高考数学模拟大题规范训练23（含答案及解析）

高三数学大题规范训练（23）

15.如图，在三棱锥尸—ABC中，PA±AC,。,。,石分别是线段PAQCAC的中点,

AB=BC,BD=O，PA=4,AC=2,BE=1.

P

（1）求证：DE工平面ABC；

（2）求二面角Q—A正弦值.

16.记S,是等差数列｛%｝的前〃项和，已知。6=邑+2,S6=4a5.

（1）求｛4｝的通项公式；

—

（2）设（=I1---邑-1人-----S-3-1人.....s..j.I1---S-“-+-J,证明：-2<T—4•

17.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气

浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香.双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋

和白糖制成.水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生

长发育所需的氨基酸和微量元素.不过新鲜的水牛奶保质期较短.某超市为了保证顾客能

购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数

据：

日销售量/

0123

件

天数5102510

假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.

（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；

（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对水牛奶实行如下

存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至

3件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架

上有1件存货的概率.

18.己知函数/（x）=lnx-ov+a2（aeR）,g（x）=lnx+—（meR）.

%

（1）当根=1时，求函数y=g（x）的最小值；

⑵否存在0＜药＜不，且%，%，退依次成等比数列，使得g（%1）,g（%2），

g（F）依次成等差数列？请证明；

2

（3）当时，函数了（无）有两个零点外,马，是否存在西+无，＞。+——1的关系？若存

a

在，请证明；若不存在，请写出正确的关系.

19.在平面直角坐标系中，已知两定点A（T,O）,B（4,0）,M平面内一动点，自M作

MN垂直于A3,垂足N介于A和8之间，且

（i）求动点M的轨迹r；

（2）设过。（0,1）的直线交曲线「于C,。两点，。为平面上一动点，直线QC,QD,QP

112

的斜率分别为匕，k2,k0,且满足厂+厂=厂.问：动点。是否在某一定直线上？若

K、K＞2"O

在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由.

高三数学大题规范训练(23)

15.如图，在三棱锥P—ABC中，PA±AC,分别是线段PAQCAC的中点,

AB=BC,BD=yfl>PA=4,AC=2,BE=1.

(1)求证：DE1平面ABC；

(2)求二面角。—3。—A的正弦值.

【答案】(1)证明见解答

⑵

3

【解答】

【分析】(1)利用中位线知识得到3石工。石，然后使用线面垂直的判定定理;

(2)直接使用空间向量求解.

【小问1详解】

由于E是AC的中点，AB=BC,故鹿，AC.

而。，石分别是QC,AC的中点，故。石〃QA且。E=LQA=，PA=1,而

24

DE2+BE2=1+1=2=BD-<所以BEJ.DE.

由。E〃QA,知DE“Pb、而故。E_ZAC.

而BEJ.DE,ACBE在平面ABC内交于点E,故DE1平面ABC

【小问2详解】

p

Q

C

xA

B\

夕、

已证成1.AC，。石工平面ABC,

故可以E原点，分别作为x，%z轴正方向，建立空间直角坐标系.

则A(1,O,O),8(0,1,0),0(0,0,1),且由40=；4。=2知。(1,0,2).

设&=（p,q,r）,巧=（〃,%.）分别是平面QBD和5ZM的一个法向量,

-BD=n-DQ=0-q+r~p+r=O

则由＜_________x______可知V

-v+w=u-v=O

n2•BD-n2,BA=0

-*/\——►z\—>—*-1+1+11

故可取勺得

=(—1,1,1),n2=(1,1,1),cos%%=g■石=],

所以二面角Q—BD—A的正弦值是宜2.

3

.记“是等差数列的前几项和，已知。邑+

16S｛4｝6=2,S6=4a5.

（1）求｛。”｝的通项公式;

/、、、

⑵设r=i—=1—1[1--

证明:

c

‘S4.n+1三

八7\J

【答案】（1）=2/7-1

（2）证明见解答

【解答】

【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于的方程组，解之即可得解;

（2）由（1）求得力，再利用累乘法求得7；,从而利用“eN*及北与〃的关系式的性质即

可得证.

【小问1详解】

因为｛4｝是等差数列，设其公差为d,

二厂得1a+5d—3d]+3d+2%—1

则由＜,解得《

6q+15d=4q+16dd—2

所以数列｛4｝通项公式为%=1+2(“—1)=2”—1.

【小问2详解】

数歹U{4}的前〃项和Sn=(1+2,)“=〃2,

⑺一1)5+1)

一

V

<°«+17

1x32x43x5(〃+1)(〃+1)〃(〃+2)1n+2

—-X-X—X•••X-------------------------X-------------———X------------

223242n2(〃+1)22n+1

因为“eN*，所以安=1+工＞1,1n+21

则(二——x->----；

n+1n+12n+12

,1〃+211

因为----=­x

2n+12〃+1

当“增大，则々减少，所以〃=1时,士取得最大值为1

M+1

所以I,=gx(i+」二]最大为3；

2(n+1)4

13

综上，-＜?；＜-.

17.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气

浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香.双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋

和白糖制成.水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生

长发育所需的氨基酸和微量元素.不过新鲜的水牛奶保质期较短.某超市为了保证顾客能

购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数

据：

日销售量/

0123

件

天数5102510

假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.

（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；

（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对水牛奶实行如下

存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至

3件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架

上有1件存货的概率.

13

【答案】（1）—;

125

⑵U.

25

【解答】

【分析】（1）由题设三天中卖出3件水牛奶的天数X〜3（3,：）,利用二项分布的概率概

率公式求P（X22）即可；

（2）讨论第一天营业结束是否需要补货，利用全概率公式分别求出不需补货、需要补货情

况下在第二天营业结束货架上有1件存货的概率，即可得结果.

