高考数学二轮复习测试卷（天津专用）（解析版）

高考数学二轮复习测试卷

(天津卷)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4={尤旭(2-x)<。},B={x[0<xWl},则()

A.0B.(—,2)C.(0,2)D.(1,2)

2.已知R(X-1)(X+1)V0,q：-2<x<2,则。是q的()条件.

A.必要不充分B.充分不必要

C.充要D.既不充分也不必要

3.设〃=logo42,b=--^―,c=0.304,则三者的大小顺序是()

log20.3

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

4.已知函数/■(x)=MN],则函数y=-/(-x+l)的图象是()

5.函数/(x)=3sin0xf向左平移。个单位(0<夕局得到g(x),若g(x)是偶函数，贝尼()

6.已知正项等比数列｛。“｝中，%,3a3,生成等差数歹!).若数列｛%｝中存在两项品，使得忘q为它们

的等比中项，则土1+?4的最小值为()

mn

A.1B.3C.6D.9

7.已知甲、乙两组样本数据分别为占,工2，%3，%，玉和%-1，々，工3，4三+1,则下列结论正确的为()

A.甲组样本数据的中位数与乙组样本数据的中位数一定相等

B.甲组样本数据的平均数与乙组样本数据的平均数一定相等

C.甲组样本数据的极差可能会大于乙组样本数据的极差

D.甲组样本数据的方差一定不大于乙组样本数据的方差

8.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.如图，在鳖犒尸-ABC中，以，平面A3C,

AB1BC,PA=AB=2BC=2,以C为球心，g为半径的球面与侧面的交线长为()

P

丫2V25

9.双曲线C：5-2=l(a>0,6>0)的离心率为：，实轴长为4,C的两个焦点为片，FZ.设。为坐标原

ab2

3

点，若点尸在C上，且cos4P6=-“则|OP|=()

A.2B.77C.2-72D.2-^3

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.i为虚数单位，复数z满足(3+4i)z=l-2i,贝。z的虚部为

_215

11.2x+x^的展开式中的常数项为

12.直线/：'=尤与圆C:(x-2)2+(y-4)2=/(r>0)相交于AB两点，若点O为圆C上一点，且△ABD为

等边三角形，则厂的值为

13.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球，5个白球，乙箱中有8个红球，2个白球，

A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是,8同学掷一枚质地均匀的骰

子，如果点数为1或2,从甲箱子随机摸出1个球，如果点数为3,4,5,6,从乙箱子中随机摸出1个球，

则B同学摸到红球的概率为.

14.在平行四边形A3CD中，ZABC=60°,E是CO的中点，左=2而，若设丽=2,^=5,则乔可用

段,务表示为;若VADE的面积为半，则|丽|的最小值为.

x2ex,x<l

15.已知函数〃x)=《，则函数/⑺存在一个极值点；若方程［〃到了-2硝尤)=0(诏2有两个

一

不等实根，贝U”的取值范围是

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.(14分)

已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-Gc)cos8=GbcosC.

⑴求B；

(2)若b=3,sinC=^3sinA,求。；

⑶若6求$山［24-三］.

17.（15分）

如图所示，在三棱柱ABC-43|G中，平面ABC,/瓦VC=90。，AB=AC=AAi=l,D是棱CG的中

点，尸是AO的延长线与AG的延长线的交点.

⑴求证尸与〃平面

(2)求平面AA.D与平面ADB夹角的余弦值;

⑶求点c到平面4。尸的距离.

18.(15分)

已知椭圆M+W=l（a>6>。）的离心率6=走，左、右焦点分别为£，尸2,连接椭圆的四个顶点得到的菱

ab2

形的面积为8VL

（1）求椭圆的方程;

（2）过F2作不平行于坐标轴的直线/与椭圆交于A,B两点，直线明交y轴于点M,直线8月交y轴于点N，

若S.KAB=S/MN,求直线/的方程.

19.（15分）

已知｛4｝是等差数列，%+&=。，«4-«2=4.

30

⑴求｛%｝的通项公式和工㈤；

k=\

（2）已知机为正整数，记集合｛m|m<a„+ll）的元素个数为数列圾｝.若低｝的前n项和为S”,设数列｛%｝满足

9=1，（c,+*）S“=（3〃-2）-2"（〃eN*）,求｛6｝的前2〃+1项的和与用.

