高考数学一轮复习考点总结-平面向量的概念及线性运算（含解析）

平面向量的概念及线性运算(3种核心题型+基础保分练+综

合提升练+拓展冲刺练)

m【考试提醒】

1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.

2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.

3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

ill【知识点】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小称为向量的长度(或模).

(2)零向量：长度为。的向量，记作小

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

⑷平行向量：方向相同或相应的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量壬

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算法则(或几何意义)运算律

a

交换律：a+b=b±a；

加法三角形法则

结合律：S+A)+c=a+(A+c)

a

平行四边形法则

减法a—b=a-\-{-b)

a

几何意义

\Xa\=\k\\a\,当%>0时，相的方向与a

的方向相同;

数乘(2+jLt)a=筋+〃。；

当衣0时,/la的方向与a的方向相反;

+b)=Aq-\-Ab

当4=0时，Aa=0

3.向量共线定理

向量a（“关0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使b=2a.

【常用结论】

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的

向量，即/+//+。3/4TFAn-lAn^A\An,特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的

向量和为零向量.

2.若尸为线段的中点，。为平面内任意一点，则。下=；（。4+。3）.

3.若4,B,C是平面内不共线的三点，则向+而+的=0今尸为△/8C的重心，AP=^AB

+AC).

4.对于任意两个向量a,b,都有|同一例W|a±6|W|M+网.

【核心题型】

题型一平面向量的基本概念

平行向量有关概念的四个关注点

（1）非零向量的平行具有传递性.

⑵共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

（4）2是与a同方向的单位向量.

【例题1】（2024•湖南永州•三模）在“3c中，/ZCB=120°,|次|=3,|明=4,反.丽=0,

贝I］阿+西的最小值为（）

A.6也-2B.2M-4C.3^3-1D.M-2

【答案】A

【分析】以c为坐标原点，所在直线为x轴，过c垂直BC的直线为y轴建立如图所示

的平面直角坐标系，求得点。的轨迹方程，取8。的中点为求得M的轨迹方程，数形

结合可求|力+石京•

【详解】由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直C8的直线为V轴建立

如图所示的平面直角坐标系，

则/(-3,3与，8(4,0),由友.丽=0，可得。是以为直径的圆,

22

所以。的轨迹方程为(X-2)2+/=4,

取BD的中点为M,设Ma,y),Z>(x“o),

X。+4

X=

2x0=2x-4

可得，，所以所以(2X-6)2+(2»=4,

%+。y=2y

y=0

2

所以点”的轨迹方程为(x-3)2+/=i,圆心为8(3,0),半径为1,

由万+75=2刘7，所以I万+石|=2|而I,所以|43+4D|min=2|/ML,，

所以I而京=口8-1=，(-|-»+(浮-0)2-1=36-1，

所以|君+益1mhi=68-2.

故选：A.

ab

【变式1】(2023•北京大兴三模)设Z，B是非零向量，"口=利"是"£=『'的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.

ab__

【详解】由曰=而表示单位向量相等，贝同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推

H\b\

出Q=石，

__cib

由£=3表示。,6同向且模相等，则尸1=同，

H\b\

ab

所以"曰二而"是=y的必要而不充分条件•

故选：B

【变式2】（2022•江苏•三模）已知向量£=（6,2）,与£共线且方向相反的单位向量

b=■

【答案】

【分析】利用与Z共线且方向相反的单位向量为一百，即可得出答案.

【详解】a=（6,2）,|a|=V3674=2A/io,所以与£共线且方向相反的单位向量是:

【变式3】（2022•上海虹口•二模）已知向量Z，B满足同=2,恸=1,.+囚=右，则

/4.

【答案】布

【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.

【详解】由卜+囚=百可得，W+2々%+忖=3,即4+275+1=3，解得：

所以「_囚=^|a|-2a-Z?+|/j|=J4+2+1=V7.

故答案为：

题型二平面向量的线性运算

平面向量线性运算的常见类型及解题策略

（1）向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

⑵求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.

命题点1向量加'减法的几何意义

【例题2】（2024•福建福州•三模）已知线段45是圆。的一条长为2的弦，贝IJ7万.刀二（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】取45中点C,连接OC,根据向量的相关计算性质计算即可.

【详解】取中点C,连接OC,

故选：B.