【小问1详解】

14

由题设，能卖出3件水牛奶的概率为不，3件以下的概率为彳，

所以三天中卖出3件水牛奶的天数X〜5（3,1）,

则P(X>2)=P(X=2)+P(X=3)=C|(1)(1)2

【小问2详解】

由（1）及题意知：第一天营业结束后不补货的情况为A=｛销售0件｝或2=｛销售1件｝,

所以P(A)=$,P(B)=1

11

令。二｛第二天货架上有i件存货｝,则尸(c|A)=$,P(C|B)=-,

9

所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|8)=高.

第一天营业结束后补货的情况为。=｛销售3件｝或£=｛销售2件｝,

所以尸(D)=g,P(E)=1,

令辰｛第二天货架上有1件存货｝,贝UP(用D)=g,P(F|E)=1,

7

所以P(F)=P(D)P(F|D)+P(E)P(F|E)=—.

综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率P=P(C)+P(尸)=!|.

18.已知函数/(x)=lnx-奴+q2(aeR),g(x)=lnx+—(meR).

x

(1)当机=1时，求函数y=g(x)最小值；

⑵是否存在0<%1<%2<%，且%,%，七依次成等比数列，使得g(M，g(九2)，

g(f)依次成等差数列？请证明；

21

(3)当a>l时，函数/(无)有两个零点占，龙2，是否存在再+%。----1的关系？若存

a

在，请证明；若不存在，请写出正确的关系.

【答案】(1)1(2)答案见解答，证明见解答

(3)存在，证明见解答

【解答】

【分析】(1)代入〃2=1,再对/(无)求导，并研究其单调性，可得答案；

(2)利用等差中项建立等式，结合等比中项以及对数运算律化简等式，根据分类讨论思想,

可得答案；

(3)先分析AM的单调性，结合零点存在定理得到。<%<1<马，再构造函数

P(x)=lnx_2(x-1),利用导数研究其单调性，建立关于石,9,。的不等式，整理可即可

X+1

得解.

【小问1详解】

当根=1时，g(x)=lnx+—,g(x)=——,

xx

当0<x<l时，g'(%)<0,则g(x)在(0,1)上单调递减；

当尤>1时，g'(x)>0,则g(x)在(1,+8)上单调递增，

所以gOOmin=g(D=L

【小问2详解】

要证g(%)，g(%)，g(&)依次成等差数列，只需证

mmm

ln%1+—+lnx3+—=2lnx9+—,

七七I-Xl)

整理可得111百年+加工+'———=0,由西,々，％3依次成等比数列，则工1&=*，

%2％3X?7

「112、

所以加——I-------=0

(玉尤3Xl)

①当加=0时，上式显然成立；

’1121

②当加。0时，贝U--1--------0,整理可得2%］工3=%2(%+%3)，

3%3Xl)-

由不々,％,依次成等比数列可得2x；=x2(x,+x3),则2々=七+七，

代入X；=X/3得：(西一无3)2=0与题意0<%<々<%3矛盾，故此时不存在；

综上：当机=0时，存在满足要题意的石,々,％3；

当时，不存在满足要题意的西,々,退.

【小问3详解】

因为/(%)=x>0,a>\,

所以/’(%)=，_〃=1a"，

xx

当0<x<1时，f'(x)>0,/(x)单调递增,

a

当》〉：时，/(*)<0,7(%)单调递减，

又当a>l时，/(l)=lnl—a+〃=(a—g)—(>o恒成立，

当x趋于。时，趋于无穷小；当x趋于无穷大时，趋于无穷小;

所以/(X)在(0,1),(1,转)上各有一个零点，不妨设0<玉<1<%,

12

则In=axx-a,lnx2=ax2-a.

设函数E(x)=lnx—生心，则/(1)=0,——二二(D：20,

x+1X(x+1)M%+1)

所以F(x)在(0,+。)上单调递增，

故当xe(0,l)时，F(%)<0,即lnx<2(l),

x+1

当x£(l,+oo)时，F(x)>0,即In%>2(*),

%+1

22(匹—1)22(%2—1)

所以依]一〃<-------,ax2-a>-------,

玉+1x2+1

所以(dLX]—a?)(玉+1)—2(X]—1)<。V_a?)(4+1)—2(%2-1)，

整理可得：—%；)+(〃—a?—2)(芯—/)V0，

2

即a(石+%)>a2—〃+2,所以再+犬2>aT---1.

a

【小结】方法小结：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与兄轴的交点问题，突出导数的工具作用，

体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/("二()分离变量得出〃=g(x),将问题等价转化为直线y=〃

与函数y=g(x)的图象的交点问题.

19.在平面直角坐标系中，已知两定点A（TO）,B（4,0）,M是平面内一动点，自M作

垂直于AB,垂足N介于A和8之间，且.

（1）求动点M的轨迹r；

（2）设过P（0,l）的直线交曲线r于C,。两点，。为平面上一动点，直线QC,QD,QP

112

的斜率分别为左，左2，即，且满足厂+厂=厂.问：动点。是否在某一定直线上？若

/C］化2忆0

在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由.

22

【答案】（1）土+匕=1

168

（2）在定直线y=8（九W0）上.

【解答】

【详解】（1）设M（x,y）,则N（x,0）,由题意知一4<x<4.

,.,2|ACV|2=|TW|.|A®|,/.2/=（x+4）（4-%）,即2y2=16—/,故动点M的轨迹F

22

为工+匕=1.

168

（2）存在满足题意的。，在定直线y=8（xWO）上.理由如下：

当直线C。的斜率存在时，设