高考数学一轮复习：函数的零点与方程的解

§2.11函数的零点与方程的解

【考试要求】1.理解函数的零点与方程的解的联系2理解函数零点存在定理，并能简单应用.

3.了解用二分法求方程的近似解.

■落实

【知识梳理】

1.函数的零点与方程的解

（1）函数零点的概念

对于一般函数y=黄劝，我们把使心3=0的实数尤叫做函数y=Ox）的零点.

（2）函数零点与方程实数解的关系

方程式尤）=0有实数解二函数v=/U）有零点㈡函数y="）的图象与x轴有公共点.

（3）函数零点存在定理

如果函数y=Ax）在区间［a,6］上的图象是一条连续不断的曲线，且有血）也）<0,那么，函数

Y=/U）在区间（a,6）内至少有一个零点,即存在cG（a,b）,使得总?）=0,这个c也就是方程

40=0的解.

2.二分法

对于在区间［。，切上图象连续不断且应皿组的函数y=/a），通过不断地把它的零点所在区

间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近雯直，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

【常用结论】

1.若连续不断的函数近尤）是定义域上的单调函数，则/（X）至多有一个零点.

2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.（X）

（2）连续函数>=於）在区间（a,b）内有零点，则|砂型）<0.（X）

（3）函数>=加）为R上的单调函数，则«r）有且仅有一个零点.（X）

（4）用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.（V）

【教材改编题】

1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（）

答案A

解析由图象可知，B,D选项中函数无零点，A,C选项中函数有零点，C选项中函数零点

两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用

二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点.

3

2.函数>=提一Inx的零点所在区间是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

答案B

,_3

解析因为函数的定义域为(0,+°°),且函数在(0,+8)上单调递减；y=—In%在(0,

+8)上单调递减，

3

所以函数y=1—Inx为定义在(0,+8)上的连续减函数，

3

又当x=2时，>=2一ln2>0；

当冗=3时，y=l-ln3<0,

两函数值异号，

3

所以函数丁=：-Inx的零点所在区间是(2,3).

3.函数/(x)=e%+3x的零点个数是()

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析由/(尤)=e'+3>0,所以兀0在R上单调递增，又八一1)=9一3<0,五0)=1>0,因此

函数犬乃有且只有一个零点.

■探究核心题型

题型一函数零点所在区间的判定

例1(1)函数五x)=lnx+2x—6的零点所在的区间是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

答案B

解析由题意得，»=lnx+2x-6,在定义域内单调递增，

汽2)=ln2+4—6=ln2—2<0,

A3)=ln3+6-6=ln3>0,

则42加3)<0,

二零点在区间(2,3)上.

延伸探究用二分法求函数八x)=Inx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过

次二分后精确度达到0.1()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析...开区间(2,3)的长度等于1,

每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，

经过〃次操作后，区间长度变为去，

故有卷(0.1,解得“24,

至少需要操作4次.

(2)(2023・蚌埠模拟)已知xi+2国=0,X2+log2尤2=0,32一iog>3=0，贝U()

A.X\<X2<X3B.X2<Xi<X3

C.X1<X3<X2D.X2<X3<X{

答案A

解析设函数八x)=x+2，，易知人x)在R上单调递增，

X-l)=-1.刖)=1，即式一1求0)<0,

由函数零点存在定理可知，-1<的<0.

设函数g(%)=x+log2X,

易知g(x)在(0,+8)上单调递增，g⑤=—3，g(l)=l,

即g自g⑴<0,

由函数零点存在定理可知，

设函数饵%)=(1)—10g2X,

易知/z(x)在(0,+8)上单调递减，/2(1)=1,以尤3)=0,

因为h(l)>h(X3),

由函数单调性可知，X3>1,

即一1<X1<O<X2<1<X3.

思维升华确定函数零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y=/(x)在区间m，切上的图象是否连续，再看是否有

八。)次b)<0.若有，则函数>=/(尤)在区间(a,6)内必有零点.

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与无轴在给定区间上是否有交点来判断.

跟踪训练1(1)(多选)函数x—2在下列哪个区间内必有零点()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

答案AD

解析八-2)=！>0,A-i)=1-i<o,

/0)=-1<0,Al)=e-3<0,

A2)=e2-4>0,

因为八一2)次-l)<0,八1)负2)<0,

所以穴尤)在(-2,—1)和(1,2)内存在零点.

