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文档简介
三角函数选填题两大解题技巧(四大题型)
方法归纳4
一、勾股定理解三角函数选填题
1.适用范围:已知其中一个三角函数值,求其余两个三角函数值.
2.解题技法:
一画:画一个直角三角形;
二用:用勾股定理求出各条边长;
三求:求出当角a为锐角时的三角函数值;
四定:利用a所在象限确定符号.
二、整体代换法
TTTT77"
题型特征:当题目中有特殊角(7§等)与单倍角(a,0,x等)的和差=a,ma角的三角函数值,要求二倍角
52
(2a,2|3,2x等)或一乃±&,—万土a等形式的三角函数值时,可用整体代换(换元或配角)简化解题过程
63
解题技法:
1.三角公式求值中变角的解题思路
⑴当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”
变成“已知角
2.常见的配角技巧
2a=(a+/)+((z—,),a=(a+G)—万,〃=
目录:
♦题型01:任意角的三角函数
♦题型02:同角三角函数的基本关系
♦题型03:诱导公式
♦题型04:三角恒等变换
♦题型01:任意角的三角函数
1.设角。的终边经过点尸(3,-4),贝!Jtana的值等于()
43
C.——D.——
34
【答案】C
【分析】借助三角函数定义计算即可得.
-44
【解析】tana=-=
33
故选:C.
a
2.已知a是第二象限的角,尸(龙,6)为其终边上的一点,且sine=,则丫=().
A.-4B.±4C.-8D.±8
【答案】C
【分析】根据给定条件,利用三角函数定义列式计算即得.
【解析】点尸(x,6)是第二象限的角a终边上的一点,则x<0,
363
由sina==,得/2,=飞,所以尤=-8.
5Vx2+625
故选:C
ITT71
3.已知角”的顶点与原点重合,始边与1轴的非负半轴重合,终边经过点尸[cos§,sin§,贝E”cosIa——兀
I6
()
A.0B.;C.—D.—
222
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出sina,cosa,再由两角差的余弦公式计算可得.
兀兀
【解析】因为Pcos—,sin——,即尸
33
即角e的终边经过点所以sina=1,cosa=1,
d(兀、兀..兀1囱616
物以cosa—=cosacos-I-sinasin—=t---1----x、——.
(6)6622222
故选:D
4.已知角。,角力的顶点均为坐标原点,始边均与工轴的非负半轴重合,终边分别过力。,3),8(-3,1),则
,a+Bz、
tan—-=()
2
A.一2或;B.2或―一C.vD.-2
222
【答案】D
【分析】取的中点M,利用三角函数定义得出再由倾斜角和斜率的关系得出
tan01^=自如,最后利用得出答案.
【解析】记。为坐标原点,因为所以|。4To8仁西,
所以点Z(L3),8(-3,1),均在以原点。为圆心而为半径的圆上.
连接取48的中点连接OM,贝
不妨设/夕e(O,27i),则NxOM=e+2二里=空2,
Q0°
5.已知角。满足sin(9<0,tan6><0,且$[113=51115,则角,属于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【分析】根据题意,由三角函数在各个象限符号的正负,即可判断.
【解析】由sin6<0,tan6><0,得出。为第四象限角,
LLl、t3兀c,„3兀,6,rr
所以--F2E<。<2兀+2knn-----\-kn<—<TI+ku,keZ,
242
则]为第二象限角或第四象限角,又因为sin-=sin-,
所以sin?>0,则口为第二象限角.
22
故选:B.
♦题型02:同角三角函数的基本关系
,一k上/•2023712023**工°小”,、、,sin。、
6.已1知点尸|sm--一,cos——|在角式的终边上,则^;-----()
146J21+cos。
A."B.—C.--D.--
3232
【答案】B
【分析】根据诱导公式、二倍角公式,同角三角函数的基本关系求解即可.
2023兀女八*"311716
COS------COS33/71+--COS-----/7
n616)62V6
……R3H、'2.2023兀(|.3兀722
sinsin505兀+手-sin——__r±
4I142
。。
0幻
所以s•i"a=2_sin—:cos—=tan^=旦r
1+cosO2cos2。22
2
故选:B.
7.已知2sin6+cos9=0,则tan26=()
444
A.-B.——c.--D.-
3355
【答案】B
【分析】根据题意,由条件可得tan。一,再由正切的二倍角公式代入计算,即可得到结果.
