北京市某中学2024-2025学年高三年级上册开学测试数学试题（解析版）

北京二中2024-2025学年度高三年级第一学期开学测试

数学

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项）

1.已知全集0=区，集合"一’「卜一”"一3"°}和"=3'="一1*=12,…）的关系的韦恩

（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）

【答案】B

【解析】

【分析】由图知，阴影部分所示的集合为MCN,根据条件求出M=利用集合的运

算，即可求解.

【详解】由图知，阴影部分所示的集合为MCN,

^,x2-2.r-3<0,得到-1W3,所以"=卜卜又N={x|x="-1,七=1,2,…）,

所以MCN=11.3},得到阴影部分所示的集合的元素共有:1个，

2.若加,〃是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若加uRalg,则沈_LaB.若则夕〃7

c若加J-A加〃％则a_L「D.若加〃a刀〃。，则加〃〃

【答案】c

【解析】

【分析】根据面面垂直的性质可判断A,B；根据线面平行的性质以及面面垂直的判定定理判断C；根据

线面平行的性质判断直线的位置关系，可判断D.

【详解】对于A,若加<=夕。_1尸，则只有当初垂直于平面&夕的交线时，才有力_1_&,故A错误；

对于B,若aLxaip,则尸〃y或尸,y相交，B错误；

对于C,由a//a结合线面平行的性质可知在a内必存在直线////m,

a

ni

结合切1?，可得，_L1,又lua,故夕，c正确；

对于D,若加则加"或力内相交或异面，D错误，

故选：c

3.设"=1°83°4»=108439=尹4,贝|()

A.a<c<bb<c<aQa<b<cpZ><a<c

【答案】c

【解析】

【分析】借助指数函数与对数函数的单调性可得。、6、。范围，即可得解.

【详解】由a=log304<log31=0log.lvb=log.3<l*4即0<b=l,

c=304>3°=1,故a<b<c,

故选：c.

4.已知函数/(x)的定义域为R.当x<0时，/(-1»)=.^-1,当-14x41时，/(一1)=一/0)；当

》4时，勺则〃6)=

A.-2B.-1C.oD.2

【答案】D

【解析】

1-1、1、1

X>—/(*+—)=f(x--)X>—，/、

【详解】试题分析：当2时：2“2,所以当2时,函数八X)是周期为1的周期函数,

所以S翱=翻：,又函数f(x)是奇函数，所以AD=-f(T)=-[(T)，故选D.

考点：函数的周期性和奇偶性.

5.定义在(一°°,田)上的任意函数,m都可以表示成一个奇函数目''I和一个偶函数"('，之和，如果

x

/(.x)=lg(10+l)xe(-^o,-Ko)那么()

l

Ag(x)=XA(.r)=lg(10+10-*+2)

Bg(x)=:[lg(10*+l)+x]A(x)=：[lg(10"+l)7

g(x)=：/»(->•)=1g(10*+1)-^

C.-»，i

/⑶==g)=W+叱

【答案】c

【解析】

/(x)-/(-x)/(*)+/(r)

g(x)=万(x)=

【分析】构造奇函数,偶函数即可求解.

【详解】根据题意,

/(x)-/(-x)/(x)+/(-x)

令g⑶，方

(x)0

/(x)-/(-x)/(.x)+/(-.x)

f(x)=t

则有0

所以

”+1

I1

/(x)/(x)lg(10+l)-lg(10-+l)lg"'+"Tg

x

k10x

g(x)=

*>9

/(x)+/(-x)Igfl^+O+lgflO-'+l)

力(x)=

7

10x+f

IgflO^lj+lg

101

=lg(10*+l)--

故选:c.

x+—<—2

6.设X为实数，贝uX<0a是“X”的

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

X+—4—2A'+--2

【分析】由“xVO”易得一I一一"，反过来,由“X”可得出“x<0”，从而得出"x<

x+—<-2

0”是“T”的充分必要条件.

1

x+—=-(-x)+—<-2

【详解】若x<0,-x>0,贝U：X

1

”x<0"是”“的充分条件;

1CF+2X+1,C

X+-S-2----------<0

若X,则X

解得x<0；

x+-1S-2

”x<0”是”X”的必要条件;

+is-2

X

综上得，“XVO”是“”的充分必要条件.

故选c.

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法.

1.定义法：直接判断“若夕则a”、“若g则P”的真假.并注意和图示相结合，例如”为

真，则「是q的充分条件.

2.等价法：利用与非9=非P,4=P与非1=非4,与非非r的等价关系，对于条

件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.

3.集合法：若A=3,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=3,则A是B的充要条件.

7.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有

A.144个B.120个C.96个D.72个

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4

中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分

析首

位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，

计算可得答案.

解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；

分两种情况讨论：

①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有

A43=24种情况，此时有3x24=72个，

②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有

A43=24种情况，此时有2x24=48个，

共有72+48=120个.

故选B

考点：排列、组合及简单计数问题.

