高考数学一轮复习知识梳理-三角函数选填题两大解题技巧（含解析）

三角函数选填题两大解题技巧（四大题型）

方法归纳4

一、勾股定理解三角函数选填题

1.适用范围：已知其中一个三角函数值，求其余两个三角函数值.

2.解题技法：

一画：画一个直角三角形；

二用：用勾股定理求出各条边长；

三求：求出当角a为锐角时的三角函数值；

四定：利用a所在象限确定符号.

二、整体代换法

TTTT77"

题型特征：当题目中有特殊角（7§等）与单倍角（a,0,x等）的和差=a,ma角的三角函数值，要求二倍角

52

（2a,2|3,2x等）或一乃±&,—万土a等形式的三角函数值时，可用整体代换（换元或配角）简化解题过程

63

解题技法：

1.三角公式求值中变角的解题思路

⑴当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式

（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”

变成“已知角

2.常见的配角技巧

2a=（a+/）+（（z—,），a=（a+G）—万，〃=

目录:

♦题型01：任意角的三角函数

♦题型02：同角三角函数的基本关系

♦题型03：诱导公式

♦题型04:三角恒等变换

♦题型01：任意角的三角函数

1.设角。的终边经过点尸(3,-4),贝！Jtana的值等于()

43

C.——D.——

34

【答案】C

【分析】借助三角函数定义计算即可得.

-44

【解析】tana=-=

33

故选：C.

a

2.已知a是第二象限的角，尸(龙,6)为其终边上的一点，且sine=,则丫=().

A.-4B.±4C.-8D.±8

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得.

【解析】点尸(x,6)是第二象限的角a终边上的一点，则x<0,

363

由sina==,得/2,=飞，所以尤=-8.

5Vx2+625

故选：C

ITT71

3.已知角”的顶点与原点重合，始边与1轴的非负半轴重合，终边经过点尸［cos§,sin§,贝E”cosIa——兀

I6

()

A.0B.；C.—D.—

222

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义求出sina,cosa,再由两角差的余弦公式计算可得.

兀兀

【解析】因为Pcos—,sin——,即尸

33

即角e的终边经过点所以sina=1,cosa=1,

d(兀、兀..兀1囱616

物以cosa—=cosacos-I-sinasin—=t---1----x、——.

(6)6622222

故选：D

4.已知角。，角力的顶点均为坐标原点，始边均与工轴的非负半轴重合，终边分别过力。,3),8(-3,1),则

,a+Bz、

tan—-=()

2

A.一2或;B.2或―一C.vD.-2

222

【答案】D

【分析】取的中点M,利用三角函数定义得出再由倾斜角和斜率的关系得出

tan01^=自如，最后利用得出答案.

【解析】记。为坐标原点，因为所以|。4To8仁西,

所以点Z(L3),8(-3,1),均在以原点。为圆心而为半径的圆上.

连接取48的中点连接OM,贝

不妨设/夕e(O,27i),则NxOM=e+2二里=空2，

Q0°

5.已知角。满足sin(9<0,tan6><0,且$[113=51115,则角,属于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据题意，由三角函数在各个象限符号的正负，即可判断.

【解析】由sin6<0,tan6><0,得出。为第四象限角，

LLl、t3兀c,„3兀，6,rr

所以--F2E<。<2兀+2knn-----\-kn<—<TI+ku,keZ,

242

则］为第二象限角或第四象限角，又因为sin-=sin-,

所以sin?>0,则口为第二象限角.

22

故选：B.

♦题型02：同角三角函数的基本关系

,一k上/•2023712023**工°小”,、、,sin。、

6.已1知点尸|sm--一,cos——|在角式的终边上，则^；-----()

146J21+cos。

A."B.—C.--D.--

3232

【答案】B

【分析】根据诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求解即可.

2023兀女八*"311716

COS------COS33/71+--COS-----/7

n616)62V6

……R3H、'2.2023兀(|.3兀722

sinsin505兀+手-sin——__r±

4I142

。。

0幻

所以s•i"a=2_sin—：cos—=tan^=旦r

1+cosO2cos2。22

2

故选：B.

7.已知2sin6+cos9=0,则tan26=()

444

A.-B.——c.--D.-

3355

【答案】B

【分析】根据题意，由条件可得tan。一，再由正切的二倍角公式代入计算，即可得到结果.

【解析】因为2sine+cose=0,贝iJtanO=-L

2

故选：B

71

8.右tana+—=3,贝!jsin2a+cos2。=()

I4

4

B.1cD.

