充分必要条件的综合考查-2025年北京高考数学二轮复习（解析版）

重难点02：充分必要条件的综合考查

一、知识点梳理

L总方针

①定义法：若pnq,则p是q的充分条件（或q是p的必要条件）；若pnq,且q分p,则p是q的充分不必要

条件（或q是p的必要不充分条件）.

②集合法：利用集合间的包含关系.例如，命题p：xEA,命题q：xEB,若AUB,则p是q的充分条件

（q是p的必要条件）；若AIZIB,则p是q的充分不必要条件（q是p的必要不充分条件）；若人=13,则p是q

的充要条件.

2.充分必要条件涉及知识点1（平面向量）

①向量数量积的坐标表示

（1）已知两个非零向量。=（%，乂），b=（x2,y2）,a-b=xtx2+y^2

（2）设Z=（尤,y）,则㈤2=[+,2或㈤=商+y2

（3）如果表示向量£的有向线段的起点和终点的坐标分别为（占,%）、（x2,y2）,那么

Ici|=小&-x?）~+（M—%）?（平面内两点间的距蜀公式）.

②平面向量平行（共线）的坐标表示

设非零向量2=（占,必）,方=（%,%），则&//方=，即J%,或

[%=&必

玉％一%乂=°•

③三点共线的判断方法

判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知

A（X1,B（X2,y2）,C（x；,y3）,AB=（x2-xlty2-yt）,AC=（x3-xt,y3-yt）,

若（%2—演）（%—y）—（冗3—%）（＞2—8）=°，则A，B,。二点共线.

④向量在几何中的应用

（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件

a/lba=Ab（bw0）o（项,%）=2（%2,^2）

（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件oa=0o玉%+%%=。

（3）求夹角问题，利用cosO=^^=,

⑷•闻不育.西不

（4）求线段的长度，可以利用同=笳或用耳卜-炉+（为FI

3.充分必要条件涉及知识点2（空间线面）

①要证线〃面，条件为3个，其中必有《线•面》

②要证线，面，条件为2个，其中必有《线〃线或面〃面》

③要证线〃线（面〃面），条件为2或3个，其中必有《两个线，面》

④要证线，线（面，面），条件为2个，其中必有《，、〃（u）》

⑤要证线，线（面_L面），条件为3个，其中必有《卜心工、》

、线，面、〃〃

4.充分必要条件涉及知识点3（不等式）

①两个同号实数相加，和的符号不变，符号语言：a>0,b>0na+b>0；a<0,b<0=>a+b<0

②两个同号实数相乘，积是正数，符号语言：a>0,b>0^>ab>0；a<Q,b<Q^ab>0

③两个异号实数相乘，积是负数，符号语言：a>0,b<0^ab<0

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0,符号语言：XG/?^X2>0,%=0O%2=（）.

（1）对称性：QVQ（2）传递性：b>cm>c（3）可力口性：Q>5OQ+C>5+C（C£R）

c>0ac>be

（4）可乘性：a>b,vc=0=>〃c=Ac（5）可加法则：a>b,c>d^>a+c>b+d.

c<0^=>ac<be

(6)可乘法贝！J：a>b>0,c>d>0^a-c>b-d>0(7)可乘方性：a>b>b,neN*=a">bn>0

11

/c、2,广，a+b,a?+/..a+b.2a-vb.„.~

(8)-——-<yjab<——<J——-——(Q>0/>0)或a。W(——)<——-——(a>0,Z?>0)

ab

5.充分必要条件涉及知识点4(数列)

(1)等差数列中，公差为d,则

①若W，P，9EN*,且m+〃二夕+4，则%i+%=〃p+4，特别地，当m+〃=2p时金+%=2羯.

②下标成公差为根的等差数列的项4,%+小a-小…组成的新数列仍为等差数列，公差为那・

2/14

③若数列也｝也为等差数列，则｛。“±%｝，｛kan±b｝,（k,6为非零常数）也是等差数列.

（4）%+%+%,+。5+“6,。7+。8+。9，.............仍是等差列.

⑤数列｛%%+"（九6为非零常数）也是等差数列.

（2）设等比数列｛4｝的公比为q

①I若m,n,p,qeN,,.1.m+n=p+q,则4，4,=・4，特别地，当〃z+"=2p时耳,•%=a；.

