高一年级上册期末复习 第五章 三角函数 十二大题型归纳（基础篇）（含答案版）

高一上学期期末复习第五章十二大题型归纳(基础篇)

【人教A版(2019)]

同的1的表示OI

1.(2023上•吉林长春•高一校考期末)下列各角中，与1850°角终边相同的角是()

A.40°B.50°C.320°D.-400°

【解题思路】根据1850。=50°+5X360。即可得到答案.

【解答过程】对选项A,1850。-40。=1810。=5x360。+10。，故A错误.

对选项B,因为1850。-50。=1800。=5x360。，故B正确.

对选项C,1850°-320°=1530°=4x360°+90°,故C错误.

对选项D,1850°-(-400°)=2250°=6X360°+90",故D错误.

故选：B.

2.(2023下•山东威海•高一统考期末)下列角的终边与60。角的终边关于久轴对称的是()

A.660°B.-660°C.690°D.-690°

【解题思路】根据已知角，利用周期性写出终边相同角，再结合选项判断即可.

【解答过程】由题意知，与60。角的终边关于x轴对称的角为8=-60。+360。/deZ.

当k=2时，。=-60°+720°=660°,A正确.

经验证，其他三项均不符合要求.

故选：A.

3.(2023・全国•高一随堂练习)写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720。W/?<

360。的元素£写出来：

(1)60°；

(2)-45°；

(3)1303°18,；

(4)-225°.

【解题思路】(1)(2)(3)(4)根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式-720。W

£<360。，求出满足条件的整数k的值，即可得出满足条件的元素由

【解答过程】(1)解：与60。终边相同的角的集合为{0|夕=60。+H360。#CZ},

由-720°<60°+fc-360°<360°,可得Wk<-,

66

当k=一2时，0=60°-2x360°=-660°,

当k=-1时，0=60。-360°=-300",

当k=0时，6=60°,

所以，适合不等式一720。</?<360。的元素£为一660。、一300。、60°.

(2)解：因为-45°=315°-360°,

所以，与-45。终边相同的角的集合为喋侬=315°+k-360°,keZ},

由—720°<315°+k-360°<360°,可得一月Wk<土

当k=-2时，0=315°-2X360°=-405°,

当k=-1时，0=315°-360°=-45°,

当k=0时，B=315°,

所以，适合不等式一720。</?<360。的元素/?为一405。、一45。、315°.

(3)解：因为1303°18'=223°18'+3x360°,

所以,与1303。18,终边相同的角的集合为喋=223°18'+k-360°,kGZ},

由一720°W223.3°+H360°<360°(keZ),可得7=—2、-1,0,

当k=-2时，§=223°18,-2X360°=一496°42',

当k=-1.时，P=223°18,-360°=-136°42,,

当k=0时，6=223°18,,

所以，适合不等式一720。W/?<360。的元素£为一496。42'、一136。42'、223。18'.

(4)解：因为-225°=135°-360°,

所以,与-225。终边相同的角的集合为喋=135。+k-360。,keZ},

由一720°<135°+k-360°<360°,可得一4Wfc<-,

88

当k=-2时，p=135°-2x360°=—585°,

当k=-1时，§=135°-360°=-225",

当k=0时，/?=135°.

所以，适合不等式一720°W£<360。的元素£为一585°、-225°、135°.

4.(2023・全国•高一课堂例题)在区间［0。,360。)内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角.

(1)—80°；

(2)1600°；

(3)-819°36'.

【解题思路】通过角a的终边所成角为S=360%+a(keZ),分别对各个小问进行化简，并在区间［0。,360。)

内找出与之终边相同的角，并判定它是第几象限角.

【解答过程】(1)因为-80。=280。一360。，所以在区间［0。,360。)内，与—80。角终边相同的角是280。，它

是第四象限角.

(2)因为1600。=160。+4乂360。，所以在区间［0。,360。)内，与1600。角终边相同的角是160。，它是第二

象限角.

