高考数学一轮复习题型训练：函数的单调性与最值（原卷版+解析版）

高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

函数的单调性与最值（精练）

1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.

2.理解函数单调性与最值的作用和实际意义.

一、单选题

1.（2023・北京・高考真题）下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A./（x）=-lnxB./（尤）=]

2

C./«=--D./（x）=31'-11

X

2.（2023•全国•高考真题）已知函数小六-2.记a=7H=.，⑦”图则（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

3.（2023・全国•高考真题）设函数/口）=2工（…）在区间（0,1）上单调递减,则。的取值范围是（）

A.B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+动

[A级基础巩固练】

一、单选题

1.（2024・广西・二模）下列函数中，在（0,2）上单调递增的是（）

A./（x）=Vx-1B./（x）=x2-2x

1]_

C./（^）=-D.y（x）=e

2.（23-24高二下•北京•阶段练习）已知函数〃x）=2x-sinY,则下列选项正确的是（）.

A./（2）＜/（7i）＜/（e）B./（7r）＜/（e）＜/（2）

C./（e）＜/（2）＜/（7t）D./（2）＜/（e）＜/（7r）

3.（23-24高二下•四川•期中）函数〃x）=ln（/-4x-12）的单调递减区间为（）

A.（-a＞,-2）B.（-«）,2）C.（2,+00）D.（6,+oo）

4.（2024高二下•陕西西安•学业考试）已知。=2一」，6=ln3,c=|log23,贝（!（）

A.a＜c＜bB.c＜a＜bC.b＜c＜aD.b＜a＜c

5.（23-24高一上・甘肃白银•期中）函数〃x）是定义在[0,+。）上的增函数，则满足的x的

取值范围是（）

6.（23-24高二下•北京•阶段练习）下列函数“X）中，满足“任意再,工2«0,内），且x产X2,都有

〃二一/仁）＜0的是（）

玉-x2

A./（x）=----xB./"（x）=x3

C./(x)=lnxD./(x)=2'

7.（23-24高三上•云南大理•期中）若对VxeR,使得021V2/2（。＞0且awl）恒成立，则实数。的取值

范围是（）

A.{2}B.（1,2]C.（0,l）U（l,2]D.[2,+动

8.（2023・全国•模拟预测）已知点尸（。,6）在直线歹=2彳-2上，若z=4"+[；j,则下列选项正确的是（）

A.z有最大值?，最小值4B.z有最大值?，没有最小值

44

C.z没有最大值，但有最小值4D.z没有最大值也没有最小值

9.（23-24高三上•江苏南通・期中）已知函数〃=在（°/）内单调递增，则实数。的取值范围是（）

A.a>2B.a>0C.a<2D.a<0

二、多选题

10.（23・24高一上•浙江•期末）下列函数的值域为R且在定义域上单调递增的函数是（）

A./（x）=（x-l）3B.f（x）=2023x

—9x0

C./（x）=log2023%D./（x）=J%,

0,x=0

11.（23-24高一下•甘肃定西•开学考试）设函数/（》）=叱（。>0,且心1）,若〃2）=4,则（）

A./（-2）>/（-1）B./（-1）>/（-2）

C./（-2）>/⑵D./（-4）>/（3）

12.（23-24高一上•安徽•期末）已知。，6为实数，且a<6,则下列不等式恒成立的是（）

A.sinavsinbB.|—।>|—|

C.a3<b3D.In（q2+i）<1口仅2+i）

13.（23・24高三上•新疆乌鲁木齐•阶段练习）若函数y=/_3/£13,2］的最小值为_8,贝匹的值为（）

14厂

A.-----B.-2>/5

3

二9

C.2V5D.-

三、填空题

a

14.（23-24高三上•湖北•阶段练习）已知工£工8］,则函数"％）=x+-的最大值与最小值的和为.

x

15.（2024高一•全国・专题练习）函数〃x）=W的单调区间为

16.（23-24高三上•全国•阶段练习）已知函数〃月=广木，则当”N*时；八〃）的最大值为.

