分类讨论问题 专项练习-2025年中考数学一轮复习

类型2分类讨论问题

1.分类讨论思想就是按照一定的标准把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个解决，最后予

以总结作出结论的思想方法.

2.分类讨论的实质是化整为零，各个击破的转化策略.分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚

引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做到既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨

论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案.

3.运用分类讨论思想时，必须遵循下列两个原则：一是要有分类意识，善于从问题的情景中抓住分类对象；二

是要找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简原则.

【例1】在△ABC中,AD为边BC上的高,/ABC=3（F,NCAD=20。,则/BAC是________度.

【解析】本题考查三角形的内角和定理.如图，因为AD_LBD,所以NADB=90。.又/ABC=30。,所以/乙BAD=

180°-90°-30°=60。.当点C位于Ci处时,.=^BAD-=60°-20°=40。;当点C位于C2

处时,.^BAC2=4BAD+/LC2AD=60°+20°=80。..综上,/BAC是40。或80°.

【答案】40或80

【例2］抛物线y=%2-2x-3交x轴于A,B两点（A在B的左边）,C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y

轴于点P.

（1）直接写出A,B两点的坐标；

⑵如图1,当OP=OA时，在抛物线上存在点D（异于点B）使B,D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件

的点D的横坐标.

【解】⑴A(-l,0),B(3,0).

⑵•.•OP=OA=1,；.P(0,1),

直线AC的解析式为y=x+l.

①若点D在AC下方时，

过点B作AC的平行线与抛物线的交点即为Di.

：B(3,0),BDi||AC,

•••BDi的解析式为y=x-3.

联立，丐”厂

解得,%1=0,x2=3(舍).

•••点Di的横坐标为0.

②若点D在AC上方时，点Di(0,-3)关于点P的对称点为G(0,5).

过点G作AC的平行线1,贝心与抛物线的交点即为符合条件的点D.

直线1的解析式为y=x+5.

联立］丐"

{y=x—2x—3.

・•.x2—3x—8=0,

解得与=上/,％2==经

..点的横坐标分别为土尹，等亘

•D2,D3

符合条件的点D的横坐标为：0,手或手.

另解:设D(d,d2-2d-3),过点D作x轴垂线交AC于点G,根据DG=4求解.

1.有一题目:“已知:点O为公ABC的外心,/BOC=130。,求NA.”嘉嘉的解答为：画^ABC以及它的外接圆O,

连接OB,OC,如图.由/BOC=2NA=130。得/A=65。而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全，ZA还应有另一个不同的值

下列判断正确的是)

A

A.淇淇说的对，且/A的另一个值是115。

B.淇淇说的不对,NA就得65°

C.嘉嘉求的结果不对，ZA应得50。

D.两人都不对，ZA应有3个不同值

2.已知△ABC是等腰三角形.若/A=40°,则△ABC的顶角度数是.

3.如图，在△ABC中,AC=2,BC=4,点O在BC上以OB为半径的圆与AC相切于点A.D是BC边上的动

点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为.

4.已知点A在反比例函数y=苫（久〉0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若小OAB为等腰三角形，且腰长为

5.如图，在RtAABC中,NACB=9（T,AC=BC=2应点D为AB的中点，点P在AC上，旦CP=1将CP绕点

C在平面内旋转，点P的对应点为点Q连接AQ,DQ.当/ADQ=90。时,AQ的长为.

6.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在RtAABC中,NACB=90。,NB=30。,AC=L第一步在AB边

上找一点D,将纸片沿CD折叠，点A落在A处，如图2；第二步，将纸片沿CA折叠点D落在D处，如图3.

当点D”恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段AD的长为.

BBB

7.矩形纸片ABCD,长AD=8cm,宽AB=4cm.折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点A落在点A1处,

展平后得到折痕BE,同时得到线段BA，,EA',不再添加其他线段.当图中存在30。角时,AE的长为______厘米.

2

8.如图抛物线y=ax+2%+c经过点A(-l,0)sC(0,3),并交x轴于另一点B,点P(x,y)在第一象限的抛物线

上,AP交直线BC于点D.

⑴求该抛物线的函数表达式；

⑵当点P的坐标为(1,4)时，求四边形BOCP的面积；

⑶点Q在抛物线上，当差的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标.