(3)因为一819。36'=260。24'-3X360°,所以在区间［0。,360。)内,与-819。36'角终边相同的角是260。24',

它是第三象限角.

题型2；角度与弧度的换算

1.(2023上.重庆南岸•高一校考期末)315。=()

A.—B.—C.—D.—

6644

【解题思路】利用公式可求315。角的弧度数

【解答过程】315。角对应的弧度数为会n=

1804

故选：C.

2.(2023上•广东深圳•高一统考期末)在半径为2的圆中，弧长为n的弧所对的圆心角为()

A.60°B.90°C.120°D.180°

【解题思路】根据弧长公式，结合弧度制与角度制互化公式进行求解即可.

【解答过程】弧长为it的弧所对的圆心角为：rad=90°,

故选：B.

3.(2023•高一课时练习)将下列角度化为弧度，弧度转化为角度

(1)780°

(2)-1560°

(3)67.5°

(,4,,)-y107T

(6咛

【解题思路】利用兀弧度=180。即可得出，即角度化弧度乘以三，弧度化角度乘以理，需注意单位为度.

18071

【解答过程】(1)解：780。=黑X7T弧度=等弧度，

1803

(2)解：—1560°=—竺丝x兀弧度=—空兀弧度，

1803

(3)解：67.5。=窗兀弧度=萼弧度.

lol)O

(4)解：一三兀弧度=一日x180°=-600°,

(5)解：套弧度=若=15。，

(6)解：三弧度=二x180。=315。.

44

4.(2023上•内蒙古乌兰察布•高一校考期末)(1)将下列角度和弧度进行互化.

①50。②一950°③一三n

6

(2)己知角a=2000。，将a改写成0+2/CTT(0<0<2TT)的形式，并且指出a是第几象限角.

【解题思路】(1)根据角度和弧度互化公式进行求解即可；

(2)根据终边相同角的性质进行求解即可.

【解答过程】(1)①50°=50x-rad=^rad；②—950°=-950x-^rad=-汽rad；

1801818018

③-|nrad=—|nx(詈)=-150°.

(2)a—2000°=2000x—rad=—nrad=flOn+—IT)rad,

1809\97

因为日nrad是第三象限角，因此a是第三象限角.

任意角的三角函数的定义及应用。I

1.(2023上•江苏盐城•高一校联考期末)已知角a终边经过点P(x,—6),且cosa=-卷，则x的值为()

2555

A.+-B.+-C.--D.-

-5-222

【解题思路】根据余弦函数的定义列式计算即可.

rq(X<0

【解答过程】因为角a终边经过点P(x,—6),所以cosa=x^=—所以/_25,

VX2+(-6)213[X——

v4

解得久=_|.

故选：c.

2.(2023下•江西抚州•高一统考期末)若角a的终边经过点P(—3,4),则sina+tana等于()

A.--B.—C.--D.--

15151515

【解题思路】根据三角函数定义可得.

【解答过程】因为角a的终边经过点P(—3,4),则丁=J(—3)2+42=5,

所以sina=1;tancr=一$

以sina+tana=———=——.

故选：A.

3.(2023上•云南丽江•高一统考期末)已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点

P(-4,3).

(1)求sina,cosa；

cos(^+a)-2cos(7r+a)

(2)求f(a)=的值.

sin(7r-a)+2cos(-a)

【解题思路】(1)根据三角函数的定义，即可求出结果;

(2)利用诱导公式对原式进行化简，代入sina,cosa的值，即可求出结果.

【解答过程】解：(1)因为角a的终边经过点P(-4,3),由三角函数的定义知

.y33

・•・sincr=-=/、.=

rJ(-4)2+325

x—44

cosa=—=/-----=--

rJ(-4尸+325

(2)诱导公式，得

34、

r,、-sina+2cosa--+2x(--)n

f(a)=-...........=-r-----.

