福建部分高中2024-2025学年高二年级上册期末质检数学试题+答案

2024~2025学年第一学期福建省部分优质高中

高二年级期末质量检测数学试卷

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若直线％的一个方向向量日=（1,—4）,则/的倾斜角为（）.

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.已知点B（—2,1,1）关于z轴的对称点为A,则|岳|等于()

A.3V2B.2V6C.2V5D.2

3.双曲线。：手一写=1的渐近线方程为

()

A.x±V2y=0B.V2x±y=0C.x±2y=0D.2x+y=0

4.在等差数列｛an｝中，Q3：=5,06=3,贝U09二()

A.1B.0C.—1D.—2

5.已知圆。的方程为"+婿—27n力+2mg+2?n2—m,—5=0,若点(1,2)在圆外，则7n的取值范围是

()

A.(-co,―U(0,+oo)B.(0,+oo)

C.(—00,―D.(—5,―U(0,+oo)

6.设椭圆C：，+，=l（a>b>0）的右焦点为F,点加（1《）在。上，且诋，2轴，过点?且斜率为T

的直线与椭圆。交于两点，则△AOB的面积为（）

A6V1Rr2V1nA

7.如图，在平行六面体ABCD-4B1GA中，以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是

60°,在下列结论中错误的是（）

A.AC^AB+AD+AAy

C.BD±AArD.向量瓦苕与双的夹角是60°

8.已知。为坐标原点,抛物线C:y?=2pc（p>0）上一点P（2,y0）到其准线的距离为3,过C的焦点F的直线

交。于AB两点.当S^OB=2蓼时，的值为（）

A.V2B.3V2C.yD.8

【数学试卷第1页（共15页）】

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.己知数列｛砺｝的前ri项和为S”，©=3,a“+i=—，则()

-an

91

A.Q3=WB.a>0C.电024=一丁D.$37=40

o5/

10.已知鼻阳分别是双曲线。："一4=I的左、右焦点,经过点用且倾斜角为钝角的直线I与C的两条渐近

线分别交于43两点，点P为。上第二象限内一点，则()

A.若双曲线E与。有相同的渐近线，且E的焦距为8,则E的方程为学—普■=1

B.若”(—2⑵，则|P局+\PM\的最小值是2西—2

C.若△PEE内切圆的半径为1,则点P的坐标为(一2,3)

D.若线段的中垂线过点月,则直线，的斜率为一平

O

11.已知圆64+靖―2,+旬+1=0与圆。2："+夕2—2y—8=0,下列说法正确的是()

A.过点4(3,1)作圆Q的切线有且只有一条

B.圆G和圆。2共有4条公切线

C.若M,N分别为两圆上的点，则M,N两点间的最大距离为5+V10

D.若为圆&上的两个动点，且|EF|=4,则线段EF的中点的轨迹方程为d+3―iy=5

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.已知过点(0,-2)的直线Z与以点4(3,1)和B(-2，^,4)为端点的线段相交,求直线Z的斜率的取值

范围.

13.己知F为抛物线。:靖=220；5>0)的焦点，4B为。上在第一象限内的两点,且满足|4B|=62,|E4|

—|FB|=6,线段AB的中点的纵坐标为6,则。的方程为.

14.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体.如图，

在羡除ABCDEF中，四边形ABCD,ABEF均为等腰梯形，AB,CD,EF互相平行，平面ABCD，平面

ABEF，梯形ABCD,ABEF的高分别为2,4,且=3,CD=5,EF=7,则异面直线4D与BE所成角

的余弦值为.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知椭圆夙考■+m=l(a>b>0)的长轴长是短轴长的V2倍,且椭圆E经过点(0,1).

azb

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)直线l-.y=新劣—2)交椭圆E于M,N两点,若线段中点的横坐标为卷，求直线I的方程.

【数学试卷第2页(共15页)】

16.已知在A4BC中，AB边上的高所在的直线方程为，+y=0,AC边上的高所在的直线方程为2±—3“+

1=0,点力的坐标为(1,2).