【变式1】（2024•河南三门峡•模拟预测）在中，AN=3NC,BP=4PN,则Q=（）

1―►3—►3—►4—►

A.-AB+-CAB.-AB——CA

5555

3—►1―►1—►3―►

C.-AB——CAD.-AB——CA

5555

【答案】D

【分析】运用平面向量加法、减法、数乘运算即可.

【详解】如图,

_______»---------k--------k，.ZL,，一---------k/，”.\1--------->»

因为丽=4丽，所以AP=4B+BP=4B+MBN=4B+M（4N-4B）=M4B+MAN,

__.—.3

又AN=3NC，所以/N=1/C，

—■1—-3—•1—■3—■

所以/尸AB~CA.

故选：D.

［变式2］（2023•四川乐山；一模）己知正六边形ABCDEF边长为2,MN是正六边形ABCDEF

的外接圆的一条动弦，MN=2,P为正六边形4BCD跖边上的动点，则两7.丽的最小值

为.

【答案】-1

【分析】若。是外接圆圆心，G是血CV中点，连接尸G,OG,根据由.丽=而2_］,数形

结合有|闲闺|诟H而卜I赤月后2］即可求最小值.

【详解】若。是外接圆圆心，G是中点，连接尸G,OG,如下图,

所以PM=PG+GM,PN=PG+GN=PG-GM，则尸M・丽=所?-GM2，

故两.两=而2-1，^\PG^\\OG\-\OP\\=\yf3-\OP\\,且|而日忘2］，

所以|闲0,当且仅当。,尸,G共线且P,G重合为正六边形一边的中点时等号成立,

所以7而.两±-1.

故答案为：-1

【变式3］（2023・上海金山・二模）已知£、3、2、2都是平面向量，且a=|2Z/|=|5H|=l,

/—»—►\77"——»—►_»

若卜,d）=I,则16一d|+|c-町的最小值为.

【答案】V29-2

【分析】本题用向量减法的模的几何意义解决.

因为123-可=1,所以B起点在原点，终点在以3为圆心，1为半径的圆上;

同理，|51-司=1,所以工起点在原点，终点在以。为圆心，1为半径的圆上,

所以丘一7+丘_丁的最小值则为（忸必+|CD|L-2,

因为仅2）=5，忸⑼=忸0，当*,D,C三点共线时，

22

（\BD\+\CD\）mm=\B'C\=^5+2=廊，所以（忸回+|。必%-2=回-2.

故答案为：V29-2.

命题点2向量的线性运算

【例题3X2023•河北•模拟预测）在平行四边形48co中，已知=2WB=4，且方.元=T，

则向量径与就的夹角的余弦值为（）

A.----B.0C.~~D.

222

【答案】B

【分析】根据平面向量的线性运算及数量积求解即可.

【详解】由题意知，在平行四边形48CD中，BC=AD，AD=2AB=4,

因为AB-BC=\AB\-\BC\-cos（7t-ZABC）=2x4x（-cosZABC?）=-4,所以cosN/3C=g.

因为ZABCe（0,兀），所以NABC=9,又AB=2,BC=4,

所以“L+就卜J•+就『=版『+柄'3<^8）|c.|co&^ABC=2枢,

故■闫画，+园卜则44C=',

所以向量方与就的夹角的余弦值为0.

故选：B.

【变式1］（2024・安徽・模拟预测）已知。为等边“3C的中心，若刀=3，,方=2各，则

AC="（用a］表不）

【答案】-9a-2坂

【分析】等边三角形的中心即三边中线的交点，由重心的结论：DO=\OA,结合向量的线

2

性运算即可求解.

【详解】解：由题可得如图:

A

OA=3a^。是“BC各边中线的交点,

22

DA=DO+OA=_aA.D——a

22

又。为的中点，AB=2b，故:

AD=^(AB+AC^AC=2AD-ABI

所以：AC=-9a-2b>

故答案为：-9a-2坂.

【变式2】(2024•黑龙江哈尔滨•二模)己知不共线的三个单位向量口“满足10石

与B的夹角为。，则实数2=.

【答案】-1

【分析】由已知等式可得<?=-3_7在，两边平方后，结合数量积运算，即可求得答案.