9.如图抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴正半轴交于点C且OC=2OA抛物线的顶点为D,

对称轴交x轴于点E.直线y=mx+n经过B,C两点.

⑴求抛物线及直线BC的函数表达式；

(2)点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时,求出点F的坐标及FA+FC的最小值；

(3)连接AC,若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角

顶点的RSPEQ,且满足tan/EQP=tan/OCA.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=g与反比例函数y=:交于点D,E,过点D,E分别作平行于

x轴和y轴的直线交坐标轴于点A,B,直线AD与直线BE交于点C,已知点A(0,2),B(4,0),若点P为坐标轴上的

一点，且4OPD的面积等于四边形DOEC的面积，则P点的坐标为.

2.如图矩形ABCD中,AB=12,AD=25,点E是BC边上一点,CE=16,点M是边AD上一动点，点N是边BC

上一动点，射线AN与射线ME相交于点F,且满足NAFM=NEAD苒aABE沿AB翻折得到4ABG.

⑴连接DE,求/AED的度数

(2)当4AFM是以FM为腰的等腰三角形时，求EN的值.

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+bx+c与直线y=|(x+1)交于A,B两点，抛物线与y

轴交于点C,直线y=4％+1)与x轴交于点D,与y轴交于点E,且/DCB=9(T,CB=CD.

⑴求抛物线的解析式；

(2)在BD上是否存在点F,使得以C,D,F为顶点的三角形与△BCE相似？如果存在，请求出点F的坐标；如果

不存在，请说明理由.

4.已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4).

⑴求b,c满足的关系式；

⑵设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；

⑶若该函数的图象不经过第三象限，当-5SXW1时，函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.

类型2分类讨论问题

1.A【解析】本题考查三角形的外接圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理.当点O在AABC内部时，/A=

l^BOC=65。当点O在AB或AC边上时，/A=jzBOC=65。;当点O在^ABC外部时，由圆内接四边形

的性质知的=180°-65。=115。,故选A.

2.40。或1000【解析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理.当/A是4ABC的顶角时，

AABC的顶角度数是40。;当NA是4ABC的底角时,△ABC的顶角度数是180。-40。x2=100。.综上，△

ABC的顶角度数是40。或100°.

3.|或|【解析】本题考查圆的切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质.如图1,连接OA.：AC是

OO的切线,.•.OA_LAC,即./-OAC=90。,当点D与点O重合时，△ACD是直角三角形，设。O的半径为r,则O

A=OB=r.：BC=4,，OC=BC-OB=4-r,在RtAACO中,AC=2，由勾股定理得((4-r)2=r2+2?,解得r=|,OA=

即AD的长为|.如图2,当ADXBC时,△ACD是直角三角形，连接OA,易知(04=0B=|,；.0C=4-|=|.V

3

ZADO=ZOAC=90°,ZAOD=ZCOA,A△AOD^ACOA,OC=ADC.g看=芋，解得AD=”AD的长为-|或9

图1图2

4.5,2V5,V10【解析】本题考查反比例函数的图象与性质、等腰三角形的性质、勾股定理.如图1,当OB=AB

=5时,△OAB是等腰三角形，此时AB=5;如图2,当OA=AB=5时,△OAB是等腰三角形，此时AB=5;当OA=OB=5时，

△OAB是等腰三角形过点A作AMJ_OB于点M/.♦点A在反比例函数y=3(久)0)的图象上，...设点A的坐

标为卜勺(a〉。)，在RtAAOM中，由勾股定理得a2+㈢？=52,整理得a4-25a2+144=0,即④一9)(a2

-16)=0,解得a=±3或a=±4.Va>0,a=3或a=4.当a=3时，如图3,点A的坐标为(3,4),即(OM=3,AM=4,BM=0B-0

M=2在RtAABM中,由勾股定理得AB=V42+22=2而;当a=4时，如图4,点A的坐标为(4,3),即OM=4,AM=3,；.