(1)求垂心H的坐标；

(2)若M(-3,4)关于直线l:x-y+3=Q的对称点为N,求点N到直线BC的距离.

17.已知数列｛aj是等差数列,设S.SCN*)为数列｛%｝的前n项和,数列｛&„｝是等比数列，b”>0,若电=

3,bi=1,&+S?=12,(I5—2b2—(Z3,

(1)求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；

(2)求数列｛斯鼠｝的前几项和；

(3)若品=(瓦'"为奇数，求数列｛册｝的前2n项和.

〔%九为偶数

【数学试卷第3页(共15页)】

18.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD,PD=DC=LE是PC的中

点，作EF_LPB交PB于点F.

⑴求证：PB_L平面EFD；

（2）若平面PB。与平面PBD的夹角的正弦值为乎,

⑴求AD长；

（讥）求直线PO与平面DSF所成角的正弦值.

19.己知圆。：d+靖=4与双曲线。空—鸟=i（a>0,。b>0）只有两个交点，过圆O上一点T的切线，与

出b

双曲线。交于4。B两点，与沙轴交于。点.当T与。重合时，|AB|=4A/^.

（1）求双曲线。的方程；

（2）若直线OT的斜率为一言,求|AB|；

O

⑶当外6[1,即时，求耳目的最小值.

【数学试卷第4页（共15页）】

参考答案

1.C

【分析】由题意得I的斜率,利用斜率与倾斜角的关系求解.

设Z的倾斜角为a,0°Wa<180°,

由题意得I的斜率k=tana=—V3，则a=120°,

故选：C.

2.C

【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.

点凤―2,1,1)关于z轴的对称点为4(2,—1,1),

所以|岳|=7(2+2)2+(-1-1)2+(1-1)2=V20=2V5.

故选：C

3.B

【分析】根据双曲线的标准方程直接得出结果.

由题意知a=2,b=双曲线。的焦点在《轴上，

其渐近线的方程为g=±七=±22：,即V2x±夕=0.

故选：B.

4.A

【分析】利用等差数列的中项求解.

解：由等差数列的性质可知a3+a9=2a6,

所以a9=2a6—a3=2X3—5=1.

故选：A.

5.D

2

【分析】将圆的方程化为标准方程可得nz+5>0,点(1,2)在圆外可知5—2m+4m+2m—m—5>0f

求解即可.

将圆C：/+炉—2mx+2my+2m2—m—5=0化为标准方程得：(力-nz)?+(?/+m)2=nz+5,

+5>0,即772>—5.

又・・•点(1,2)在圆外，

5—2m+4m+2m2—m—5=2m2+m>0,解得m<―或m>0.

综上,m的取值范围为(—5,T)U(0,+8).

故选：D

6.A

【分析】利用条件先确定椭圆的方程，结合点到直线的距离公式、弦长公式计算三角形面积即可.

设椭圆焦距2c,则由题意知。=1=公^,2+£=1,解之得&2=4,〃=3,

a24b2

所以。号+g,可得直线AB方程沙=—c+1,设4rci,%),B(a；2,%),

22

(x,I/_1(x1+x2=-y

联立(才+得7d—8c—8=0,则'，

[y^-x+1任2=一了

易知。到直线AB的距离为：d=言，所以△AOB的面积为^d\AB\=噜.

【数学试卷第5页(共15页)】

故选：A

7.D

【分析】根据平行六面体的向量运算、向量的模、向量的夹角，数量积等概念和公式.通过向量运算法则分

别对每个选项进行分析判断.

对于A,在平行六面体中,根据向量加法的三角形法则，混=4+市+国，

由于反?=国5,方=封，所以恋=加+说+启，选项A正确.

对于B,已知以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60：

AC^AB+AD+AA,,^\AC^=(,AB+AD+AA^

222

=|AB|+\AD\+\AAY\+2AB-AD+2AB-AAX+2AID-AA,

=62+62+62+2X6X6XCOS60°+2X6X6XCOS60+2X6X6XCOS60

=3x36+3x2x6x6xy=216.所以|相|=60，选项B正确.