-I3

【答案】A

【分析】根据两角和的正切公式求出tana,再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入

计算可得.

tana+tan—

tana+1

【解析】因为tanIa+；4即tana=—,

1-taiYZ

1-tana•tan—

4

2

.「22smacosa+cos。2tantz+178

Umsm2a+cosa=-----、--、=、=——5——』

人」sina+cosatana+1，1、51

故选：A

「八cosahe(兀、/、

9.已知------；一=J3,则tana+;二()

cosa-sma<4)

n

A.273+1B.2V3-1C.—D.1-V3

2

【答案】B

【分析】先将就飞弦化切求得再根据两角和的正切公式即可求解.

--E、rcosa/T

【解析】因为-------；—=J3,

所以匚熹二G,ntana=l-

所以tan(a+：则"1=2'1,

1-tana

故选：B.

10.若4tana=",则cos2a=()

sina

77

C.D.

88

【答案】D

【分析】利用同角基本关系式和二倍角公式求解.

【解析】由4tana=",得dsin?。=15cosa,

sina

即4cos2。+15cosa—4=0,解得cosa=2或cosa=-4（舍），

4

7

所以cos2a=2cos2a-1=---.

故选：D.

11.若sin(a-£)=L,且tana=2tan。，则sin(a+尸)=()

6

【答案】D

【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算sinacos，,cosasin/7,再根据和角公式计算即可.

【解析】因为sin(a—，)=sinacos,-cosasin，,

6

又tana=2tan尸，即sin"=2sin',贝|sinacos/?=2cosasin/?,

cosacos/3

所以sinacosP=—,cosasin/3=—

36f

故sin(«+/3)=sinacosp+cosasinp=—+—=—.

362

故选：D

12.已知0＜。＜/＜兀，且sin(a+?)=2cos(a+6)，sinasin尸-3cosacos£=0,则tan(a-77)=()

A.-1B.--C.--D.g

222

【答案】C

【分析】找出tana和tan夕的关系,求出tana和tan夕即可求解.

【解析】,­*sinasin/?-3cosacos/?=0,

二.sinasin4=3cosacos0,

otana+tan尸_2=tana+tan0

tanatan0=3①，,/sin(a+〃)=2cos(a+〃),tan(a+6)=2：

1-tan(7tan/31-3

___,ftancr=-1ftan6Z=-3

tana+tan/?=-4②，由①②解得＜。或＜,

[tanp--5[tan/=-l

0＜a＜/?＜7i,tana＜tanp,

Ptancr=-3(、_tancr-tan/?_1

[tan尸=一1'71+tanatan/?2

故选：C.

♦题型03：诱导公式

13.已知sin(/7+3=且，求cos(2£-4)=()

633

【答案】B

【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解即得.

【解析】由sin(£+二)=也，得COS(2/_=)=COS[(2/+W)F]=—COS23+5)

63336

=2sin2(/+^)-l=2-(^)2-l=-j-.

故选：B

14.已知函数/(无)=cos(2x-0),贝！J“e=g+E,左eZ”是“〃龙)为偶函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】当夕=]+E/eZ)时，代入可得f(x)=±sin2x,由正弦函数性质，可验证充分性，/(x)为偶函

数时，得到/=EReZ),可验证必要性.

【解析】函数/(x)=cos(2x-。)，当e=]+祈(左eZ)时，

f(x)=cos2》一(5+左兀]]=cos(2x-]-祈)=±sin2x,

则/(x)为奇函数，所以充分性不成立，

当/(X)为偶函数时，9=E(笈eZ),所以必要性不成立，

JT

故"e=,+E,左eZ”是“/(x)为偶函数”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

15.已知ae]。,]),sin(a—历]=§,贝I」cos[a+-^-j=()

A.一地B,迪C.」D.1

3333

【答案】C

【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解.

故选：C

cos2。

。，则

16.已知costan[夕+：)

1515c15

A.——B.—c-D.——

248

【答案】D

【分析】设"户，则。根据诱导公式及二倍角公式可得2a根据诱导公式

COSP

和弦切互化得tan夕+：卜,代入并利用同角三角函数关系求解即可.

sin尸

ITjrj

【解析】设〃=L，则。丁…。

711_cosp

所以cos2。=cos=sin2(3=2sin/?cosP,tan16+()=tan[J=

4tan/}sin/3

cos20_2sin/}cos/?,0115

=2sin2/?=2—2cos2/?=2——=——

所以tan(6>+1cos，88.

sin0

故选：D

17.在平面直角坐标系中，若角e-gTT的顶点为原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点尸(-3,-4),则

tan(2cr+y

24

【答案】

7

先利用三角函数的定义得到。

【分析】tan(，再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得tan12c+.