BM=OB-OM=1.在RtAABM中,由勾股定理得AB=V32+I2=VIU.综上所述，AB的长为5,2V5,V10

Bx

图2

MBMBx

图3图4

5.V5V13【解析】本题考查等腰直角三角形的性质、圆的性质、勾股定理.如图，CP绕点C在平面内旋

转所得的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆.因为NACB=90°,AC=BC=2a，所以AB=^AC2+BC2=4.又D

为AB的中点,所以CD=AD=BD=\AB=2,CD1AB,所以当NADQ=90。时,C,D,Q三点共线.当点Q在DC的

延长线上的Qi位置时,DQi=CD+CQi=3.在RtAADQX中，由勾股定理得AQX=y/AD^+DQl=y[4+9=

同;;当点Q在线段DC上的Q2位置时,DQ2=CD-CQ2=1.在RtAADQ2中，由勾股定

理得AQ2=麻丽=而=6综上，AQ的长为有或V13.

6.i2-V3【解析】本题考查轴对称的性质、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理.如图1,当点

D的对应点D,落在AB边上时，则对称轴A'C±AB.在RSABC中,NB=30°,AC=1,ZA=60°.在RtA

ACM中，AC-CM=sin60°=当由折叠知，ZCA'D=ZA=60°,A'C=AC=1,ZA'DB=30°,A'M=1-当在Rt

AA'DM中，A'D=2A'M=2-8，由折叠知A'D'=A'D=2-遍;如图2,当点D落在BC边上时，由折叠可知，

^LA'CD'=^DCA'=AACD=30o,/DAC=NDAC=NA=60o,A'C=AC=l,；./ADC=90。,在RtAA'CD中,A'D'=

\A'C=/宗上所述，AD的长为|2-V3.

4g

D)Q

AC

图2

充分利用轴对称（折叠）的性质确定直角三角形是解答本题的关键.

7.^,4V3,8-4V3【解析】本题考查矩形的性质、图形的折叠、锐角三角函数根据题意，分三种情况：①

当NABE=30。时在RtAABE中，AE=AB-tan30°=4xy=尊;②当/-ABA!=30。时，如图1,^AEA'=150°

,•••/.A'BC=60°,Z.DEA'=30。,,过点A作MN〃AB,交AD于点M,交BC于点N,在RtAA'BN中,AB=AB=4

BN=2,A'N=>JA'B2-BN2=2V3,A'M=MN-A'N=AB—A'N=4—2次.又在RtAA'EM中,1EM=

y/3A'M=V3X(4-2A/3)=4^/3-6,/.AE=AM-EM=BN-EM=2-<4V3-6)=8-4百;③当NAEB=30°时，如图2,在Rt

AABE中,AE=V3XB=4百..综上所述，AE的长为*或4遮或；8-4国.

图1图2

8.(l)y=-%2+2x+3(2)y(3)%||,1

⑴将点A(-l,0),C(0,3)代入y^ax2+2x+冲求出a,c即可；⑵连接OP,根据抛物线的解析式求出点B的

坐标，根据S=SP0C+SBOP即可求解；⑶过点P作PF〃x轴,交直线BC于点F,可得△PFD-AA

BD,进而得出需=焉可知当PF最大时，PDD最大，设P(m--m2+2m+3),表示出点F的坐标，求出当PF最

大时点P的坐标，设出点Q坐标,然后分NAPQ=90o,NPAQ=90o,NAQP=90。三种情况进行讨论即可.

解:⑴；抛物线yax2+2x+c经过点A(-1,0)、C(0,3),

(a—2+c=0

"tc=3

解得『=：

Ic=3

该抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.

⑵如图L连接OP,

令y=—x2+2%+3=0,

•••x1=—l,x2=3.

AB(3,0).

•・・C(0,3),P(l,4),

/.OC=3,OB=3,xp=l,yp=4.

13

Spoc=-0C-xP

SBOP~2°B-yP=6.

.15

••S四边形80cp=SMK+

(3)如图2,作PF//x轴,交直线BC于点F,

图2

则4PFD^AABD.

.PD_PF

••AD-AB'

VAB=4是定值

・・・当PF最大时,果=答最大.

设yBC=kx+b,

VC(0,3),B(3,0),

•，,VBC~-x+3.

设P(jxif-m2+2m+3),

则F(m2—2m>—m2+2m+3).