17.（23-24高一上•广东河源•阶段练习）已知函数/（x）=|x-a］在区间［0,4］上具有单调性，则实数。的取值

范围是.

&x>0

18.（23-24高二下•上海金山•期中）已知函数7'（"=5"八，则不等式〃x）</（4-x）的解集为______.

lx+l,x<0

19.(23-24高一上•四川成都•阶段练习)已知函数〃=在口,2]上单调递减，则实数。的取值范围

是.

20.(2024•陕西安康•模拟预测)已知命题0：\/工€[-1,0],°«：-5》，若。为假命题，则。的取值范围是__

21.(23-24高三上•天津南开•阶段练习)已知x>0,y>0,x+y=l,则」7+」二的取值范围

x+1y+2

为.

四、解答题

22.(2024高一•全国•专题练习)已知二次函数了=/(x)的图象过点(-1,3),且不等式〃x)-7x<0的解集为

(1)求/。)的解析式；

(2)设g(x)=/(x)-mx,若gG)在(2,4)上是单调函数，求实数冽的取值范围.

23.(23-24高一下•内蒙古鄂尔多斯•开学考试)己知偶函数/卜)=/+(左-3卜+2的定义域为(1-2见5-间,

/、(k-2Ym2x-1

g[x)=~-------

4+1

(1)求实数左、加的值;

(2)判断g(x)的单调性，并给出证明.

24.(23-24高三上•江苏连云港•阶段练习)已知函数/(X)=22*_12H-6

⑴当xe[0,4]时，求〃x)的最大值和最小值;

(2)若ae[0,4],使/(x)+12-e2'N0成立，求实数。的取值范围.

【B级能力提升练】

一、单选题

1.(2024・安徽安庆•三模)已知函数〃x)=办周的图象经过点(2,8),则关于X的不等式9/3+/(4--)<()

的解集为（）

A.（-co,-4）U（l,+oo）B.（-4,1）

C.（-oo,-l）u（4,+oo）D.（-1,4）

b

2.（2024•贵州黔东南•二模）已知正实数。，++Q-,贝I”々的最大值为（）

2b

13

A.0B.-C.1D.-

22

3.（2024・吉林长春•模拟预测）已知函数/（》）=|3-3寸，则不等式;'（2尤-1）-/（无）＞0的解集为（）

4.（2024・广东深圳•模拟预测）已知函数小）=若设eR,使得〃x°）V10加+4/成立,

则实数加的取值范围为（）

5.（2024・全国•模拟预测）命题命题9：函数/（尤）=bg“（6-"）（a＞0,awl）在（-'3）上单调,

则P是夕的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

6.（2023・云南昆明•模拟预测）设偶函数〃x）=log/x-同在（-。,0）上单调递增，则下列结论中正确的是（）

A.〃a+2）＞〃6+2）B.f（a+2）＜f（b+2）

C.%+1）＞〃6-2）D./（a+l）＜/（^-2）

7.（23-24高三上•贵州•开学考试）已知函数=x+}g（x）=x2-ax+l,若对任意王及对任意

”[1,3],都有/&）*（/）,则实数〃的值可以是（）

A.-2B.-3C.2D.3

8.（23-24高三下•湖北•开学考试）设函数小）=噫,3_3•（0>0且"I）在区间曲）上单调递减，则。

的取值可以为（）

A^28r4

223

三、填空题

9.（2022高三•全国・专题练习）函数/3=1咱（-2/+3X+2）的单调递减区间为.

5

f—%2+4Y—3x<2

10.（2024高三•上海•专题练习）已知函数/（》）=「'"，则不等式/（2x-l）<2的解集是_____

[log2x,x>2

11.（2024•全国•模拟预测）设xe0,|,则函数y=Jsinx+Jcosx的最大值为.