)、/sina+2cosa^+2x(--)5

4.(2023•高一课时练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，角a的始边与％轴的非负半轴重合且与单位圆相

交于A点，它的终边与单位圆相交于久轴上方一点B.

(1)若点B的横坐标为-(，求tana的值；

(2)若△4。8为等边三角形，写出与角a终边相同的角£的集合.

【解题思路】(1)先利用已知条件得到B(-再根据三角函数的定义即可得出结果；

(2)由AAOB为等边三角形，所以〃OB=g,进而求解.

【解答过程】(1)因为角a的终边与单位圆相交于x轴上方一点8,可知角a纵坐标为正数,

设zn),则(Y)+病=1，解得m=|,则8(-申|),

根据三角函数的定义得：tana=*=~^=-j.

x——4

5

(2)因为A40B为等边三角形，所以乙4。8=或

则与角a终边相同的角0的集合为伊帆=三+2国1,fcez).

题型4同角三角函数的基本关系

1.(2023上•天津红桥•高一校考期末)已知tana=2,则警经陋)

5cosa-sina

3

A.4C?D.

B-T2

【解题思路】根据条件，利用齐次式即可求出结果.

【解答过程】因为tana=2,所以等空空吧=詈皿=当=|

5cosa-sina5-tana5-23

故选：C.

1

2.(2023上•广东广州•高一仲元中学校考期末)已知sina+cosa=-且aE(0,7i),则sina—cosa的值为

3

)

A1B.TD."9

【解题思路】利用同角三角函数之间的关系式可得sinacosa=-:根据a6(0,IT)即可求得结果.

【解答过程】将sina+cosa=2两边同时平方可得，sin2a+cos2a+2sinacosa=%

可得sinacosa=—

又a6(0,ir),所以sina>0,cosa<0；

易知(sina—cosa)2=sin2a+cos2a—2sinacosa=弓，可得sina—cosa=±4；

又sina>0,cosa<0,所以sina—cosa=4.

故选：C.

3.(2023下•四川乐山・高一期末)已知tana=2,计算下列各式的值：

、2sina+cosa

(1)~----1----；

sina-3cosa

(2)sina(sina+cosa).

【解题思路】(1)同除以cosa,化弦为切，进行计算;

（2）先添加分母siMa+cosz*同除以8$2a，化弦为切，进行计算.

2sina+cosa2tana+l

【解答过程】（1）=—5；

sina-3cosatana-3

sina(sina+cosa)_tan2a+tana6

(2)sina(sina+cosa)=

sin2a+cos2atan2a+l51

sina—cosai

4.（2023上•四川成都•高一校联考期末）已知

3cosa+2sina7,

⑴求tana；

(2)求2sin2a—sinacosa的值.

【解题思路】（1）上下同除cosa,将正余弦化成正切即可计算;

（2）借助siMa+cos2a=1,将原式化为齐次分式后上下同除cos2a,将正余弦化成正切后借助tana的值

即可计算.

sina—cosatana-11

【解答过程】（1）・・•,・•・7(tancr-1)=3+2tancr,

3cosa+2sintz3+2tana7

解得tana=2；

2sin2cr—sinacoscr

(2)2sin2cr—sincrcoscr=

siMa+cos2a

2tan2a-tana2x22-26

tan2a+l22+l5'

金函数的诱导公式PI

1.（2023上•重庆•高一统考期末）sin（—慧空）=（）

【解题思路】直接利用诱导公式计算得到答案.

11

【解答过程】sin(-之。/)=sin(—225TT+T)=—sin=—当

故选：B.

cos(a-37i)cos^-a)

2.（2023上•山东荷泽・高一校联考期末）化简・()

sin2(a-)

i

A.B.——C.tanaD.

tanzatanzatana

【解题思路】利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

cos(a-3n)cos偿-a)-cosa-(-sina)sina

【解答过程】-----=tana

sin2(a-)cos2acosa

故选：c.

