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文档简介
甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题
学校:..姓名:.班级:考号:
一、单选题
1.设集合”={尤匹尤<1},B=则4门5=()
C.{x|0<x<l)D.{x|0<x<e}
2.在复平面内,复数9i(8+5i)对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2〃
3.在A4BC中,角A,B,。所对的边分别为〃,b,c,已知Q=6,4=7,则V/BC外
接圆的半径为()
A.273B.4百C.6D.12
4.直线/:3》+4了+1=0被圆。:川+了2-4》+6了+4=0截得的弦长为()
A.242B.4百C.2#)D.472
711sin2a+2
5.已知tan~~a5'则()
1326£
A.BC.D.
14-T292
6.某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线,发现其轴截面为如图2所示的抛物线,
在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入,经反射聚焦到焦点厂处,已知卫星接
收天线的口径(直径)为10m,深度为3m,则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到
顶点的距离为()
图1图2
525「255
A.-mB.——mC.—mD.—m
31264
试卷第1页,共4页
c\2ax-2,x<1,
7-已知函数/㈤=满足内,%eR且…②,(…)"(xj"(初]<。’则。
的取值范围为()
A.(0,1)B.(1,+⑹C.(1,2]D.(0,l)u(l,+s)
8.已知正三棱锥P-43C的体积为逅,13=6,则该三棱锥外接球的表面积为()
4
,r7兀—9兀
A.7兀B.—C.9兀D.—
22
二、多选题
9.某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收,随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重(单
位:kg),并整理数据,得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图,下面结论正确的
B.估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30%
C.估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间
D.估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间
10.若(2、—I)。=旬+(X+1)+?(%+1)2+,,,+%(%+I)''则()
A.4=-39B.%+2+。3---+2—1
C.a=-7x66D.幺+乌+…+2=3T
522229
27r
11.若函数/(x)=sinx+acosx图象的一条对称轴方程为x=q-,则()
A.a=—B.
3
D.“X)在1-$彳]上单调递增
C.〃x)图象的一条对称轴为直线x=
试卷第2页,共4页
三、填空题
22
12.椭圆C:2+套=1的两个焦点为《,耳,椭圆C上有一点尸,则用巴的周长为.
13.已知向量值=(一1,2),b=(3,2),若(B-菊工&,则cos〈1,B〉=.
14.已知函数〃x)=91nx+?+2x+7,则函数〃x)的最小值为;若过原点可向曲
X
线〉=/(尤)-,-+a作两条切线,则a的取值范围是________.(注:当x->0时,lnx+!—+oo)
2xx
四、解答题
15.已知等差数列{与}的前〃项和为S“,且S”=3〃2+M+K
(1)求{%}的通项公式;
⑵若,求数列也}的前〃项和配
anan+\
16.现在很多市民都喜欢骑“共享单车”,但也有很多市民并不喜欢.为了调查人们是否喜欢
这种交通方式,某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市随机调查了100
名市民,得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本,具体数据如下2x2列联表:
AB总计
喜欢401050
不喜欢203050
总计6040100
(1)根据2x2列联表,并依据小概率值0=0.001的独立性检验,能否认为喜欢骑“共享单车”
与城市的拥堵情况有关联?
(2)为进一步了解《城市的拥堵情况,该同学从样本中N城市的市民中按是否喜欢利用分层
随机抽样的方法抽取6人,并从这6人中选出2人代表发言,记代表发言中喜欢骑“共享单
车”的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.
2_n(ad-be)?
附表格及参考公式:,(a+b)(c+d)(〃+c)(6+d)其中n=a+b+c+d.
试卷第3页,共4页
a0.10.050.010.0050.001
Xa2.7063.8416.6357.87910.828
17.已知函数/'(x)=(x+a)e'.
⑴若/(x)在x=2处取得极值,求实数。的值;
(2)若/(x)<e2,恒成立,求实数”的取值范围.
18.如图,在四棱锥尸-4BCD中,底面48co为直角梯形,侧面PC。为正三角形,且平
面尸CD_L平面48。,ADUBC,AD1AB,AD=AB=1,BC=2.
⑵已知。为侧棱PB上一点,PDU平面QAC.
①求胃的值;
②求直线DQ与平面QAC所成角的正弦值.
22
19.已知双曲线「:3-==1(0>0,6>0)的左,右顶点分别为4,4,左焦点为M(-C,O)
。为坐标原点,4是线段的中点.
⑴求双曲线r的离心率.
(2)过点"且斜率不为o的直线/与双曲线r的左,右两支的交点分别为。,P.