【解析】因为2sine+cose=0,贝iJtanO=-L
2
故选:B
71
8.右tana+—=3,贝!jsin2a+cos2。=()
I4
4
B.1cD.
-I3
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式求出tana,再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切,再代入
计算可得.
tana+tan—
tana+1
【解析】因为tanIa+;4即tana=—,
1-taiYZ
1-tana•tan—
4
2
.「22smacosa+cos。2tantz+178
Umsm2a+cosa=-----、--、=、=——5——』
人」sina+cosatana+1,1、51
故选:A
「八cosahe(兀、/、
9.已知------;一=J3,则tana+;二()
cosa-sma<4)
n
A.273+1B.2V3-1C.—D.1-V3
2
【答案】B
【分析】先将就飞弦化切求得再根据两角和的正切公式即可求解.
--E、rcosa/T
【解析】因为-------;—=J3,
所以匚熹二G,ntana=l-
所以tan(a+:则"1=2'1,
1-tana
故选:B.
10.若4tana=",则cos2a=()
sina
77
C.D.
88
【答案】D
【分析】利用同角基本关系式和二倍角公式求解.
【解析】由4tana=",得dsin?。=15cosa,
sina
即4cos2。+15cosa—4=0,解得cosa=2或cosa=-4(舍),
4
7
所以cos2a=2cos2a-1=---.
故选:D.
11.若sin(a-£)=L,且tana=2tan。,则sin(a+尸)=()
6
【答案】D
【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算sinacos,,cosasin/7,再根据和角公式计算即可.
【解析】因为sin(a—,)=sinacos,-cosasin,,
6
又tana=2tan尸,即sin"=2sin',贝|sinacos/?=2cosasin/?,
cosacos/3
所以sinacosP=—,cosasin/3=—
36f
故sin(«+/3)=sinacosp+cosasinp=—+—=—.
362
故选:D
12.已知0<。</<兀,且sin(a+?)=2cos(a+6),sinasin尸-3cosacos£=0,则tan(a-77)=()
A.-1B.--C.--D.g
222
【答案】C
【分析】找出tana和tan夕的关系,求出tana和tan夕即可求解.
【解析】,*sinasin/?-3cosacos/?=0,
二.sinasin4=3cosacos0,
otana+tan尸_2=tana+tan0
tanatan0=3①,,/sin(a+〃)=2cos(a+〃),tan(a+6)=2:
1-tan(7tan/31-3
___,ftancr=-1ftan6Z=-3
tana+tan/?=-4②,由①②解得<。或<,
[tanp--5[tan/=-l
0<a</?<7i,tana<tanp,
Ptancr=-3(、_tancr-tan/?_1
[tan尸=一1'71+tanatan/?2
故选:C.
♦题型03:诱导公式
13.已知sin(/7+3=且,求cos(2£-4)=()
633
【答案】B
【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解即得.
【解析】由sin(£+二)=也,得COS(2/_=)=COS[(2/+W)F]=—COS23+5)
63336
=2sin2(/+^)-l=2-(^)2-l=-j-.
故选:B
14.已知函数/(无)=cos(2x-0),贝!J“e=g+E,左eZ”是“〃龙)为偶函数”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】当夕=]+E/eZ)时,代入可得f(x)=±sin2x,由正弦函数性质,可验证充分性,/(x)为偶函
数时,得到/=EReZ),可验证必要性.
【解析】函数/(x)=cos(2x-。),当e=]+祈(左eZ)时,
f(x)=cos2》一(5+左兀]]=cos(2x-]-祈)=±sin2x,
则/(x)为奇函数,所以充分性不成立,
当/(X)为偶函数时,9=E(笈eZ),所以必要性不成立,
JT
故"e=,+E,左eZ”是“/(x)为偶函数”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
15.已知ae]。,]),sin(a—历]=§,贝I」cos[a+-^-j=()
A.一地B,迪C.」D.1
3333
【答案】C
【分析】利用角的变换,再结合诱导公式,即可求解.
故选:C
cos2。
。,则
16.已知costan[夕+:)
1515c15
A.——B.—c-D.——
248
【答案】D
【分析】设"户,则。根据诱导公式及二倍角公式可得2a根据诱导公式
COSP
和弦切互化得tan夕+:卜,代入并利用同角三角函数关系求解即可.
sin尸
ITjrj
【解析】设〃=L,则。丁…。
711_cosp
所以cos2。=cos=sin2(3=2sin/?cosP,tan16+()=tan[J=
4tan/}sin/3
cos20_2sin/}cos/?,0115
=2sin2/?=2—2cos2/?=2——=——
所以tan(6>+1cos,88.
sin0
故选:D
17.在平面直角坐标系中,若角e-gTT的顶点为原点,始边为x轴非负半轴,终边经过点尸(-3,-4),则
tan(2cr+y
24
【答案】
7
先利用三角函数的定义得到。
【分析】tan(,再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得tan12c+.