3.（2023上•北京•高一校考期末）己知cosa=j且-g<a<0,化简并求士喈与喑华卫的值.

32sin（―—ajcos（-4-aj

【解题思路】利用同角三角函数的基本关系求出tana,然后利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.

【解答过程】解：因为cosa=%且一］<仇V0，贝Usina=-V1-cos12a=-Jl-=一#，

所以，tana==一^^X3=-2企，

cosa3

故£:os(-a-TT)sin(2n+a)tan(2Tr-a)_(-cosa)-sina(-tana)=tana=—2位.

sind_a)cos(]+a)(-cosa)-(-sina)

4.（2023上•广东汕头•高一统考期末）已知角a是第三象限角，且（（戊）=辿空警=二学半三2

tan（-a-7r）sin（-7r-a）

⑴化简f(a);

（2）若sin（a—兀）=：,求/'（a）的值.

【解题思路】（1）利用三角函数的诱导公式，可得答案;

（2）根据角的所在象限，利用同角三角函数的平方式以及三角函数的诱导公式，可得答案.

sin(7r-a)cos(27r-a)tan(a+7r)_sinacosatana_

【解答过程】⑴/'(a)=—cosa.

tan(-a-7r)sin(-7r-a)-tanasina

(2)因为sin(a—TT)=—sincr=所以sina=-

又角a是第三象限角，所以cosa=—麦1一sin2a=——,

所以/(a)=—cosa=—.

题型6V三角函数的定义域、值域与最值问题

1.（2023下•内蒙古包头•高一统考期末）函数y=tan卜乂―f的定义域是（）

A.{久卜力||+§,kez}B.{比卜力工+kit,k6Z}

C.{%|x—H---,/cGZD.{x|x^—+fcn,k6z}

【解题思路】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案.

【解答过程】由题意可得：2x—*抖加快0,解得万力,+浮（kez）,

函数y=1211（2乂-§的定义域为1%,+eZj.

故选：A.

2.(2023下•陕西渭南•高一统考期末)已知函数/(%)=|(sinx+cos%)—||sinx-cosx|(xER),则/(%)的

值域是()

A.(T闿B.c,D.(―房)

【解题思路】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，根据分段函数求出每一段的定义域，由三

角函数的性质分别求值域，从而可得结果.

【解答过程】由函数/'(x)=1(sinx+cosx)-j|sinx-cosx|,

可彳目「_Ccosx(sinx>cosx)_(cosx,xe[2/CTT+-(2kIT+7]

(sinx(sinx<cosx)(sinx,%G(2kn—宇,2kir+»

当x6[2/crt+：,2fcn+号]时，f(x)G[—1,0].

当xe(2kir—亨,2k?r+：)时，/(x)e(—11),

故/(x)值域为卜L'],

故选：C.

3.(2023上•山东泰安・高一校考期末)已知函数/(久)=sin卜久+习一1

(1)求/。)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若xe[4图，求/(x)的最小值及取得最小值时对应的x的取值.

【解题思路】(1)根据正弦型三角函数的最小正周期与单调区间求法计算直接得出答案；

(2)根据正弦型三角函数的在区间上最值的求法直接得出答案.

【解答过程】⑴因为T=W=¥=TC,故/(x)的最小正周期为n；

由---F2fcirW2.x4—4—F2kli,kGZ,得：---FkuW%4—Fk7i,kGZ,

26236

故/⑺的单调递增区间为：[冶+々吒+对心GZ).

(2)因为XW[—苗],故2%+频[一]冷卜则sin(2%+')£

故当2%+：=-1，即％=-]时，/(%)取最小值一2.

4.(2023上.安徽六安.高一六安一中校考期末)已知函数g(%)=cos(4%+詈)+1,%e

⑴求g(%)的值域；

(2)若关于x的方程g2(%)+(2-m)g(x)+3-m=0有两个不等的实根，求实数机的取值范围.

