)在抛物线C：%2=2py上，则2?=2pxl,解得0=2,

所以抛物线C的方程炉=4y；

(2)由6(2,1)可知%=2,%=1,

因为点匕(%,%)在抛物线C:/=4y上，则为=半，且

过1，^，n?2,且斜率为一；的直线KTQ-I：、.号=_g(x_x“_i)，

(21

Y—%xT——Y—Y)

联立方程4"2"一"，消去y可得(X-X〃_I)(X+X“T+2)=。，

V=4y

解得X=X"_i或x=-x”_]-2,-'--xn=-xn_1-2,可得/=x”_]+2,

所以数列｛X“｝是以首项为2,公差为2的等差数列，所以%=2+2(力-1)=2〃,

y苞4/2'——=——=1(-1——!—)

乂%=彳=丁="'x„+yn7?+2„2%〃+2八

­-7；=I(14+I-I+FI++宗+)

」(1+_L，__L_)=3___1_______1_.

2、2n+1〃+2)42(〃+1)2(〃+2)，

(3)由(2)可知：玲(2孔,川)，2+i(2〃+2,(〃+1)2),月+2(2孔+4,(〃+2)2),

直线匕匕+2的方程为y-n2=(：+2?；/(X_2〃)=5+1)(尤-2〃)，

即(〃+l)x-y-〃2-2〃=0,

j|2(72+1)2—("+1)2—〃2—2加|1

点R+1到直线P„Pn+2的距禺为"=I2=「1'

,(〃+1)'+1,(〃+1厂+1

IPnPn+2l=J(2"+4-2〃)2+[("+2)2-后]2=4j(a+l)2+l,

所以PnPn+iPn+2(力eN*)的面积为S=；|PnPn+2\d=2.

19.给出下列两个定义：I.对于函数y=/(x),定义域为。，且其在。上是可导的，若其

导函数定义域也为D,则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数"y=f(x),

若有以下性质：①/'(x)=g(/(x))；②/(X)=〃(/'(