8

24

呼7

9

24

故答案为:

7

717

18.已矢口5抽。以)5——=-3cosasinL-Asinla----cosa-\——7i=0,则实数丸的值为

121一21212

【答案】j-。6

【分析】借助诱导公式与两角和与差的正弦及余弦公式计算即可得.

【解析】兀兀

cos|a+g二cosa+——+—=-sin

122,a+iT

71771

则Asina------cosaH-----71-Xsiia-+si:a+—

121212

又sinacos——.cosasi哈

12

兀71

即一4cosasin----2-2coscrsin——=0,

1212

JT

即（24+l）cosasin五二0,

故24+1=0,即4=—.

2

故答案为：-/

♦题型04：三角恒等变换

19.已知cos（10。一a）=cos（50。一a）+cos60。+a）,贝！Jtana=（）

33

【答案】C

【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据50。=60。-10。结合两角差的余弦公式化简即可得解.

【解析】由cos（10。一a）=cos（50。一a）+cos。0），

得cos10°cosa+sin10°sina=2cos50°cosa,

故sinl0°sina=2cos50°cosa-cosl0°cosa

2cos50°-cosl0°

所cr以Kttana=---------rz-------

smlO

_2cos（60°-10°）-cosl0°

一sin10°

_cosl0°4-A/^sinl0o-cosl0°_

-sinl00一.

故选：C.

20.已知sin住--a'一g,则cos1'2+2广

|的值为（）

、6J

2424

A.——B.——C.—D.

252525~25

【答案】D

【分析】由已知角表示待求角，根据二倍角的余弦公式，诱导公式求解.

【解析】cos|—+2«|=cos2[—+a|=2cos2|—+a|-1

=2而g-a-1=2xri7

25

故选：D.

.aca

sin-+2cos一

21.已知角a的始边为无轴的非负半轴，终边经过点-4,-3),则一马——()

5cos----sin—

22

555一51

A.-B.—C.—或—D.—

2162164

【答案】B

Of(7(7I

【分析】根据角的范围可确定W为二、四象限角，贝han1<0,即可利用二倍角公式得tan］：-*,利用弦

2223

切互化即可求解.

【解析】由题意，得角a是第四象限角，则乃+2析<2兀+2阮，41Z,

2

故皿+®<-<Tt+k7t,kiZ,则乌为二、四象限角，贝Utan0<O,

4222

ca

2tan—「

又因为tana=--------=--

1i-t+an2一e4

2

所以呜=3(舍去)或呜=

3,

•aaa

sin—+2cos一tan—+2c

所以q-----z=—

《a.a一a16

5cos-------sin—5—tan—

222

故选：B.

71cos2a3e(n71

22.若0,I,--------———,贝!JcosCCH—

2J1+tan2cr8166

V2

A.—RcD.1

22-I

【答案】C

【分析】将cos2a用1Tan：0替换后,解方程解出夕即可.

1+tana

71cos2a3

【解析】因为0,2J91+tan2a8'

sin2-cos2a„1—tan2a

可得30+tan2a)=8x——2---------2-=8X--------2-

sina+cosa1+tana

可得30+tan2a|=8-8tan2a,

解得tan2(z=；,因为tze[。,]

所以tana=-

3

所以a=1,

o

711

所以cosa+—=cos—=—.

I6)32

故选：C.

23.已知函数/3=5也（2x+0）（0＜夕＜兀）满足/（%）4/1",若0＜网＜迎＜"，且/（网）=/（%）=-|,

则sin（无2-%）的值为（）

【答案】D

【分析】由得函数在x=・时取最值，得函数的解析式，再由三角恒等变换计算sin（尤2-七）的

值.

【解析】因为〃x）=sin（2x+?）满足〃x）V/C）,所以心）=±1,

717r71

所以2x；+o=—卜kit,k£Z,又。<夕<兀，所以夕=一,

626

71

得/(无)=sin(2x+z)，

6

3

因为0＜%＜12＜兀，

/(^i)=/(^2)=-y>

LLt、t兀c兀371.7113/Cr-Lr、t/c兀、4,_71,4

所1以一<2/H—<—<2%2—<---,rH以cos(2X]H—)——,COS(2%2—)=一，

662666565

因为0＜三7心兀，所以sin%-项）=/一cos[?2-xj]=1.