【解题思路】(1)根据余弦函数的性质结合整体思想即可求得函数的值域；

(2)令t=g(%),贝kw|o,|],令f(t)=/+(2-+3-zu,则题目可转化为函数/(t)有两个不等的零

点，再根据二次函数的性质即可得解.

【解答过程】(1)当无€卜,目时，4%+詈€„

所以cos(4%+段)W[-1周,

所以g(%)=cos(4%+号)+1E[o,芥

故9(%)的值域为

(2)令t=g(%),贝!

令f(t)=产+(2—m)t+3—7H,

r△=(2—m)2—4(3—m)>0

0<—<-

根据题意，f/n、J；n，解得<m<3,

j(。)=3-m>0

r/3\9,3(2-m).o、八

此时f(t)有两个不同的零点，而t=g(x)在卜，同上单调，

所以2或<m<3.

角函数的单调性问题。|

1.(2023上•宁夏银川・高一银川二中校考期末)下列四个函数中，以TT为最小正周期，且在区间C，n)上单

调递减的是()

A.y—sin|%|B.y—cos%C.y——tan%D.y=sin|

【解题思路】根据三角函数的最小正周期以及单调性，一一判断各选项，即得答案.

【解答过程】对于A:对于函数y=sin|x|,sin吟|=1,sin|n+/1=故y=sin|%|不是以n为周期的函

数，故A错误；

对于B：函数y=cos%的最小正周期为2m故B错误；

对于C：函数y=-tan、以11为最小正周期，在仁用)上单调递减，故C正确；

对于D：y=sin|的最小正周期为竽=4K,故D错误，

故选：C.

2.（2023上•江苏宿迁•高一校考期末）已知函数其中3>0.若/（无）=夜sin（wc+»/（x）在区间g斗）上

单调递增，则。的取值范围是（）

A.（0,4]B,（0,|]C,[1,3]D,（0,|]u[j,3]

【解题思路】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间，然后分类讨论可得.

【解答过程】由—X+2fcir<cox+-<-+2Mi,kGZ解得——+变^<%<—4-——,kEZ,

2424too）4a）co

所以函数小）的单调递增区间为卜熹+等，合+等],kez,

因为f（x）在区间&乎）上单调递增，所以722管一习=]所以0<3W4.

_曳4

当k=0时，由f（x）在区间@，4）上单调递增可知或彼得0<34

4a)-4

'旦式工

当k=l时，由解得Iwa。；

434

3<E

当k=2时,胃[3；无实数解・

--之--

,4co4

易知，当kW-1或k22时不满足题意.

综上，3的取值范围为（0岗U[|,3].

故选：D.

3.（2023上・甘肃定西•高一统考期末）已知函数/（久）=2cos（3久+@）（3>0,0<0<TT）图象相邻两对称轴

之间的距离为T且/（。）=1.

（1）求函数/（X）的解析式；

（2）求函数/'（%）的单调区间.

【解题思路】（1）由已知及最小正周期求求参数，即可得解析式;

（2）应用整体法求余弦函数的单调区间.

【解答过程】⑴由f(0)=2cos9=1今COS?=%又。<0<Tt,则9=今

函数/⑺图象相邻两对称轴之间的距离为]故7=詈=11=3=2,

•••/(%)=2cos(2x+0.

(2)令一IT+2/cir42.xH—W2/CTC且/cGZ,解得----FkuW%4ku—，/cGZ,

336

令2/cir<2%+-<2/CTT+TI且/c6Z,解得--+fcn<%<fen+-,々EZ,

363

故f(x)的单调递增区间为卜g++(fceZ),单调递减区间为卜2+knW+kn］(fceZ).

4.(2023上•山东临沂・高一校考期末)己知函数/'(久)=asin(3X+§+6(3>0),f(x)图象的一条对称轴离

最近的对称中心的距离为二a=l,b=0.

