甘肃省多校2024-2025学年高三年级上册1月期末联考数学试题（含答案解析）

甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.设集合”={尤匹尤＜1},B=则4门5=()

C.{x|0<x<l)D.{x|0<x<e}

2.在复平面内，复数9i（8+5i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2〃

3.在A4BC中，角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,已知Q=6,4=7，则V/BC外

接圆的半径为（）

A.273B.4百C.6D.12

4.直线/:3》+4了+1=0被圆。：川+了2-4》+6了+4=0截得的弦长为（)

A.242B.4百C.2#)D.472

711sin2a+2

5.已知tan~~a5'则()

1326£

A.BC.D.

14-T292

6.某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线,

在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点厂处，已知卫星接

收天线的口径（直径）为10m,深度为3m,则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到

顶点的距离为（)

图1图2

525「255

A.-mB.——mC.—mD.—m

31264

试卷第1页，共4页

c\2ax-2,x<1,

7-已知函数/㈤=满足内，%eR且…②，(…)"(xj"(初］<。’则。

的取值范围为()

A.(0,1)B.(1,+⑹C.(1,2］D.(0,l)u(l,+s)

8.已知正三棱锥P-43C的体积为逅,13=6,则该三棱锥外接球的表面积为()

4

，r7兀—9兀

A.7兀B.—C.9兀D.—

22

二、多选题

9.某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重(单

位：kg),并整理数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的

B.估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30%

C.估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间

D.估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间

10.若（2、—I）。=旬+（X+1）+?（%+1）2+，，，+%（％+I）''则（）

A.4=-39B.%+2+。3---+2—1

C.a=-7x66D.幺+乌+…+2=3T

522229

27r

11.若函数/(x)=sinx+acosx图象的一条对称轴方程为x=q-,则()

A.a=—B.

3

D.“X)在1-$彳］上单调递增

C.〃x)图象的一条对称轴为直线x=

试卷第2页，共4页

三、填空题

22

12.椭圆C:2+套=1的两个焦点为《，耳，椭圆C上有一点尸，则用巴的周长为.

13.已知向量值=（一1,2）,b=（3,2）,若（B-菊工&,则cos〈1,B〉=.

14.已知函数〃x）=91nx+?+2x+7,则函数〃x）的最小值为；若过原点可向曲

X

线〉=/（尤）-，-+a作两条切线，则a的取值范围是________.（注:当x->0时，lnx+!—+oo）

2xx

四、解答题

15.已知等差数列｛与｝的前〃项和为S“，且S”=3〃2+M+K

（1）求｛%｝的通项公式；

⑵若,求数列也｝的前〃项和配

anan+\

16.现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢.为了调查人们是否喜欢

这种交通方式，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市随机调查了100

名市民，得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本，具体数据如下2x2列联表：

AB总计

喜欢401050

不喜欢203050

总计6040100

（1）根据2x2列联表，并依据小概率值0=0.001的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”

与城市的拥堵情况有关联？

（2）为进一步了解《城市的拥堵情况，该同学从样本中N城市的市民中按是否喜欢利用分层

随机抽样的方法抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单

车”的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.

2_n(ad-be)?

附表格及参考公式:,(a+b)(c+d)(〃+c)(6+d)其中n=a+b+c+d.

试卷第3页，共4页

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.已知函数/'(x)=(x+a)e'.

⑴若/(x)在x=2处取得极值，求实数。的值；

(2)若/(x)<e2,恒成立，求实数”的取值范围.

18.如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面48co为直角梯形，侧面PC。为正三角形，且平

面尸CD_L平面48。，ADUBC,AD1AB,AD=AB=1,BC=2.

⑵已知。为侧棱PB上一点,PDU平面QAC.

①求胃的值；

②求直线DQ与平面QAC所成角的正弦值.

22

19.已知双曲线「:3-==1(0>0,6>0)的左,右顶点分别为4，4,左焦点为M(-C,O)

。为坐标原点，4是线段的中点.

⑴求双曲线r的离心率.

(2)过点"且斜率不为o的直线/与双曲线r的左，右两支的交点分别为。，P.

①若直线/的斜率为1.|。尸|=6,求双曲线「的方程；

②连接。。并延长，交双曲线r于点尺，证明：ARLA.P.

试卷第4页，共4页

《甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CBADCBCDBCDABD

题号11

答案BC

1.C

【分析】解不等式lnx＜l,化简集合A,根据交集的定义求结论.