故选：D.

24.已知a=*(sinl4o+cosl4。)，6=sin61。，c=暂，贝I。，b,c的大小顺序为()

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【分析】利用辅助角公式化简。，再利用正弦函数的单调性即可比较出大小.

【解析】因为a=^^（sinl4°+cosl4°）=.亚.sin（14°+45°）=sin59°,

6=sin61°,c=?=sin600,由正弦函数V=sinx在上递增知：a<c<b,

故选：A.

25.已知/（9）=cos40+cos39,且5%,也是/⑻在（0，无）内的三个不同零点，下列结论不正确的是（）

JT

A.B.01+。2+。3=兀

=-

C.COS0,COS02COS®3D.COS。1+COS®2+COS®3=；

【答案】B

【分析】根据方程cos40+cos39=0,040,兀）求出,02,03,再逐项验证即可得到答案.

【解析】由题意：cos40+cos30=0,。£（0,兀）得：cos4。=一cos30=cos（兀一30）,

所以40=兀一30+2左兀或40=30—兀+2左兀,左eZ,

又0e（0,7l）,所以。产I，e2=y,03=y.

故A正确；

4+4+03故B错误;

八八八兀3兀5兀兀2兀4兀

cosOjcos02cos03=cos—cos——cos——=cos—cos——cos——

c♦兀兀2兀4兀

2sin—cos—cos——cos——

7777

_.兀

2sin—

7

2兀2兀4兀4兀4兀.8兀

sin——cos——cos——sin——cos——sin——

=777777

--,故C正确;

c.兀彳.兀O

2sin—4sin—8sln

77t

八八八713715兀/2兀4兀6兀1

cos9,+COS%+COSOo=cos—+cos---FCOS——=-cos—+COS——+COS——

123777(777)

71(2兀4兀1「.3兀.兀.5兀.3兀.7兀.5疝

sin—Icos——+cos——+cos——sinsin—+sinsin—+sinsin——

777J2(777777)

兀

sin—

77

=；.故D正确.

故选：B

模拟精练

一、单选题

1.（2024・河南商丘・模拟预测）“5亩（0-2024兀）>0”是“&为第一象限角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.

【解析】易知sin（a—2024兀）=sina,所以sin（a—2024兀）>0=>sina>。=>

a为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，

显然不满足充分性，满足必要性.

故选：B

2.（2024・重庆・模拟预测）已知4月都是锐角，cosa=；,sin（a+/?）=当，则cos2£的值为（）

A.--B.；C.--D.—

2222

【答案】A

【分析】根据题意，求得sina=拽，再由kcosx的单调性，求得cos（a+尸）=-号，利用两角差的余弦

714

公式，求得cos々=cos[（a+0-a]=g,结合余弦的倍角公式，即可求解.

【解析】由。与月均为锐角，且cosa=；,sin（a+4）=：，•，所以sina=1^,

TTTT

因为0<a<5，°<4<5，可得0<1+,<兀，COS（6Z+/7）=±—,

又因为V=cosx在（0,兀）上单调递减，且ava+夕，所以cosa>cos（a+/?）,

因为cosa=；,所以cos（a+，）=一三

所以cosp=cos［（a+p）-a}=cos（a+尸）cosa+sin（a+尸）sina=-xy+~~x~~=；

贝Ucos2尸=2cos2尸一1=2x—1=-1

故选：A.

3.（2024・四川成都・模拟预测）在平面直角坐标系中，角0的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重

合，终边经过点尸（3,4）,则sma+心a=（）

cose-sma

A.11B.-10C.10D.-11

【答案】B

【分析】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得sina,cose的值，代入计算即可.

【解析】因为角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，

且角的终边经过点尸（3,4）,

443

所以sina=/=-cosa=

V9+1655

4+2x3

〜…sina+2cosa

所以-------:一.5.

cosa-sma~二一。

55

故选：B.

4.(2024•全国•模拟预测)已知tanacos|?-(z|-cos|?+a[=0,a0,-^,则----*夕----=()

14)14)\2J4cos-a+sin2a

A.273-2B.472-3C.2V2D.3-2V2

【答案】D

【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值，再利用齐次式可求答案.

【解析】因为tanacos-cosP+«=0,

14

又所以cos:一所以tana-tan=0,

即tan"F^=0,解得tana=V^-l或tana=-五-1，

1+tana

因为所以tantz=V^-l，

所以一叫一2sinacosa乌'2血.

