二次函数的图像与性质【十大题型】（原卷版）

专题15二次函数的图像与性质【十大题型】

►题型梳理

【题型1根据二次函数解析式判断其性质】......................................................3

【题型2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】...................................................4

【题型3二次函数平移变换问题】...............................................................5

【题型4根据二次函数的对称性求字母的取值范围】..............................................6

【题型5根据二次函数的性质求最值】..........................................................6

【题型6根据二次函数的最值求字母的取值范围】................................................7

【题型7根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】.......................................7

【题型8根据二次函数的增减性求字母的取值范围】..............................................8

【题型9二次函数图象与各项系数符号】........................................................8

【题型10二次函数与三角形相结合的应用方法】.................................................10

►举一反三

【知识点二次函数的图像与性质】

1.定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常数，的函数叫做二次函数。其中x是自变量，ab.c分别是

函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。

二次函数解析式的表示方法

(1)一般式：y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，aWO)；

(2)顶点式：y=a(x—ZzF+HaWO),

它直接显示二次函数的顶点坐标是(〃，肩;

(3)交点式：y=a(x—xi)(x—X2)(aW0),

其中Xl,X2是图象与x轴交点的慢坐拉.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的

这三种形式可以互化.

2.二次函数的图象是一条抛物线。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，

抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大。

y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-/?)2+ky=ax2+bx+c

b

对称轴y轴y轴x=hx=hx=------

2a

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(b4ac-b2

(0.0)(0,k)(h,0)(h,k)

[2a'4QJ

顶点a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大

4ac—

值。最小值（或最大值）为0（k或配°）O

4a

x<o（h或-2）时，y随x的增大而减小；x>o（h或-2）时，y随x的增大而增大。

a>02a2a

增

即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。

减

x<0。或-■时，y随x的增大而增大；x>O（h或-■^-）时，y随x的增大而减小。

性a<02a2a

即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。

3.二次函数的平移：

方法一：在原有函数的基础上“〃值正右移，负左移；左值正上移，负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”.

任意抛物线y=a（x-hV+k可以由抛物线v=ax2经过平移得到，具体平移方法如下:

上加下减

次

尸y=ax'+k

回

回

比

立(

一k

V

丫0

)0)

，

W9，MW

M&

。M

A

^<比

:O

M)0M)

卡

卡

翦

要

h-h

_-

4

^4

匹®

y=a(x-h/y=a(x-h^+k

向上伊>0）、下依V0）平移心小单位

方法二：

=ax?+Z?x+c沿y轴平移:向上（下）平移加个单位，y=ax'+bx+c

y=ax2+bx+c+m=ax2+bx+c-m）

⑵y=ax?+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移加个单位，y=ax2+bx+c

y=a（x+m）2+b（x+m）+c（或y=a（x-m）2+b（x—加）+c）

4.二次函数的图象与各项系数之间的关系

决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，河的大小决定开口的大小.

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2.6的符号的判定：对称轴x=-2在歹轴左边则。6>0,在歹轴的右侧则。6<0,概括的说就是“左同

2a

右异”

3.C决定了抛物线与>轴交点的位置

字母的符号图象的特征

a>0开口向上

a

a<0开口向下

b=0对称轴为7轴

bab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧

ab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧

c=0经过原点

cc>0与y轴正半轴相交

cVO与j轴负半轴相交

5.二次函数与一元二次方程之间的关系

当b2—4ac<0时

1'当.>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0；

2'当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0.

【题型1根据二次函数解析式判断其性质】

【例1】（2023•四川甘孜・统考中考真题）下列关于二次函数y=（久-2）2-3的说法正确的是（）

A.图象是一条开口向下的抛物线B.图象与无轴没有交点

C.当x<2时，y随比增大而增大D.图象的顶点坐标是（2,-3）

【变式1-1］（2023•四川乐山•统考模拟预测）二次函数y=-/—i的图象是一条抛物线，下列关于该抛物

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线的说法正确的是（）

A.开口向上B.当x=0时，函数的最大值是一1

C.对称轴是直线x=lD.抛物线与x轴有两个交点

【变式1-2]（2023•广东江门•鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=/+2x-8,下列说法正

确的是（）

A.图象的对称轴在〉轴的右侧

B.图象与y轴的交点坐标为（0,-9）

C.图象与x轴的交点坐标为（一2,0）和（4,0）

D.y的最小值为一9

【变式1-3]（2023•福建宁德•校考模拟预测）已知抛物线y=mN一4znx过点401，旷1）,8（%2，丫2），。（巧，乃），

其中为=-4小，以下结论正确的是（）

A.若%一切W%一切，则y22y32ylB.若山一刈2I久3—小1，则y22y32yl

C.若乃<乃〈为，则忱1一切<忱2-冷1D.若、1<乃3为，则忱1一町1>I久2一久31

【题型2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】

[例2]（2023•湖南•统考中考真题）已知PiQi，yi）,P2（比2，丫2）是抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a片0）