【详解】因为“={刈!1》＜1}={乂0＜工＜6},

所以/c8={x[0＜x41}.

故选：C.

2.B

【分析】根据复数乘法法则计算9i(8+5i),再由复数几何意义确定其所对应的点的象限.

【详解】因为9i(8+5i)=-45+72i,

所以复数9i(8+5i)在复平面上的对应的点的坐标为(-45,72),

所以其对应的点位于第二象限.

故选：B.

3.A

【分析】根据正弦定理n三='h=——c=2及(尺为的外接圆半径)求解即可.

sinAsinBsinC

【详解】设A/BC外接圆的半径为R,

则?“=加二-^=4e,即尺=26.

sm——

3

故选：A.

4.D

【分析】利用弦长公式/=2产方即可求得结果.

|3x2+4x(-3)+l|

【详解】圆C的圆心为(2,-3),半径为3,圆心到直线/的距离4=^——/,,匕1,

所以直线/被圆C截得的弦长为2"F=472.

故选：D

答案第1页，共11页

5.C

【分析】由条件，结合两角差正切公式求tana,结合二倍角公式，平方关系将所求式子转

化为齐次式，利用齐次式的方法求结论.

l-tana1

-:一：---，

H1+tana2

所以tancr=3.

sin2a+22sinacosa+2sir?a+2co^a2tana+2tarfa+Z

因为

3-cos2a3sin2a+2cos2a3tan2a+2

7sin2a+22x3+2x9+226

所以-----5—=----------------------二一

3-cos2a3x9+229

故选：C.

6.B

【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为/=2.(夕〉0),结合条件列方程求)，结

合抛物线性质可求结论.

【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的方程为/=2力(p>0).

由题意可得4(3,5),将点A的坐标代入抛物线的方程可得25=62,

75?S

解得。=U，所以抛物线的方程为

63

焦点的坐标为(],0),即(11,0),

25

所以抛物线焦点到顶点的距离为.

12

故选：B.

7.C

【分析】根据给定条件可得函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合指数函数单调性列

式求解.

答案第2页，共11页

【详解】依题意，函数/（X）满足%,%eR且X产乙，（占一马）［〃不）一〃工2）］>0,则/（X）

是R上的增函数，

Q>0

因此<Q>1,解得1<〃42,

2a-2<a

所以。的取值范围为（1,2］.

故选：C

8.D

【分析】取正三棱锥尸-45C的底面中心为设外接球的球心为。，先由三棱锥的体积

求出正三棱锥尸-N8C的高为正，再由勾股定理求出球的半径，最后求出表面积即可.

【详解】设正三棱锥尸-/3C的底面中心为外接球的球心为。，显然球心。在直线尸河

上.

设正三棱锥P-4BC的高为〃，外接球的半径为R,

由/8=百，可得正三角形/8C的面积为@x（君产二述

44

所以卜乎〃邛,解得人"

2

球心O到底面48c的距离为OM=|〃一a，/W=§4D=l,

由及2=OM?+NAf2,得R2=(6-Rf,R=,

QJT

所以外接球的表面积为砂=万

故选：D.

9.BCD

【分析】根据频率分布直方图有所有频率之和为1即可求得〃?，根据质量不低于1.6kg的频

率之和即可判断B,

答案第3页，共11页

求出哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间的频率即可判断C,计算中位数即可判断D.

【详解】对于A：0.1(0.5+2m+2+2.5+3)=l,解得加=1,A错误；

对于B：估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为(2+1)x0.1x100%=30%,B正确；

对于C:因为(3+2.5)X0.1=0.55>0.5,所以估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至

1.6kg之间，C正确；

对于D:设该哈密瓜的质量的中位数为x,则有

(x-L5)x2.5=0.5-(0.5+l+3)x0.1=0.05nx=L52,

所以估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间，D正确.

故选：BCD.

10.ABD

【分析】由二项式令x=-1可求4,取x=0可求所有系数和，由此判断AB；取x+l=/,

结合二项式展开式的通项公式求。5，判断C,取x=g,结合%的值判断D.

