高考数学复习突破训练：导数的运算及切线方程（原卷版）

第09讲导数的运算及切线方程

【知识点总结】

一、基本概念

1、导数的概念

设函数y=F(x)在x=/附近有定义，如果Avf0时，与Ax的比包(也叫函

Ax

数的平均变化率)有极限，即岂无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数y=/(x)

Ax

在X=X0处的导数，记作尸(4)或.即

Mr)T邱V/(Xo+Ax)-/(x0)/(x)—/(%)

J国片111117-=hm---7---------------------=hm-------

Ax->0Ax-0x->x0%一

2、导数的几何意义

函数y=/(x)在工。处的导数尸(％),表示曲线y=/(x)在点。(%,了(%))处的切线

PT的斜率，即tana=/'(xo),其中a为切线的倾斜角，如图所示，过点尸的切线方程为

y-y0=f'(x0/x-x0)

T/3

O\XoX

3、导数的物理意义:设f=0时刻一车从某点出发，在1时刻车走了一定的距离S=S(0

在"〜0时刻，车走了S4)—S“o)，这一段时间里车的平均速度为S"J—S"。)，当4与7

很接近时，该平均速度近似于"时刻的瞬时速度•若令.〜小，则可以认为lim里止外,

即S'«o)就是小时刻的瞬时速度.

二、基本初等函数的导数公式

基本初等函数的导数公式如表

y=/(X)y=/'GO

y=cy=o

y二%〃(x£N*)y=nxn~x,n为正整数

y=xa(x>0,a0且aeQ)y'=ca""1,1为有理数

y=ax(a>0,且aw1)y-axVaa

y=logqx{a>0且〃w1.x>0)

xlna

y=sinxyf=cosx

y=cosxy'=-sinx

注：标）=氏1£1=T“x）=1-

三、导数的运算法则（和、差、积、商）

设〃="（%）#=均可导，则

f

（1）（〃土v）=/±M;（2）ku）=kur[ke

t

u'v-uv'/八\

（3）（wv）=u'v+uv'\（4）J/（』）.

注：（</（%））=cf,（x）（ce7?）.

四、复合函数的导数

复合函数y=/[g（x）]的导数与函数y=/（»）,«=g（无）的导数之间具有关系

%'=X-u'x,该关系用语言表述就是“y对x的导数等于y对u的导数与〃对x的导数的乘

积”，也就是先把g（力当作一个整体，把y=/[g（x）]对g（x）求导，再把g（x）对x求导，

这两者的乘积就是复合函数y=/[g（x）]对x的导数，即（7[g（切）'=f'[g（切..

【典型例题】

例1.（2022•全国•高三专题练习（理））已知函数/（彳）=9111%—2x+l,则曲线y=在

点（L〃l））处的切线方程为（）

A.2x+y-1=0B.x-y-2=0C.x+y=0D.x-2y-4=0

例2.（2022.湖南•雅礼中学高三阶段练习）已知"X）为偶函数,当xWO时，f（x）=-x,

则曲线y=/（尤）在点（L2）处的切线斜率是（）

-2

A.1B.2C.eD.-e-l

例3.（2022・全国•高三专题练习）已知函数〃x）=21nx+8x,则lim'（"2一）一/⑴的值

20Ax

为（）

A.-20B.-10C.10D.20

例4.（2022・全国•高三专题练习）已知函数“尤）=lnx+g尤2,则了⑴所有的切线中斜率最

小的切线方程为.

例5.（2022•全国•高三专题练习）若直线>=依与曲线y=e2x相切，则切点坐标为.

例6.（2022・全国•高三专题练习（文））已知函数/（x）=等广（?）sinx+cosx,贝I曲线y=/（x）

在点（0"（0））处的切线方程是.

例7.（2022•浙江•高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数.

（1）y=*'；

_x+3

(2)

x+2

(3)y=ln(2x+3)；

(4)y=(/+2)(2x-l)；

(5)y=cosl2x+-1-1.

例8.（2022・全国•高三专题练习）已知曲线S:y=2x-x3.