12.（23-24高三上•北京东城•期末）设函数之「“〈a

[x+a,x>a

①若。=-2,则〃尤）的最小值为.

②若/（x）有最小值，则实数。的取值范围是.

四、解答题

13.（23-24高三上•上海虹口•期中）已知a>0且awl,函数=—+6x+c,g（x）=log”[/（x）-ax].对

任意xeR,〃尤-4）=/（-x）恒成立，且/⑴=5.

（1）求实数6,c的值.

（2）若了=8（月在[2,3]上是严格增函数，求实数a的取值范围.

14.（2024高三・全国・专题练习）已知函数/（x）=f-2"+b（a,beR）,记"是在区间[0,1]上的最大

值.

（1）当6=0且〃'=2时，求。的值；

（2）若Mvg,证明04a41.

15.（23-24高三上•上海松江•期中）设函数/（x）=a*-aT（xeR,a>0且a片1）.

（1）若a>l,判断了=〃x）的奇偶性和单调性；

⑵若/⑴>0,求使不等式/■。2+及）+"9-x）>0恒成立时实数，的取值范围；

⑶若/（1）=|,g（x）=/x+.3_2的0狙g（x）在［1,+«））上的最小值是-2,求实数m的值.

【C级拓广探索练】

一、单选题

1.（2024・安徽淮北•二模）当实数r变化时，函数/（月=k2+心€［-4,4］最大值的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

1g-——H———,-3<x<0

2.（2024・云南・二模）已知函数/'（X）的定义域为（T3）,且〃x）=*丁若

1g7^一一%,04尤<3

I3-xx+3

3/［x（x-2）］+2>0,则x的取值范围为（）

A.（-3,2）B.（一3,0）50,1）。（1,2）

C.（-1,3）D.（-1,0）50,2）52,3）

二、多选题

3.（2024•浙江•模拟预测）已知a,6为正数，且2a+b-2=0,贝！J（）

A.a2+16>B.2+：与9C.J-+-zD.—<—~~-<4

ab52a-2

三、填空题

1xx<0

4.（23-24高一上•上海浦东新•期末）己知函数/（无）=；,若关于x的不等式〃x+a）（/（x2）的解集

IX,XNU

为R,则实数a的取值范围为.

5.（2024•吉林长春•模拟预测）记表max』肉｛/（》）｝示在区间［°月上的最大值，则max问。司｛|x2-x+c|）

取得最小值时，。=

高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

函数的单调性与最值（精练）

1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.

2.理解函数单调性与最值的作用和实际意义.

一、单选题

1.（2023•北京•高考真题）下列函数中，在区间（0,+S）上单调递增的是（）

A./（x）=-lnxB./（x）=

C./«=--D./（x）=3k-11

X

【答案】c

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.

【详解】对于A,因为y=lnx在（0,+巧上单调递增，＞％在（0,+司上单调递减，

所以/（x）=-lnx在（0,+为上单调递减，故A错误；

对于B,因为y=2、在（0,+司上单调递增，”:在（0,+司上单调递减，

所以/（x）=g在（0，+“）上单调递减，故B错误；

对于C,因为y=:在（0,+司上单调递减，V=T在（0,+司上单调递减，

所以〃x）=--在（0,+司上单调递增，故C正确；

对于D,因为/[£|=3切=3；=6，/（1）=3M=3°=1,/（2）=3HI=3,

显然/（目=3只在（0,+a）上不单调，D错误.

故选：c

2.（2023•全国•高考真题）已知函数/卜）=。一（-2

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.