8.按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽

车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Pe成e”于1898年提出蓄电

池的容量C（单位：Ah）,放电时间，（单位：h）与放电电流/（单位：A）之间关系的经验公式：

C=rt,其中〃为Pe跟err常数，为了测算某蓄电池的Pewte"常数"，在电池容量不变的条件下，当

放电电流/=20A时，放电时间f=20h；当放电电流1=30A时，放电时间，=10h.则该蓄电池的

人"h%常数"大约为（）（参考数据：电？*°30,Ig3a048）

458

A.3B.3C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得C=20*20,C=30-10,两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即

可得出答案.

【详解】解：根据题意可得°=20*,20,c=3（r10,

20*20_1f2Y=_1_

两式相比得30"10一，即⑸

111rlg2lg20.35

12月起Ig3-lg20.48-0.33

所以2

故选：B.

9.已知定义在R上的函数丁满足：函数力"一"的图象关于直线x=l对称，且当

'"8,0）时，/（X）+于（x）<o成立是函数了（、1的导函数），若"-1n6）《"6）,

_cj]1、

b=（ln>〃ln2）,（'同，则°,6,。的大小关系是（）

A.a>b>cB,b>a>cc_c>a>bD.a>c>6

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可知函数丁=/（”是偶函数，构造函数g（x）=・l/（x）,可知函数g（x）是奇函数并得

到在X€（0,+8）的单调性，然后利用函数的单调性比较大小，简单判断可得结果.

【详解】由题可知：函数】'=・"、一1）的图象关于直线*=1对称

所以函数J=・"*关于直线X=0对称，即函数丁=7U）是偶函数

令g（x）=V（*）,g'（x）=/（.T）+矿（x）

又当xes⑼时，/（“）+夕（、）<°成立

所以函数g"）在（-8,0）单调递减，又函数g（X）为奇函数，

所以该函数在（。，+8）为单调递减

6=(ln2)/(ln2)=g(ln2)

1,、，、

c=Flogl4=2/2=g2

I24J

2>In2>In^=—

由2

所以a>b>c

故选：A

【点睛】本题考查构造函数，利用函数的单调性比较式子的大小，熟悉一些常见的函数的导函数，比如如

_/(.X)/(X)

g°g(x)=d/。)，gW=~T,g(x)=va),属中档题.

x2+(4a-3)x+3a,.x<0,.八

y（x）=,；；,(a>0

logjx+l)+l,.v>0,且a=D在心，”)上单调递减，且函数

10.已知函数

g(x)=|/(x)|+x-2恰好有两个零点，则。的取值范围是（

1、|3|「A1.-U⑶（0,°-'3

A.b3JWB.b3jUWcA3」D.LS4j

【答案】A

【解析】

【分析】利用函数/（X）是R上的减函数求出a的范围，再在同一直角坐标系中，画出函数丁和

函数丁=2-x的图象，根据方程［门口卜？-'的根的个数数形结合，从而可得出答案.

【详解】因为函数J（川是区上的减函数,

<0<。<1

2

0+（4。-3）0+3a>logfl1+11<］<3

则〔，解得3--4,

函数g⑺=|/（x）|+xY恰好有两个零点,即方程『⑴卜2-'恰好有两个根,

如图，在［°,9）上方程/⑺卜27恰好有一解，

所以在B⑷上，方程|/（"）卜？一•'有且仅有一解，

当3。>2即",彳时，由J+（4a-3）x+3"2-x,

即『+（4a-2）x+3a-2=O,x<o,则A=（4a-2）'-4（3a-2）=0,

=2

解得一［或1（舍去），

_3

当一不时，经检验符合题意；

12

一V。0—

当即33时，由图象知符合题意.

3—5

综上，。的取值范围是1_3'3一4

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是函数的零点问题转化为函数图象得交点，数形结合解决.

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11.已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球.若从这8个球中随机选取一球，该

球是白球的概率是；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白

球的概率是.

7

【答案】①.5##0.50.15

【解析】

【分析】根据古典概型的计算公式及全概率的计算公式直接得解.

4=L

【详解】根据题意，从这个8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是£=5；

设“取出甲盒”为事件4,“取出乙盒”为事件4,“取到的球是白球”为事件

则⑷尸（4）+尸（却4）口4）

所以从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是1"

1_7_

故答案为：2；15.

12.若（x-2）'=q、'+aK+%/+4x+4,则&=；%+%+%.

_40

【答案】①.16②.41

【解析】

【分析】借助赋值法，分别令》=0、、=1、、=-1计算即可得.

［详解］令x=0,可得(°_2)'=4,即期=?=16,

令X=l,可得(1-2)'=%+q+4+4+4,即q+4+%+q+4=(-l『=l,

令可得+生一+《.，0

x=—l,(T-2)'=q_q4gp*~03+a2-al+aQ=(-3)=81

贝ij(4+%+&+q+q,)+(q-%+4-q+a0)=2(a4+a,+a0)=1+S1=82

即2+@+4・彳・41,贝代+/=l-(q+%+/)=1-41=-40,

%+为_40

故％+出+。441

_40

故答案为：16；41.