(2)若a<b<c,则函数於)=(%一”)•(%—b)+(x—/?)(%—c)+(%—c)(%—〃)的两个零点分别位于区间

()

A.(a,力)和(b,c)内

B.(—8,和(〃，/?)内

C.(b,c)和(c,+8)内

D.(—8,4)和(C,+8)内

答案A

解析函数y=/(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于。<。<。，则a—/?<0,a—

c<0,b—c<0,因此/(〃)=(〃一b)(a—c)>0,f(b)=(b—c)(b—a)<0,/(c)=(c—a)(c—b)>0.

所以必/b)<0,加/c)<0,

即危)在区间(a,b)和区间(。，c)内各有一个零点.

题型二函数零点个数的判定

例2(1)若函数/(x)=|x|,则函数y=/(x)—log1|尤|的零点个数是()

2

A.5B.4C.3D.2

答案D

解析在同一平面直角坐标系中作出/(x)=|x|,g(x)=log］|x|的图象如图所示，则y=/(x)—

2

log1|x|的零点个数，即"r)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.

2

(2)已知在R上的函数/)满足对于任意实数尤都有五2+尤)={2—劝，犬7+防=/(7—x),且在

区间［0,7］上只有尤=1和x=3两个零点，则八无)=0在区间［0,2023］上根的个数为()

A.404B.405C.406D.203

答案C

解析因为犬2+x)=/(2—x),1x)关于直线x=2对称且式5+尤)=/(—x—1)；

因为五7+劝=/(7—x),故可得五5+工)=/(—x+9)；

故可得八一x—1)=K—x+9),则五尤)=/(x+10),

故人x)是以10为周期的函数.

又/(x)在区间［0,7］上只有x=l和x=3两个零点，

根据函数对称性可知，1Ax)在一个周期［0,10］内也只有两个零点，

又区间［0,2023］内包含202个周期,

故兀0在［0,2020］上的零点个数为202X2=404,

又7U)在(2020,2023］上的零点个数与在(0,3］上的零点个数相同，有2个.

故五x)在［0,2023］上有406个零点，

即40=0在区间［0,2023］上有406个根.

思维升华求解函数零点个数的基本方法

(1)直接法：令五x)=0,方程有多少个解，则兀r)有多少个零点；

(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；

(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点

个数.

I|lgx\,x>0,

跟踪训练2(1)(2022•泉州模拟)设定义域为R的函数1x)=2cf则关于x的函

［xr2x，x0,

数y=）（无）一3加）+1的零点的个数为（）

A.3B.7C.5D.6

答案B

解析根据题意，令"飞0—浜尤）+1=0,

得加）=1或段）=当

作出/（x）的简图如图所示，

2

由图象可得当於）=1和段）=£时，

分别有3个和4个交点，

故关于x的函数》二^④一3段）+1的零点的个数为7.

（2）函数/尤）=、36—f-cosx的零点个数为.

答案6

解析令BG—x2'。，解得一6WxW6,

.\Kx）的定义域为[—6,6].

令人x）=0得36—/=0或cosx=0,

由36一炉=0得尤=±6,

71

由COS尤=0得X=]+防T,左GZ,

又xd[—6,6],的取值为一苧,—彳，当

故人X）共有6个零点.

题型三函数零点的应用

命题点1根据零点个数求参数

4一炉xW2,

'''g（x）=kx—3k,若函数段）与8（此的图象

{log3（X—1）,x>2,

有三个交点，则实数上的取值范围为（）

A.（2^2-6,0）B.（2^3-6,0）

C.（-2,0）D.（2^/5-6,0）

答案D

解析作出函数於)=：14—(-)，】＞2的图象’如图所示,

设与＞=4一，相切的直线为/,

且切点为P(xo,4—焉)，

因为_/=-2%,所以切线的斜率为％=—2xo,

则切线方程为y—4+xo=-2xo(x-xo),

因为g(x)=kx—3k过定点(3,0),且在切线I上，

代入切线方程求得必=3一小或尤o=3+小(舍去)，

所以切线的斜率为％=2小一6,

因为函数/U)与g(£)的图象有三个交点，

由图象知，实数左的取值范围为(2小一6,0).

命题点2根据函数零点的范围求参数

1CLX

例4(2023•北京模拟)已知函数本)=3'-若存在无()e(—8,-1),使得加o)=O,则实

数。的取值范围是()

C.(-8,0)D.0,+°0

答案B

解析由加0=3，一三1—I—回ax=0,可得。=3工一点1

令g(x)=3*—：其中xG(—8,—1),

由于存在尤0^(—8,—1),使得y(xo)=o,

则实数。的取值范围即为函数g(X)在(一8,—1)上的值域.

