导数与不等式恒成立九大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题10导数与不等式恒成立九大题型汇总

dan

题型1直接求导型................................................................1

题型2端点赋值法................................................................2

题型3隐零点型..................................................................3

题型4分离参数法................................................................5

题型5分离参数法-洛必达法则....................................................5

题型6构造辅助函数求参..........................................................6

题型7绝对值同构求参............................................................7

题型8函数取“整”型............................................................9

题型9“存在”成立问题.........................................................10

u(1,+00)

(1)求函数f(%)在点处的切线方程；

(2)若g(x)=—标且VxeD,/(幻冷⑴恒成立，求a的取值范围.

【变式1-111.(2023秋•宁夏银川•高三银川一中校考阶段练习)已知函数fQ)=2ln%-1

mx2+l(meR).

⑴当m=1时,证明：/(%)<1;

(2)若关于x的不等式f(久)<(m-2)x恒成立，求整数6的最小值.

【变式1-1]2.(2023秋•陕西西安•高三校联考开学考试)已知函数/(x)=久2—小久也

x+1,nieR且m40.

(1)当小=1时，求曲线y=f(x)在点(1/(1))处的切线方程；

9

(2)若关于久的不等式八支)2丁恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数小的取值范围.

【变式1-1】3.(2023秋・重庆•高三统考阶段练习)已知函数爪(X)=t♦/+In*,n(%)

=1-1哈

(1)若函数F(x)=m(x)-n(x),讨论当t=1时函数F(x)的单调性；

(2)若函数根Q)>2恒成立，求的勺取值范围.

【变式1-1】4.(2023秋•云南保山•高三统考期末)已知函数f(%)=2ax-sinx.

(1)当a=1时，求曲线y=/(久)在点(0)(0))处的切线方程；

(2)当x〉0时，/(x)Naxcosx恒成立，求实数a的取值范围.

题型2端点赋值法

1.端点赋值法(函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用)

2.为了简化讨论，当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨论范围.注意，开区间不一定

是充分条件.

有时候端点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论.

【例题2](2022•河南郑州•统考一模)设函数/Xx)=Inx-p(x-l),p6R.

(1)当P=1时，求函娄好(久)的单调区间；

(2)设函数g(X)=W(x)+p(2%2一二一1)对任意1都有g(£)v0成立,求p的取值范

围.

【变式2-1】1.(2022秋•黑龙江鸡西•高三校考阶段练习)已知函数f(x)=1%2-(a+1)

x+alnx+1.

(1)若久=3是/(x)的极值点，求人久)的单调性；

(2)若f(x)>1恒成立，求a的取值范围.

【变式2-1]2.(2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习)设函数人久)=

(%+a)ex—1,已知直线y=2久是曲线y=f(久)的一条切线.

⑴求实数a的值；

(2)若不等式/(%)>t[x+ln(x+1)]对任意xG(-1,+8)恒成立，求实数t的取值范围.

【变式2-1】3.(2023春・河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习)已知函数

/(X)=21nx+bx.(a,b为实数)

(1)当匕=2时，求过点(0,-2)的f(x)图象的切线方程；

(2)设g(x)=ei+,若gO)>0恒成立，求b的取值范围.

【变式2-1]4.(2023•四川成都•校联考二模)已知函数f(x)=-1+(fo-1)%+a在尤=0

处的切线与y轴垂直.(其中e是自然对数的底数)

(1)设g(x)=乎，xe(0,+8),当a=i时，求证：函数/(久)在Xe(0,+8)上的图象恒在函

数g(x)的图象的上方；

(2)Vx£[0,+00),不等式2[eXf(x)—cosx]>ln(x+1)恒成立，求实数a的取值范围.

题型3隐零点型

、I,I

驷包重直

1.导函数(主要是一阶导函数)等零这一步，有根xo但不可解.但得到参数和xo的等量代

换关系.备用

2.知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根xo

3.利用xo与参数互化得关系式，先消掉参数，得出xo不等式，求得xo范围.

4.再代入参数和xo互化式中求得参数范围.