①若直线/的斜率为1.|。尸|=6,求双曲线「的方程;
②连接。。并延长,交双曲线r于点尺,证明:ARLA.P.
试卷第4页,共4页
《甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题》参考答案
题号12345678910
答案CBADCBCDBCDABD
题号11
答案BC
1.C
【分析】解不等式lnx<l,化简集合A,根据交集的定义求结论.
【详解】因为“={刈!1》<1}={乂0<工<6},
所以/c8={x[0<x41}.
故选:C.
2.B
【分析】根据复数乘法法则计算9i(8+5i),再由复数几何意义确定其所对应的点的象限.
【详解】因为9i(8+5i)=-45+72i,
所以复数9i(8+5i)在复平面上的对应的点的坐标为(-45,72),
所以其对应的点位于第二象限.
故选:B.
3.A
【分析】根据正弦定理n三='h=——c=2及(尺为的外接圆半径)求解即可.
sinAsinBsinC
【详解】设A/BC外接圆的半径为R,
则?“=加二-^=4e,即尺=26.
sm——
3
故选:A.
4.D
【分析】利用弦长公式/=2产方即可求得结果.
|3x2+4x(-3)+l|
【详解】圆C的圆心为(2,-3),半径为3,圆心到直线/的距离4=^——/,,匕1,
所以直线/被圆C截得的弦长为2"F=472.
故选:D
答案第1页,共11页
5.C
【分析】由条件,结合两角差正切公式求tana,结合二倍角公式,平方关系将所求式子转
化为齐次式,利用齐次式的方法求结论.
l-tana1
-:一:---,
H1+tana2
所以tancr=3.
sin2a+22sinacosa+2sir?a+2co^a2tana+2tarfa+Z
因为
3-cos2a3sin2a+2cos2a3tan2a+2
7sin2a+22x3+2x9+226
所以-----5—=----------------------二一
3-cos2a3x9+229
故选:C.
6.B
【分析】建立平面直角坐标系,设抛物线方程为/=2.(夕〉0),结合条件列方程求),结
合抛物线性质可求结论.
【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系,
设抛物线的方程为/=2力(p>0).
由题意可得4(3,5),将点A的坐标代入抛物线的方程可得25=62,
75?S
解得。=U,所以抛物线的方程为
63
焦点的坐标为(],0),即(11,0),
25
所以抛物线焦点到顶点的距离为.
12
故选:B.
7.C
【分析】根据给定条件可得函数的单调性,再利用分段函数单调性,结合指数函数单调性列
式求解.
答案第2页,共11页
【详解】依题意,函数/(X)满足%,%eR且X产乙,(占一马)[〃不)一〃工2)]>0,则/(X)
是R上的增函数,
Q>0
因此<Q>1,解得1<〃42,
2a-2<a
所以。的取值范围为(1,2].
故选:C
8.D
【分析】取正三棱锥尸-45C的底面中心为设外接球的球心为。,先由三棱锥的体积
求出正三棱锥尸-N8C的高为正,再由勾股定理求出球的半径,最后求出表面积即可.
【详解】设正三棱锥尸-/3C的底面中心为外接球的球心为。,显然球心。在直线尸河
上.
设正三棱锥P-4BC的高为〃,外接球的半径为R,
由/8=百,可得正三角形/8C的面积为@x(君产二述
44
所以卜乎〃邛,解得人"
2
球心O到底面48c的距离为OM=|〃一a,/W=§4D=l,
由及2=OM?+NAf2,得R2=(6-Rf,R=,
QJT
所以外接球的表面积为砂=万
故选:D.
9.BCD
【分析】根据频率分布直方图有所有频率之和为1即可求得〃?,根据质量不低于1.6kg的频
率之和即可判断B,
答案第3页,共11页
求出哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间的频率即可判断C,计算中位数即可判断D.
【详解】对于A:0.1(0.5+2m+2+2.5+3)=l,解得加=1,A错误;
对于B:估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为(2+1)x0.1x100%=30%,B正确;
对于C:因为(3+2.5)X0.1=0.55>0.5,所以估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至
1.6kg之间,C正确;
对于D:设该哈密瓜的质量的中位数为x,则有
(x-L5)x2.5=0.5-(0.5+l+3)x0.1=0.05nx=L52,
所以估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间,D正确.
故选:BCD.
10.ABD
【分析】由二项式令x=-1可求4,取x=0可求所有系数和,由此判断AB;取x+l=/,
结合二项式展开式的通项公式求。5,判断C,取x=g,结合%的值判断D.