.・.PF=m—(m2—2m)=—m2+3m=—(m—|)+£

.•.当m=|时，PF取得最大值［

此时

设点QS-产+2t+3),

若公APQ是直角三角形，

则点Q不能与点P、A重合，

1-1,

2

下面分三类情况讨论：

①若NAPQ=90。,如图3,

过点P作PP21X轴于点P2作QP11P2P交P2P的延长线于点Pl,

则4PPiQ^AAP2P.

QP1_PP2

PP1-AP2"

-31.1—5

2_________4

-t2+*42t+3~—*

42

1_3

②若NPAQ=90。,如图4,

过点P作直线PAi-Lx轴于点A1,过点Q作Q、2-Lx轴于点A?,

贝必APAi〜△QAA2.

PA±_AA2

AA]QA2

15

t+1

T=

-+1-t2-2t-3

2

1

vtH-L

2t-3

t,=—11.

3

③若NAQP=90。,如图5,过点Q作QQi1x轴于点Q1,作PQ21QiQ交QiQ的延长线于点Q2,

图5

贝必PQQ2〜△QAQ1.

.PQ2_QQi

QQ2/Qi

.t-|_-t2+2t+3)

•・Y-(-t2+2t+3)--1+1-'

•••12，T

/.—=3-t.

2t-l

A=l,t2=

综上所述，当PDD的值最大且△APQ是直角三角形时，点Q的横坐标为9节(,1.

o3Z

9.(1)抛物线的解析式为y=-|x2+x+4,直线BC的解析式为y=-x+4(2)(1,3)5(3)(V13,V13-3或

⑴根据点A的坐标可求出点C的坐标，即可求出c的值，再将点A,B的坐标代入抛物线，列出二元一次方

程组，求出a,b的值，即可求出抛物线的解析式，将点B,C的坐标代入直线BC的解析式求出m,n的值，即

可得直线BC的函数表达式；⑵点A关于抛物线对称轴的点是B,则当F,B,C三点共线时,FA+BC有最小值,此时线

段BC的长即为FA+FC的最小值，求出抛物线的对称轴，代入直线BC的解析式，求出点F的坐标，再根据点

B和点C的坐标求出BC的长即可求解；（3）设出点P,Q的坐标，再分P,Q在对称轴两侧或同侧进行讨论即可

求解.

解:⑴•.•点A(-2,0),AOA=2.

,.•OC=2OA,.\OC=4,

.♦.点C的坐标为(0,4),即c=4.

将点A,B的坐标代入抛物线得

0=4。-2b+4,蒯曰a=-i

0=16a+4b+4,用牛寸1

b=l,

..•抛物线的解析式为y=-|x2+x+4.

0=4m+cm=-1,

将点B,<2的坐标代入直线BC的解析式丫=mx+n得4=几解俗In=4,

.•・直线BC的解析式为y=-x+4.

(2厂.•点A和点B关于抛物线的对称轴对称，

；.FA=FB,

；.FA+FC=FB+FC,则当F,B,C,三点共线时,FA+FC有最小值，此时直线BC与对称轴的交点即为点F,则BC

的长即为FA+FC的最小值.

.•.抛物线的对称轴为直线x=l,

当x=l时,y=-1+4=3,

；•点F的坐标为(1,3),

XVOC=3,OB=4,.*.BC=5,

即FA+FC的最小值为5.

.•.当FA+FC的值最小时点F的坐标为(1,3),FA+FC的最小值为5.

⑶设点P的坐标为(a，一］2+。+4),点Q的坐标为(m,-m+4),

如图1,当点P,Q分别在对称轴两侧时，过点P作PMLx轴于点M,过点Q作QNLx轴于点N,

ZPME=ZPEQ=90°,

/.ZMPE+ZPEM=ZPEM+ZQEN=90°,

即/MPE=/NEQ,

APME^AENQ,

.PM_EM

''EN~QN'

若・tanNEQP=tanZOCA,

.PM_EM_OA_1

,,EN-QN一OC~~2,

-a2+a+4-l1

即二-----=a=1

1-m-m+42

解得a=±VT5(舍去负值)，

此时点p的坐标为(夜不履-0；

如图2,当点P,Q都在对称轴右侧时，过点P,Q作对称轴的垂线，垂足为M,N,

贝!IPM—a—1,NQ—m—1,EM=—|a2+Gt+4,EN--m+4,

由小PEM^AEQN得胃=瑞=最

解得a=±V7(舍去负值),

止匕时点P的坐标为("夕-3

综上所述，点P的坐标为

(旧，同一()或

1.(0,12)或(0,-12)或(-6,0)或(6,0)