②下标成等差数列且公差为机的项做，ak+m,q+2,“，…组成的新数列仍为等比数列，公比为小.

③若仅“｝,｛a｝是项数相同的等比数列，则｛〃,“｝、｛。9）、｛她｝（左是常数且左/0）、｛—｝>｛琛｝（7〃eN+,

a„

，〃是常数）、｛““•/｝、｛%｝也是等比数列；

b„

④连续七项和（不为零）仍是等比数列.即%S2k-Sk,S3「邑&，…成等比数列.

6.充分必要条件涉及知识点5（直线与圆）

已知4:\x+与丫+C]=0,l2:+B2y+C2=0

6_L4oA4+B[B2=0

/"//2oA与—4妫=o且AC2-4C产o或4C2-22C产o，记忆式（4L=竺力9）

4B2C2

4与6重合，462—44=0，4G—4ci=。，4G—32cl=。

7.充分必要条件涉及知识点6（常规不等式）

1.一元二次不等式

一元二次不等式+/?%+c>0（〃w0）,其中A=〃-4ac,x1,x2是方程+/?%+<?>Q（aw0）的两个

根，且玉<々

（1）当〃>。时，二次函数图象开口向上.（2）①若△>（）,解集为｛%|1>%2或^<%｝,

②若A=0,解集为且xw—（1.③若A<0,解集为H.

（2）当。<0时，二次函数图象开口向下.①若A>0,解集为｛%|不<%<9｝②若AW。，解集为。

2、分式不等式

(1)^^〉O=/(x)・g(x)〉O(2)^^<0o/(x)・g(x)<0(3)之Oo</(x).^(x)>0

g(x)g(x)g(x)g(x)丰0

dooV(x)・g(x)W0

(4)

g(x)g(x)丰0

3、绝对值不等式

(1)|/(x)|>|g(x)|o"(x)]2>[g(x)/⑵|/(x)|>g(x)(g(x)>。)o/(x)>g(x)或f(x)<—g(x)；

|/U)|<g(x)(g(x)>0)o-g(x)</(x)<g(x);

8.充分必要条件涉及知识点7(三角函数)

(1)平方关系：sin2«+cos2a=l.

(2)商数关系：si"=tana(a一生+一万)；

COSCT2

(3)奇变偶不变，符号看象限，说明：(1)先将诱导三角函数式中的角统一写作九•二±a；(2)无论有多大，

2

一律视为锐角，判断〃•工土a所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；(3)当〃为奇数是，“奇

2

变”，正变余，余变正；当“为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可

(4)两角和与差的正余弦与正切

3n

①sin(a±6)=sinacos/3±cosasin/3；②cos(«±£)=cosacos尸干sinasin力；③tan(a±/?)='"-'皿'

1+tanortan/3

(5)二倍角公式

①sin2a=2sincrcosa；②cos2a=cos2a-sin2a=2cos26r-l=l-2sin2a；③tan2a="皿：；

1-tana

/一、八为.1.入•21-cos2a21+cos2a

(6)降次(累)公式：sinacosa=—sm2a;sina=--------------;cosa-----------------;

222

二、题型精讲精练

【题型训练-刷模拟】

1.已知向量M=(x+1,-1),b=(x,2),则()

A."％=-2”是“1/区”的充分条件B.“x=l”是“益1户的充分条件

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2

C.“x=-2”是“1/5”的必要条件D.“x=i”是“万〃方”的必要条件

【答案】B

【分析】由向量平行和垂直的条件计算即可.

2

【详解】若@//方，贝iJ2(x+l)+x=0,解得彳=一(；

若&，贝i]x(x+l)-2=0,解得尤=1或x=-2；

所以ACD错误，B正确.

故选：B.

2.已知P：x2-x<0,那么命题P的一个充分不必要条件是()

121

A.0<x<1B.—1<x<1C.—<x<—D.—<x<2

232

【答案】C

【分析】首先解不等式，一元<0,得到不等式的解，利用集合之间的关系判断充分必要性，得到结果.

【详解】••,x2-x<0,•"：0cx<1,运用集合的知识易知，

A中0<x<l是P的充要条件；

B中-1<尤<1是P的必要不充分条件；

C中:<x<《是°的充分必要条件条件；

D中g<尤<2是P的既不充分也不必要条件.