【详解】令》=-1,得％=(-3)9=-39,

令1=0,得%+〃]+%+%+=—1，

月f以外+&+，，，%=3。—1,

所以A正确；B正确；

29

令x+1=％,贝!J%=%-1,所以(2/-3)9=%+axt+a2t+•••+a9t,

因为二项式(2-3)9的展开式的通项公式为⑵(一3)"/=01,2,…,9,

所以生=《25(-3)4=7x66,故C不正确；

令T，得。。+争争…+号=-2"

所以g+冬1----卜鲁=3'-29,故D正确.

22226

故选：ABD.

11.BC

【分析】根据正弦函数的对称性的性质有条件列方程可求。，由此判断AB,再根据正弦型

函数的对称轴的求法及单调区间的求法判断CD.

答案第4页，共11页

【详解】函数/'(%)=sinx+“cosx=

设一/?二cosJ,/:=sing,

vtz+1yju+1

因为函数/(x)=sinx+acosx图象的一条对称轴方程为1=与-,

由J/+1=f(~~)，即sin与+acos与=y/a2+l,

化简可得(品+1)2=0,

所以。=-理，所以A不正确，B正确；

令x-'=巴+左兀(左eZ),=—+kn^keZ),

623

TT

当左=-1时，得％=-§，所以C正确;

令一工+2E<%--<—+2k7i{kGZ),

262

jr2冗

-y+2kn<x<—+2kn{kGZ),

jr27r

当后=0时，一N<x<三，所以D不正确.

33

故选：BC.

12.16

【分析】由椭圆方程可得参数6的值，进而求出。的值，根据椭圆的定义，可得答案.

【详解】由题意可得。=5,b=4,所以故片工的周长为2a+2c=16.

故答案为：16.

13.^/1V5

55

【分析】由向量垂直的性质列方程求彳，利用向量的模的坐标表示求同,W，再由向量夹角

公式求结论.

【详解】因为,

所以@-砂心=小不一回2=2/1-3-5=0,得4=4.

答案第5页，共11页

因为同=右，W=5,d-b=5

所以c°时冉=M=耳5

故答案为:

5

14.18-91n2(-oo,-7)

【分析】(1)求导数/'(%),根据单调性，即可求出/(x)的最小值；(2)设切点为

9999

(x0,91nx0+--+2x0+。+7)得切线方程》一(9In/+--+2/+。+7)=(---—^-+2)(x-x0),

2/2x0X02X0

Q

将问题转化为关于x的方程91nx+'+。-2=0有两个不同的根即可.

x

【详角星】因为r(x)=--4+2=212+y-5=(21)'+5),

XXXX

所以〃X)在(0,；)上单调递减，在g,+8)上单调递增，所以/(X)的最小值为

/(1)=18-91n2.

1Q99

因为〉=/(x)---+a=9\nx+——+2%+。+7,所以＞/=------r+2.

2x2xx2x

9

设切点为(/，91nx°-+2/+a+7),

999

则切线方程为＞-(9山工0—+2/+〃+7)=(---—^+2)(%-%0),将原点坐标代入,

2x0xQ2x0

9Q

化简得91n/+—+。-2=0,则关于％的方程91nx+'+。-2=0有两个不同的根.

X。X

令g(x)=91nx+‘9+a-2,则g，(x)=Q'—W9=9"(x-1l),所以g(x)在(0,1)上单调递减,

XXXX

在(1,+8)上单调递增.因为Xf0,g(X)f+°0,Xf+8,g(X)f+8,

所以g⑴=〃+7<0,故。的取值范围是(-8,-7).

故答案为：18-91n2,(-℃,-7)

15.(1)%=6〃-3

⑵小心

【分析】(1)利用公式q=岳，a„=S„-S„_1(〃>2)求出数列的通项，结合｛%｝为等差数列

列方程求无，由此可得结论;

答案第6页，共11页

71

⑵）由（1）2=（6〃.3）（6"+3）利用裂项相消法求和即可•

【详解】(1)当〃=1时，ax=Sx=3+2k,

当〃22日寸，氏=S〃—S〃_]—3〃2+ku+左一13(〃一I)?+k(n—1)+左]-6〃一3+左，

因为数列｛%｝为等差数列，且。3-。2=6,所以数列｛4｝的公差为6

所以。2—6=%,即6x2—3+左一6=3+2左，

所以左=0,故4=3,

所以+6（〃-1）=6〃-3.

（6〃-3；6〃+3）=2（£-上

（2）因为4=-------

4*

所以雹=2。一；)+(；_；)+•••+（」一

2〃+1）

1o|_3JJ2«-1

16.(1)认为市民喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联

4

(2)分布列见解析，-

【分析】(1)根据独立性检验的相关计算方法，可得答案；

(2)根据超几何分布列以及期望的计算方法，可得答案.