由于函数y=3*,y=—：在区间(-8,—1)上均单调递增，

所以函数g(x)在(一8,—1)上单调递增.

当Xd(—8,—1)时，

1_4

g(x)=3x--＜g(-l)=3-1+l=3,

又g(x)=3*—：>0,

所以函数g(x)在(一8,—1)上的值域为(0,£).

因此实数。的取值范围是(o,£).

思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合

求解.

2

跟踪训练3(1)函数段)=2%—最一〃的一个零点在区间(1,2)内，则实数〃的取值范围是()

A.0<。<3B.1<。<3

C.l<a<2D.

答案A

22

解析因为函数y=2",>=—嚏在(0,+8)上单调递增，所以函数式尤)=2*—a在(0,+°0)

上单调递增，

2

由函数八劝=2工一提一a的一个零点在区间(1,2)内得，式1)义<2)=(2—2—a)(4—1—a)=(—a)

X(3-a)<0,解得0<a<3.

Inx.

----，x>0,

(2)(2023・唐山模拟)已知函数兀v)=j尤若ga)=/(x)—。有3个零点，则实数。

xWO,

的取值范围为()

A.(-1,0)B(-1,£)

c［。，I)D(0,§U{-1}

答案B

解析设3)=?(尤>0),

,1—Inx

则h(x)=~~2—,

令(x)>0,得0<x〈e,

令/(x)<0,得%>e,

所以函数人(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

所以/l(X)max=//(e)=：.

因为函数g(x)=/(x)一。有3个零点，

所以方程式x)=a有3个解.

作出函数y=/(x)和y=a的图象如图所示,

所以a的取值范围为(一1,I).

课时精练

应基础保分练

X

1.(2022•焦作模拟)设函数式x)=2叶弓的零点为尤。，则xo所在的区间是()

A.(—4,—2)B.(—2,—1)

C.(1,2)D.(2,4)

答案B

1?11

解析易知於)在R上单调递增且连续，式-2)=耳一弓<0,八-1)=]—彳>°，所以尤()6(—2,

-1).

2.用二分法研究函数H1的零点时，第一次经过计算得五0)<0,/0.5)>0,则其

中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为()

A.(0,0.5),八0.125)B.(0,0.5),八0.375)

C.(0.5,1),X0.75)D.(0,0.5),犬0.25)

答案D

解析因为八0求0.5)<0,

由函数零点存在定理知，零点为6(0,0.5),

根据二分法，第二次应计算上汽，即汽0.25).

[x2-2x—3,

3.函数/(%)=,c一八的零点个数为()

[log2X—3x+4,x>0

A.1B.2C.3D.4

答案c

解析当xWO时，令人期=%2—2%—3=0,

得x=—1（元=3舍去），

当x＞0时，令«r）=0,得log2X=3x—4,

作出y=log2X与y=3x—4的图象，如图所示,

由图可知，y=log＞与y=3x—4有两个交点，

所以当心＞0时，“x）=0有两个零点，

综上，八工）有3个零点.

4.已知函数/（x）=k）g2a+l）—：+根在区间（1,3］上有零点，则实数机的取值范围为（）

B.1-8,—|^U（0,+°0）

c（-8,—|U（0,+°0）

D［T°）

答案D

解析由于函数y=log2（x+l）,y=zn—：在区间（1,3］上单调递增,

所以函数人x）在（1,3］上单调递增，

由于函数yu）=iog2（x+i）—;十机在区间（1,3］上有零点，

m<0,

即|5

则43)N0,

m+^^O,

解得一加＜0.

因此，实数机的取值范围是0）.

\2~x,x＜0,

5.已知函数兀c）=J，'、若函数g（x）=A尤）一机有三个零点，则实数机的取值

L1+\x~11,x30,

范围是（）

A.(1,2]B.(1,2)

C.(0,1)D.[1,+8)

答案A

解析因为函数g(x)=fix)—m有三个零点，

所以函数«x)的图象与直线y=机有三个不同的交点，

作出函数段)的图象，如图所示，

由图可知，l<m^2,即根的取值范围是

6.已知函数加0=%—5(x>0),g(x)=%+e”,/z(x)=%+lnx(x>0)的零点分别为阳,孙知则()

A.Xl<X2<X3B.X2<Xl<X3

C.X2<X3<XlD.X3<Xl<X2

答案c

解析函数7(x)=x—3：(x>0),ga)=x+e*,/z(x)=x+lnx(x>0)的零点，即为、=无与y=/(x>0),

y=—e*,y=—lnx(x>0)的交点的横坐标，

作出y=x与y=5(x>0),y=~ex,y=-In尤(x>0)的图象，如图所示.