【详解】由题意矢口+3=^c=-a-Ab>

则C2=(-«-2&)\即片=/+2苏.B+万片，

BP1=1+2/1cos—FA2,解得4=—1或4=0,

3

彳=0时，c=-a,不合题意，故4=-1,

故答案为：-1

【变式3](2024•江苏扬州•模拟预测)记UBC的内角48,C的对边分别为。，瓦c,若

(a+b+c)(a+b-c)=3,且的面积为土叵.

4

⑴求角C;

(2)若屈=2丽，求|。口的最小值.

【答案】⑴2?兀

(2)T

【分析】⑴借助余弦定理与面积公式可得悬^=5结合二倍角公式可得t呜3

即可得解;

—>1—►2―►

⑵结合题意借助向量，可得3产+产，结合模长与数量积的关系计算即可得

历利用基本不等式即可得其最直

【详解】(1),・・(a+6+c)(“+6—c)=3,.-.3=(tz+6)2-c2=a2+b2-c2+2ab

3

结合余弦定理得3=2abeosC+lab=2ab(l+cosC),，ab=

2(l+cosC)*

••s=-absinC=-三J=6,

,3ABe241+cosC

cc

2sin一cos一「「

C半故C=g；

即----2=tan7=6又：力

。2c22~2

cos—

2

3

ab二3,

2(l+cosC)

—■1--2—■

■-AD=2DB^:.CD=-CA+-CB,

k2

--224人1,2

:.CD-CA+-CB\=^b+-aH—abcosC——b+32

331999993

又l21422。222

+a—a——=2x=—

993993333

I_V|

当且仅当b=2〃=而时，长取最小值，此时CZ)=

3

二.8长的最小值为逅.

3

命题点3根据向量线性运算求参数

-►7T-►7T

【例题4】(202全江苏•二模)已知非零向量a=(cos2a,sin(a+-)),6=(sin(a+R,1),若£//B,

贝!jsin2a=()

RVio43

A.-1C.一D.-

1055

【答案】D

【分析】利用两个向量平行的性质可得sin2(c+(7T)=cos2a,化简可得tana=§1,利用齐次

式即可得到答案.

71k,Tt

cos2a。0a^-+-L-

左e)

【详解】因为Z，3为非零向量，所以.，兀、C，即＜42(k]sZ,2Z

sin(cr+—)w071.

aw-----F左2兀

E、、兀、—

因为1a—//b—，所b以tls-nr2(/c+：)=cosc2a,贝rt.UI1COS(I26ZH2)I

4--------------------=

2

BP1+sin2a=2cos2a,

即sin2cr+cos2cr+2sincrcoscr=2cos2a-2sin2a,由于cosaw0,所以两边同除cos2a,

可得：3tan2a+2tana-l=0,解得：tana=1或tana=-1(舍去)，

2

3-3

2tana_---

所以sin2a=15

1+tan2a+-

9

故选：D

【变式1】（2024•浙江杭州三模）已知不共线的平面向量Z，石满足口+砌〃（花+无），

则正数彳=（）

A.1B.72C.V3D.2

【答案】B

【分析】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出2.思路二：由共线向量基本定理即可

得解.

【详解】方法一：由已知有1・2=九2,2>0,解得4=0.

方法二：设（a+W=〃（/la+2@,〃eR,由题意］;解得九=万

故选：B.

【变式2】（2024・上海•三模）设平面向量）=（sin。/），在=（cos06）,若乙3不能组成平

面上的一个基底，贝!Jtan9=.

【答案】叵¥

33

【分析】利用基底的定义可得Z〃否，再利用共线向量的坐标表示求解即得.

【详解】由心B不能组成平面上的一个基底，得而1=（sine,l）,不=（COS。,6）,

因此由sin。=cos。，所以tan6=—=——.

cos。3

故答案为：立

3

【变式3](2023•四川南充•一模)在"BC中，设角/,B,C的对边分别为a,b,c.已知

向量A=(>Acos4sinN),n=(1,-1),且所〃力.

(1)求角/的大小；

(2)若.=2而，asin5-csin=0,求AA8C的面积.

【答案】⑴胃

(2)273

【分析】(1)首先根据平面向量平行的判定条件得-百cosN=sin4,即可求出tan/的值,

进而求出角A；

(2)首先利用正弦定理进行角换边的转化，得6=c,然后利用余弦定理求出6,c的值,

然后利用面积公式进行求解即可.