【详解】令》=-1,得%=(-3)9=-39,
令1=0,得%+〃]+%+%+=—1,
月f以外+&+,,,%=3。—1,
所以A正确;B正确;
29
令x+1=%,贝!J%=%-1,所以(2/-3)9=%+axt+a2t+•••+a9t,
因为二项式(2-3)9的展开式的通项公式为⑵(一3)"/=01,2,…,9,
所以生=《25(-3)4=7x66,故C不正确;
令T,得。。+争争…+号=-2"
所以g+冬1----卜鲁=3'-29,故D正确.
22226
故选:ABD.
11.BC
【分析】根据正弦函数的对称性的性质有条件列方程可求。,由此判断AB,再根据正弦型
函数的对称轴的求法及单调区间的求法判断CD.
答案第4页,共11页
【详解】函数/'(%)=sinx+“cosx=
设一/?二cosJ,/:=sing,
vtz+1yju+1
因为函数/(x)=sinx+acosx图象的一条对称轴方程为1=与-,
由J/+1=f(~~),即sin与+acos与=y/a2+l,
化简可得(品+1)2=0,
所以。=-理,所以A不正确,B正确;
令x-'=巴+左兀(左eZ),=—+kn^keZ),
623
TT
当左=-1时,得%=-§,所以C正确;
令一工+2E<%--<—+2k7i{kGZ),
262
jr2冗
-y+2kn<x<—+2kn{kGZ),
jr27r
当后=0时,一N<x<三,所以D不正确.
33
故选:BC.
12.16
【分析】由椭圆方程可得参数6的值,进而求出。的值,根据椭圆的定义,可得答案.
【详解】由题意可得。=5,b=4,所以故片工的周长为2a+2c=16.
故答案为:16.
13.^/1V5
55
【分析】由向量垂直的性质列方程求彳,利用向量的模的坐标表示求同,W,再由向量夹角
公式求结论.
【详解】因为,
所以@-砂心=小不一回2=2/1-3-5=0,得4=4.
答案第5页,共11页
因为同=右,W=5,d-b=5
所以c°时冉=M=耳5
故答案为:
5
14.18-91n2(-oo,-7)
【分析】(1)求导数/'(%),根据单调性,即可求出/(x)的最小值;(2)设切点为
9999
(x0,91nx0+--+2x0+。+7)得切线方程》一(9In/+--+2/+。+7)=(---—^-+2)(x-x0),
2/2x0X02X0
Q
将问题转化为关于x的方程91nx+'+。-2=0有两个不同的根即可.
x
【详角星】因为r(x)=--4+2=212+y-5=(21)'+5),
XXXX
所以〃X)在(0,;)上单调递减,在g,+8)上单调递增,所以/(X)的最小值为
/(1)=18-91n2.
1Q99
因为〉=/(x)---+a=9\nx+——+2%+。+7,所以>/=------r+2.
2x2xx2x
9
设切点为(/,91nx°-+2/+a+7),
999
则切线方程为>-(9山工0—+2/+〃+7)=(---—^+2)(%-%0),将原点坐标代入,
2x0xQ2x0
9Q
化简得91n/+—+。-2=0,则关于%的方程91nx+'+。-2=0有两个不同的根.
X。X
令g(x)=91nx+‘9+a-2,则g,(x)=Q'—W9=9"(x-1l),所以g(x)在(0,1)上单调递减,
XXXX
在(1,+8)上单调递增.因为Xf0,g(X)f+°0,Xf+8,g(X)f+8,
所以g⑴=〃+7<0,故。的取值范围是(-8,-7).
故答案为:18-91n2,(-℃,-7)
15.(1)%=6〃-3
⑵小心
【分析】(1)利用公式q=岳,a„=S„-S„_1(〃>2)求出数列的通项,结合{%}为等差数列
列方程求无,由此可得结论;
答案第6页,共11页
71
⑵)由(1)2=(6〃.3)(6"+3)利用裂项相消法求和即可•
【详解】(1)当〃=1时,ax=Sx=3+2k,
当〃22日寸,氏=S〃—S〃_]—3〃2+ku+左一13(〃一I)?+k(n—1)+左]-6〃一3+左,
因为数列{%}为等差数列,且。3-。2=6,所以数列{4}的公差为6
所以。2—6=%,即6x2—3+左一6=3+2左,
所以左=0,故4=3,
所以+6(〃-1)=6〃-3.
