高考数学专项复习训练之截面与球

2025年高考数学专项题型点拨训练

几何小题-截面与球

【题型一】截面最值

【题型二】球截面

【题型三】线面垂直型求外接球

【题型四】面面垂直型

【题型五】任意二面角定球心

【题型六】内切球

【题型七】棱切球型最值

立体几何的考察主要会以截面、组合体外接球和内切球以及轨迹动点求最值等的形式来考察学生对于

空间想象能力的考察，难度不小，一般会出现在选填的压轴题里，也有可能出现在多选以多个维度去考察。

这里主要对各个题型进行总结，需要在掌握题型的基础上锻炼自己的空间想象能力。

易错点：线面所成角的最值

1.三余弦定理：

设A为面a上一点，过A的斜线AO在面a上的射影为AB,AC为面上的一条直线，贝!]cos，=cos4•cos%

说明：线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，又称最小角定理.

2.三正弦定理：

设二面角AB-N的度数为a,在平面上V上有一条射线AC,它和棱AS所成角

为夕，和平面N所成角为则sin/=sine•sin/?.

说明：二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成线面角的最大值，即二面角是线面角的最大值.

例（23-24高三上•广东深圳•期末）已知矩形ABC。中，AB=2,BC=1,将△CBZ）沿8。折起至,

当C5与所成角最大时，三棱锥C-A3O的体积等于（）

A.立B.—C.—D.—

62155

变式1：（2024•全国•模拟预测）已知长方体中，AB=BC=1,CC；=30,/为CG上一

动点，当AM与AG所成角为45。时，三棱锥A-CM?外接球的体积为（）

A.28gB,"nC,空画兀D.空色

3242

【题型一】截面最值

求截面方法：

1.平行线法：

（1）利用两条平行线确定一个平面，

（2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行

2.相交线法：

（1）两条相交直线确定一个平面

（2）若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内

I—I

典例精讲

【例1】（多选）（2024•浙江•模拟预测）已知正方体ABC。-A4cpi的棱长为2,过棱cq,\DX,同用的

中点作正方体的截面，则（）

A.截面多边形的周长为血+2而

B.截面多边形的面积为:而

O

C.截面多边形存在外接圆

D.截面所在平面与平面ABCD所成角的正弦值为姮

11

【例2】（多选）（2024•安徽芜湖・模拟预测）已知正方体ABCD-A4GA的棱长为2,棱A3的中点为

过点M作正方体的截面且与若点N在截面a内运动（包含边界），则（）

A.当WM最大时，MN与BC所成的角为：

B.三棱锥A-BNG的体积为定值g

C.若。N|=2,则点N的轨迹长度为2兀

D.若Ne平面48c2，则忸N|+|NCj|的最小值为J+2石

【例3】（2024・河北•模拟预测）数学家GeminadDandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的

小球，使得它们分别与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林

双球模型）.若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成60。角的平面截圆锥所得椭圆的离心率

为.

।—।

名校模拟

【变式1］（多选）（2024・吉林•模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABC。-4耳G"中，M,N分别是A3,

AO的中点，尸为线段GR上的动点，则下列说法正确的是（）

A.PM］。一定是异面直线

B.存在点P,使得

C.直线NP与平面BCG4所成角的正切值的最大值为45

D.过M,N,尸三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为逋

4

【变式2】（23-24高三下.江西.开学考试）在正四面体P-ABC中，M为E4边的中点，过点M作该正四面

体外接球的截面，记最大的截面半径为R,最小的截面半径为厂，则£=_______；若记该正四面体和其外

R

接球的体积分别为匕和匕，则于=

【变式3】（2024•山东日照•一模）已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E

且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形”，则H的边数至多为，H的面积的最大值为

【题型二】球截面

用一个平面。去截球，若平面。经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面。不经过球心，所得的截面

称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。

।—।

典例精讲

【例1】（2024•河南新乡•二模）已知一平面截球。所得截面圆的半径为2,且球心。到截面圆所在平面的

距离为1,则该球的体积为.