8
24
呼7
9
24
故答案为:
7
717
18.已矢口5抽。以)5——=-3cosasinL-Asinla----cosa-\——7i=0,则实数丸的值为
121一21212
【答案】j-。6
【分析】借助诱导公式与两角和与差的正弦及余弦公式计算即可得.
【解析】兀兀
cos|a+g二cosa+——+—=-sin
122,a+iT
71771
则Asina------cosaH-----71-Xsiia-+si:a+—
121212
又sinacos——.cosasi哈
12
兀71
即一4cosasin----2-2coscrsin——=0,
1212
JT
即(24+l)cosasin五二0,
故24+1=0,即4=—.
2
故答案为:-/
♦题型04:三角恒等变换
19.已知cos(10。一a)=cos(50。一a)+cos60。+a),贝!Jtana=()
33
【答案】C
【分析】根据两角和差的余弦公式化简,再根据50。=60。-10。结合两角差的余弦公式化简即可得解.
【解析】由cos(10。一a)=cos(50。一a)+cos。0),
得cos10°cosa+sin10°sina=2cos50°cosa,
故sinl0°sina=2cos50°cosa-cosl0°cosa
2cos50°-cosl0°
所cr以Kttana=---------rz-------
smlO
_2cos(60°-10°)-cosl0°
一sin10°
_cosl0°4-A/^sinl0o-cosl0°_
-sinl00一.
故选:C.
20.已知sin住--a'一g,则cos1'2+2广
|的值为()
、6J
2424
A.——B.——C.—D.
252525~25
【答案】D
【分析】由已知角表示待求角,根据二倍角的余弦公式,诱导公式求解.
【解析】cos|—+2«|=cos2[—+a|=2cos2|—+a|-1
=2而g-a-1=2xri7
25
故选:D.
.aca
sin-+2cos一
21.已知角a的始边为无轴的非负半轴,终边经过点-4,-3),则一马——()
5cos----sin—
22
555一51
A.-B.—C.—或—D.—
2162164
【答案】B
Of(7(7I
【分析】根据角的范围可确定W为二、四象限角,贝han1<0,即可利用二倍角公式得tan]:-*,利用弦
2223
切互化即可求解.
【解析】由题意,得角a是第四象限角,则乃+2析<2兀+2阮,41Z,
2
故皿+®<-<Tt+k7t,kiZ,则乌为二、四象限角,贝Utan0<O,
4222
ca
2tan—「
又因为tana=--------=--
1i-t+an2一e4
2
所以呜=3(舍去)或呜=
3,
•aaa
sin—+2cos一tan—+2c
所以q-----z=—
《a.a一a16
5cos-------sin—5—tan—
222
故选:B.
71cos2a3e(n71
22.若0,I,--------———,贝!JcosCCH—
2J1+tan2cr8166
V2
A.—RcD.1
22-I
【答案】C
【分析】将cos2a用1Tan:0替换后,解方程解出夕即可.
1+tana
71cos2a3
【解析】因为0,2J91+tan2a8'
sin2-cos2a„1—tan2a
可得30+tan2a)=8x——2---------2-=8X--------2-
sina+cosa1+tana
可得30+tan2a|=8-8tan2a,
解得tan2(z=;,因为tze[。,]
所以tana=-
3
所以a=1,
o
711
所以cosa+—=cos—=—.
I6)32
故选:C.
23.已知函数/3=5也(2x+0)(0<夕<兀)满足/(%)4/1",若0<网<迎<",且/(网)=/(%)=-|,
则sin(无2-%)的值为()
【答案】D
【分析】由得函数在x=・时取最值,得函数的解析式,再由三角恒等变换计算sin(尤2-七)的
值.
【解析】因为〃x)=sin(2x+?)满足〃x)V/C),所以心)=±1,
717r71
所以2x;+o=—卜kit,k£Z,又。<夕<兀,所以夕=一,
626
71
得/(无)=sin(2x+z),
6
3
因为0<%<12<兀,
/(^i)=/(^2)=-y>
LLt、t兀c兀371.7113/Cr-Lr、t/c兀、4,_71,4
所1以一<2/H—<—<2%2—<---,rH以cos(2X]H—)——,COS(2%2—)=一,
662666565
因为0<三7心兀,所以sin%-项)=/一cos[?2-xj]=1.