（1）求曲线S在点A（l,l）处的切线方程；

（2）求过点8（2,0）并与曲线S相切的直线方程.

【技能提升训练】

一、单选题

1.（2022・全国•高三专题练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离'（米）与时间t（秒）

的关系为s（/）=5/+2»,则该物体在运动前2秒的平均速度为（）

13

A.18米/秒B.13米/秒C.9米/秒D.万米/秒

2.（2022・全国•高三专题练习）函数Ax）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）

A.0</,(2)</,(3)</(3)-/(2)B.0<r(3)</(3)-/(2)<r(2)

c.0<r(3)<r(2)</(3)-/(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)

3.(2022・全国・高三专题练习(理))若函数尤)可导，贝\.a"1一安”1)等于()

A.-27⑴B.gr⑴c.D.咱

4.(2022・全国•高三专题练习(理))已知函数“X)=/+依，若lim小")―'—=口，

△x—0△%

则。=()

A.36B.12C.4D.2

5.(2022・全国•高三专题练习(理))已知函数f(x)的图象如下所示，/(x)为/(x)的导函

数，根据图象判断下列叙述正确的是()

，,，，x

A./(x1)</(x2)B./(^)>/(2)

C./(七)</<%2)<。D./(^)>/，(^2)>0

6.(2022•浙江•高三专题练习)若函数〃x)满足/⑵=4,则"(2叫-〃2)=()

2。h

A.8B.—8C.4D.—4

7.(2022•全国•高三专题练习(理))函数/(x)=/_2%3的图像在点九=i处的切线方程为()

A.y=2x+lB.y=-2x+\C.y=-2x-lD.y=2x-l

8.(2022•全国•高三专题练习)若曲线y=e，-=(a>0)上任意一点处的切线的倾斜角的取

e

值范围是［(，］),则所()

A.—B.—C.—D.3

1234

9.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=a/+x的图象在点(0,。)处的切线过点(2,5),

贝!J。=()

A.-1B.-2C.1D.2

10.(2022.全国•高三专题练习)设函数/(x)=g(x)+d,曲线y=g(x)在点(l，g(l))处的切

线方程为、=2尤+1,则曲线y=F(x)在点处的切线的斜率为()

A.4B.--C.2D.--

42

i3

11.（2022•全国高三专题练习）曲线=[在点P处的切线的倾斜角为a兀，则点尸的坐

标为（）

A.（1,1）B.（-1,-1）C.[2]D.（1,1）或（―1,—1）

12.（2022•全国高三专题练习）若点尸是曲线〃x）=x2-Inx上任意一点，则点尸到直线

y=x-2的最小值为（）

A.1B.V2C.变D.6

2

13.（2022・全国・高三专题练习（文））曲线y=/（x）在尤=1处的切线如图所示，则

/，（1）-/（1）=（）

A.0B.2C.-2D.-1

14.（2022・全国•高三专题练习（文））直线y="+3与曲线〃x）=alnx+A相切于点P（l,2）,

则a+2b=（）

A.4B.3C.2D.1

15.（2022・全国•高三专题练习（文））直线丁=履-1是曲线y=l+lnx的一条切线，则实数上

的值为（）

21

A.eB.eC.1D.e-

16.（2022.全国・高三专题练习）动点尸，。分别在函数/（©=e'+x,g（x）=2x-2的图象上

运动，则|PQ|的最小值为（）

A.夜B.逑C.巫D.布

45

17.（2022・全国•高三专题练习）已知曲线="在点尸（0,〃。））处的切线也是曲线

g（x）=ln（«x）的一条切线，则。的值为（）

A.-B.-C.2D.—

32e3

18.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（力=。/+/的图象在点M（l,7（1））处的切线方