故选：C.

3.已知“，6都是实数，则?"是“a>"0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】通过举反例可以证明充分性不成立，再利用重要不等式可以证明必要性

【详解】取。=1,b=-l,止匕时匕曰=0,『+(T?二i，

满足"2<归运，止匕时。>6>0不成立;

2V2

当1>人>0时，因为々2+/>2曲,

所以2(/+灯>(0+6)2,

所以“2+”>("+“',所以FZE>1.+琦=a+b

24V2V42

综上，“等<J巴丁”是>6>0”的必要不充分条件.

故选：B.

b

4.匕>0"是“a-b>ln-"的()

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据不等式的性质，对数函数的性质结合充分不必要的定义即可判断.

b

【详角军】由。>人>。，得。一人>0,0<—<1,

a

bb

则In—<0,从而.

aa

b

取1=-1,〃=一2,满足〃—b〉ln—,不满足a>Z?>0.

a

b

故“。>b>0"是“。In—”的充分不必要条件.

a

故选：A.

5.设aeR,则“a=-1"是"直线L：x+y-2a=0与直线4：-2)x-y+2=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据直线平行求得a=-1,结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为贝也2)=lx(-l),解得q=±i,

若。=-1,则//x+y+2=0,4：x+y-2=0,两直线平行，符合题意;

6/14

若。=1,则/[：x+y-2=0,/2：x+y-2=0,两直线重合，不符合题意;

综上所述：♦〃册等价于。=-1.

所以“a=-1”是“直线/1：尤+y-2a=0与直线4：(〃-2卜-y+2=0平行，，的充要条件.

故选：C.

6.“x>3”是，k-1>2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出绝对值不等式的解，由充分、必要条件概念得解.

【详解】由忖-[>2,得x>3或x<-L,

故“x>3”是“|尤-1|>2”的充分不必要条件.

故选：A

7.已知实数则“此〉弧'是“c>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】实数。>>，则a-6>0,

当即>历时，ac-bc=c(a-b)>0,因止匕。>0,

当c>0时，而〃>人，则以>>£?(?,

所以“欧Abe”是“c>0”的充要条件.

故选：C

8.已知a,beR,贝!l“a=6=0"是(：)"=(；)”成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合对数运算判断即可.

【详解】若a=6=0,则（；）"=1=（乎，

反之，取6=l,a=log4,（；）“=（；产”=:=《）〃，即§）“=《）〃成立，不能推出a=6=o,

所以"°=6=0”是（夕=（乎成立的充分不必要条件.

故选：A

TT

9.已知xeR,贝!|“5苗5+/）=1”是"5由尤=0''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合诱导公式及同角公式判断得解.

【详解】由sin（x+,）=l,得cosx=l,而sin2%+cos2«x=l,贝"sin尤=0；

兀

当sinx=0时，由sin2%+cos2X=l,解得cosx=±l,则sinO+5）=±1,

JT

所以“sin（x+5）=1”是“sin%=0”的充分不必要条件.

故选：A

10.设xeR,则小一2|>3”是“炉一5工一6>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的定义判断即可.

【详解】因为|x-2]>3,所以彳-2<-3或彳-2>3,解得或x>5,

所以不等式|x-2]>3的解集为｛x|x<-l或x>5｝；

因为尤2—5x—6>0,所以（x-6）（x+l）>。，解得尤<—1或x>6,

所以不等式/一5彳一6>0的解集为口|》<-1或尤>6｝；

因为｛x|尤<一1或x>6｝是｛x|无<-1或x>5｝的真子集，

所以5-2|>3”是-5x-6>0”的必要不充分条件.

故选：B.

8/14

ii.若p：i<x<2,q：2x>i,则p是q的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

【答案】B

【分析】分析由P能否推出4，由4能否推出P,结合充分条件与必要条件的定义判断结论.

【详解】因为由xe{x[l<x<2}可推出xw{x|2x>l},

所以故P是4的充分条件，

由xe{x|2x>l}不能推出xe{x[l<x<2},

所以44P，。不是4的必要条件，

所以P是4的充分不必要条件.

故选:B.

12.是“工>4”的()

4m

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义研究条件的充分性和必要性.