故选:D.
24.已知a=*(sinl4o+cosl4。),6=sin61。,c=暂,贝I。,b,c的大小顺序为()
A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简。,再利用正弦函数的单调性即可比较出大小.
【解析】因为a=^^(sinl4°+cosl4°)=.亚.sin(14°+45°)=sin59°,
6=sin61°,c=?=sin600,由正弦函数V=sinx在上递增知:a<c<b,
故选:A.
25.已知/(9)=cos40+cos39,且5%,也是/⑻在(0,无)内的三个不同零点,下列结论不正确的是()
JT
A.B.01+。2+。3=兀
=-
C.COS0,COS02COS®3D.COS。1+COS®2+COS®3=;
【答案】B
【分析】根据方程cos40+cos39=0,040,兀)求出,02,03,再逐项验证即可得到答案.
【解析】由题意:cos40+cos30=0,。£(0,兀)得:cos4。=一cos30=cos(兀一30),
所以40=兀一30+2左兀或40=30—兀+2左兀,左eZ,
又0e(0,7l),所以。产I,e2=y,03=y.
故A正确;
4+4+03故B错误;
八八八兀3兀5兀兀2兀4兀
cosOjcos02cos03=cos—cos——cos——=cos—cos——cos——
c♦兀兀2兀4兀
2sin—cos—cos——cos——
7777
_.兀
2sin—
7
2兀2兀4兀4兀4兀.8兀
sin——cos——cos——sin——cos——sin——
=777777
--,故C正确;
c.兀彳.兀O
2sin—4sin—8sln
77t
八八八713715兀/2兀4兀6兀1
cos9,+COS%+COSOo=cos—+cos---FCOS——=-cos—+COS——+COS——
123777(777)
71(2兀4兀1「.3兀.兀.5兀.3兀.7兀.5疝
sin—Icos——+cos——+cos——sinsin—+sinsin—+sinsin——
777J2(777777)
兀
sin—
77
=;.故D正确.
故选:B
模拟精练
一、单选题
1.(2024・河南商丘・模拟预测)“5亩(0-2024兀)>0”是“&为第一象限角”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.
【解析】易知sin(a—2024兀)=sina,所以sin(a—2024兀)>0=>sina>。=>
a为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角,
显然不满足充分性,满足必要性.
故选:B
2.(2024・重庆・模拟预测)已知4月都是锐角,cosa=;,sin(a+/?)=当,则cos2£的值为()
A.--B.;C.--D.—
2222
【答案】A
【分析】根据题意,求得sina=拽,再由kcosx的单调性,求得cos(a+尸)=-号,利用两角差的余弦
714
公式,求得cos々=cos[(a+0-a]=g,结合余弦的倍角公式,即可求解.
【解析】由。与月均为锐角,且cosa=;,sin(a+4)=:,•,所以sina=1^,
TTTT
因为0<a<5,°<4<5,可得0<1+,<兀,COS(6Z+/7)=±—,
又因为V=cosx在(0,兀)上单调递减,且ava+夕,所以cosa>cos(a+/?),
因为cosa=;,所以cos(a+,)=一三
所以cosp=cos[(a+p)-a}=cos(a+尸)cosa+sin(a+尸)sina=-xy+~~x~~=;
贝Ucos2尸=2cos2尸一1=2x—1=-1
故选:A.
3.(2024・四川成都・模拟预测)在平面直角坐标系中,角0的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重
合,终边经过点尸(3,4),则sma+心a=()
cose-sma
A.11B.-10C.10D.-11
【答案】B
【分析】由题意利用任意角的三角函数定义,可求得sina,cose的值,代入计算即可.
【解析】因为角a的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,
且角的终边经过点尸(3,4),
443
所以sina=/=-cosa=
V9+1655
4+2x3
〜…sina+2cosa
所以-------:一.5.
cosa-sma~二一。
55
故选:B.
4.(2024•全国•模拟预测)已知tanacos|?-(z|-cos|?+a[=0,a0,-^,则----*夕----=()
14)14)\2J4cos-a+sin2a
A.273-2B.472-3C.2V2D.3-2V2
【答案】D
【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值,再利用齐次式可求答案.