(6〃-3;6〃+3)=2(£-上
(2)因为4=-------
4*
所以雹=2。一;)+(;_;)+•••+(」一
2〃+1)
1o|_3JJ2«-1
16.(1)认为市民喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联
4
(2)分布列见解析,-
【分析】(1)根据独立性检验的相关计算方法,可得答案;
(2)根据超几何分布列以及期望的计算方法,可得答案.
【详解】(1)零假设为“。:市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况无关联.
根据列联表中的数据,得2=l0°x(4°x30-2()xl())2=理-ms10.828=x0001.
50x50x60x403000
根据小概率值&=0.001的独立性检验,我们推断〃。不成立,
即认为市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联,此推断犯错误的概率不大于
0.001.
(2)根据分层随机抽样的知识可知,随机抽取的6人中喜欢骑“共享单车”的有4人,不喜
欢骑“共享单车”的有2人,
所以随机变量X的所有可能取值为0,1,2,
尸(X=0)=*=高尸(X=l)=U=*尸他=2卜
答案第7页,共11页
所以X的分布列为
X012
182
P
15155
1o24
所以£(、)=0*正+H运+2x1=§
17.(1)-3.
⑵(一<»,1).
【分析】(1)条件可转化为2为/'(x)的变号零点,列关系式求“;
(2)条件可转化为a<e,_x恒成立,利用导数求函数g(x)=e'x的最小值可得结论.
【详解】(1)因为/(力=(》+。声在x=2处取得极值,所以2为/'⑺的变号零点,
函数/(x)=(x+a)e'.的定义域为R,导函数广(x)=e*+(x+a)e*=(x+a+l)e',
所以"2)=(a+3)e2=0,得q=-3.
/'(x)=(x-2)e1所以在(-叫2)上单调递减,在(2,内)上单调递增,
所以“X)在x=2处取得极小值,符合题意,故实数。的值为-3.
(2)因为e,>0,所以/(x)<e2*可转化为x+a<e",即a<e*-x恒成立.
令g(x)=e'-x,贝!Jg'(x)=3一1,
令g'(无)=0,可得x=0,
当x<0时,g,(x)<0,函数g(x)在(e,0)上单调递减,
当x>0时,g,(x)>0,函数g(x)在(0,m)上单调递增,
所以g(x)向,=g(°)=l,
故实数。的取值范围为(-8,1).
18.(1)证明见解析
PQ}_②但
⑵①=
PB-3155
【分析】(1)由直角梯形的几何性质以及勾股定理,可得线线垂直,根据面面垂直的性质以
及线面垂直的性质,可得答案;
答案第8页,共11页
(2)①由相似三角形的性质以及线面平行的性质,可得答案;②由题意建立空间直角坐标
系,求得直线的方向向量与平面的法向量,利用线面角的向量公式,可得答案.
【详解】(1)证明:在梯形4BCD中,因为40=48=1,ADHBC,AD1AB,BC=2,
所以BD=CD=6,贝UACP+c。?=5C2,所以
因为平面PCD1平面ABCD且平面PCDPl平面ABCD=CD,所以AD工平面PCD,
因为尸Cu平面PC。,所以3D,尸C.
(2)①设NC与8。的交点为M,连接九@,
则在直角梯形易知
因为AD=1,BC=2,所以=—.
MB2
因为尸。〃平面0/C,且PDu平面尸5。,平面尸8。口平面/。。=加,
所以尸£>〃QM,则尸D-ABQM,即些=%=工,故丝=1.
BPBD3PB3
②如图,以。为坐标原点,DB,皮的方向分别为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系,
贝U/(亨,一辛,0),5(V2,0,0),C(0,V2,0),£>(0,0,0),尸(0,等,日).
设平面QAC的法向量为万=Q,y,z),
逑
为
因%
-八、不,656.屈、
(-V22,0),AQ=(一--,^―,—)-
oo3
变
7CX
/-Z--2
所
以7
正5行展令日,得…
一
。
心-X
-6------V+——2=0,
63
设直线D。与平面Q4c所成的角为6,
—.y,——►J2V2V6门।sin.=|c0S〈℃M〉|_=3A/465
因为。。=(学芋拳,所以|〜4亚*伊155,
答案第9页,共11页
所以直线。。与平面Q/C所成角的正弦值为彳.
19.(1)2
2
⑵①一一0=1;②证明见解析
【分析】(1)由题意可得参数的等量关系,利用离心率的公式,可得答案;
(2)由题意作图,联立方程写出韦达定理,①由直线斜率与弦长公式,可得答案,②利用
垂直向量的坐标表达,代入韦达定理,可得答案.
【详解】(1)因为4
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