专题7.6 复数全章八大压轴题型归纳(拔尖篇)(人教A版2019必修第二册)_第1页
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专题7.6复数全章八大压轴题型归纳(拔尖篇)【人教A版(2019)】题型1题型1复数的相等1.(2024高一·全国·专题练习)已知复数z1=a+2b+a−bi,A.-1 B.0C.1 D.22.(23-24高三上·陕西延安·期中)已知a,b∈R,复数z1=−1+ai,z2=b−3i(i为虚数单位),若A.1 B.2 C.-2 D.-43.(24-25高一下·全国·课堂例题)求满足下列条件的实数x,y的值:(1)x−2y−(2)(x+y−3)+(x−y−2)i(3)x+y+4i(4)x24.(23-24高一下·河北·期末)已知复数z1=4−m2+(m−2)i,(1)若z1为纯虚数,求m(2)若z1=z题型2题型2复数的模的几何意义1.(23-24高一下·河南郑州·期中)已知复数z满足z+3i=z−i,则A.1 B.3 C.3 D.52.(24-25高二上·广西·阶段练习)设z∈C,满足2≤z+i≤3,其在复平面对应的点为Z,求点A.1 B.5 C.π D.53.(2024高一下·全国·专题练习)当复数z满足下列条件时,复数z在复平面内的对应点Z的集合是什么图形?(1)z=2(2)2<z4.(24-25高一·全国·单元测试)已知复数z满足|z+2−2i|=2,且复数z在复平面内的对应点为(1)确定点M的集合构成图形的形状;(2)求|z−1+2i题型3题型3复数加、减法的几何意义的应用1.(24-25高一下·河南郑州·阶段练习)复数6+5i与−3+4i分别表示向量OA与OB,则表示向量BA的复数为(A.3+9i B.2+8i C.−9−i2.(2024·贵州六盘水·一模)在复平面内,O为原点,四边形OABC是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对应的复数分别为z1,z2,z3,若z1=1, z3=−2+A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i3.(23-24高一下·四川成都·期中)如图所示,平行四边形OABC,顶点O,A,C分别表示0,4+3i(1)对角线CA所表示的复数;(2)求B点对应的复数.4.(24-25高一·全国·课后作业)已知平行四边形ABCD中,AB与AC对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于P点.(1)求AD对应的复数;(2)求DB对应的复数;(3)求△APB的面积.题型4题型4根据复数的四则运算结果求复数特征1.(24-25高一下·安徽安庆·阶段练习)已知复数z满足1+zi1−i=1+2iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(23-24高一下·湖南邵阳·期末)实数m>1时,复数m3+i−A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.(23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习)已知z是复数,z+2i和z1−i均为实数,z(1)求复数z的共轭复数z;(2)若复数z1在复平面内对应的点在第一象限,求实数m4.(23-24高一下·山东聊城·期中)已知复数z1,z2在复平面上对应的点分别为0,−2,(1)若z=z2z(2)若复数z1+az题型5题型5复数范围内方程的根的问题1.(24-25高一下·河南·阶段练习)已知复数α满足2−iα=3−4i,β=m−i,m>0,若α+β是关于x的方程A.5 B.6 C.7 D.82.(2024·浙江杭州·模拟预测)已知方程x2+ix+1=0(其中i为虚数单位)的两根分别为z1A.z12=z22>0 B.3.(23-24高一下·四川成都·期末)已知复数z=a+2+(a2+a−2)i,其中(1)若在复平面内复数z位于第二象限,求实数a的取值范围;(2)当a=−1时,z是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根,求z和4.(23-24高一下·上海杨浦·期中)已知关于x的实系数一元二次方程x2(1)若复数z是该方程的一个虚根,且z+z=4−2(2)记方程的两根为x1和x2,若x1题型6题型6三角表示下复数的乘方与开方1.(23-24高二下·江苏无锡·期中)棣莫弗公式(cosx+isinx)nA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(23-24高二下·广东佛山·期末)在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)对应向量为OZ(O为坐标原点),设|OZ|=r,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转所得的角为θ,则z=r(cosθ+isinθ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=rA.1024−10243iB.−1024+10243iC.512−5123.(24-25高一上·上海·课堂例题)计算:(1)2cos(2)(34.(23-24高一下·山东青岛·期末)高中教材必修第二册选学内容中指出:设复数z=a+bi对应复平面内的点Z,设∠XOZ=θ,OZ=r,则任何一个复数z=a+bi都可以表示成:z=rcosθ+isinθ的形式,这种形式叫做复数三角形式,其中r是复数z的模,θ称为复数z的辐角,若0≤θ<2π,则θ称为复数z的辐角主值,记为argz.复数有以下三角形式的运算法则:若(1)求复数z=1+cosθ+isin(2)设n≤2024,n∈N,若存在θ∈R满足sinθ+题型7题型7复数乘、除运算的几何意义的应用1.(23-24高一下·湖北武汉·期中)设复数z1,z2对应的向量分别为OZ1,OZ2,O为坐标原点,且z1=−A.1−3i B.−1+3i C.2.(23-24高一下·江苏南京·期末)在复平面内,常把复数z=a+bia,b∈R和向量OZ进行一一对应.现把与复数2+i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90A.1−2i B.−1−2i C.1+2i3.(23-24高一·上海·课堂例题)设复数−3−4i在复平面上所对应的向量是OZ,将OZ绕原点O顺时针旋转810°得到向量OZ′4.(23-24高一下·四川内江·期末)复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受.材料:形如z=a+bia,b∈R的数称为复数的代数形式.而任何一个复数z=a+bi都可以表示成rcosθ+isinθ的形式,即a=rcosθb=rsinθ,其中r为复数z的模,θ叫做复数z的辐角,我们规定0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,记作argz.复数z=rcosθ+isinθ叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出,若OZ请根据所学知识,回答下列问题:(1)试将z=1−3(2)设复数z1=2a−3i,z2=2b+i,z3=a+bi,且z3=1.若复数(3)已知单位圆以坐标原点O为圆心,点A为该圆上一动点(纵坐标大于0),点P2,0,以PA为边作等边△PAQ,且Q在AP上方.求线段OQ题型8题型8复数综合1.(23-24高一下·上海·阶段练习)已知i为虚数单位,复数z满足z=1.则z+1z−i取最大值时,在复平面上以z对应的点,A.等边三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形2.(23-24高二下·浙江台州·期末)设f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0(a0,a1,a2,a3A.1 B.−1 C.2 D.−23.(23-24高一下·湖南长沙·期末)任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式,即z=a+bi=rcosθ+isinθ,其中i为虚数单位,r=z=a(1)试将z=3−3(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式:sin3θ=3(3)计算:cos44.(23-24高一下·湖北武汉·期中)我们把a0+a1x+a2

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