【解析】因为tanacos-cosP+«=0,
14
又所以cos:一所以tana-tan=0,
即tan"F^=0,解得tana=V^-l或tana=-五-1,
1+tana
因为所以tantz=V^-l,
所以一叫一2sinacosa乌'2血.
4cosa+sm2a4cos2a+2sinacosa2+tanaJ2+1
故选:D
5.(2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)已知a,6cos'a-si/an;,且3sin£=sin(2a+£),则a+£
的值为()
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系可得tana=立,利用两角和与差的正弦公式化简
2
3sin[(tz+/?)-«]=sin[(tz+^)+a],可得tan(a+〃)=2tana=6,根据角的范围,即可得到答案.
143
【解析】因为cos2a—sin?a=cos?a+sin2a=1,所以cos?a=—‘sin?a=—,
777
因为所以cosa=*,sina=g,所以tana=等.
由3sin4=sin(2a+/7),得3sin[(a+/?)-«]=sin[(a+〃)+a],
即3sin(a+/?)cosa-3cos(a+月)sina=sin9+/3)cosa+cos(cr+#)sina,
所以sin(a+夕)cosa=2cos(a+0sina,所以tan(a+/?)=2tana=G.
ITjr
又0<a+/?<5,所以a+尸=1.
故选:D
6.(2024•辽宁丹东•一模)已知ae(0,1),昏疝户这=4也+1,则sin2a=()
2(1-sina)(l-cosa)
A4V2+1n4>/2+l「4>/2-l「4V2-1
816816
【答案】A
1.cosa+1
—sina+-----------
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为*2——112—=4收+1,解得
cosa-11.
sina+cosa=1+——,两边平方即可求解.
4
TT(1TTCY(7
【解析】因为ae(0《),所以界(0,?,所以cos£>si吟,
24
2cos
所以卜1+sin")(1+c°sa)2
y(1-sina)(l-cosa).aaY
sin----cos--2sina—
22)2
.a<1.cosa+1
sin—+cos-cos-—sin6Z+
22)
22二1,
.a.coscr-11.
-sin——i-cos-sin——b—sina
22)22
所以;(sina+cosa)+;=;(sina+cosa)•(40+1)一;•(40+1)
即272(sina+cos«)=2A^~+1,
所以sina+cosa=1+^^,
4
2
即(sina+coscr)2=1+2sin
4
所以sm2a二陪
故选:A.
【点睛】关键点点睛:关键是得出sina+cosa=l+正,由此即可顺利得解.
4
b
7.(2024•河南•三模)在工6。中,角4,瓦。所对的边分别为a,b,c«石甘----+---------,贝UtanA+tanC
cosAcos5cosC
的最小值是()
8
ABC.26
-I,3D.4
【答案】B
【分析】由正弦定理得tanZ+tan8=3tanC,再通过两角和的正切公式得tan4tan8=4,最后使用基本不
等式求解即可.
ab3。
【解析】因为----1----=----,
cosAcos5cosC
,_sin4sin53sinC
iMMW—+—=—
所以tanA+tanB=3tanC,
又因为。=兀-(4+5),
ll…/nctan+tan5
所以tan/+tan8=-3-----------------
1-tan4tanB
3
所以1=
tantan5-1
即tanAtan5=4.
411(4
所以tanB=------,tanC=-(tan4+tan5)=—tan4+
tanA33vtan4
显然tan4必为正(否则tan/和tanC都为负,就两个钝角),
〜44A68
所以tan/+tanC=—tanA+-------->2J一
33tanAv93
4471
当且仅当ztanZ";一-,即tan『『取等号.
33tanA
Q
所以tanA+tanC>—.
故选:B.
8.(2024・湖南•二模)在ABC中,角45。所对边分别为。也c,且“2—/+°2+岳。=0,若
cos(^-C)=^y-,aeCOS(c+/)c°s(a+C)_g则tanc的值为()
cos2a5
A.1B.2C.4D.2或4
【答案】C
【分析】利用余弦定理先得5,结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可.
【解析】由余弦定理得COS8=>+C2--V23兀兀
——nB=——,A+C=—
2ac244
7V2「3V2
cos(4-C)=cos24cosC=-----
5
即《~Lw=>
72.V2
cos(4+C)=sinAsmC=----
210
cos(a+4)cos(a+C)cos2acosAcosC+sin2asin4sinCsinacosa(sinAcosC+sinCeosA)
cos2acos2acos2a
-n%一也.
丁smacosa3662s&
510------------------————tancxr—tan0^—
cos2a
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