导数与零点问题（学生版）-2024年高考数学一轮复习突破卷（新高考）

专题突破卷07导数与零点问题

讨论零点的个数

已知零点个数求参数

证明零点个数

存在零点求参数

与三角函数有关的零点

隐零点问题

1.讨论零点的个数

1.(2023春•广东江门•高二统考期末)已知函数"x)=ae2，+(a-2)e'-x,其中aZl.

(1)若a=l,求的单调区间；

(2)讨论函数〃x)的零点个数.

2.己知函数/'(x)=ox-lnr-2.

⑴当。=1时，求函数/(X)的极值;

(2)讨论函数/'(x)的零点个数.

3.已知函数〃力=加+而，在点(1J⑴)处的切线方程是尸-3.

⑴求。，6的值；

⑵设函数g(x)=eR),讨论函数g(x)的零点个数.

3

4.(多选)已知函数/(》)=/+》+-eR),则()

A.x=l是〃x)的极值点B./⑴是〃x)的最小值

C.〃龙)最多有2个零点D.〃x)最少有1个零点

5.已知函数/(x)=e*-亦+a,aeR

⑴讨论函数〃x)的单调性；

(2)讨论函数/(x)的零点个数.

6.已知函数/(x)=lnx+5ax2-(a+l)x,aeR.

(1)讨论/(x)零点的个数；

(2)当a>1时，若存在网,々户3(再<<%<丫3),使得/(』)=/(%2)=/(%),求证：一<再+招+演<3.

a

2.已知零点个数求参数

7.已知函数〃x)=2/+4x—,若函数/(X)的图象与曲线y=5/有三个交点，贝〃的取值范围是______.

/、ex-ax,x>0,

8.己知函数〃X)=2(,(e为自然对数的底数，aGR)有3个不同的零点，则实数a的

_x_(Q+2)x+l,x<0n,

取值范围是()

A/I)B.。,+8)

C.(e2,+oo)D.(e,+<»)

x-Inx,x>0

9.已知函数/(x)=11八

若y=/(x)-息恰有两个零点，则左的取值范围为()

x+—,x<0,

、x

B-IT

A-

c-卜+:卜［1+泊D.]l—：,l]u(l,+oo)

10.已知函数〃x)=e'-2qx-e+1.

⑴若〃=2,求/(x)的最小值；

(2)若/(x)的图象与直线V=F在区间(0,1)上有两个不同交点，求。的取值范围.

参考数据：Ve®1.65.

11.已知函数〃无)=ln尤-af+i,0eR.

⑴求〃x)的单调区间；

(2)若/'(尤)有两个零点，求。的取值范围.

12.已知函数/(x)=eZ'-ox-l(aeR).

(1)当。＞0时，求/(x)的单调区间；

⑵若〃x)＞0对xe(O,+⑹恒成立，求a的取值范围；

(3)证明：若〃x)在区间(0,+8)上存在唯一零点%,则/＜。-2.

3.证明零点个数

13.已知函数/(x)=x3-5x+3.

(1)求/(x)的单调区间：

(2)求证：/*)在区间(2,+co)上有且仅有一个零点.

14.己知函数〃x)=e7x-l)2.

(1)若a=l,求在(0,〃0))处切线方程；

(2)求〃x)的极大值与极小值；

(3)证明：存在实数当”>0时，函数>=有三个零点.

15.(2023春•广东广州•高二统考期末)已知函数"x)=e2，,g(x)=2加e：

⑴若函数〃(x)与g(x)的图象有一条斜率为1的公切线，求力的值；

⑵设函数/(x)=〃(x)-g(x)-4加2无，证明：当加时，〃尤)有且仅有两个零点.

16.已知函数/(x)=e'+(a-e2)x,其中awR.

(1)若a=e2-2,求函数/(x)在［0,2］上的最值;

⑵当"0时，证明：尸(x)=/(x)-；/在(o,2)上存在唯一零点.

17.设函数〃x)=(x-l)2e，-冰，若曲线/(X)在x=0处的切线方程为y=-2x+6.

⑴求实数6的值.

(2)证明：函数/(x)有两个零点.

⑶记尸(x)是函数“X)的导数，毛，入2为“X)的两个零点，证明：卜一明

18.已知函数/(x)=(£-l1lnx+》出■(℃!<).

(1)若。=2,求/(x)的单调区间;

⑵若Q〉-1,证明：方程/")=二£仅有1个实根.

4.存在零点求参数

19.若函数，(x)=x-lnx+加有零点，则实数小的取值范围是.

20.已知函数/(x)=e'i+x-2存在零点0,函数g(x)=x?-加x-加-2存在零点6,且卜-〃<2,则实数加

的取值范围是()

A.由+co］B.C.口.