111_L<_L=41

【详解】若一>4,假设加则由m可知加一1一，矛盾，所以加<:，这表明条件是必要的;

m44-4

4

对加=-1,有〃7=-1<2，—=-7=-1^4,这表明条件不是充分的.

4w-1

11

所以“加〈丁'是“一>4”的必要不充分条件.

4m

故选：B.

13.对于任意实数。，b,>2.6”是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】赋值法可知""+匕2>2a6"是"a?>户”的不充分条件,由42>户，所以从而可得a?+b2>2ab>

可得结论.

【详解】当a=2,8=3时，满足/+加>2a6成立，但不满足/成立，

所以“小+〃>2"”是“。2>片”的不充分条件，

因为。2>万2,所以Xa2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以片+^立必，

所以“/+从>2必，是>/,，的必要条件,

所以“标+廿>2"”是“/>〃”的必要不充分条件.

故选：B.

14.设aeR,则''111&=£：0$0：”是'飞11120：=1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据Sil?0+cos?e=l以及倍角公式，结合充要条件分析判断即可.

【详解】因为sin?cr+cos?c=1,

则sina=cos<z,等价于(sina-costz)~=sin2tz+cos2tz-2sin«cosa=1-sin2(z=0,

等价于sin2ar=l,所以“sina=cosar"是"sin2tz=l”的充要条件.

故选：C.

15.已知集合4={尤卜2+2》<3},3={电+%<3},则“xeA”是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求得集合A,8,可得结论.

【详解】由尤2+2X<3,可得一3<X<1,所以A={x卜3Vx<1},

因为/(x)=2'+x在R上单调递增，又/(1)=3,

由2，+x<3,可得x<l,所以B={x|x<l},所以Au5,

所以“xeA”是“尤e夕’的充分不必要条件.

故选：A.

16.设尤,yeR,贝!T^+l=x+y”的充要条件为()

A,为'至少有一个为1B.x，>都为1

C.x,y都不为1D.%2+y2=2

10/14

【答案】A

【分析】将孙+i=x+y化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案.

【详解】由移+i=x+y,贝15一1）（〉一1）=。，可得x=i或y=i,即苍y至少有一个为1,

所以“孙+l=x+y”的充要条件为x,y至少有一个为1,故只有A符合，其它选项均不符.

故选：A

17.“x>2024”是“白<^—”的()

x2024

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【分析】由不等式的性质分析即可求得.

卜康，故充分性成立;

【详解】若x>2024,则由不等式的性质知,

11112024-r

若上（焉，贝I，-去7<°，即々；<0，解得尤<。或%>2024,故必要性不成立;

x2024x20242024.x

所以“x>2024”是"工<±”的充分不必要条件.

x2024

故选：A.

4

18.对于实数x,“xw2”是“1+->4”成立的（）

x

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】去绝对值符号后由分式不等式的解法求出即可；

44

【详解】不等式等价于x+—〉4或x+—<-4,

XX

4丫2-4丫-|-4/x7

当％+—〉4时，即X今…>0,即］（%—2了>0,解得X>0且XW2；

XX

当x+±<-4时，即厂+4尤+4<o,即%（了+2）2<0,解得彳<0且XH—2；

XX

所以不等式的解集为{X|XH0,且XH±2},

4

所以“xw2”是“％+—>4”成立的必要而不充分条件，

x

故选：B.

1T

19.已知xeR,贝『(=5+%兀(keZ)”是“cosx=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分必要条件的定义判断.

兀71

【详解】COS%=0=X=24兀±—O%=EdGZ,

22

故选：C.

20.若向量。=（2x,l）,B=（尤-1,炉），则“z是"x=|■"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先证明充分性，然后构造反例说明条件不是必要的.

【详解】当工=，时，=2尤（无一1）+Y=2xgx［g-"+（g：=0,所以日,5,故条件是必要的.

当x=0时，有但此时洒B=2X（X-1）+X2=0+0=0,故万_1_日，所以条件不是充分的.

故选：B.

21.已知平面向量4=（1,2）,5=（加,-1）,则“加＜2”是“苕与5的夹角为钝角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】若a与B的夹角为钝角，则商啰＜0且苕与万不共线，结合向量的坐标运算求得加得取值范围，再

根据包含关系分析充分、必要条件.

【详解】若方与5的夹角为钝角，则苕出＜0且方与日不共线，

,（m—2＜0,1

可得］,解得