【例题3](2023秋•湖北随州•高三随州市曾都区第一中学校考开学考试)已知函数f(x)=a

%2+xlnx(aeR)图象在点(1/(1))处的切线与直线％+3y=0垂直.

(1)求实数2的值；

(2)若存在keZ,使得f(x)>k恒成立，求实数k的最大值.

【变式3-1]1.(2023秋•四川成都高三树德中学校考开学考试)已知函数/'(X)=ex-ax,

aER.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若当x>一1时，/(%)>ax,求a的取值范围.

(3)若存在实数a、b,使得/'⑺+心.-5恒成立，求”6的最小值.

【变式3-1]2.(2022秋•江西抚州•高三临JI|一中校考期中)已知函数/⑺=ex-ax,<p^

=/(%)+sin2%,(aeR),其中e«2.71828为自然对数的底数.

⑴讨论函数f(x)的单调性，

(2)若aeN*,当％20时，9(%)N0恒成立时，求a的最大值.(参考数据：e3«20.1)

【变式3-113.(2023•福建泉州•校考模拟预测)已知函数/㈤=lnx-mx2+(l-2m)

X+1.

⑴若m=1,求/(久)的极值;

(2)若对任意久>0,/(x)W0恒成立，求整数m的最小值.

题型4分离参数法

【例题4](2023秋•江苏镇江•高三统考开学考试)已知函娄好(x)=Inx-+§(e为自

然对数的底数).

(1)求函娄好(久)在％=1处的切线方程；

x

(2)若/'(X)+x-|-l>ae~+Inx恒成立，求证：实数a<-1.

【变式4-1】1.(2023秋•广东江门•高三统考阶段练习)已知函数人久)=。—l)lnx—小

(%+1).

(1)若％=1是函数y=/(x)的极值点，求m的值；

(2)若对任意的久eg,+8),/(W>。恒成立，求实数m的取值范围.

【变式4-1]2.(2023秋•辽宁沈阳•高三沈阳市第一二O中学校考阶段练习)已知函数

/(%)=2x3+3(1+m)x2+6mx(xGR).

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)若/(-1)=1,函数g(x)=a(ln久+1)-等W0在(1,+8)上恒成立，求整数a的最大

值.

【变式4-1]3.(2023秋•陕西西安•高三校联考开学考试)已知函数/(无)=Inx—x+Q—2)

ex—m,mEZ.

(1)当加=1时，求曲线y=f(x)在点(1)(1))处的切线方程；

(2)若关于x的不等式久久)<。在(0,1]上恒成立，求小的最小值.

【变式4-1】4.(2023•江西・校联考模拟预测)设函数f(久)=xlnx+1—a久；

⑴若f(久)>0恒成立,求实数a的取值范围；

(2)在(1)的条件下，证明：产5»1(条一b，

题型5分离参数法-洛必达法则

【变式5-1】1.设函数〃x)=^—lnx+ln(x+l).

(1)求八久)的单调区间和极值；

(2)是否存在实数乱使得关于x的不等式f(x)2a的解集为(0,+8)?若存在，求a

的取值范围；若不存在，试说明理由.

【变式5-1】2.已知函数/(%)=e"曲线y=/(x)在点(盯,即)处的切线为y=g(x).

⑴证明:对于v比GR,)吐)>g(x);

(2)当％20时，/(久)21+署恒成立，求实数a的取值范围.

题型6构造辅助函数求参

中一划f<5

1.含有久1和冷型，大多数可以考虑变换结构相同，构造函数解决.

2.可以利用第一问的某些结论或者函数结构寻找构造的函数特征.

s/WWWWWVWWWVWWWWWWWWWWVWWWWWWVWWWWWWX/VWWWWWWWWWWVWWWWWWVWVWVWV'v

【例题6】(2023•四川宜宾•四川省宜宾市第四中学校校考三模)已知函数f(x)=aln

(久T)+#+Lg(x)=fQ)+A(-T).

(1)当a=—1时，求函数人吗的极值;

(2)若任意打应e(1,+8)且小牛犯，都有吟管>1成立，求实数a的取值范围.

【变式6-1]1.(2023春•江苏扬州•高三扬州中学校考阶段练习)已知函数f⑶=3+

(2—2d)ei—a(%+l)(a6R).