可知X2<X3<JCl.

7.(多选)函数/)=sinx+2|sinx|,xd[0,2用的图象与直线y=Z的交点个数可能是()

A.1B.2C.4D.6

答案ABC

解析由题意知，

fix)=sinx+2|sinx\,x[0,2TI],

[3sinx,[0,7i],

[—sinx,%£(兀,2K],

在坐标系中画出函数兀灯的图象如图所示.

由其图象知，直线y=k与>=式尤)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.

8.(多选)(2023•南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般

不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹・布劳威尔(LEJ.Brouwer),简单地讲，就是

对于满足一定条件的连续函数兀v),存在一个点xo,使得五xo)=xo,那么我们称该函数为“不

动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()

A.式尤)=2*+xB.fix)=^-x~3

C.左:)=2+1D.X^)=llog2x|-1

答案BCD

解析选项A,若玲⑹=刈，则2'。=0,该方程无解，

故该函数不是“不动点”函数；

选项B,若兀⑹=须，则看一2xo—3=0,

解得沏=3或xo=—1,故该函数是“不动点”函数；

选项C,若於0)=尤0,则河+l=X0,

可得看一3xo+l=O,且xo》l,

解得xo=故该函数是"不动点"函数；

选项D,若於o)=xo,则|logzxo|—l=xo,

即|log2尤o|=Xo+l,

作出y=|log刈与y=x+l的函数图象，如图，

由图可知，方程|log"|=x+l有实数根xo,

即存在尤0,<|log2Xo|—l=xo,

故该函数是“不动点”函数.

9.已知指数函数为«x)=4'1则函数y=«T)—2”1的零点为

答案1

解析由兀V)—2”1=4*—2#1=0,得2%2工-2)=0,x=l.

10.(2023•苏州质检)函数人尤)满足以下条件：①ZU)的定义域为R,其图象是一条连续不断的

曲线；@VxeR,<无)=八一%)；③当即，X2e(o,+8)且打不尬时，如)二人龙”>0；④小尤)恰

X\一X2

有两个零点，请写出函数人元)的一个解析式.

答案於)=/一1(答案不唯一)

解析因为VxGR,所以/(x)是偶函数，

因为当XI,%2^(0,+8)且X1WX2时，*“)

X\~X2

所以在(O,+8)上单调递增，

因为“X)恰有两个零点，

所以犬x)图象与x轴只有2个交点，

所以函数式X)的一个解析式可以为/(x)=x2-1(答案不唯一).

flog2X,X>0,

11.已知函数兀ye且关于X的方程7(X)+X—4=0有且只有一个实根，则实

〔3%,xWO,

数〃的取值范围是.

答案(1,+°°)

解析方程火x)+x—〃=0有且只有一个实根，即次X)=—有且只有一个实根，

即函数y=«x)的图象与直线y=—有且只有一个交点.

如图，在同一直角坐标系中分别作出y=/(x)与y=—X+Q的图象，其中〃表示直线y=—x+

。在y轴上的截距.

由图可知，当时，直线y=-与y=/(x)有两个交点，

当〃>1时，直线y=—x+q与y=/(x)只有一个交点.

故实数4的取值范围是(1,+8).

倒一1|,X^l,

12.已知函数加)={函数y=/(x)一〃有四个不同的零点％1,%2,X3，X4,且

[(%—2)”,%>1,

2』+2%2

X1<X2<X3<%4，则-------

x3+尤4

答案2

解析y=/(x)—a有四个不同的零点修，X2,X3,X4,

即方程兀x)=”有四个不同的解，

即y=/U)的图象与直线y=a有四个交点•

在同一平面直角坐标系中分别作出y=«x)与>=〃的图象，如图所示,

oxi_i_?巧1

所以2通+2*=2,故

%3+x4/

筵综合提升练

13.已知函数/(x)=|ex—1|+1,若函数g(x)=[/(x)]2+(a—2求x)—2a有三个零点，则实数a的

取值范围是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

答案A

解析令则函数g(f)=—+(a—2)t—2a,由产+(a—2)t—2。=0得，f=2或/=-a.