高等数学（第2版）课件：定积分

积分学不定积分定积分定积分

第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质定积分的概念及性质

一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线轴，以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积及x

解决步骤:1)

分割在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分割成n个小曲边梯形,2)

近似在第i个窄曲边梯形作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得上任取其面积为且

4)取极限令则曲边梯形面积3)求和

2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割将它分成在每个小段上物体2)近似得已知速度n个小段经过的路程为

3)求和4)取极限上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”所求量的结构式相同:和式的极限

二、定积分定义任一种分法任取，如果和式的极限I存在,则称此极限I为函在区间上的即也称f(x)在[a,b]上可积.记作数作乘积之和，记定积分,

积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和

定理1.定理2.且只有有限个间断点（1）可积函数的充分条件:在可积对定积分定义的说明：（2）定积分的结果是一个数值（3）定积分与分割的方法及点的取法无关（4）定积分仅与被积函数及积分区间有关（5）定积分与积分变量用什么字母表示无关,即

定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和

例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取

三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)

注意：当a,b,c

的相对位置任意时,例如则有

6.

若在[a,b]上则推论1.若在[a,b]上则7.设则推论2.

8.

积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.

说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.因为

内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式

作业

P1642;3;5(2,3);6(1,2)

第二节

二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例第二节微积分基本公式

一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.由路程函数的意义，路程也可表示为度函数所以

二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证:则有定理1.若可导，且

例1.（1）（2）（3）（4）（5）

变限函数求导的结论:

例2.

求解:原式例3.确定常数a,b,c的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得

例4.证明在内为单调递增函数.证:只要证

则变上限函数定理2.若说明:1)定理2证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.

三、牛顿–莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)

证:根据定理2,故因此得记作定理3.函数,则一个

例5.

解:例6.

解:例7.

例8.

解:不正确本例不属于定积分解:例9.

解:例10.计算正弦曲线与x轴所围成的面积.解:

内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼兹公式2.变限积分求导公式

作业P1711(2,3,4,6);2;4;5(2,3);第三节

备用题解：1.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.

二、定积分的分部积分法第三节不定积分计算一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分计算定积分的换元法和分部积分法

牛顿-莱布尼兹公式

例1.计算解:令则∴原式=

又解令则∴原式=且

一、定积分的换元法

定理1.设函数单值函数满足:1)2)当t在之间变化时，则是连续可导函数，且实质：在换元的同时将积分限作相应的改变，这样在求出t的原函数后代入t的积分限求值。

说明:1)换元中强调的是

与a对应，

与b对应，不一定有

<

2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元积分中做好三件事：，实际上，当换元关系是减函数时，将有

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①寻找换元关系②求dx的形式③积分限相应的改变按不定积分中换元关系的方法确定根据积分限的变化或被积函数的变化确定

例2.计算解:令则∴原式=且

例3.计算解:令则∴原式=且配元不换限

例4.已知解:令，则∴原式=且，求a.由，得

例5.计算解:

原式=

例6.证:(1)若(2)若偶倍奇零

二、定积分的分部积分法

定理2.

则证:

例7.

计算解:原式=

例8.

证明证:令

n为偶数

n为奇数则令则

由此得递推公式于是而故所证结论成立.

内容小结基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限

重要结论是偶函数是奇函数

n为偶数

n为奇数作业P1781(1,3,5,7,9,11);

2(3,4,6,7);3(2,3);4(2);第四节

二、无界函数的反常积分第四节定积分积分限是有限数被积函数在积分区间上有界推广一、无穷限的反常积分反常积分(广义积分)反常积分

一、无穷限的反常积分引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为

定义1.

设若存在,则称此极限为f(x)在记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义上的反常积分,

则定义(c为任意取定的常数)等式右边只要有一个极限不存在,就称发散.并非不定型,说明:上述定义中若出现它表明该反常积分发散.

引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:

例1.计算反常积分解:思考:分析:原积分发散!注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.

例2.证明积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;

p≤1时发散.因此,当p>1时,反常积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.

二、无界函数的反常积分引例:曲线所围成的开口曲边梯形与x轴,y轴和其含义可理解为面积A可记作直线的

定义2.

设而在点a的右邻域存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,记作则定义则称此极限为函内无界,

而无界点常称为瑕点(奇点).在点c的邻域内无界,则定义

若瑕点公式的计算表达式:则也有类似牛–莱若

b为瑕点,则若a为瑕点,则则可相消吗?

下述解法是否正确:,∴积分收敛例3.计算反常积分解:显然瑕点为

a,所以原式例4.讨论反常积分的收敛性.所以反常积分发散.解:

例5.证明反常积分证:当q=1时,当q<1时收敛;q≥1时发散.当q≠1时所以当

q<1时,该广义积分收敛,其值为当

q

≥1

时,该广义积分发散.

例6.讨论反常积分解:的收敛性.

内容小结1.反常积分积分区间无限被积函数无界定积分的极限2.两个重要的反常积分

P1871(1,2,3,5)作业习题课

习题课定积分

一、与定积分概念有关问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法一、与定积分概念有关问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题

例1.解:因为时,所以利用夹逼准则得

解：原式例2.

解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知利用夹逼准则可知例3.

例4.证明证:令则令得故

例5.求可微函数f(x)使其满足解:两边对