【详解】(1)已知加=(6cos4,sin/),??=(1,-1),

,27r

'：mlIn，二.一百cosA=sinA,得tanA=-VJ，,••()</<»,A=——

3

(2)已知“sinB-csin力=0,根据正弦定理得/一以=0,§Pb=c.

b1+C1-a1_b2+c2-24

根据余弦定理得cosA

2bc2bc2

7A2-741-

将6=c代入得勺上=/,解得3/=24,即得6=c=2拒.

S“ABC=；庆sin/=2后x2sx=2G.

题型三共线定理及其应用

利用共线向量定理解题的策略

(1)。〃6台。=助(6W0)是判断两个向量共线的主要依据.

(2)若a与b不共线且相=7力，则/l=〃=0.

(3)若a=力由+〃(元(九〃为常数)，则/,B,C三点共线的充要条件是2+〃=1.

【例题5】(2024•全国•模拟预测)已知平面上点。，A,8满足|次|=|砺|=2,且

|厉+砺|=|瓦],点C满足|反-瓦卜孚，动点P满足而.厉+(1一)反，则|赤|的最

小值为()

VH2A/H-1或01

A------BD.-------C.1D.1或---

777

【答案】A

【分析】由题设三个条件依次得到刀，砺=§,推得点C的轨迹是以点3为圆心，叵为

37

半径的圆，再得点P,A,C三点共线，通过建系将问题转化成由点/口6)向圆做切线,

求原点到该切线的最短距离问题.

【详解】由题意，^04=^OA+OB^=OA+0B2+XM-OB

=4+4+2x2x2xcos丽丽=4,所以cos丽丽=——.

2

_____»_____».»/'jI

因为0WO4O34兀，所以。4。5=3-.

又|玩-砺卜孚，即|比卜理，所以点C的轨迹是以点B为圆心，字为半径的圆.

如图，以。为坐标原点，以砺的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系.

易知8(2,0),/卜1,6)，则点C的轨迹方程为(x-2)2+/=g.

由而=/刀+(1-/)反，得点P,A,C三点共线.

过点A作圆8的切线，设其方程为y-G=Mx+l),即依->+左+百=0.

由点3。)到该切线的距离为孚，可得巴丁二?,解得』?或』

由图知，当』当时，|西最小，切线的方程为氐+2了-6=0,

此时而的最小值即为点。到切线的距离，即|赤|一匚L一里一’2

11।岛V3+4币7

故选：A.

【变式1](2024・浙江•模拟预测)已知向量1是平面上两个不共线的单位向量，且

AB=6+2e2,BC=-3e,+2e2,DA=3q-6e2，贝！J()

A.4、B、C三点共线B.4B、。三点共线

C.4C、。三点共线D.B、C、。三点共线

【答案】C

【分析】由平面向量共线定理求解即可.

【详解】因为向量1是平面上两个不共线的单位向量，所以1可以作为一组基底,

对于A,因为益=1+2]，数=-31+2晟，若4B、C三点共线，

设=AeR,贝!I"｛、.,无解，所以4B、C三点不共线,故A错误；

12=2X

对于B,若4B、。三点共线，

设方=〃而，〃eR,贝/;=32,无解，所以4B、。三点不共线，故B错误；

[2=—6〃

对于C,因为AC=AB+BC=(e1+2e?)+卜3q+2e?)=—2q+4e2=—AD,

因为NC,/。有公共点A,所以4a。三点共线，故C正确.

对于D,因为DB=ZX4+48=(%]-&2)+向+也)=a1一色>

BC=-31+2e",设砺=kBC，keR,

[4=-3左

则“，无解，所以从C、。三点不共线，故D错误；

[-4=2k

故选：C.

【变式2](2024•上海松江•二模)已知正三角形/3C的边长为2,点。满足函=mCA+nCB，

且他>0,/7>0,2m+n=\,贝！J|C0的取值范围是.

【答案】(1,2)

【分析】取/C的中点E,由题意可得而=2加近+”而，从而推得用2E三点共线，进而

得出|C£|<|CD|<|C8],即可得出答案.