4

(1)求函数/(X)图象的对称轴方程和对称中心的坐标；

⑵求函数/(久)在［0,71］上的单调增区间.

【解题思路】(1)由函数图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为;，可得函数解析式，进而根据正弦

函数的对称轴方程和对称中心，求出函数/(%)图象的对称轴方程和对称中心的坐标.

(2)由(1)知函数解析式，进而根据正弦函数的单调区间，求出f(%)在［0,可上的单调增区间.

【解答过程】(1)由题a=l,b=0,则/(%)=sin(3%+。

・・•/(%)图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为5

•••：=：,即T=11,・•・3="=2・•・/(x)=sin(2x+g),

令2%+］=］+kn,kGZ,则％=巳+§，

所以/(%)图象的对称轴方程为％=卷+?#GZ,

令2%+；=/m,k£Z,则％=—2+?，fcGZ,

所以/(%)图象的对称中心的坐标为(一：+?,())#6Z

(2)由⑴知，/(%)=sin(2%+；),

令2fcir-,42%+142/CK+；(/CGZ),则kn—,A%—ku+?(欠EZ)

当k=0时，一包三%工工，当々=1时，-<%<—,

12121212

函数“X)在［0同时的单调增区间为［o,总，管,斗

两角和与差的三角函数公式的应用。|

1.(2023下•江西高一统考期末)cos82°cos22°+sin82°sin22°=()

D.?

A-B-c1

【解题思路】利用两角差的余弦公式求解即可

【解答过程】cos82°cos22°+sin82°sin22°=cos(82°-22°)=cos60°=

故选：C.

2.(2023上•吉林长春•高一校考期末)若0<a<]-^</?<0,cosa=sin(a+°)=2，贝!Jsin/?=()

AA.——V3B.-渔cD.手

33--T

【解题思路】根据sin/?=sin[(a+夕)一a]=sin(a+3)cosa—cos(a+0)sina求解即可.

【解答过程】因为cosa=弓，0<a<会所以sina=当

因为0<aV$<0<0,所以—]Va+/?<$

又因为sin（a+夕）=1,所以cos（a+£）=乎.

所以sin/?=sin[(a+£)—a]=sin(a+£)cosa—cos(a+S)sina

1V32V2V6V3

=-X---------------X—=---------.

33333

故选：B.

3.（2023下•江苏淮安・高一统考期末）已知sina=卷，sin（a+夕）=%0<^<^<a<n.

⑴求cos(a-；)；

(2)求cos(£+；).

【解题思路】（1）由已知函数值以及角的范围可得85仇=-葛，结合两角差的余弦公式即可求值.

（2）根据夕+；=（。+夕）一（1一3,结合两角差的正余弦公式即可求值

【解答过程】（1）因为^VaV"，则cosa=—.1—sin2a=-,

TT,.Tl

所以cos（仇一=cosacos-+sinasin-—Wx叵——电

4413213226

(2)由(1)可得：sin(a—-)=sinacos--cosasin-=Ex五一（一竺）*立=幽

\4./44132V13/226

因为0<p<^<a<n,则a+0£(]T)'

可得cos(a+夕)=_Jl-sin2(a+0)=—|,

+sin(a+/?)•sin(a—

_3xf_Zy2A+4x17y2=89y2

5\26J526130,

4.（2023下•湖北十堰•高一统考期末）已知cos《—a）=|,sing+S）=告,a€&乎"6（0,J.

⑴求sin2a；

(2)求cos(a+C).

【解题思路】（1）利用和差公式将cosC-a）=|展开，然后平方后化简可得;

（2）根据诱导公式、平方关系和和差公式可解.

【解答过程】⑴因为cosg—a）=|,

所以cos^cosa+sin-sina=即cosa+sina=-V2.

4455

所以(cosa+sina)2=||,则1+2sinacosa=即1+sin2a=||

7

所以sin2a=——.