对于C,M郎•JX=(加一金)•司=力•司—瓶•JX

=6x6xcos60°—6x6xcos60°=0,

因为助・NX=0,所以44i，选项。正确.

对于。，所方=反?一国=设向量瓦方与启的夹角为个

2

猊•而=(AD-AAt)-AAX=AD-AA}-|A4^|

=6x6xcos60°—62=18—36=—18,

22

\B^C\^y/\AD\+\AA1\-2AD-AA.

=V62+62—2x6x6xcos60°="36+36—36=6，

=呢•凤=^11=_x

IB^IIAAI_6X6-2

所以。=120°,选项。错误.

故选：D

8.D

【分析】根据抛物线定义,结合已知条件,求得抛物线方程；再设出直线AB斜率和方程，联立抛物线方程,

结合三角形AOB面积,从而求得直线方程,进而由韦达定理求得结果.

因为抛物线=23Mp>0)上一点P(2,y0)到其准线①=昔的距离为3,

所以5+2=3,解得p=2,所以抛物线。的标准方程为靖=4d

由抛物线。的方程可知，焦点F(l,0),根据题意可知直线AB的斜率存在且不为0,

设直线AB:g=k(6—1),kWO,A(xi,,B(x2,.

由卜U"一"消去，整理得与靖—沙一后=°，A=I+^>。，

所以"+沙2=4，％例=-4.又|OF|=1,

所以5揖03=卜\yi~V2\—~^\OF\,J(%+夕2)2-4"以=,J^+16=Wi,

解得k=±l,

则◎+寸/+1+/+1=*+2=*+2=6,叩产瞥=1,

则\AF\­\BF\=(Ci+l)•(a:2+l)=力巡2+(力i+/2)+l=l+6+l=8.

故选：D

【数学试卷第6页(共15页)】

【点睛】关键点点睛:处理本题的关键是能够根据三角形面积，结合韦达定理求得直线斜率，同时要注意熟

练掌握抛物线焦半径公式，属综合中档题.

9.AC

【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列｛斯｝是以为周期3的周期数列，根据周期性计算

可得.

:=

a4=—=3,a5T^一=一"5"，故人正确；B错误;

对于C,由上可知，数列｛册｝是以3为周期的周期数列，

则02024=Q3X674+2=。2=工，故C正确；

对于D,$37=（Qi+。2+。3）x12+a1=（3—.）x12+3=41,故_D错误.

故选：AC

10.BCD

【分析】根据共渐近线设双曲线方程，结合双曲线得性质即可得双曲线方程，从而判断4根据双曲线的定

义转换可得|PE|+|PM的最小值，从而判断B；设内切圆圆心为/，直线PKP&EE与圆/的切点分别

为根据双曲线的定义结合与三角形内切圆的几何性质，即可得点F的坐标，从而判断C；根据线

段垂直平分线结合点差法确定直线与垂线斜率关系，并检验直线是否符合即可确定直线斜率，从而判断

D.

对于4,依题意设双曲线E:力之—卷=4（；（#0且/1W1）,即§---=1,

OAO/l

又E的焦距为8,所以|4川=42"=±4,所以E的方程为孝一g=1或%—亨=1,故A错误；

对于B,因为庐同|—「同=2a=2,所以|P同=0月|—2,

\PM\+\PF｛\=\PM\+\PFi\-2》|A1引—2=2方—2,当且仅当跖P,E三点共线时等号成立，故B正

确；

对于。，设内切圆圆心为1,直线PRP&EE与圆/的切点分别为

【数学试卷第7页（共15页）】

则\PQ\=|F7V|,|QE|=\HF[\,=|班|,所以|P鸟|—旧局=\HF!\-\HF[\=2a=2,

|西|+|班|=2c=4,解得|毋!|=1,|班|=3,

连接皿，即■，则内切圆半径r=l师l=Ltan/班/=；=1,/班/=含，"月。=2/班/=手,

所以PE，C轴，点P在第二象限,坐标为(一2,3)，故。正确；

对于。，设AB的中点为。，两渐近线可写成/—4=0,设4如阴)，B包心,

O

则联产，也抖)，且=°,作差可得(Ci)=⑶+吗%—比),

[遛-华=0”