21.若函数/(x)=ln>2m+1有零点，则实数加的取值范围是.

22.(2023春・北京通州•高二统考期中)已知函数/(x)=e*-l.

⑴求〃x)的零点；

(2)设g(x)=/(x)-ax,aeR.

(i)若g(x)在区间(。,+8)上存在零点，求a的取值范围；

(ii)当。>0时，若g(x)在区间［1,2］上的最小值是0,求。的值.

V21

23.已知函数/(x)=Inx-万+qx+5.

(1)若a=0,证明：/(x)V0恒成立.

(2)若/(x)存在零点，求a的取值范围.

5.与三角函数有关的零点

24.函数〃x)=2sinx-x的零点个数为()

A.1B.3C.5D.7

25.已知函数/(x)=lnx+sinx.

⑴求函数在区间［Le］上的最小值；

(2)判断函数〃x)的零点个数，并证明.

26.已知函数/(x)=2cosx+ae*(aeR).

⑴若a=l,求函数〃x)在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)若函数/(x)在区间［0,可内有两个不同的零点，求。的取值范围.

27.已知/(x)=cos2x-sin2x+2sinx+a(aeR).

⑴求函数/(x)的值域;

⑵当时，

①讨论函数/(x)的零点个数；

JT

②若函数/(X)有两个零点X1,入2，证明xt+x2<~.

28.已知函数/'(x)=e*-a尤sinx-尤-l,aeR.

(1)当。=0时，讨论函数/(x)的单调性；

(2)当。=；时，证明：对任意的尤e(O,+s),/(x)>0；

(3)讨论函数〃x)在(0,兀)上零点的个数.

29.已知函数/(x)=sinx+]T-2ax.

(1)当x>0时，证明：f(x)+2ax+l<ex+x-1；

(2)若函数/(%)在(0,兀)上只有一个零点，求实数〃的取值范围.

30.已知函数/(x)=e*-2x.

(1)求证：当xe(O,l)时，xlnx+2x+/(x)>x3；

(2)求函数g(x)=/(x)-co&x在1],+(»)上的零点个数.

6.隐零点问题

31.已知函数其中aeR.

⑴讨论〃x)的单调性；

⑵若ae(O,l),设g(x)=/(x)-/(O),

(i)证明：函数g(x)在区间(0,+功内有唯一的一个零点;

(ii)记(i)中的零点为与,求证：e'。(工+1.

i-a

32.已知函数/'(xbasinx-lnMaeA),其导函数为/(x).

⑴若不等式/’(x)21-！在区间(0谭］上恒成立，求实数a的取值范围：

XI3」

(2)当。=2时，证明：/(X)在区间向上有且只有两个零点.

x

33.已知函数/(x)==-sinx,g(x)为/(%)的导函数.

e

(1)判断函数g(x)在区间(0,1上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由;

⑵求证：函数在区间(-叫兀)上只有两个零点.

34.设函数/(%)=加工2-1+cosx

(1)当〃7=；时，求证：〃x)20

(2)若/(x)有唯一零点，求正实数小的取值范围.

35.已知函数［(x)=xe“-x-lnx-Q,若/(%)在(0,e)存在零点，则实数。值可以是()

1

A.-1B.0C.D.e

e

36.已知函数/(x)=e*-asinx-l在区间[o，Wj内有唯一极值点

(1)求实数。的取值范围；

(2)证明：/0)在区间(0,左)内有唯一零点*2，且X2<2X].

0限时训兜____________________________

1.设函数/(x)=d+亦2+bx+c,则“设>36”是“/(x)有3个零点”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知彳>0,若关于x的方程——Xx+XlnUx)=0存在正零点，则实数力的取值范围为()

(3]B.[1,+co)C.(-8,3]D.艮+co)

ex—x,x<k

3.已知函数/(无)=

x3-x+l,x>k

①若k=0,不等式/(x)<l的解集为；

②若函数g(x)=/(x)-l恰有两个零点，则实数左的取值范围为.

4.给定方程：(|r+sinx-l=0,则下列命题中：

①该方程没有小于0的实数解；

②该方程有无数个实数解；

③该方程在(-%。)内有且只有一个实数解；

④若玉是该方程的实数解，则%>-1.

正确的命题是.

5.已知函数/'(x)=xeT+asinx,e是自然对数的底数，若x=0恰为/⑴的极值点.

(1)求实数。的值；

⑵求/(x)在区间上叱：J上零点的个数.

6.已知函数/(无)=w(lnx-1)-(2-m)x,(m丰0).

(1)讨论/(x)的单调性；

⑵设函数尸(x)=/(x)+2sinx+l,求证:当加=1时，/(x)恰有两个零点.

7.已知函数，(工人：/-!"?①©即在