【详解】取/C的中点£,则有=2屈，

又丽=族方+/方=2加。+〃赤，又因为2加+〃=1,

故伉三点共线，即点。在中线8E上运动，

在正三角形45c中，BELAC,

又加〉0,7?>0,贝!j，

故西e（l,2）.

故答案为：（1,2）

【变式3】（2022•江苏盐城•模拟预测）如图，已知正方形/BCD的边长为2,过中心。的直

线/与两边CD分别交于点M,N.

⑴若。是2。的中点，求丽•丽的取值范围;

（2）若P是平面上一点，且满足2丽=2赤+（1-4）0?,求万万.丽的最小值.

【答案】⑴1⑼；

（2）-]

【分析】（1）由向量的加法和数量积运算将两•斯转化为由2-而2,再由|加|的值和

|西|的范围可求得结果.

（2）令西=2丽=4赤+（1-力）无可得点7在3C上，再将两.两转化为瓦^_南2,

由|丽|、|两'I的范围可求得结果.

【详解】（1）因为直线/过中心。且与两边N3、CO分别交于点M、N.

所以O为的中点，所以两=-两，

所以西.丽=（西+西）.（函+网=函2_两2.

因为。是的中点，所以|函|=1,l<\OM\<y/2,

所以-IV函2_两2《0,

即的丽•丽取值范围为

⑵令方=2小贝UOT=2OP=AOB+(1-A)OC,

：.OT=WB+OC-WC^即：OT-OC=WB-WC

CT=XCB

.•.点r在Be上，

又因为。为MN的中点，

所以|福户1,从而|9PM-PN=(PO+OM)-(Pd+ON)=pd2-OM2,

因为1V|南区亚，

所以两.丽=后-而2>--2=--,

44

7

即PM.PN的最小值为-二.

【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.(2024•全国•模拟预测)已知平面向量一却则"。区"是"存在2eR,使得『=焉"的(

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】当"0，10时，满足万/5但不存在2,使得共必；

当3=小时,可得27区;

所以")/行"是"存在XeR，使得六花”的必要不充分条件.

故选：A

2.(2023•贵州黔东南•三模)在△/BC中，已知/8=4,"为线段的中点，CM=3,

若函=2而晨则福•福二()

4A/34A/2

B.-3C.D.

99

【答案】B

【分析】由题意可得求得CN,MV,而福=市7+疝，NB=NM+MB，然后计算化简

福•丽可求得结果.

【详解】如图，：CM=3,CN=2NM^>CN=2，MN=1

：.NA-NB={NM+MA)[NM+MB)

^NM2+NM-MB+NM-MA+MA-MB

---------*1---------*/-------•-----------------------*--------

=NM+NM^MB+M^+MAMB

=12+7W-0+2x2xcos兀=1-4=-3，

故选：B.

3.（2024•广东深圳•模拟预测）已知点工（2,6）,5（-2,-3）,C（0,l）,01,6,则与向量

益+2而同方向的单位向量为（）

【答案】A

【分析】由单位向量的定义、向量坐标的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.

【详解】由题意15=（-4,-9）,丽=g,5）,所以益+2丽=（3,1）,

__AB+2CD1八，、（3V10而）

从而与向量45+2CQ同方向的单位向量为「示ckd二个二（3」）=-

故选：A.

4.（2024.山西朔州.一模）已知同=2石=（0,1）,且@4,则归一2斗二（）

A.2A/2B.2百C.4D.275

【答案】C

【分析】利用向量的数量积可求,-2H.

【详解】因为B=alb，贝!1庐=3，小3=0，

则归一24=）2一好B+4庐=4一0+4x3=16,故心一2可=4,

故选：C.

二、多选题

5.（2024•辽宁•二模）”3C的重心为点G,点。，尸是“3C所在平面内两个不同的点,

满足方=况+砺+反，贝I（）

A.尸,G三点共线B.OP=2OG

C.WP=AP+~BP+CPD.点尸在"8C的内部

【答案】AC

【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断.

【详解】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC

=3OG+GA+GB+GC,

因为点G为“BC的重心，

所以田+说+交=6，所以赤=3标，

所以O,P,G三点共线，故A正确，B错误；

AP+RP+CP=Ad+OP+W+OP+CO+OP

=C4d+BO+cd）+3OP,

^OP=OA+OB+OC，

所以（而+而+函）+3赤=一赤+3砺=2而，BP2OP=AP+BP+CP，故C正确；

因为丽=3诟，

所以点P的位置随着点。位置的变化而变化，故点尸不一定在“3C的内部，故D错误；

故选：AC.