【例2】（2024•陕西西安三模）如图，已知球。的半径为R,43在球。的表面上，AB=2,连接球心。与

A,B,沿半径。4旋转AOR使得点8旋转到球面上的点C处，若此时NB4c=120。，且球心。到AABC所在

截面圆的距离为四，则球。的表面积为.

2

I—1

名校模拟

【变式1］（2024.贵州毕节•一模）如图所示，圆。।和圆Q是球。的两个截面圆，且两个截面互相平行，球

心。在两个截面之间，记圆。1，圆。2的半径分别为4,4,若4=3/=3,。02=4,则球。的表面积为（）

【变式2］（2024•内蒙古包头•一模）已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两

个圆锥的高之比为1:3,它们的体积之和为4n,则该球的表面积为（）

A.18兀B.16兀C.12兀D.9兀

【变式3］（2024.四川成都.模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面

的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球

与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes'Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积=2兀汽〃（如上图，

这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被

一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球

冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为2无，则该工艺品的表面积为（）

【题型三】线面垂直型求外接球

线面垂直型：

存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r,满

足正弦定理）

1.模板图形原理

I—I

典例精讲

【例1】（2024•湖南.二模）如图，在四面体尸―ABC中，ABC,ACLCB,PA=AC^2BC^2,则

此四面体的外接球表面积为（）

A.3兀B.9兀C.3671D.48兀

【例2】（23-24高三下•山西•阶段练习）在棱长为4的正方体A8CD-A4CA中，E是CO的中点，F是CC,

上的动点，则三棱锥A-DEF外接球半径的最小值为（）

A.3B.2.73C.V13D.

【例3】（多选）（2024.广东广州•模拟预测）如图所示，四面体ABCD的底面是以8。为斜边的直角三角

形，其体积为X，平面BCD,AB=BD,P为线段AC上一动点，为AD中点，则下列说法正确的

A.尸与C重合时，三棱锥P-BOQ体积最大

B.若BP工PD,则BP_LZM

C.当尸OI_L3C时，PQ|_LA8

D.四面体ABCD的外接球球心是。।,且其体积％24夜亚

名校模拟

【变式1】（23-24高三上•浙江宁波・期末）在四面体A3co中，AB=^3,AD=BC=l,CD=y[6,且

TV

ZBAD=ZABC=-则该四面体的外接球表面积为（）

2f

A.-7iB.77iC.8兀D.IChr

2

【变式2】（多选）（23-24高三上・江苏・期末）在四棱锥尸-ABCD中，即，平面A3CD,ADLCD,

AD=CD=2,四棱锥P—ABCD的外接球为球。，贝U（）

A.ABJ_BCB•VP-ABCD>2Vp_Acz）

C.Vp_ABCD=2%一ABCDD.点。不可能在平面PBC内

【变式3】（多选）（23-24高三上•湖南长沙•阶段练习）四棱锥P-ABCD的底面为正方形，丛与底面垂

直，|即=2,|ABk1,动点M在线段PC上，则（）

P

A.不存在点使得AC,5MB.+的最小值为叵

3

C.四棱锥尸-ABC。的外接球表面积为6兀D.点M到直线A3的距离的最小值为平

【题型四】面面垂直型

包含了面面垂直

一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，可以对两平面都用正弦定理来定球心。

I—I

典例精讲

【例1】（2024•广东.模拟预测）将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，

则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（）

..68-16百„11C52-16>/3

A.4兀BD.-----------7iC.一兀D.-----------7i

929

【例2】（2024•福建福州•模拟预测）在矩形A3CD中，AB=3,AD=4,将△ABD沿对角线3。翻折至AABD

的位置，使得平面平面3co，则在三棱锥A'-BCD的外接球中，以AC为直径的截面到球心的距

离为（）

AV435B.逑A/2397113

1051010

I—I

名校模拟

【变式1】（2024・湖北恩施.模拟预测）如图，矩形A2C。中，E、尸分别为8C、A。的中点，＞BC=2AB=2,

现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）

B.存在点P,使得PELED

C.三棱锥尸-血＞的体积最大值为变

6

D.当三棱锥尸-AED的体积达到最大值时，三棱锥P-AED外接球表面积为4兀

【变式2]（2024.全国.模拟预测）将菱形45co沿对角线AC折起，当四面体3-ACD体积最大时，它的

内切球和外接球表面积之比为.