20.(16分)

已知函数/(%)=ln^_x+a_l(a£R).

⑴若。=3,求在x=l处的切线方程;

⑵若/(x)W0对任意的xe(0,")恒成立,求实数a的取值范围;

(3)当ae(O,l]时，证明：

高考数学二轮复习测试卷

(天津卷)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4={尤旭(2-%)<0},8={x[0<xVl},则Au3=()

A.0B.(F,2)C.(0,2)D.(1,2)

【答案】C

/、f2—x>0

【解析】因为lg(2-x)<0=lglo,解得l<x<2,

[2—X<1

所以A=(l,2),B=(O,l],=

故选：C.

2.已知0：(x-l)(x+l)VO,q：-2<x<2,则P是q的()条件.

A.必要不充分B.充分不必要

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】记集合A={x|(x-l)(x+l)40}={x|-l<xWl}.3={x|-2Wx<2},A真包含于8,所以。是4的充分

不必要条件.

故选：B.

,1

3.设a=log042,b=-~,o.30-4,则三者的大小顺序是()

log?0.3c=

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】由对数函数的性质可知，1。8。.42<0,丁\<0,0.3°,>0,

log20.3

,c1

由对数换底公式得：'og042=-——,

log20.4

由对数函数的性质可知1霓2。・3<1。82。4<。，,「^>丁」777

log20.3log20.4

由以上判断得：c>b>a；

故选：A.

4.已知函数f(x)=MM，则函数y=-/(-x+D的图象是()

【答案】D

【解析】因为/Xx)=M同的定义域为｛尤1尤W0｝，所以>=-/(-尤+1)的定义域为岗"1｝，所以排除A,C.

因为/(幻=『小上0,所以y=-/(-x+l)W0,所以排除B.

故选：D

5.函数"x)=3sin12xqj向左平移夕个单位(<00<目得至IJg(x)，若g(x)是偶函数，贝族=()

71-5兀

A.—D.—

312

【答案】D

【解析】由题意,

在=3sin-中，向左平移夕得到g(x),

所以g(x)=3sin(2x+2p-T,

因为g(x)为偶函数，

所以功-^二^+也(左eZ),

又因为0<0<g，

所以夕=1，

故选：D.

6.已知正项等比数列｛叫中，为，3a3,%成等差数歹!L若数列｛叫中存在两项4，。”，使得为它们

的等比中项，则上1+24的最小值为()

mn

A.1B.3C.6D.9

【答案】B

【解析】设正项等比数列｛%｝公比为q,由〃4，3%,%成等差数列,

22

有6a3=〃4+。5，HP6(23=a3q+a3q,^q+q-6=0f由q>0,解得9=2,

若数列｛4｝中存在两项金,%，使得❷为它们的等比中项,

则=am-an,即2a；=jgR,得加-〃2=2，则加+几=3,

141/14、/.1<n4m4Y1CIn4mo

—l—=——l—\(m+n\=—Id---1----1-4>—5+2./-----=3,

mn31AHn)3(J3(NmnI

当且仅当2n=?4”W7，即m=1,〃=2时等号成立，

mn

14

所以的最小值为3.

mn

故选：B

7.已知甲、乙两组样本数据分别为外,工2，%3，%，玉和%-1，工2，巧,工4，%+1，则下列结论正确的为()

A.甲组样本数据的中位数与乙组样本数据的中位数一定相等

B.甲组样本数据的平均数与乙组样本数据的平均数一定相等

C.甲组样本数据的极差可能会大于乙组样本数据的极差

D.甲组样本数据的方差一定不大于乙组样本数据的方差

【答案】B

【解析】对于A选项：

若甲组样本数据的中位数为七，

且5个数据由小到大排列为：％〈尤3<芯T<&<匕<尤5时；

那么乙组样本数据的大小排列为：3<当<玉-1<%<三,

此时乙组样本数据的中位数为％-1,

故用反例法证明了A选项错误.

对于B选项：

甲组样本数据的平均数=%+%+5+%+$……①

甲组样本数据的平均数=(&―1)+/+；+%+(,+1)=....②

①②式相等，故B选项正确.