程是y=（2e+2）x+Z?,那么〃/?=（）

A.2B.1C.-1D.-2

19.（2022・全国•高三专题练习）设曲线/（力=卷》和曲线g（x）=cos号+c在它们的公共

点M（0,2）处有相同的切线，贝玲+c-a的值为（）

A.0B.万

C.-2D.3

20.（2022・全国•高三专题练习）已知定义在区间（0,+。）上的函数/（%）=-2/+机，

g（x）=-31n%-x,若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则力的值为（）

A.2B.5C.1D.0

21.（2022・全国•高三专题练习（理））设P为曲线。：丁=必+2%+3上的点，且曲线。在点P

TF

处切线的倾斜角的取值范围为0,-,则点尸横坐标的取值范围为

A.-1,——B.[—1,0]C.[0,1]D.—,1

22.（2022.全国•高三专题练习）已知函数“X）的导函数为尸（x）,且满足〃尤）=2矿（e）+lnx,

则尸（e）=（）

A.eB.-1C.-e-1D.-e

23.（2022•全国•高三专题练习）设/（x）=sin尤，/（x）=九（x）,f2（x）=f^x）,

力+i（%）=4'（x）,〃GN,则力°2o（x）=（）

A.sinxB.-sinxC.cos%D.—cosx

24.（2022•全国•高三专题练习）设〃x）=（2x+a「且/（2）=8,则常数。的值为（）

A.0B.-2C.1D.2

二、多选题

25.（2022•全国•高三专题练习）（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对

该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度c

（单位：mg/mL）随时间f（单位：h）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是

O0

A.在「时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同

B.在马时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同

C.在也这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同

D.在［4］，上匕］两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同

26.(2022•全国•高三专题练习)若直线+b是函数/(%)图像的一条切线，则函数/⑶可

以是()

A./(x)=-B./(x)=x4C./(x)=sin尤D.f(x)=ex

X

27.(2022・全国•高三专题练习)(多选)下列函数求导运算错误的是()

x

A.(3*y=3log3eB.(e)'=e'

C.f--)=xD.(x-e*)=3*+1

三、填空题

28.(2022・全国•高三专题练习)已知函数〃%)=加在区间［L2］上的平均变化率为G，则

f(x)在区间［-2,T］上的平均变化率为.

29.(2022•全国•高三专题练习)已知函数了=/(尤)=2丁+1在尤=无。处的瞬时变化率为-8,

则〃％)=-

30.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=lnx+g/+x,则/(x)所有的切线中斜率最

小的切线方程为.

31.(2022•全国•高三专题练习)曲线y=xlnx的一条切线过点(0,-3),则该切线的斜率为

32.(2022•浙江•高三专题练习)曲线y=/-0x+2上的任意一点P处切线的倾斜角的取值

范围是.

33.(2022・全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数“xhe'+r-x+sinx,则曲线

y=f(x)在点(o,/(o))处的切线方程是.

34.(2022•全国•高三专题练习)已知则过点尸(一1,0),曲线y=/(x)的切线方程为

35.(2022・全国•高三专题练习(文))已知函数/(x)=xlnx,若直线/过点(0T),并且与

曲线y=/(x)相切，则直线/的方程为.

36.(2022・全国•高三专题练习)已知函数〃力=尤3+加+6的图象在点尸(1,0)处的切线与直

线3尤+y=0平行.则2a+3b=.

37.(2022・全国•高三专题练习)已知函数f(x)=21nx,g(x)=加-x-ig>0),若直线y=2x-。

函数y=/(无)，y=g(尤)的图象均相切，则。的值为.

38.(2022•全国•高三专题练习)函数y=〃x)的图象在点P处的切线方程是：y=r+8,

若点尸的横坐标为5,则〃5)+/(5)=.

39.(2022•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=alnx+Zu2的图象在点p(u)处的切线与直

线x-y+l=0垂直，则a的值为

40.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(力=40*-2了+匕(01€尺)在彳=1处的切线方程

为(e-2)x-y+l=0,则广(ln2)=—.

41.(2022•全国•高三专题练习(理))我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以

直代曲”的近似计算，用正〃边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率乃的精度较高的近似

值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近,

可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设/(x)=/,则/'(%)=

，其在点(0』)处的切线方程为.

42.(2022・全国