上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线％=-2；②点（0,3）在抛物线上；③若

X1>%2>-2,则乃>为；④若为=丫2，则久1+久2=-2其中，正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2-1]（2023•内蒙古呼和浩特•统考中考真题）关于x的二次函数y=Tn/一6m久一5（m力0）的结论

①对于任意实数a,都有巧=3+a对应的函数值与“2=3-a对应的函数值相等.

②若图象过点4（久1，%），点8（孙丫2），点。（2,-13）,则当乂1>刀2>机寸，*胃'<0・

③若3WXW6,对应的y的整数值有4个，则—[<mW—g或gW根</

④当>0且?iWxW3时，-14WyWn2+i,则n=1.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2-2]（2023•广东惠州・统考一模）二次函数丫=a/+6久+©的图象如图所示，有下列结论：

①abc〉0；②4a+2b+c<0；（3）a+b>x（ax+b）；④3a+c>0.

其中正确的有（）

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A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式2-3］（2023•辽宁丹东•统考中考真题）抛物线y=a/+b久+c（a力0）与x轴的一个交点为4一3,0）,

与y轴交于点C,点。是抛物线的顶点，对称轴为直线x=-1,其部分图象如图所示，则以下4个结论：

（l）abc>0；②/红为），打冷，）^）是抛物线丫=a/+bx（aK0）上的两个点，若打<X2，且久1+%2<-2,

则为<力；③在久轴上有一动点P，当PC+P。的值最小时，则点P的坐标为④若关于x的方程

a/+6Q-2）+c=-4（a力0）无实数根，则6的取值范围是6<1.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型3二次函数平移变换问题】

【例3】（2023•四川南充•统考中考真题）若点P（m,n）在抛物线y=a/（a丰0）上，则下列各点在抛物线y=

a（x+I,上的是（）

A.（m,n+1）B.（m+1,n）C.（m,n—1）D.（m—1,n）

【变式3-1］（2023•贵州黔东南•统考中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y=/+2x-1先绕原点

旋转180。，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是.

【变式3-2］（2023•黑龙江牡丹江•统考中考真题）将抛物线y=（久+3）2向下平移1个单位长度，再向右平

移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点.

【变式3-3］（2023・四川巴中・统考中考真题）函数y=\ax2+bx+c|（a>0,b2-4ac>0）的图象是由函数

y=a/+b久+c（a>0,万2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，

则下列结论正确的是（）

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①2a+b=0；②c=3；（3）abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点.

A,①②B.①③C.②③④D.①③④

【题型4根据二次函数的对称性求字母的取值范围】

［例4］（2023•浙江杭州•一模）点力Oi，yD，在抛物线V=ax2-2ax-3（a丰0）上，存在正数m,

使得一2<<0且TH<町<爪+1时，都有yi大丫2，则小的取值范围是（）

A.1<m<4B.2<m<4

C.0VTH41或mN4D.1<m42或?7124

【变式4-1］（2023•浙江・统考一模）已知二次函数y=/一4%+2,关于该函数在a<%<3的取值范围内

有最大值-1,a可能为（）

A.-2B.-1C.0.5D.1.5

【变式4-2］（2023・江苏・中考真题）已知二次函数y=Q%2+b%—3自变量％的部分取值和对应函数值歹如

下表：则在实数范围内能使得y-5>0成立的x取值范围是.

X-2-10123

y50-3-4-30

【变式4-3］（2023•浙江杭州•杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数

图象的表达式为y=ax2+（a+l）x+b,其中a—6=4.

⑴若此函数图象过点（1,3）,求这个二次函数的表达式.

（2）若Qi，yi）、（%2，、2）为此二次函数图象上两个不同点，当打+%2=2时，、1=丫2，求。的值.

⑶若点（-1,。在此二次函数图象上，且当久之一1时〉随工的增大而增大，求，的范围.

【题型5根据二次函数的性质求最值】

【例5】（2023•安徽六安•统考一模）若aZ0,/?>0,且2a+b=2,2a2一4b的最小值为冽，最大值为〃,

则m+71=()

A.-14B.-6C.-8D.2

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【变式5-1］（2023•广东梅州•统考二模）已知实数a10,b>0,且a+b=4,记代数式w=〃+防+〃,

记W1，W2分别为代数式W的最大值与最小值，则W1-W2的值为.