对于C选项：

设max｛芯,％,七,%,毛｝="，而n｛玉,々,&，%，毛｝=匕

分三种情况讨论：

情况一：变化只改变了最大值，即当+1>。……③

由不等式性质对上式变形有：a-b<x5+l-b……(4)

④说明：甲组样本数据的极差〈乙组样本数据的极差；

情况二：变化只改变了最小值，即方>玉-1……⑤

对⑤式利用不等式变形有：6>百一1=一6<-(内一1)=4一6<"-(不—1)……⑥

⑥说明：甲组样本数据的极差〈乙组样本数据的极差；

情况三：变化改变了最大值与最小值，即。>占-1……⑦；。<三+1……⑧

对⑦利用不等式变形有：-^<-(^-1)……⑨

⑧+⑨有：＜(%+1)-(芯-1).....⑩

⑩说明：甲组样本数据的极差〈乙组样本数据的极差；

综上所述：只能得到甲组样本数据的极差〈乙组样本数据的极差，故C错误.

对于D选项：

2

设甲组数据的%,当,£,匕,当分别为1,0,0,0,-1；5^=-

那么乙组数据的玉-1,工2，七，七，三+1分别为°，°，°，°，°；S[=0

此时有量＞黑；故D选项错误.

综上所述应选B.

故选：B.

8.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖席.如图，在鳖席P-ABC中，以，平面A3C,

AB1BC,R4=AB=28C=2,以C为球心，招为半径的球面与侧面R45的交线长为()

6兀叵

Kr-z.-----

2F

【答案】B

【解析】因为R4_L平面ABC,AB,3Cu平面ABC,

所以B4_LBC,PA±AB,

因为AB13C,PA^\AB=A,PA,ABu平面上4B,

所以BC/平面PAB,

如图所示，设OE为球C与平面PIB的交线，

贝1!仪＞=匿=6BC=1,所以BD=BE=®,

所以。E所在的圆是以B为圆心，0为半径的圆,

因为=且m_LAB,

所以NP8A=f,所以弧DE的长为工、后=叵.

444

p

故选：B.

2

9.双曲线C：丫23v=1（。〉。*〉0）的离心率为5彳，实轴长为4,。的两个焦点为片，尸2.设。为坐标原

ab2

3

点，若点尸在C上，且cos/百尸&=一1,则|04=（）

A.2B.77C.272D.2班

【答案】B

【解析】由题意可得2a=4,e="=：,所以0=2,C=5/=正—=万,

在△月尸居中,由余弦定理得4闺闾2=|百呼+因用一2|心外闺「卜05/4/里,

23

.•.4。2=（区2_囚尸|）-+2国产眄刊+万阳尸眄P|,

由于惜H-优邳=2%所以4c2=4/+：山尸眄尸|，故闺P眄4=24,

由于。是月入的中点，所以西+丽=2所,

则（而+M）2=4PO2，即I国F+1糜F+21对II/|cosN£P£=41防F,

_____.3___.__,

即|西『+|班|2一万|西||%|=4|而匕①

而归片卜忸可|=2°,两边平方并整理得，|尸片『+|尸耳|2-2|尸甲|桃1=4。2,②

联立①②可得|尸。|=6.

故选：B.

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.i为虚数单位，复数Z满足（3+4i）z=l-2i,贝I|z的虚部为

2

【答案】-j

【解析】因为（3+4i”=l-2i,

l-2i（l-2i）（3-4i）一5-10i-l-2i

所以（3+4i）z=

3+4i-（3+4i）（3-4i）-255

2

所以复数z的虚部为

2

故答案为：-二.

11.］的展开式中的常数项为.

【答案】40

【解析】依题意，（2尤+的展开式的通项为J=C>（2尤广\产］=C>25,『小，令5-?=0可得

故常数项为C>2?=40.

故答案为：40

12.直线/：y=x与圆。:（》-2）2+（k4）2=/（r>0）相交于4,8两点，若点。为圆C上一点，且△ABD为

等边三角形，则,的值为

【答案】20

JT

【解析】由题意知，ZADB=~,

2兀

所以NACB*

则圆心（2,4）到直线/:y=x的距离为:

则r=20,

故答案为：20.