【变式3】（2024•全国•模拟预测）在三棱锥尸-ABC中，AC=PA=gB=CBC,平面R4c，平面A3C,

24,BC,点。为三棱锥尸-ABC外接球。上一动点，且点。到平面PAC的距离的最大值为应+内，则

球。的体积为.

【题型五】任意二面角定球心

1.等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；

2.直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；

3.许多情况下，会和二面角结合。

»—I

典例精讲

【例1】（2024.全国•模拟预测）已知空间四面体ABCD满足则该四面

体外接球体积的最小值为.

【例2】（多选）（2024•全国•模拟预测）已知菱形ABCD中，ABAD=60°,AB=2,AC与相交于点

H,将△油£＞沿33折起来，使顶点A移至点G的位置，在折起的过程中，下列结论正确的是（）

G

A.存在某个位置使得5CLOG

B.当ACDG为等边三角形时，VG_BCD=^

52兀

C.当二面角G-BD-C为60。时，三棱锥G-5CD外接球表面积为方

D.设N为线段G8的中点，则三棱锥G-NCD体积的最大值为^

名校模拟

【变式1】（2024•浙江.模拟预测）在三棱锥D-ABC中，AB=BC=2,ZADC=90。，二面角O—AC-B的

平面角为30。，则三棱锥O-ABC外接球表面积的最小值为（）

A.16（2退一1）万B.16（2君-3）万

C.16（2力+1）万D.16（2指+3）万

【变式2］（2022•全国•模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2,把△ABD沿8。折起，使点A与点E重

合，若三棱锥E-BCD的外接球球心O到直线CE的距离为好,则异面直线BC与DE所成角的余弦值为（

2

A.-B.!C.—D.0

422

【变式3］（2022•河南信阳•模拟预测）把A。。?"沿三条中位线折叠成四面体A3CD,其中。&=12,

10,23=8,则四面体ABCD的外接球表面积为（)

rrc777rc77R77兀

A.77兀B.------C.-----D.——

482

【题型六】内切球

椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解

一、三角形内切圆

11112S

S^ABC=S^D+SAOBC+SMDC=彳rC+彳ra+-rb=-r（a+b+c）nr=-

2222〃+/?+（

c

二、类比：三棱锥

^D-ABC~^O-BCD+^O-ABC+^O-ACD+^O-ABD

=§&BCD+§r*^AABC+§班徵。。+—r^AABZ)

=*S,△BCD+^AABC+^AACZ)+^AABO)

3眩一A6c

SABCD+^AABC~^~^AACD+^AABO

典例精讲

【例1】（2024•浙江温州・二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里

程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图

是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体A3CD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面

均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为2面，则模型中九个球的

表面积和为（）

A

3171

A.6兀B.9兀C.D.2U

【例2】（2024.青海海南.一模）已知球。是棱长为2的正方体ABC。-4月CQi的内切球，叔是棱人4的中

点，。是球。的球面上的任意一点，MP±CDlf则动点尸的轨迹长度为（）

A.3兀B.痛兀C.2兀D.&兀

【例3】（2024.安徽池州•二模）已知圆锥的底面半径为3,其内切球表面积为12兀,则该圆锥的侧面积为（）

A.9&B.18nC.186兀D.277r

名校模拟

【变式1］（2024•陕西西安•一模）六氟化硫，化学式为SR,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳

定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫

原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为如

则该正八面体结构的内切球表面积为（）

Q

A.71m2B.271m2C.71m27ml2

33

【变式2］（23-24高三下.内蒙古赤峰.开学考试）已知上底面半径为正，下底面半径为2a的圆台存在内

切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（）

A.14扁B.56兀C.如瓦D.学