【详解】令g（x）=-（X-1）2,则g（x）开口向下，对称轴为x=l,

因为一一1-1——=------------，，而(指+百)2-4?=9+6亚-16=6行一7>0,

wuz瓜1fi6］而+647611V3

所以----1-I-------=------------------>0,即Hn2——l>l--

2(2)2222

由二次函数性质知g佟)<gg),

因为I_\=~9(V6+V2)2—42=8+4\/-3-16=4/-3—8=4(/-3—2)<(,

nnV6V2gpruA/6

gP-i<i--—，所以g(Z;-)>g(5")，

综上,g(争<g(^)<g(多,

又>=6'为增函数，故a<c<b,BPZ>>c>a.

故选：A.

3.（2023・全国・高考真题）设函数〃无）=2+旬在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+动

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数了=2,在R上单调递增，而函数〃x）=2代〃）在区间（0,1）上单调递减,

2

则有函数y=x（…在区间（0,1）上单调递减，因此｝1,解得心2,

所以。的取值范围是[2,+8）.故选：D

[A级基础巩固练】

一、单选题

1.（2024・广西•二模）下列函数中，在（0,2）上单调递增的是（）

A.f（x）=Vx-1B.f（x）=x2-2x

11_

C.=-D.y（x）=e

【答案】D

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域及单调性，综合即可得答案.

【详解】对于A,/（x）=GT,其定义域为口,+⑹，不符合题意；

对于B,f（x）=x2-2x,在（0,1）上为减函数，不符合题意；

对于C,/（x）=p在（0,2）上单调递减，不符合题意；

对于D,〃x）=f=G，在（0,2）上单调递增，符合题意；

故选：D.

2.（23-24高二下•北京•阶段练习）已知函数/（x）=2x-sinx,则下列选项正确的是（）.

A./（2）＜/（7i）＜/（e）B./（7r）＜/（e）＜/（2）

C./（e）＜/（2）＜/（7t）D./（2）＜/（e）＜/（7i）

【答案】D

【分析】利用导数判断了（x）的单调性，结合单调性比较大小.

【详解】因为/''（x）=2-cosx＞0在R上恒成立，可知/"（X）在R上单调递增，

又2＜e＜7r,所以/（2）＜/（e）＜/（兀）.

故选：D.

3.（23-24高二下•四川•期中）函数/（x）=ln（/_4尤-12）的单调递减区间为（）

A.B.（-＜»,2）C.（2,+oo）D.（6,+oo）

【答案】A

【分析】根据复合函数的单调性判断即可.

【详解】由/（x）=ln（，-4x-12）,则--4》-12>0,解得x<—2或x>6,

所以函数〃x）的定义域为（-*-2）。（6,+8）,

令W=X2-4X-12,则>=ln〃是增函数，

又w=--4x72在（f,-2）上单调递减，

所以/（无）=ln（/-4x-12）的单调递减区间是（-叫-2）.

故选：A.

4.（2024高二下•陕西西安•学业考试）已知°=2-」，6=ln3,c=|log23,则（）

A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】A

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性确定塞值和对数值的范围即得.

【详解】因即ae（0,》，

又In3>Ine=l,即b£（1,+8）,

4

M1=^-log2>ylog23>1-log22=即,

故a<c<6.

故选:A.

5.（23-24高一上・甘肃白银•期中）函数〃x）是定义在［0,+司上的增函数，贝U满足/（2'-1）</，卜勺》的

取值范围是（）

A-（12>B七「1"2、C.匕（12>D七「1'2J、

【答案】D

【分析】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案.

【详解】由题意知函数/（尤）是定义在［0,+8）上的增函数，

则由得0V2x-l<g,

“312nr「121

解得5Vx即xe-,-J,

故选：D

6.（23-24高二下•北京•阶段练习）下列函数/（x）中，满足“任意国,马«0,+00）,且再NX2,都有

小KA。的是（）

%-x2

A./（x）=--xB.f（x）=x3

C./（x）=lnxD.f（x）=2V

【答案】A

【分析】由题意可知：/（X）在（0,+s）内单调递减，结合选项分析判断.