6.（2024•浙江宁波・二模）若平面向量获忑满足同=第=1,同=3且方.工=讥工，贝U（）

A.B+B+W的最小值为2

B.卜+3+寸的最大值为5

C.B-B+W的最小值为2

D.归-6+目的最大值为历

【答案】BD

【分析】由向量用瓦3方向间的关系，判断M+3+w的最大值和最小值；由通

过卜-目的最值，计算|1-B+W的最值.

【详解】当向量或3方向相同，与己方向相反时，满足心,=31，

此时忖+3+w有最小值同-（同+W）=1，A选项错误；

当向量落反5方向相同时，满足3G=3•万

此时忖+3+W有最大值同+问+同=5,B选项正确；

ac=b-c>有（3-B"=0,HP（a—b^Vc,则归-$+曰=,卜-回,

向量瓦B方向相同时，归-可的最小值为0,归-B+己|的最小值为3,C选项错误；

向量比B方向相反时，日的最大值为2,口-B+W的最大值为D选项正确.

故选：BD

三、填空题

7.（2023・重庆•一模）在AP/5中，/8=4,ZAP8=g,点0满足方=2（而+丽），则谖・诬

的最大值为.

【答案】-石/-3玉

【分析】设中点为M,则无=4说，根据平面向量的线性运算可得

QA-QB^QMf-\MAf,得当PM_L/8时，|加|最大，此时AP/8是等边三角形，

求出即可求解.

【详解】设中点为M,

则5=2（而+丽）=>。？=4］而，

函函=（加+疝）•（曲+施）=（西+疝）•（西-疝）=|即『-M「,

由乙4依=JTg,知P点轨迹是以N3为弦，圆周角为WJT的优弧，

二当PM_L/8时，IQMI最大，此时△尸48是等边三角形，

|=26,贝I]|=乎,|0A7|2-|M4|2=||-4=-||.

QQ

故答案为：-

8.（2023・云南大理•模拟预测）若同明，B++8,|万-4=6,则3在B上投影向量的模

为.

7

【答案】1/1.4

【分析】根据平面向量的线性运算，数量积的运算，投影的定义与公式，即可求解.

(a+b^=82nh2+2a.g+P=64®

【详解】解：已知归+同=8,\a-t\=6,

仿一肃=62=b一2磊行+7=3迤

①-②，得4存在=28=力％=7，

又同=W，贝小『-2乂7+同2=36np|=5

所以万在B上投影向量的模为同cos°=^=（,

7

故答案为：y.

9.（2023•陕西西安・模拟预测）若平面四边形满足在+丽=0，（万-瓦）•就=0,

则该四边形一定是.

【答案】菱形

【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直

可知为菱形.

【详解】•.-Z8+CZ5=6,：.AB=DC,

所以四边形/BCD为平行四边形，

■.■（AB-AD）-AC=0,:.DBAC=0>

所以垂直/C,所以四边形N3C。为菱形.

故答案为：菱形.

四、解答题

10.(2024•山西朔州•一模)已知“BC的内角4B,C的对边分别为。也c,向量

m=(4+6,c),河=(sirk4-sinC,sinA-sin5),且丽〃万.

⑴求3；

/,2

⑵求的最小值.

a+c

【答案】(1)3=1

【分析】11)利用向量共线的坐标形式可得/+c2-〃=qc,结合余弦定理可求8；

(2)利用基本不等式可求最小值.

【详解】(1)因为应〃拓，所以(a+b)(sitL4-sin5)=c(siiL4-sinC),

由正弦定理可得(a+b)(fl_b)=c(a_c)即a2-b2=ac-c2

故“2+-人2=QC,所以COSB=a——=—,

lac2

而5为三角形内角，故B

(2)结合(1)可得：=1一_

a+ca+ca+c

1-二Jwi-兽=1-当且仅当。=C时等号成立，

a2+c22ac22

故”J的最小值为;.

a+c2

1L(2024•四川•模拟预测)已知“3C的内角48,C的对边分别为0也c,且咨.=

cosCc

⑴求角c；

(2)若|万+彳q=4,求。3c面积的最大值.

