百校联盟数学试题及答案

百校联盟数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[20]分）

1.若实数\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a+b+c=0\)，则下列等式中正确的是：

A.\(a^2+b^2+c^2=0\)

B.\(ab+bc+ca=0\)

C.\(a^3+b^3+c^3=0\)

D.\(a^2+b^2=c^2\)

2.已知\(x^2-5x+6=0\)，则\(x^3-5x^2+6x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

3.在直角坐标系中，点\(A(2,3)\)关于直线\(y=x\)的对称点坐标为：

A.(2,3)

B.(3,2)

C.(-2,-3)

D.(-3,-2)

4.若等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_5=50\)，\(S_8=100\)，则该数列的公差为：

A.2

B.3

C.4

D.5

5.下列函数中，在定义域内单调递增的是：

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=-x^2\)

C.\(f(x)=x^3\)

D.\(f(x)=-x^3\)

二、填空题（每题[5]分，共[20]分）

6.若\(a=3\)，\(b=-2\)，则\(a^2+b^2\)的值为______。

7.在直角坐标系中，点\(P(1,-2)\)到原点\(O\)的距离为______。

8.若等差数列\(\{a_n\}\)的第一项为\(a_1\)，公差为\(d\)，则第\(n\)项\(a_n\)的值为______。

9.函数\(f(x)=2x+1\)在定义域内______（填“单调递增”或“单调递减”）。

10.若\(x^2-4x+3=0\)，则\(x^3-4x^2+3x\)的值为______。

三、解答题（每题[10]分，共[30]分）

11.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_5=50\)，\(S_8=100\)，求该数列的公差和第一项。

12.在直角坐标系中，已知点\(A(2,3)\)和点\(B(4,1)\)，求线段\(AB\)的中点坐标。

13.解方程\(x^2-5x+6=0\)。

14.已知函数\(f(x)=2x+1\)，求\(f(-3)\)的值。

四、解答题（每题[10]分，共[30]分）

15.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_5=50\)，\(S_8=100\)，求该数列的公差和第一项。

16.在直角坐标系中，已知点\(A(2,3)\)和点\(B(4,1)\)，求线段\(AB\)的中点坐标。

17.解方程\(x^2-5x+6=0\)。

18.已知函数\(f(x)=2x+1\)，求\(f(-3)\)的值。

五、应用题（每题[10]分，共[30]分）

19.小明从家出发前往学校，先向东北方向走了3km，然后向东南方向走了4km，最后向正东方向走了5km。求小明家到学校的最短距离。

20.一辆汽车从甲地出发，以60km/h的速度匀速行驶，经过2小时到达乙地。然后以80km/h的速度匀速行驶，经过1小时到达丙地。求汽车从甲地到丙地的总路程。

21.一个长方形的长是8cm，宽是5cm，求长方形的面积和周长。

22.一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，求三角形的面积。

六、简答题（每题[5]分，共[20]分）

23.简述一次函数图像的特点。

24.简述等差数列的性质。

25.简述勾股定理的内容。

26.简述反比例函数的定义。

27.简述三角函数的定义。

试卷答案如下：

一、选择题

1.B.\(ab+bc+ca=0\)

解析思路：根据\(a+b+c=0\)，两边同时乘以\(a\)、\(b\)、\(c\)，得到\(abc+ac^2+b^2c=0\)，由于\(a\)、\(b\)、\(c\)不全为0，可以除以\(abc\)，得到\(1+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}=0\)，即\(ab+bc+ca=0\)。

2.C.2

解析思路：由题意知\(x^2-5x+6=0\)，因此\(x^2=5x-6\)，代入\(x^3-5x^2+6x\)得到\(x(5x-6)-5(5x-6)+6x=5x^2-6x-25x+30+6x=5x^2-25x+30=5(x^2-5x)+30=5(5x-6)+30=25x-30+30=25x=5\times2=10\)。

3.B.(3,2)

解析思路：点\(A(2,3)\)关于直线\(y=x\)的对称点坐标为\((3,2)\)，因为对称点的横坐标和纵坐标互换。

4.C.4

解析思路：根据等差数列的性质，\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)，代入\(S_5=50\)和\(S_8=100\)得到\(5(a_1+a_5)=50\)和\(8(a_1+a_8)=100\)，解得\(a_1=2\)和\(a_5=8\)，因此公差\(d=a_5-a_1=8-2=6\)。

5.C.\(f(x)=x^3\)

解析思路：在定义域内，\(x^3\)是单调递增的，因为导数\(f'(x)=3x^2>0\)。

二、填空题

6.13

解析思路：\(a^2+b^2=3^2+(-2)^2=9+4=13\)。

7.\(5\sqrt{2}\)

解析思路：点\(P(1,-2)\)到原点\(O\)的距离\(OP=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)。

8.\(a_n=a_1+(n-1)d\)

解析思路：等差数列的通项公式为\(a_n=a_1+(n-1)d\)。

9.单调递增

解析思路：函数\(f(x)=2x+1\)的斜率为正，因此函数在定义域内单调递增。

10.3

解析思路：由\(x^2-4x+3=0\)得到\(x^2=4x-3\)，代入\(x^3-4x^2+3x\)得到\(x(4x-3)-4(4x-3)+3x=4x^2-3x-16x+12+3x=4x^2-16x+12=4(x^2-4x)+12=4(4x-3)+12=16x-12+12=16x=4\times3=12\)。

三、解答题

11.公差为2，第一项为2。

解析思路：由\(S_5=50\)和\(S_8=100\)，得到\(5(a_1+a_5)=50\)和\(8(a_1+a_8)=100\)，解得\(a_1=2\)和\(a_5=8\)，因此公差\(d=a_5-a_1=8-2=6\)。

12.中点坐标为\((3,2)\)。

解析思路：中点坐标为两个端点坐标的平均值，即\(\left(\frac{2+4}{2},\frac{3+1}{2}\right)=(3,2)\)。

13.解为\(x=2\)或\(x=3\)。

解析思路：因式分解\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\)，得到\(x=2\)或\(x=3\)。

14.\(f(-3)=-5\)

解析思路：代入函数\(f(x)=2x+1\)，得到\(f(-3)=2(-3)+1=-6+1=-5\)。

四、应用题

19.最短距离为\(5\sqrt{2}\)km。

解析思路：根据勾股定理，最短距离为\(3^2+4^2=9+16=25\)，因此距离为\(5\sqrt{2}\)km。

20.总路程为240km。

解析思路：甲地到乙地距离为\(60\times2=120\)km，乙地到丙地距离为\(80\times1=80\)km，总路程为\(120+80=200\)km。

21.面积为40cm²，周长为26cm。

解析思路：面积\(=8\times5=40\)cm²，周长\(=2\times(8+5)=26\)cm。

22.面积为24cm²。

解析思路：等腰三角形面积公式为\(\frac{1}{2}\times底\times高\)，高为\(\sqrt{8^2-3^2}=\sqrt{64-9}=\sqrt{55}\)，因此面积\(=\frac{1}{2}\times6\times\sqrt{55}=24\)cm²。

五、简答题

23.一次函数图像是一条直线，斜率不为零时，图像斜率表示函数的增减趋势，截距表示函数图像与\(y\)轴的交点。

24.等差数列的性质包括：通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d