【解析】本题考查反比例函数的综合应用将y=2代入直线y=-六+摄得X=l,.••点D(l,2).把D点的坐标代入

y=1得k=2一♦.反比例函数的解析式是y=2,同理可得E(44，.•.S=S=1.S加力次c“=2x4/x2=6.由

XX\ZzA0DB0EUcC1

题意得当点P在y轴上时，S0PD=goP|xl=6,.・.OP=±12;当点P在x轴上时,SAOPD=||OP|x2=6,OP=±6,.,.P.

点的坐标为(0,12)或(0,-12)或(-6,0)或(6,0).

2.(1)90°(2)0或3

⑴利用矩形的性质结合勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解；或利用矩形的性质及相似三角形的判定与性质

即可求解;⑵分MA=MF和FA=FM两种情况进行讨论，当MA=MF时，点N和点E重合;当FA=MF时，利用相

似三角形的判定与性质及矩形的性质即可求解.

解:⑴解法一:：四边形ABCD是矩形，

AB=CD=12,AD=BC=25,ZABC=ZC=90°,

.\BE=BC-CE=25-16=9,

•••AE2=AB2+BE2=122+92=225,ED2=CE2+CD2=162+122=400,

AE2+ED2=AD2,

ZAED=90°.

解法二：•四边形ABCD是矩形，

AB=CD=12,AD=BC=25,ZABC=ZC=90°,

.\BE=BC-CE=25-16=9,ZBAE+ZBEA=90o.

,,AB_12_4EC_16_4

丫•BE-9-3'CQ-12-3’

・•・ABE=ECD,△ABEs△ECD,

ZBAE=ZCED,AZCED+ZBEA=90°,

・•・AAED=180°-90°=90°.

(2)①当MA=MF时,NMAF=NMFA.

ZAFM=ZEAD,.\ZMAF=ZEAD,

・••点E,F,N三点重合，即EN=0;

②当FA=FM时,NFAM=NFMA.

ZAFM=ZEAD,ZFMA=ZAME,

AAFMA^AAME,

，ZAME=ZAEM,.\AM=AE=15.

过点F作FQLAD于点Q,交BC于点P,

贝!!/AQF=90。.

：AD〃BC,；.FP_LNE,

NP=-NE,AQ=-AM=—.

2P22

四边形ABCD是矩形，

ZBAQ=ZABE=90°,

四边形ABPQ是矩形，

；.AQ=BP=BN+NP,

即^-=9-EN+号解得EN=3.

综上所述，当仆AFM是以FM为腰的等腰三角形时,EN的值是0或3.

3.(l)y=2/—£X+3(2)(2,|或(|，§

(1)过点B作BM，y轴，垂足为M,根据全等三角形的判定证明△COD^ABMC,根据全等三角形的对应边

相等可表示出点B的坐标，将点B的坐标代入一次函数的解析式，可求出c的值，再将点B的坐标代入抛物线

的解析式，可求出b的值，据此即可求得抛物线的解析式；

⑵分两种情况进行讨论:①若^DCFs/XBCE,利用全等三角形的判定证明△CDE^ACBF,根据全等三角形的

对应边相等可表示出点F的坐标；②若△DFCs^BCE,证明△CEFs^BEC则有/ECF=NEBC=45。.设出点F的

坐标，作FNLy轴，表示出相关线段的长，从而可建立关于m的方程，求出m的值，进而可得点F的坐标.

解:⑴过点B作BM_Ly轴.垂足为点M,如图1.

ZDCB=90°,CB=CD,

ZDCO+ZBCO=ZDCO+ZCDO=90°,

ZBCO=ZCDO.

XZCOD=ZBMC=90°,

・•・△COD丝△BMC(AAS),

ABM=CO=c,CM=DO=l,

XB-c,=c—

AB(c,c-l).

将点B坐标代入直线y=|(x+1)中彳导c-l=|c+1，

解得c=3,；.B(3,2).

将(3,2)代入y=2必+版+3中，解得b=—?

•••y=2x2—y