【答案】(1)C=W

(2)26

【分析】(1)正弦定理边化角结合三角变换求解即可；

(2)设BC中点为。，得AD=2,由余弦定理结合基本不等式求出的最大值为4,

即可求解面积的最大值.

【详解】（1）由咨~=生心，得ccos3=（2a-b）cosC,

cosCc

由正弦定理得sinCcosB=2sitb4cosc-sin5cosC,

整理得sinCcos5+sinScosC=2siiL4cosC,即sin（5+C）=sin4=2siib4cosC,

因为0＜/＜兀，所以sin/〉0,

所以cosC二1，

2

TT

又0＜。＜兀，所以C=1.

（2）设BC中点为Z）,因为p5+K|=2R可=4,所以/。=2,

在AADC中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosZACD,

^4=AC2+CD2-AC-CD＞2AC-CD-AC-CD=AC-CD,

当且仅当AC=CD时等号成立，

故NOCD的最大值为4.

所以S"”='zC-CDsin4CDwLx4x^=退，

因为上《c=为Lffic，所以S"cV26，

所以“3C面积的最大值为.

【综合提升练】

一、单选题

1.(2023・四川南充•一模)已知正方形/BCD的边长为1,则|与+前-田卜()

A.0B.72C.D.4

【答案】C

【分析】利用向量运算法则得到|方+数-引=2.卜2五.

【详解］|^B+SC-C3|=pC-S|=2pc|,

因为正方形48c。的边长为1,所以/C=ViM=&，

i^^AB+BC-CA\=2yf2.

故选：C

2.（2024•全国•模拟预测）已知向量3=（4,加），彼=（%-2,2）,贝！]"%=4"是"3与3共线”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由加=4,可得々与石共线，充分性成立；由"〃兀可得加=-2或加=4,必要性

不成立，可得结论.

【详解】由〃?=4,得2=（4,4）,.=（2,2）,所以之与右共线，

所以"〃?=4"是"是々与石共线”的充分条件；

由.〃加，可得加（m—2）=8,解得加=-2或zw=4,

"m=4"是与b共线"成立的不必要条件，

故"加=4"是"£与b共线”的充分不必要条件.

故选：A.

——一_—_LLLUL

3.（2024•安徽马鞍山•三模）已知平面向量,，与不共线，〃=（2左-1鸠+24，b=ei-e2,

且。〃3，贝1U=（）

13

A.----B.0C.1D.一

22

【答案】A

【分析】依题意可得£=正，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.

【详解】因为。=（2左—1鸠+2%，b=%-且〃〃6，

所以〃=正，即（2左一1应+20="/一0），

又,，6不共线，

[2k-l=tlt=~2

所以。，解得71.

\2=—tk=—

iI2

故选：A

4.（2024・四川遂宁•模拟预测）在“BC中，点歹为线段8C上任一点（不含端点），若

—■—•—-z、12

AF=xAB+2yAC（x>0,y>0）,则一+一的最小值为（）

xy

A.3B.4C.8D.9

【答案】D

【分析】先根据共线向量基本定理得到无+2y=l,利用基本不等式"1"的妙用求出最小值.

【详解】因为点尸为线段3c上任一点（不含端点），

所以设质反?，i&AF-AB=AAC-AAB>

BPAF=2^C+（1-A）Z8,

又AF=xAB+lyAC{x>Q,y>0),

x+2y—1—A+A—1,

fe-+-=f-+-^（x+2j）=l+4+^+—>5+2^^=9,

xyy）xy\xy

当且仅当刃■="，即x=y=:时，等号成立，

Xy3

故，+工的最小值为9.

xy

故选：D

5.（2023・四川南充•一模）已知正方形/BCD的边长为1,贝1与+前-田卜（）

A.0B.72C.2D.2亚

【答案】D

【分析】根据向量的运算法则及向量的模计算即可.

【详解】因为।而+前-引=|就-可=|就+4-2刘=4押，

国卜.画2+|网丁行,

所以同+数-呵=26

故选：D.

6.（23-24高三下•山东荷泽•阶段练习）已知向量工b，满足同=同=B-可，贝阿,+3=

（）

1一217*7