13.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球，5个白球，乙箱中有8个红球，2个白球,

A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是,3同学掷一枚质地均匀的骰

子，如果点数为1或2,从甲箱子随机摸出1个球，如果点数为3,4,5,6,从乙箱子中随机摸出1个球,

则B同学摸到红球的概率为.

Q7

【答案】——/0.7

1510

C37

【解析】A同学从乙箱子中随机摸出3个球，全是红球的概率为片=«,

故3个球颜色不全相同的概率为1-：=2，

B同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2,

251

从甲箱子随机摸出1个球为红球的概率为工'京=5，

o10o

AQO

如果点数为3,4,5,6,从乙箱子中随机摸出1个球为红球的概率为白白=2，

61015

1o7

则B同学摸到红球的概率为工

o1510

o7

故答案为：W-

14.在平行四边形ABCD中，ZABC=60°,E是CD的中点，荏=2屈，若设丽=2肥=B,则而可用

a,B表示为;若VADE的面积为白，则忸耳的最小值为

【答案】-a+-b*

333

【解析】如图所示，根据向量的运算法则,

__.__.__.__k2__.__.2__.__.912___2

ni^BF=BA+AF=BA+-AE=BA+-(AI)+DE)=a+-(b-d)=-a+-b,

3__________3_______________3233

设同二胡同二九，因为VADE1的面积为,可得'九,msinGO。=^,即.=4,

112222

222

又由怛/=+=^(a+b+2d'b)=—(m+1+2mHCOs600)

4416

=—(m2+n2+mn)>—(2mn+mn)=—当且仅当机="时，等号成立,

所以网的最小值为挈.

故答案为：|0+|心?.

x2ex,x<l

15.已知函数〃x)="，则函数，(x)存在一个极值点；若方程[〃切2-24(x)=O(aeR)有两个

不等实根，贝的取值范围是

【答案】4:昌；卜：+U

x2ex,x<1

【解析】对于函数〃力=/

当f(x)=X%、(x<1)时，/'(%)=(X2+2x)eY.

令/'(x)>0,解得：x<-2或0<x<l；令/(无)<0,解得：一2<x<0：

所以/(%)在(-*-2)上单调递增，在(-2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增.

4

而x<—2,/(x)>。；f(—2)=—,f(V)=e.

e

当/(x)=px'l)时，f'(x)=^-(x2-2x).

令r(x)<0,解得：l<x<2；令尸(x)>0,解得：x>2；

所以在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

2

而/'(l)=e；〃2)=?,x>2,/(x)>0.

解关于x的方程[/OOF-24'(x)=0有两个不相等的实数根，

即关于x的方程f(x)[f(x)-2a]=0有两个不相等的实数根，

/«=0只有一个实数根X=0,所以关于x的方程fM-2a=。有一个非零的实数根,

即函数>=/(%)与>=2Q有一个交点，横坐标xwO.

结合图象可得：W〈2av彳或2a>e,

e4

所以。的取值范围是

故答案为：4；^-，―

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.（14分）

已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-也c)cosB=J5"cosC.

⑴求B；

⑵若6=3,sinC=A/3sinA,求。;

⑶若6=0a，求sin[2A-g].

【解析】(1)在AABC中，由正弦定理及(2a-6c)cosB=®cosC,

得(2sinA-A/3sinC)cosB=>/3sinBcosC,

贝lj2sinAcosB-A/3sinCcosB+\/3sinBcosC=A^sin(5+C)=sinA,

而sinA>0,贝l]cosB=3,又Be(0,兀)，所以8=g

26

(2)由sinC=A/5sinA,得c=6。，由(1)及余弦定理片+/一2QCCOS8=/,

得/+3/-2耳2・3=9,解得。=3,

2

所以a=3.

（3）由力=行〃及正弦定理，得sin5=0sinA，则si.A=⑶=2=&，

~V2一母—4

于是sin2A=2sinAcosA=2xx,cos2A=2cos2A-l=2x1=

444-r

近13gA/7-3A/3

所以sin(2A--)=sin2Acos--cos2Asin—=----X-------X----=-------------

33342428

17.（15分）

如图所示，在三棱柱ABC-A4G中，AA_L平面ABC,ABAC=90°,AB=AC=A4,=1,。是棱CG的中

点，尸是AD的延长线与AG的延长线的交点.