4cosa+sm2a4cos2a+2sinacosa2+tanaJ2+1

故选：D

5.（2024•黑龙江双鸭山•模拟预测）已知a,6cos'a-si/an；,且3sin£=sin（2a+£）,则a+£

的值为（）

【答案】D

【分析】利用同角三角函数关系可得tana=立，利用两角和与差的正弦公式化简

2

3sin[(tz+/?)-«]=sin[(tz+^)+a],可得tan(a+〃)=2tana=6,根据角的范围，即可得到答案.

143

【解析】因为cos2a—sin?a=cos?a+sin2a=1,所以cos?a=—‘sin?a=—,

777

因为所以cosa=*,sina=g,所以tana=等.

由3sin4=sin(2a+/7),得3sin[(a+/?)-«]=sin[(a+〃)+a],

即3sin(a+/?)cosa-3cos(a+月)sina=sin9+/3)cosa+cos(cr+#)sina,

所以sin(a+夕)cosa=2cos(a+0sina,所以tan(a+/?)=2tana=G.

ITjr

又0<a+/?<5，所以a+尸=1.

故选：D

6.(2024•辽宁丹东•一模)已知ae(0,1),昏疝户这=4也+1,则sin2a=()

2(1-sina)(l-cosa)

A4V2+1n4>/2+l「4>/2-l「4V2-1

816816

【答案】A

1.cosa+1

—sina+-----------

【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为*2——112—=4收+1,解得

cosa-11.

sina+cosa=1+——，两边平方即可求解.

4

TT（1TTCY（7

【解析】因为ae（0《），所以界（0,?,所以cos£>si吟,

24

­2cos

所以卜1+sin")(1+c°sa)2

y(1-sina)(l-cosa).aaY

sin----cos--2sina—

22)2

.a<1.cosa+1

sin—+cos-cos-—sin6Z+

22)

22二1,

.a.coscr-11.

-sin——i-cos-sin——b—sina

22)22

所以;(sina+cosa)+；=；(sina+cosa)•(40+1)一；•(40+1)

即272(sina+cos«)=2A^~+1,

所以sina+cosa=1+^^，

4

2

即(sina+coscr)2=1+2sin

4

所以sm2a二陪

故选：A.

【点睛】关键点点睛：关键是得出sina+cosa=l+正，由此即可顺利得解.

4

b

7.（2024•河南•三模）在工6。中，角4,瓦。所对的边分别为a,b,c«石甘----+---------,贝UtanA+tanC

cosAcos5cosC

的最小值是（）

8

ABC.26

-I,3D.4

【答案】B

【分析】由正弦定理得tanZ+tan8=3tanC,再通过两角和的正切公式得tan4tan8=4,最后使用基本不

等式求解即可.

ab3。

【解析】因为----1----=----，

cosAcos5cosC

,_sin4sin53sinC

iMMW—+—=—

所以tanA+tanB=3tanC,

又因为。=兀-（4+5）,

ll…/nctan+tan5

所以tan/+tan8=-3-----------------

1-tan4tanB

3

所以1=

tantan5-1

即tanAtan5=4.

411(4

所以tanB=------,tanC=-(tan4+tan5)=—tan4+

tanA33vtan4

显然tan4必为正（否则tan/和tanC都为负，就两个钝角），

〜44A68

所以tan/+tanC=—tanA+-------->2J一

33tanAv93

4471

当且仅当ztanZ";一-,即tan『『取等号.

33tanA

Q

所以tanA+tanC>—.

故选：B.

8.（2024・湖南•二模）在ABC中，角45。所对边分别为。也c,且“2—/+°2+岳。=0，若

cos(^-C)=^y-,aeCOS(c+/)c°s(a+C)_g则tanc的值为()

cos2a5

A.1B.2C.4D.2或4

【答案】C

【分析】利用余弦定理先得5,结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可.

【解析】由余弦定理得COS8=>+C2--V23兀兀

——nB=——,A+C=—

2ac244

7V2「3V2

cos(4-C)=cos24cosC=-----

5

即《~Lw=>

72.V2

cos(4+C)=sinAsmC=----

210

cos(a+4)cos(a+C)cos2acosAcosC+sin2asin4sinCsinacosa(sinAcosC+sinCeosA)

cos2acos2acos2a

-n%一也.

丁smacosa3662s&

510------------------————tancxr—tan0^—

cos2a