（2）因为ae&E）,所以1ae冶,0），

又因为cos(：_a)=|,所以sin(q_a)=_:

因为sin管+夕）=一,,所以sin仁+S）=—sin得+。=蒋,

又0e（。*贝哈+0«/），所以cos（E+0）="

则cos(a+夕)=cos[(：+夕)——仇)]

=侬6+£)cosQ-a)+sin弓+夕,也仁―。）

53,12(4\33

=—X-H——X--

13513V5/65

故cos(a+^)=——

65

利用二倍角公式化简、求值

1.（2023下・甘肃临夏•高一统考期末）若sina=—且a6患），贝！Jsin（n-2a）=（）

c不D.手

B・谭

【解题思路】根据同角三角函数基本关系及诱导公式、二倍角正弦公式求解.

【解答过程】因为sina=/ae&T）,

2V2

所以cosa=

3

所以sin(n—2a)=sin2a=2sincrcoscr=2x

故选：D.

2.(2023上•内蒙古包头•高三统考期末)已知仇€(04)，2sin2a=cos2a+1+cos2cr,贝!Jtan2a=()

A.—B.—C.—D.—

725725

【解题思路】先利用倍角变形求得tana,再利用二倍角的正切公式求tan2a即可.

【解答过程】2sin2a=cos2a+1+cos2a

•••4sincrcosa=cos2a—sin2a+cos2a+sin2a+cos2a

即4sinacosa=3cos2a,

ae（°，：），•••cosaW0,

•••4sina=3cosa,即tana=：

-2tana2x724

••・tan2a=-------=—浮=——.

l-tan2a1——7

16

故选：c.

3.（2023上•河南新乡•高一校联考期末）已知sina=甯,sin（a+£）=|,其中a€（0,）。€（-泉0）.

⑴求S；

（2）求sin（2a-/?）.

【解题思路】（1）依题意，先确定a+夕的取值范围，利用同角三角函数的平方关系，求得cos（a+/?）和cosa

的值，然后把口凑成S=（a+夕）-a的形式，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可；

（2）结合（1）中结论，利用二倍角公式求得sin2a和cos2a的值，再利用两角差的正弦公式，展开求解即

可.

【解答过程】（1）因为aE（（）,］）邛C0）,所以a+

又因为sin(a+y?)=|,且a+/?W(0(),所以cos(a+夕)=，.

因为sina=罄，a€(0弓)，所以cosa=^|,

则sin/?=sin[(a+/?)—a]=sin(a+/?)coscr—cos(a+/?)sina=|x|x等=一',

又因为所以s=_:

(2)由(1)可得cosa=立，/?=--,

10厂4

因为sin2a=2sinacosa=2x-x—=—,

101025

则cos2a=1—2sin2a=—

所以sin(2a—/?)=sin2acos/?—cos2asin/?=卷x乎一(一费)x(―

4.(2023下•江苏宿迁•高一统考期末)已知2sina=1—2cos2p

(1)求cos2a的值；

(2)已知3tan2s—8tan/?-3=0,求tan(a+2，)的值.

【解题思路】(1)利用二倍角公式化简得2sina=-cosa,然后用弦化切求解或者二倍角公式求解;

(2)利用二倍角公式和两角和的正切公式即可求解.

【解答过程】(1)法一：2sina=1—2cos2=—(2cos2-1)=—cosa,

得tana=—|

c7.7cos2a-sin2al-tan2a1-73

cos2a=cosa—singer=­；--「一=-----=—T=-

cosza+smzal+tanzai+-5

4

法二：2sina=1—2cos2^=—(2cos2-1)=—cosa,

由sin2a+cos2a=1,得sin2a+4sin2a=1,sin2a=

c13

cos2a=1—2sin2a=1—2x-=-

55

(2)法一：由3tan2/7—8tan/?-3=0,得—8tan£=3(1—tan2/?),

2tanj?2tan03

1—tan2s=--tanj6,tan2/?=

l-tan2j?--tan/?4

1

由(1)知，tana

2

tana+tan20

得tan(a+20)=-2.