【详解】由题意可知：〃x）在（0,+。）内单调递减，

对于选项A：因为y=二夕=-x在（0,+e）内单调递减，

X

可知=在（0,+“）内单调递减，故A正确；

对于选项BCD：此时/（x）在（0,+8）内单调递增，故BCD错误；

故选：A.

7.（23-24高三上•云南大理•期中）若对V&eR,使得/I《2/2（。>0且awl）恒成立，则实数。的取值

范围是（）

A.{2}B.（1,2]C.（0,1）U。,2]D.[2,+劝

【答案】A

【分析】分xN2与x<2两种情况，对不等式变形后，结合函数单调性求出最值，从而得到实数。的取值范

围.

【详解】若（a>0且"1）对任意的尤eR都成立.

①当x»2时,x-2>0,由小-42*-2工变形得到曲用42MA2）,故/交工，

因为指数函数y=2,在（2,+s）上单调递增，故要使得/<2,对任意x22成立，

只需a*22=4,即得a，（0,1）。（1,2]；

②当X<2时，/（工-2）42"-2）<2『-2工变形为0-2（2T）v2T（2r）,即得”以42一”=

因为指数函数>=在（-哂2）上单调递减，要使得小2V对任意x<2成立,

只需即°224,即得0«2,+<»),

因此，结合题意可知要使得对VxeR,使得力742入2，（。>0且awl）恒成立,

取ae（O,l）"l,2］与ae［2,+<»）的交集，可知ae{2},

故选：A.

8.（2023・全国•模拟预测）已知点尸（。力）在直线了=2》-2上，若z=4"+［；j,则下列选项正确的是（）

A.z有最大值半，最小值4B.z有最大值半，没有最小值

44

C.z没有最大值，但有最小值4D.z没有最大值也没有最小值

【答案】C

【分析】利用指数运算将z=¥+化简变形为可以利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式并结合

“2a-6=2”进行求解得到最小值，根据指数函数单调性得到没有最大值.

【详解】若点尸（。1）在直线>=2》一2上，贝!）6=2。-2,即2a-b=2,

所以2=4"+（gJ=22a+Tb>2V22ax2-A=2sj22a-b=4,

当且仅当2a=-6=1即a=Lb=-1时等号成立，此时z取得最小值4,

2

又因为/（a）=4"在R上单调递增，所以af+co时4"f+00,

此时因为b=2a-2,所以6―>+oo,而g）f0，

所以Zf+8,即没有最大值，

故选：C.

9.（23-24高三上•江苏南通・期中）已知函数/卜）=河二］在（°［）内单调递增，则实数。的取值范围是（）

A.a>2B.a>0C.a<2D.a<0

【答案】D

【分析】根据给定条件，可得Vxe（0,l）,x（x-a）NO恒成立，结合给定单调性列式求解即得.

【详解】依题意，Vxe(O,l),x(x-a)2O恒成立，即Vxe(o,l),aWx恒成立，则。40,

函数〃x)=Jx(x-a)有意义,则尤(x-a)NO,解得xW。或xNO,

显然函数了=x(x-a)在［0,+s)上单调递增，因此函数/(x)=J尤(i)在［0,内)上单调递增，

从而函数“X)=》(x-。)在(0,1)上单调递增,

所以实数。的取值范围是。40.

故选：D

二、多选题

10.(23-24高一上・浙江•期末)下列函数的值域为R且在定义域上单调递增的函数是()

A./(x)=(x-l)3B./(x)=2023%

C./(xbbgztm尤D./(》)=<

0,x=0

【答案】AC

【分析】结合基本初等函数的单调性及值域检验个选项即可判断.

【详解】根据塞函数的性质及函数图象的平移变换可知：/("=卜-1)3在区上单调递增且值域为区，故A

符合题意；

根据指数函数的图象和性质可得：/■卜)=2023，的值域为(0,+8),故B不符合题意；

根据对数函数的图象和性质可得：/(力=1。82。23*在(0,+3)上单调递增，值域为R,故C符合题意；

——XN0

根据反比例函数的图象和性质可知：/(X)=X'在(-叫0)和(o,+8)上单调递增，但在定义域R上

0,x=0

不单调，故D不符合题意.