整理得泮弋严弋=3,epk-k=3(*),

(0+电)(①1一22)ODAB

在Rt/\FIDF2中，|OD|=卷囱周=QEI，则ADOF2=2/。回。，

11

故tan/。。鸟=tan(2/£)E。)=j：/差*,即一垢口=1,

1tan//JF\QJ1kAR

将此式代入(*)得，=3,解得％3=■，由直线Z的倾斜角为钝角知上^V0,则以B=-芈，故D

1-kAB33

正确.

故选：BCD.

n.ACD

【分析】人选项，利用点圆位置关系即可判断；3选项，将两圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径,

判断两圆位置关系即可判断；。选项，数形结合得到|7W|max=GGl+2+3=5+710；。选项，由垂径

定理得到|GP|=函，从而得到线段EF的中点的轨迹方程.

对于A,对于圆G：d+娟—2g—8=0,有3?+12—2x1—8=0,

所以点4(3,1)在圆。2上，则点人(3,1)作圆。2的切线有且只有一条，故人正确；

对于B,圆Ci.x2+y2—2x+4y+1=0化为标准方程得(x—1)2+(y+2)2=4,

则圆G的圆心为G(L—2),半径为2,

2222

圆C2:x+y-2y-8=0的方程化为x+(y-l)=9,

则圆G的圆心为圆心Q(0,1)，半径为3,

因此|G_G|=V(1—0)2+(―2—1)2=Vw,

因为3—2<m<3+2,所以1<|GGJ<5,

所以两圆相交，则圆G和圆。2共有2条公切线，故B错误；

对于。，根据圆的图象可知|-MV|max=|GG|+2+3=5+，而,故。正确；

对于D,不妨设EF中点为P,则C2P，EF,圆G的半径为3,

由垂径定理可知\C2P\=Js?—=V9-4=V5,即=5,

【数学试卷第8页(共15页)】

m

设点P的坐标为(孤"),又点Gi的坐标为(0,1),

所以P的轨迹方程为"+(9—1)2=5,故。正确.

故选：ACD.

12.(—co,—A/3]U[1,+co)

【分析】首先利用两点式斜率公式求出％,MB，再结合图象即可求出直线Z的斜率的取值范围.

设点-P(0,—2),依题意kPA—dJ—1,kPB——=一»久.

U—oU—(―2VJ)

因为直线I与线段AB有交点，所以fc(<-V3或瓦>1,

由图可知直线I的斜率的取值范围是(一8,—6]U[1,+8).

故答案为：(-0Q,-V3]U[1,+8).

13.4=12,

【分析】设AB的方程为x=my+n(m>0),4g,%),_83,纺)，直线与抛物线联立后得到%+的=2pm,

根据焦半径公式得到g—附=6,进而得到以一统=V，再由弦长公式求解出馆=1，再由线段的中

点的纵坐标为6,求出p的值,即可求得C的方程.

由题意可设4B的方程为x=my+n（m>0）,4（小%），右但心），

将力=my+n代入y2—2p/（p>0），得靖一2Pmy—2pn=0,

所以△=4P2m2_|_8PH>0,且%+纺=2pm,

由抛物线定义及|E4|—|FB|=6,得多+g—（号+62）=6,即g—力2=6,

所以馆（幼一统）=6,即yi-y2=--^

【数学试卷第9页(共15页)】

又\AB\=VTTm21%一统|=6A/2,

所以Vl+m2x—=6A/2,解得m=l,

m

又久受=号=6,即p=6,所以。的方程为靖=12c.

故答案为：y2=126.

14.《##0.2

5

【分析】利用面面垂直得线面垂直，建立空间直角坐标系,表示各点坐标，利用空间向量求解异面直线夹角

的余弦值.

cFM/yE

/Bx

过点A作EF、CD的垂线,垂足分别为河、N,则AN=2,AM=4.