【详解】(1)零假设为“。：市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况无关联.

根据列联表中的数据，得2=l0°x(4°x30-2()xl())2=理-ms10.828=x0001.

50x50x60x403000

根据小概率值&=0.001的独立性检验，我们推断〃。不成立，

即认为市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联，此推断犯错误的概率不大于

0.001.

(2)根据分层随机抽样的知识可知，随机抽取的6人中喜欢骑“共享单车”的有4人，不喜

欢骑“共享单车”的有2人,

所以随机变量X的所有可能取值为0,1,2,

尸（X=0）=*=高尸（X=l）=U=*尸他=2卜

答案第7页，共11页

所以X的分布列为

X012

182

P

15155

1o24

所以£(、)=0*正+H运+2x1=§

17.(1)-3.

⑵(一＜»,1).

【分析】(1)条件可转化为2为/'(x)的变号零点，列关系式求“;

(2)条件可转化为a<e，_x恒成立，利用导数求函数g(x)=e'x的最小值可得结论.

【详解】(1)因为/(力=(》+。声在x=2处取得极值，所以2为/'⑺的变号零点，

函数/(x)=(x+a)e'.的定义域为R,导函数广(x)=e*+(x+a)e*=(x+a+l)e',

所以"2)=(a+3)e2=0,得q=-3.

/'(x)=(x-2)e1所以在(-叫2)上单调递减，在(2,内)上单调递增,

所以“X)在x=2处取得极小值，符合题意，故实数。的值为-3.

(2)因为e，>0,所以/(x)<e2*可转化为x+a<e",即a<e*-x恒成立.

令g(x)=e'-x,贝!Jg'(x)=3一1,

令g'(无)=0，可得x=0,

当x<0时，g，(x)<0,函数g(x)在(e,0)上单调递减，

当x>0时，g，(x)>0,函数g(x)在(0,m)上单调递增,

所以g(x)向,=g(°)=l，

故实数。的取值范围为(-8,1).

18.(1)证明见解析

PQ}_②但

⑵①=

PB-3155

【分析】(1)由直角梯形的几何性质以及勾股定理，可得线线垂直，根据面面垂直的性质以

及线面垂直的性质，可得答案;

答案第8页，共11页

(2)①由相似三角形的性质以及线面平行的性质，可得答案；②由题意建立空间直角坐标

系，求得直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案.

【详解】(1)证明：在梯形4BCD中，因为40=48=1,ADHBC,AD1AB,BC=2,

所以BD=CD=6,贝UACP+c。？=5C2,所以

因为平面PCD1平面ABCD且平面PCDPl平面ABCD=CD,所以AD工平面PCD,

因为尸Cu平面PC。，所以3D，尸C.

(2)①设NC与8。的交点为M,连接九@，

则在直角梯形易知

因为AD=1,BC=2,所以=—.

MB2

因为尸。〃平面0/C,且PDu平面尸5。，平面尸8。口平面/。。=加,

所以尸£>〃QM,则尸D-ABQM,即些=%=工，故丝=1.

BPBD3PB3

②如图，以。为坐标原点，DB，皮的方向分别为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系,

贝U/(亨，一辛,0)，5(V2,0,0),C(0,V2,0),£>(0,0,0),尸(0,等,日).

设平面QAC的法向量为万=Q,y,z),

逑

为

因%

-八、不，656.屈、

(-V22,0),AQ=(一--，^―,—)-

oo3

变

7CX

/-Z--2

所

以7

正5行展令日,得…

一

。

心-X

-6------V+——2=0,

63

设直线D。与平面Q4c所成的角为6,

—.y,——►J2V2V6门।sin.=|c0S〈℃M〉|_=3A/465

因为。。=(学芋拳，所以|〜4亚*伊155,

答案第9页，共11页

所以直线。。与平面Q/C所成角的正弦值为彳.

19.（1）2

2

⑵①一一0=1;②证明见解析

【分析】（1）由题意可得参数的等量关系，利用离心率的公式，可得答案；

（2）由题意作图，联立方程写出韦达定理，①由直线斜率与弦长公式，可得答案，②利用

垂直向量的坐标表达，代入韦达定理，可得答案.

【详解】（1）因为4