故选：AC

11.(23-24高一下•甘肃定西•开学考试)设函数(。>0,且。片1),若"2)=4,则()

A./(-2)>/(-1)B./(-1)>/(-2)

C./(-2)>/(2)D./(-4)>/(3)

【答案】AD

【分析】利用〃2)=4求得/(x)的解析式，从而得到了(幻的奇偶性与单调性，从而得解.

【详解】因为〃x)=a-%/(2)=4,

所以a2=4,解得(负值舍去)，则〃x)=2%

易得“X)是偶函数，且在(-巩0)单调递减，在(0,+")单调递增，

故〃_2)>/(-1),/(-2)=/(2),/(-4)=/(4)>/(3),故AD正确，BC错误.

故选：AD.

12.(23-24高一上•安徽•期末)已知a,b为实数,且则下列不等式恒成立的是()

A.sina<sinZ?B.—>—

C.a3VbiD.111(/+1)<ln,~+1)

【答案】BC

【分析】利用函数单调性和反例可得答案.

【详解】对于A,而sing>sin勺，故A不正确；

2323

对于B,因为y=为减函数，a<b,所以故B正确;

对于C,因为y=/为增函数，a<b,所以"<〃，故c正确；

对于D,-2<1,而ln(4+l)>ln(l+l),故D不正确.

故选：BC.

13.(23-24高三上•新疆乌鲁木齐•阶段练习)若函数y=3,xe[-3,2]的最小值为-8,则。的值为()

14

A.-----B.-2y/r5

3

r-9

C.275D.-

【答案】BD

【分析】求出函数的对称轴，分-34342、!>2、?<-3三种情况，分别求出函数的最小值，即可求出

222

参数的值.

【详解】函数y=/一"一3=(工一巴丫一3-M开口向上，对称轴为尤=：,

2

若-34542,即-6WaW4时Wn=-3-土=-8,解得Q=-2指或〃=2石（舍去），

24

若］＞2,即a＞4时，函数在卜3,2］上单调递减，所以％^22-2。一3=-8,解得。=（

若］＜-3,即"-6时，函数在卜3,2］上单调递增，所以ymm=（-3『+3。-3=-8,解得.=-弓（舍去），

综上可得.=-26或q=；.

故选：BD

三、填空题

O

14.（23-24高三上•湖北•阶段练习）已知xe［1,8］，则函数〃力=x+-的最大值与最小值的和为.

【答案】16

【分析】根据对勾函数的性质求解即可.

【详解】解：由对勾函数的性质可知/（X）=X+：在［1,3］上单调递减，在（3,8］上单调递增，

所以

又因为/⑴=10,〃8）=8+3=?＜10,

OO

所以小）而=1°，

所以/（尤）晔+/a入=10+6=16.

故答案为：16

15.（2024高一•全国•专题练习）函数/（x）=W的单调区间为

【答案】增区间为和（-1,+8）,无单调递减区间，

【分析】分离常数，即可求解.

【详解】/（X）=—\=止==1+二所以的单调递增区间为（-8,-1）和（-1,+8）

x+1x+lX+1

故答案为：单调递增区间为和（-1,+⑹，无单调递减区间，

16.（23-24高三上•全国•阶段练习）已知函数/3=永＞贝I］当“eN*时；/（〃）的最大值为.

【答案】9

8_

【分析】将函数/(x)分离常数可得,"""不

刁，再由反比例函数性质可得当〃=5时，/■(〃)取最大

值9.