由四边形ABCD,4BEF均为等腰梯形得DN="二=1,FM=片也=2,A4E=7-2=5.

■：AB,CD,EF互相平行，AW_LAB,ANAB.

又♦.•平面ABCD_L平面ABEF,平面ABCDA平面ABEF=AB,ANu平面ABCD,

：.AN±平面ABEF,

,：AMa平面ABEF,：.AMJ_AN.

以A为原点，48、AM>AN分别为c,g,z轴正方向，建立空间直角坐标系A—xyz,

则力（0,0,0）,B⑶0,0）,。（一1,0,2）,E（5,4,0）,

：.AD=（-1,0,2）,BE=（2,4,0）,

/.异面直线AD与BE所成角的余弦值为：

nITn\AD-BE\|-1X2+0X4+2X0|1

II|AD|•忸司V（-l）+22-V2H4^5

故答案为：

5

15.⑴学+必=1；

（2）a;—2沙一2=0或,+2y—2=0.

【分析】（1）根据题意，求出a,b的值,代入椭圆方程即得；

（2）将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理,利用上W中点的横坐标建立方程，求出用的值，即得直线，的

方程.

【小问1详解】

•.•椭圆E经过点（0,1）,.•.b=L

•••椭圆E的长轴长是短轴长的四：.a=V2b=V2,

：.椭圆E的标准方程为与+靖=1；

【小问2详解】

【数学试卷第10页（共15页）】

如图，设河（劣1,%）,N（62,纺），

由[2'消去g得：（2k2+1）"—8k2力+弘2—2=0,

[y=k（x-2\

由A=64%"—4（2炉+1）（8取-2）＞0,可得一彳Vk〈彳，

m,8炉8k2-2

贝1+电=主石通电=正钉'

,••线段MN中点的横坐标为y,

.a?i+a?2=4」=2

“2—2一+「3'

解得肥=十，则％=±9，因两个值都满足ke（—三，号,

故直线I的方程为y=±9（/-2）,即力一2g—2=0或力+2g—2=0.

16.⑴W）

⑵嗜

【分析】⑴根据垂心性质联立方程组解得垂心H的坐标为（―2，书;

（2）利用直线垂直求得直线口。的方程，再由点到直线距离求的结果.

【小问1详解】

根据题意作出示意图如图，作出AC边上的高BE,AB边上的高CD,

即直线CD方程为t+v=0,直线BE方程为2c—3g+l=0,

2丁=1=°,解得x=

联立-l

x-f-y=0

故垂心H的坐标为（一）

【小问2详解】

连接Aff并延长交石。于点F,

2一1_

51

由⑴可知，瓦=...—

1Hw2；

1-（-

易知设直线AC的方程为3x+2y+m=Q,

将（1,2）代入可得?71=—7,即直线4。的方程为3力+2g—7=0；

【数学试卷第n页（共15页）】

联立7=0,解得『=7即

1力+沙=01沙=-7

所以直线的方程为g+7=―|■（6—7），即2力+3g+7=0；

O

设点M（-3,4）的对称点N（a,6）,则上W，Z,且上W的中点（矢3,”屋）在直线上,

（b-4__1

又用=1,所以］号［号+3=0,整理得｛£：［；］:，解得｛2；;

即N(l,0);

所以点N到直线BC的距离为d=-^±1=在盥

A/22+3213

17.(1)册=2n+l,bn—2"T

（2）（2n-l）-2n+l

⑶。%=1+22-__」

⑼12n32n+l

【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比,然后求的数列的通项公式；

（2）由⑴先求出源⑥=（2九+1）•2”T,再利用错位相减法即可求出数列｛a.b“｝的前几项和；

［1____1—"为奇和

⑶先根据已知条件整理得品=九九+2'〃可奴，设数列&｝的前几项和为黑,然后分组求和，利

〔2时1,九为偶数

用等比数列求和公式以及裂项相消法求得结果.