⑴讨论/(%)的单调性;

x

(2)设g(x)=xe-In(ex)+mx,若a=1,且对任意小eR,x2e(0,+00),%2/(%1)+9(x2)>0

恒成立，求实数小的取值范围.

【变式6-1]2.(2023秋・重庆渝北•高三重庆市渝北中学校校考阶段练习)已知函娄好⑴=

1

2

112

-X4+aln(x-1),g(x)=/(x)+—--x+x.

(1)当a=—1时，求函数f(x)的极值;

(2)若任意打、*26(1,+8)且省中到，都有迎要瞥〉1成立，求实数a的取值范围.

12,

--

【变式6-1】3.(2022・陕西西安・西安中学校考模拟预测)已知函数八%)-2Xla\

Inx,其中a>0.

(1)当a=1时，求函数y=/(%)在区间(0,e]上的最大值;

(2)若ae(o,3,证明对任意%i,%2e2(%iw冷)，八的)一/。2)<拒成立.

xl-xl

【变式6-1]4.(2021•甘肃嘉峪关•嘉峪关市第一中学校考三模)已知函数/(%)=ax2-

(aGR).

(1)若曲线y=f(%)在％=1处的切线与y轴垂直，求y=/'(%)的最大值；

(2)若对任意04久1W久2,都有f(%2)+冷(2-21n2)</(%1)+的(2-21n2),求a的取值

范围.

题型7绝对值同构求参

1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值.

2.去掉绝对值，可以通过"同构"重新构造函数.

【例题7】(2023•上海徐汇・位育中学校考模拟预测)已知函娄好(%)=/-ax-a,aeR.

(1)判断函数/(%)的奇偶性；

(2)若函数F(x)=x"(x)在x=1处有极值，且关于x的方程F(x)=爪有3个不同的实根，求

实数m的取值范围；

⑶记g(x)=-e"(e是自然对数的底数).若对任意犯、牝e[0启]且巧>久2时，均有

<|gQi)—9(犯)I成立，求实数a的取值范围.

【变式7-1]1.(2022秋•天津北辰•高三校联考期中)已知函数/'(X)=|x2-(a++In

x,其中a>0.

(1)当。=2时，求曲线y=/(乃在点(1/(1))处切线的方程；

(2)当a力1时，求函数f(x)的单调区间；

(3)若ae(0,1),证明对任意xi,*2€[Q](刈丰x2),皆二｝)1<姮成立.

【变式7-1】2.(2022秋•天津东丽•高三校考阶段练习)已知函数f(x)=32-alnx+6

(awR).

(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3久-y-3=0,求实数a,6的值；

(2)当a=1时，/(%-()=/(%2),且工产％2，求证X•)+久2>2.

⑶若0<a4l,对任意巧，工2金(1,2],不等式(久2)伫机2恒成立，求小的取值

范围；

【变式7-1]3.(2021•吉林长春•吉林省实验校考模拟预测)已知函数/⑺=x—1—a\nx.

⑴讨论函数/'⑺的单调性;

(2)若对任意X1,%26(。,1]都有1/(*1)一/(久2)1w|g(*i)—g(X2)l成立，其中。(无)=：且口<。,

求实数a的取值范围.

【变式7-1]4.(2020秋・海南海口•高三校考阶段练习)已知函数久久)=Inx-1ax2+x

(aER),g(%)=-2%+3.

(1)讨论函数F(x)=f(x)+gag(x)的单调性；

(2)若一3WaW-l时,对任意当、X2G[1,2],不等式|八打)一汽冷)1W门以5)一9(久2)l恒

成立，求实数的勺最小值.

【变式7-1】5.(2021秋・山西长治•高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知函

数/(x)=a—+21nx.

(1)若f(x)在(0,1]上的最大值为—2,求a的值；

(2)记g(x)=f(x)+(a-l)lnx+1,当aW-2时，若对任意小如e(0,+oo),总有

|g(%i)—g(X2)l2k\x1—x2\,求k的最大值.