8

【详解】易知"尤)=万万=1+二

所以小A

8

由反比例函数性质可知当〃=5时，/(〃)取最大值，Z^=1+X=9

~|

故答案为：9

17.(23-24高一上•广东河源•阶段练习)已知函数"x)=|x-a|在区间[0,4]上具有单调性，则实数。的取值

范围是•

【答案】(-8,0]U[4,+8)

【分析】分类讨论求得“X)求X-°|的单调区间,由已知可得[0,4]U&+功或[0,4]=(-*幻,求解即可.

【详解】当xNa时，/(x)=|x-a|=x-a,所以/(x)=|x-a]在[a,+co)上单调递增，

当x<a时，/(x)=\x-a\=a-x,所以/(x)=|x-a|在(-oo,a]上单调递减，

由函数=1尤-。I在区间[0,4]上具有单调性，

可得[0,4]a[a,+8)或[0,4]a(-8,0,解得或。24,

所以实数a的取值范围是(-*0]U[4,+功.

故答案为：(-s,0]U[4,+s).

修r>0

18.(23-24高二下•上海金山•期中)已知函数/'(x)='一八，则不等式/(x)</(4-x)的解集为_____.

Ix+l,X<0

【答案】(f,2)

【分析】结合分段函数性质可得该函数为增函数，利用增函数的性质即可得解.

【详解】当X20时，〃x)=，为增函数，且

当x<0时，〃x)=x+l为增函数，且〃x)<l,

则/(X)在(-oo,+co)上/(X)为增函数，

则不等式/(x)<1(4r)等价为x<4-x,

即2x<4,解得：x<2,

即不等式的解集为（-8,2）.

故答案为：（-8,2）.

19.（23-24高一上•四川成都•阶段练习）已知函数在[1,2]上单调递减，则实数。的取值范围

是.

【答案】[-2,+8）

【分析】根据复合函数单调性求出/（尤）在上单调递减，再由/（X）在[1,2]上单调递减，得到一合<1,

进而求得a的取值范围.

【详解】令，=%2+"_],贝!|歹=I

因为:=/+ax_i在卜双-胃上单调递减，在上单调递增，y=在R上单调递减，

所以/（x）在[-巩-0上单调递增，在-会+：]上单调递减.

因为/（无）在[1,2]上单调递减，

所以有解得心-2.

故答案为：卜2,小）

20.（2024・陕西安康•模拟预测）已知命题?：依€卜1,0],0<5-5》，若？为假命题，则。的取值范围是.

【答案】。,+8）

【分析】根据全称命题的真假可知-0七目-1,0],.>5-5苫为真命题，由此构造函数

f（x）=^-5x,xe[-l,0],结合单调性求得最值，即可求得答案.

【详解】由题意知命题0：Vxe[-l,O],a<^-5x为假命题，

则-10:Bxe[—1,0],a>-—5x为真命题，

设/'（无）=（-5无，尤，贝!I。>/（XL,

由于y=2,在R上单调递增，故〃x)=(-5x在［TO］上单调递减，

则/(x)min=，5x0=l，故。>1，

故答案为：(1,+8)

21.(23-24高三上•天津南开•阶段练习)已知x>0,y>0,x+y=l,则一1+工；的取值范围

x+1y+2

114

【详解】换元令。=X+1>1,b=y+2>2,整理得「+—，结合二次函数分析求解.

x+1y+2-a+4a

【分析】令。=x+1>1,b=y+2>29贝[)x=q-1,y=b-2,

可得a+b=4,即6=4-。>2,解得

1111114

贝!|----1-----=—+—=—H-----=—z----，

x+1y+2aba4-a-a+Aa

因为％=—/+船开口向下，对称轴为Q=2,

可知t——/+4〃在(L2)上单倜递增，且t|。=1=3"|“=2=4,

可知"—Q2+4aE(3,4),贝！)----H----=—~--W

\/x-V-+I11y+2—a+4。

所以二r工装的取值范围为？I

故答案为：卜之〕.