【小问1详解】

设等差数列｛册｝的公差为d,等比数列｛&„)的公比为q,

因为电=3,仇=1,则由(3+：：=12,

1。5-2匕2=。3

即JbiQ2+ai+ai+d=12彳日Jq?+6+d=12

[3+4d—2blq=3+2d寸[3+4d—2q=3+2d

解得卜U或卜=：因为0>0,故舍去f=—2，

匕=2[q=~3lq=—3

所以a”=3+2(n—1)=2n+1,=2"-1.

【小问2详解】

由⑴得4=2n+l,b“=2"T,所以a滁"=(2n+l)-2"-1,

令数列｛a7AJ的前n项和为Q”则Qn=的a+a2b2+a363H---Fa7Al,

即Q0=3xl+5X2i+7X2?+…+(2n+l)•2“T①，

2Q„=3x21+5X22+7X23+---(2n-l)-2"-1+(2n+l)-271@,

两式相减得:-Q„=3+2x21+2x22+---+2x2"-1-(2n+l)x2"

2(2-2")

=3+2(2+22+…2“T)_(2n+l)-2"=3+-(2n+l)x2"

1-2

=-(2n-l)-2n-l,

所以Q“=(2n-l)-2n+l(ne^*).

【小问3详解】

设数列｛品｝的前几项和为北

由5=3,册=2n+L得S.=九㈤：=九（九十？），

I，,,［（，"为奇数［-----3■，九为奇数

则品=〈九（九+2），即金=《nn+2/」”；

［2"一"为偶数匕…，九为偶数

【数学试卷第12页（共15页）】

故十九=(。1+。3HHe2rIT)+(c2+c4H----Fc2n)

=[(1—+)+(《一!)+・一+(霜―磊)]+(2+2+-+22)。。。

=_1,2(1一空)=1+22-+1_]

——2n+l+1-4——32n+l'

18.(1)证明见解析

⑵⑴2；⑻卓

O

【分析】(1)以。为原点，。4OGDP所在直线分别为立轴、沙轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

计算屈♦无=0+卷—2=0,所以结合EFLPB即可证明；

(2)⑴求出平面PBC与平面PBD的法向量，由两平面夹角的正弦值求4D长；

(w)由⑴可知/PEF是直线PC与平面。EF所成角的一个平面角，①〜RtZXPBC即可得解.

【小问1详解】

以。为原点，DA,。。,。。所在直线分别为立轴、夕轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD=a■，则F(0,0,l),£;(0,^-,-^-),A(a,0,0),B(a,l,0).

因为同=(a,l,—l),星=(0,；,0)，

故屈.方=0+々—9=0,所以PBLDE.

由已知HF_LPB,且班nZ)E=E,EF,DEU平面EFD

所以PB_L平面EFD

【小问2详解】

(i)设平面PBC的法向量左=Q,y,z),因为用=(0,1,-1)，

m-PB—0所以{二rr°，令—。」,】)；

所以

m-PC=0

设平面PBD的法向量方=(如阴,0),

所以产固=0,所以严中=0,令为=1,得方

{n-DB=Ql^i=0

设平面PB。与平面PBD的夹角为a,则cosa=\cos(m,n)|=及；…，

因为sina=,所以cosa=，所以—,~，

55V2(a2+1)5

解得a=2(取正)，所以AD长为2.

(勿)由⑴可知PB_LDF,故/PEF是直线PC与平面LIEF所成角的一个平面角,

在直角△PBC中，cosZBPC=焉=理=今，

rDV6J

【数学试卷第13页(共15页)】

又Rt/\PEF〜RtAPBC,贝!I2PEF与ABPC互余，

所以sinZPEF=cos^BPC=卓，即直线PC与平面0EF所成角的正弦值为尊.

OO

19.⑴苧-靖=1

（2）475

⑶等

【分析】（1）先根据条件确定a的值及双曲线经过点（2遍,2）,可求双曲线的标准方程.

（2）先根据直线与圆O线切和与直线OT垂直，求出直线AB的方程,代入双曲线方程，可求E—电|，利用

2

\AB\=V1+A：1\xx-x^求弦长.

（3）求出弦长\AB