⑴求证p耳〃平面由出；

（2）求平面AAtD与平面AtDB夹角的余弦值；

⑶求点C到平面片DP的距离.

【解析】（1）在三棱柱ABC-4及G中，连接A瓦口48=£，连接OE,

由AC//C7,£）是棱CG的中点，得。是AP的中点，

由AB四人为平行四边形，得E为线段A片中点，于是OE//P片，而DEu平面出冽，尸旦（2平面跳）4,

所以尸瓦〃平面BDV

（2）在三棱柱ABC-A4G中，平面ABC,ZBAC=9Q°,则直线4综4G，AA两两垂直,

以点A为原点，直线A4，AG,AA分别为x，y，Z轴建立空间直角坐标系,

由AB=AC=A4=1,得A(0,0,0),4(1,0,0),B(l,0,l),0(0,1,1),A(0,0,1),C(0,1,1),

则超=(1,0,1),(0,0,1),北=(0,1,；),显然平面的一个法向量而=(1,。,0),

n-AjB=x+z=0

设平面24]£)的法向量,=(羽％2),则V——►1，令z=—2,得"=(2,1,-2),

访.A。=y+—z=0

设平面AA.D与平面AOB夹角为6,则cos6=|cos〈加用|="*

\m\\n\1x33

所以平面AA.D与平面ADB夹角的余弦值g.

,—.1.

(3)由(1)知，点月£平面A5Q,由(2)知A3]=(l,0,—l),AD=((M,—5),AC=((M,0),

v-ABX=a-c=0

设平面耳。尸的法向量y=(a,dc)，则,——►1,令c=2,得v=(2,l,2),

v•AD=b——c=0

2

所以点c到平面瓦。尸的距离d=干尸=g.

18.(15分)

已知椭圆，+/=1(“>6>0)的离心率0=等，左、右焦点分别为耳，网,连接椭圆的四个顶点得到的菱

形的面积为80.

(1)求椭圆的方程;

(2)过尸2作不平行于坐标轴的直线/与椭圆交于A,B两点，直线A4交y轴于点〃，直线8月交y轴于点N,

若S’KAB=S,求直线/的方程.

【解析】(1)由题意，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为8&，

所以gx2ax2〃=8正，即"=40，①

又因为离心率e=£=

a

(2=8y2

联立①②‘解得所以椭圆的方程为9+亍=1.

(2)

设人(无1，%),B(x2,y2),M(0,%),N(0,%),

由(1)可知，耳(-2,0),6(2,0),由题意可设直线/：x=my+2,

则1KB卜|%-%|=2回一%|'=；山。卜|为一为|=|%-川；

x=my+2

联立炉V得(m2+2)y2+4my-4=0.

——+—=1

I84

e4m-4

则….可

m2+2

由直线A［的方程：y=T4x+2),得“纵坐标为=」、；

西+2玉+2

由直线B4的方程：y=°、(x+2),得N的纵坐标以=0、.

%2+2冗2+2

若S^F\AB=S4&MN，即2|必一为1=1%-％1，

2M2y2=8(—一上)

myl+4my2+4+4)(切%+4)

所以|(如i+4)(〃该+4)|=4,整理得M”%+4制％+%)+1耳=4,

—4W2—4加

代入根与系数的关系，得F^+4〃Z-F^+16=4,解得,”=土君,

m-+2m-+2

所以直线方程：x+-2=0或x-yfiy—2=0.

19.(15分)

已知｛《,｝是等差数列，/+%=。，%-。2=4.

30

⑴求｛%｝的通项公式和EEI；

k=l

(2)已知m为正整数，记集合｛〃幅＜4+11｝的元素个数为数列也｝.若也｝的前兀项和为S”,设数列｛6｝满足

q=l,(C“+C“M)S"=(3”-2)-2"(〃€N*),求｛%｝的前2”+1项的和与用.

【解析】(1)由题意4+4=。=2%+7d,a4-a2=4=2d(q,d分别是首项，公差)，解得