l-tancrtan2^i-(-1)x(--)

法二：由3tan2/7—8tan/?-3=0,得(tan/?-3)(3tan/?+1)=0,

tan/?=3或tanS=--

2tan0_2x33

当tan^=3时，tan2s=

l-tan2^?-1-324

2tan02X（-1）3

当tanS=—1时，tan2/?=

1-tan2^”（管24’

故tan2/?=—|,由（1）知，tana=—

_tana+tan20

得tan（a+2/?）

l-tanatan2^一（~5）x（-n

题型10三角函数间图象的变换

1.（2023上•北京•高一校考期末）要得到函数y=sin（3x—§的图象，只要把函数y=sin3x的图象（）

A.向左平移g个单位;B.向右平移;个单位;

C.向左平移W个单位；D.向右平移E个单位

【解题思路】根据三角函数平移变换规则计算可求解.

【解答过程】由题意知：y=sin（3%-以=sin3（x—1）,

所以只需、=sin3x的图像向右平移弓个单位就可以得到y=sin（3x-习的图像，故D项正确.

故选：D.

2.（2023上•江苏盐城•高一校联考期末）要得到函数y=3cos久的图象，只需将y=3sin卜x+：）的图象上

所有的点（）

A.横坐标变为原来的$（纵坐标不变）再向左平移;个单位长度

24

B.横坐标变为原来的;（纵坐标不变）再向左平移W个单位长度

C.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移;个单位长度

D.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移三个单位长度

8

【解题思路】y=3cos%=3sin（%+1）,利用伸缩变换与平移变换由y=3sinQx+个）的图象得到y=3cosx

的图象.

【解答过程】因为y=3cosx=3sin（x+9,将y=3sin（2%+力的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍

（纵坐标不变）得到y=3sin（x+；）,

再向左平移；个单位长度得y=3sin（x+0,即得到函数y=3cosx的图象.

故选：C.

3.(2023下•江西•高一校联考期末)已知函数/(%)=|sin2x+sin2K.

(1)求/。)的最大值及相应式的取值；

(2)若把f(x)的图象向左平移方个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)在[0,用上的单调递增区间.

【解题思路】(1)化简函数，然后结合三角函数函数的性质判断函数最值；

(2)根据“左加右减”平移函数图像，然后整体代入求解函数的单调递增区间；

【解答过程】(1)因为/(x)=]in2x+si/x=]sin2x+

V2/itx1

=_sin(2x__)+_

所以当2%—U=2kn+-,kEZ,

42

即x=+6Z时，/(x)取得最大值”.

82

(2)5(x)=/(x+=)=^sin[2(x+-=]+1=sin(2x+§)+

f6z

1-1c

*2^-=<2x+-=<2fcu+2

得:/cu—%<fcn+—,/cGZ,

取/c

4.(2023下•江西赣州•高一统考期末)己如函数/(x)=2cos(2x+f+l.

⑴用“五点法”作出函数/(x)在区间[/月上的图像；

(2)将函数/(久)的图像向右平移g个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不

6

变，得到函数g(x)的图像，求g(x)在区间[一,弓上的取值范围.

【解题思路】(1)根据题意列出“五点法”对应的表格，从而得解;

(2)利用三角函数平移伸缩变换的性质得到g(x)的解析式，从而利用三角函数的性质即可得解.

【解答过程】(1)依题意，列表如下:

IT71717TT5TT

X

~612312~6

ITIT3

2x+—0IT2TT

22H

fix)31-113

所以数f（x）在区间[/,"上的图象如下:

(2)因为/(x)=2cos(2x+；)+1,

所以将函数f（x）的图像向右平移，个单位长度，可得到y=2cos[2（x-分+1+1=2cos2x+1的图像,

再将得到的图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得到或无）=2cosx+1的图像,

因为一工<x<-,所以3<cosx<1,则遮