题型8函数取“整”型

、I,匐百

即上塾量点

讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题1

【例题8】(2023秋•辽宁沈阳•高三沈阳市第一二。中学校考阶段练习)已知函数/。)=2好

+3(1+m)x2+6mx(x6R).

(1)讨论函数/(支)的单调性；

⑵若/(—1)=1,函数90)=。。—+1)-譬=0在(1,+8)上恒成立,求整数a的最大

值.

【变式8-1】1.(2023秋•宁夏银川•高三银川一中校考阶段练习)已知函娄好(x)=2lnx-：

mx2+1(771eR).

(1)当6=1时，证明：/(X)<1；

(2)若关于x的不等式f(久)<(m-2)x恒成立，求整数小的最小值.

【变式8-1]2.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高三校考阶段练习)设函数f(x)=/—3a久2+3所

(1)若a=l,b=0,求曲线y=/O)在点(1)(1))处的切线方程；

(2)若0<a<b,不等式((警)>/9)对任意xe(l,+8)恒成立，求整数k的最大值.

【变式8-1]3.(2023•广西桂林•校考模拟预测)已知函数/(无)=备—ln(x+a).

(1)讨论函数g(x)=/(%)-高的单调性；

(2)若a=l,且存在整数k使得(Q)>k恒成立，求整数k的最大值.

(参考数据：ln2=0.69,ln3=1.10)

【变式8-1]4.(2022秋•云南・高三云南民族大学附属中学校考期中)已知函娄好(久)=In

%+mx(meR).

⑴讨论函数-x)的单调性；

(2)若m为整数,且关于x的不等式久久)<决2+(2m_1)x_1恒成立，求整数小的最小

值.

题型9“存在”成立问题

⑴证明:当久>0时,f(x)>o恒成立;

(2)若关于x的方程y+5=asinx在(0次)内有解，求实数a的取值范围.

【变式9-1】1.(2023秋•内蒙古赤峰•高三统考开学考试)已知函数f(x)=詈，xe

(0,E，是f(%)的导函数.

(1)证明：((%)存在唯一零点；

(2)若关于x的不等式尸(久)+J+a<0有解，求a的取值范围.

【变式9-1】2.(2023•全国•高三专题练习)设函数f(x)=(a—a2)x+ln久—§(aeR).

⑴讨论函数-x)的单调性；

(2)当a=1时，记以久)=%/(%)+%2+1,是否存在整数t,使得关于x的不等式tNg(x)有解？

若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由.

【变式9-1】3.(2022・辽宁•校联考一模)已知函数久久)=%3——$也。+久+i,ae

[-/'

(1)讨论函数/(均的单调性；

(2)证明：存在ae[—巳4，使得不等式/(%)>/有解(e是自然对数的底).

LoZJ

【变式9-1]4.(2022秋•北京•高三北京市第十二中学校考阶段练习)已知函娄好(%)=1(

x2+ax+a).

(1)当a=l时，求函数/0)的单调区间：

(2)若关于X的不等式外支)We0在口+8)上有解，求实数a的取值范围；

(3)若曲线y=f(x)存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围；(只需直接写出结果)

【变式9-1】5.(2022・北京海淀-101中学统考模拟预测)设函数fO)=lnx+?

,g(x)=ax—3.

(1)求函数a(x)=f(久)+g(X)的单调递增区间；

(2)当a=l时，记八(久)=f(x)g(x),是否存在整数Z使得关于x的不等式24》伙久)有解?

若存在，请求出屈勺最小值；若不存在，请说明理由.

1.(2023•陕西商洛•镇安中学校考模拟预测)已知函娄好(切=(x-l)e"广⑶是f(久)的导

函数.

(1)设。(切=/")—9,证明：g(“)是增函数；

(2)当x>0时，rO)>alnQ+l)NT+an3—讨亘成立，求实数a的取值范围.

x

2.(2023・河南开封•统考三模)已知函数f(久)=e(%eR).

(1)若乂>0,函数/(x)的图象与函数y=ax\a>0)的图象有两个公共点，求实数a的取值范

围；

(2)若m1<n(m,neR)在％G(0,1)恒成立，求九一小的最小值.

3.(2023・福建厦门•厦门一中校考一模)函数f(x)=喈