四、解答题

22.(2024高一•全国•专题练习)已知二次函数y=/(x)的图象过点(-1,3),且不等式〃x)-7x<0的解集为

(1)求/(x)的解析式；

(2)设g(x)=/(x)-加x,若g(x)在(2,4)上是单调函数，求实数机的取值范围.

【答案】⑴=4%2+2x+1

(2)(-oo,l8]U[34,+oo)

【分析】

(1)设(尤代入点的坐标求出。的值，即可求出函数解析式;

(2)首先表示出g(x),从而确定其对称轴，依题意得到-与丝W2或-亨24,解得即可.

OO

【详解】(1)

因为不等式〃x)-7x<0的解集为\,1),

所以。和1为关于x的方程/(x)-7x=0的两根，且二次函数y=/(x)的开口向上，

4

则可设/(x)—7x=Q[一),(Q>0),

即/(x)=Q卜-;)-1)+7x,

由/(X)的图象过点(T3),可得1—1—l)+7x(—1)=3,解得-4,

所以/(x)=46一;](x—l)+7x,即/(X)=4X2+2X+1.

(2)

因为g(%)=/(x)-mx=4x2+2x+l-mx=4x2+(2-m)x+l,对称轴％=,

8

因为g(x)在(2,4)上是单调函数，所以一—2—YYI42或—21—2m4,解得加W18或加234,

OO

即实数加的取值范围(-8,18]u[34,+8).

23.(23-24高一下•内蒙古鄂尔多斯•开学考试)已知偶函数/(无)=/+("3)尤+2的定义域为(1-2%5-切),

.、（k-2\m2x-l

gx=-------------

L4*+1

⑴求实数无、加的值;

(2)判断g(x)的单调性，并给出证明.

【答案】(1)m=2,k=3

(2)g(x)在R上单调递增，证明见解析

【分析】(1)根据函数为偶函数，得到/(-力=/卜)，结合定义域关于原点对称，得到方程，求出实数左、m

的值；

(2)利用定义法求解函数的单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.

【详解】⑴偶函数/卜)=循+(左-3)x+2的定义域为(1-2弧5-曲,

有(1-2加)+(5—加)=0,解得加=2,

且/(-X)=f(x),即(-x)2+(4-3)(-x)+2=x?+(左-3)x+2,

故人-3=0,解得左=3；

(2)g@)单调递增，证明如下:

22X-14X-1

由(1)知，g(x)=,定义域为R,

4,+14工+1

设国,々£氏再<X2，

则g(xj-g(x2)=

4Xl+14*+1(4%+1)(4为+1)

2

(4'1+1)(平+1]

易得4』+1>0,4打+1>0,4』一4均<0,贝！Ig(xi)-g(x2)<。，

即g(xj<g(x2),所以g(x)在R上单调递增.

24.(23-24高三上•江苏连云港•阶段练习)已知函数/(冷=221-12向-6.

⑴当xe[0,4]时，求〃x)的最大值和最小值；

(2)若*e[0,4],使/(x)+12-e2-0成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)最大值为170,最小值为-十49

(911

(2)1刊

【分析】(D换元后得到g(/)=〃-5/6=/^[1,16],求出最值;

(2)^^a+5<—=t+-,只需。+5v[f+g],根据对勾函数的单调性得到函数最值，得到

ttkt>max

131

。+5«—,求出答案.

o

【详解】⑴令2』41,16],

故f(x)=22x—2X+1—6=>g(t)=Z2—5/-6=f5249

4

当f=£5时，g(。取得最小值，最小值为-十49，

又g⑴=-10,g(16)=256-86=170,

49

故/(X)的最大值为170,最小值为-十；

(2)22x-1-2x+1-6+12-a-2x>0,gp22x-(tz+5)-2r+6>0,

令2'=fe［l,16］,故『-(a+5)/+6/0在问1,16］上有解,

。+54'+"=)+9，只需a+5V(,+一］,

tt\^7max

其中片"J在