【变式5-2］（2023•河北保定•统考模拟预测）对于二次函数y=-（久一m）2+1,已知根>3,当一1W%W3

时，有下列说法：

①若y的最大值为-8,则m=4；

②若了的最小值为一8,则m=6；

③若m=5,则y的最大值为一3.

则上达说法（）

A.只有①正确B.只有②正确C.只有③正确D.均不正确

【变式5-3］（2023•江苏南通・南通田家炳中学校考模拟预测）在直角坐标系中，二次函数）/=62+版+

c（a<0）的图像过（m,6）,（m+1,a）两点.当62a,m<0时，二次函数图象y=a/+成+c有最大值一2,a

的最大值是.

【题型6根据二次函数的最值求字母的取值范围】

［例6］（2023,浙江绍兴•校联考三模）二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点（1,0）,（2,3）,在aW久W6范

围内有最大值为4,最小值为-5,则a的取值范围是（）

A.a>6B.3<a<6C.0<a<3D.a<0

【变式6-1］（2023•福建厦门•统考一模）已知二次函数y=—/+2a久+a+l,若对于一1（为<a范围内

的任意自变量刈都有y〉a+l,贝必的取值范围是.

【变式6-2］（2023•浙江杭州•统考一模）已知抛物线为=/,该抛物线经过平移得到新抛物线力,新抛物

线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，若点P（l,p）,Q（2,q）在抛物线丫2的图象上，贝1JPQ

的范围是（）

A.0<PQ<1B.1<PQ<2C.1<PQ<V2D.42<PQ<2

【变式6-3］（2023•内蒙古呼和浩特・统考二模）对于二次函数y=/-4x+3,图象的对称轴为,

当自变量x满足aWxW3时，函数值了的取值范围为-10,则。的取值范围为.

【题型7根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】

【例7】（2023•浙江金华・统考一模）已知二次函数yx2+bx+5的图象经过点（1,0）,则当2WxW6时，

y的取值范围是（）

A.-5<y<5B.-4<y<5C.-3<y<5D.0<y<5

【变式7-1］（2023•陕西西安・陕西师大附中校考模拟预测）已知二次函数丫=。%2+6刀+的函数夕与自变

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量X的部分对应值如下表所示:

X-1013

y-2366

当0V%<4时，y的取值范围是（）

A.3<y<6B.3<y<7C.y<7D.y>3

【变式7-2］（2023•河南南阳・统考一模）已知二次函数y=-2%2+4%+3,当一时，》的取值范

围是（）

A.y<5B.y<3C.-3<y<3D.-3<y<5

【变式7-3】（2023•浙江杭州•统考二模）已知y=2/一4x+1,且产”=2m—3,其中7n33,n>-3,

V2x—n—m

则y的取值范围（）

A.-1<y<17B.1<y<17C.-1<y<8D.-1<y<1

【题型8根据二次函数的增减性求字母的取值范围】

【例8】（2023•四川泸州•二模）已知函数/（%）=必—2。%+7,当工43时，函数值随x增大而减小，且对

任意的144a+2和14&工。+2,%i，相相应的函数值丫1，总满足Wi-丫2149,则实数。的取

值范围是（）

A.-3<a<4B.-2<a<4C.-3<a<3D.3<a<4

【变式8-1］（2023・上海长宁・统考一模）如果抛物线y=（3-冽）/-3有最高点，那么m的取值范围是.

【变式8・2】（2023・四川泸州・统考——模）已知y=ax2+2ax+2a2+3二次函数（其中％是自变量），当％>2

时，y随％的增大而减小，且-时，y的最大值为9,贝!Ja的值为（）

A.2或—B.-V2C.—D.1

22

【变式8-3］（2023•浙江杭州•统考三模）已知二次函数尸；（s-小2+«-6）x+l,当1W2时，y随x的增大

而减小，则4的最大为（）

49

A.4B.6C.8D.—

4

【题型9二次函数图象与各项系数符号】

【例9】（2023•安徽合肥・统考模拟预测）已知二次函数y=a/g丰0）和一次函数y=bx+c（b力0）的图象

如图所示，则函数y=a/+b久一c的图象可能是（）

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【变式9-1]（2023•安徽•模拟预测）已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=/勺图象在第二象限有两个

交点，且其中一个交点的横坐标为-1,则二次函数y=ax2+/）久一c的图象可能是（）

【变式9-2X2023•湖南岳阳•统考模拟预测）如图，正方形ABCD边长为4,£、尸、G、〃分别是48、BC、C