13.已知直线=0与圆+』+4x_2y=0相交，能说明，，直线y-y+m=0截圆

cf+.F+41-=o所得弦长不小于：J3，，是假命题的一个加的值为.

【答案】0(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据题意，利用直线与圆的位置关系和圆的弦长公式，列出不等式，求得实数巾取值范围，进

而得到答案.

【详解】由圆C：F+V+41--y=0，可得圆心0(-2,1),半径为r=5

因为直线x-】'+力=°与圆c相交，可得JF+(7)’,

解得3-丽＜巾＜3+而，

又由“直线x-J'+加=°截圆/+V+4x-4'=°所得弦长不小于2相”是假命题,

可得“直线•'-】'+加=°截圆0：f+V+4x-h=0所得弦长小于2百，是真命题，

则满足即收才＜3,解得d＞5/2,

2-1+司J—

可得我+(一以，解得m＜1或力＞5,

综上可得，3-J元＜a＜l或5＜加＜3+J元，

即实数a的取值范围为而'」1°('3+如),

所以一个实数加的为可以为0.

故答案为：0(答案不唯一).

R尸-y-Ty=>0,6>0）

14.已知点,1、竹分别是双曲线。2廿的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点尸，

满足忙区卜但用L且6到直线因的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为.

[答案]4\±3丁=0

【解析】

[分析】设尸医中点为M,由朋卜出讣2c，可得正壮尸也则MFX="，从而得到尸式,又根据双曲

线的定义可得尸"一尸居二%,进而求出小匕,即可得到渐近线方程

【详解】设咫中点为因为归居卜I耳耳I=%,所以此为5到直线PFX的距离，即典=2a，则

MF】=2bPF[=4b

2b=a+c44

因为产兄一尸尸【二为,所以尸X=?a+?c,则=1_/,则3_]",则渐近线方程为]一±不，即

4x±3j=0

故答案为：4x±"=0

【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义的应用，考查运算能力

15.已知函数-X,给出下列四个结论：

①函数,（工）是奇函数；

②VkeR,且上工0,关于x的方程/（、）-h=°恰有两个不相等的实数根；

、力|AP|>-

③已知尸是曲线）'=/（*上任意一点，V-九贝W12；

④设M（X,M）为曲线】'=/W上一点，N（x*y,）为曲线”-/。）上一点.若N+讣】,则|网之L

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对左>0与左<0分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可

得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可

得.

【详解】对①：令--h0,即有x（x+l）（xT）N°,即ic[T0]u]L同，故函数了（A不是奇函

数，故①错误；

对②："丫）一去=々一x--=0,即=h,

当x=0时，有J6-0=0,故0是该方程的一个根；

当IHO,八0时，由=h,故x>0,结合定义域可得

有f一x=即”•--凸・T）=0,

^_k2+yjk2+4*_炉_4户+4

令/―卜、-]=0,A=t$+4>0,有x2或a2（负值舍去），则

二+正+4Q+y/Q+4,

x=--------->——=1

-1，

故V-/工-1=0必有一个大于1的正根，即/（X）=°必有一个大于1的正根；

当xwO,七<0时，由JF-X=H,故X<0,结合定义域有xe卜1,0）,

力丫_尸丫2.X（.T3-^3.V-l）=0

有1一工一（1，即Hn1/,

_M+4._M+4P+4

令/-k%-l=0,A=A/+4>0,有、2或12（正值舍去），

令/+4=（>4,即/="4,则

k'-Jk，+42J4I2）4

x=---------=-------=---------->----------=-11

）。）*>

L_-J人+4]]

即.一2,故『一左、一1=0在定义域内亦必有一根，

综上所述，#eR,且上工0,关于尤的方程/（1）-6=°恰有两个不相等的实数根，故②正确;

2

(-：--\AP?=(x+口+(Jx'_x)=A3+x+—

对③：令P(x»),则有丁一》，'V2J\，/4,

3

令g(X)='+丁+彳，xe[-l,o]u[l,+(»]；g'(X)=3.x+2.x=x(3.v+2),

(/o\

A-€-1.-^-u(l,+a))\xe-三,0，/

当I"时，g(x)>0,当IiJ时，g(x)<0,

故g("在I3)、(l,+8)上单调递增，在I3J上单调递减，

g(-l)=-l+l+—=—g(0)=0+—=—g(.T)^—|AP|3—|AP|^—

又44,44,故54恒成立，即।।4,故।।2,故③

正确；

____i_

对④：当网=与时，由xclTOluH”],卜1+引=L故''2,

当气8%时，由J=/（X）与J'=关于X轴对称，不妨设M<-T2,则有一1"七<与40或

-l<.x1<0<l<x3<2>

当-14&40<14/0一时，由4一\之再Al,有

MM=J（a-a7+（肘-$-网-巧）邛i-引Ni弘一

*，故成乂；

当-1S1]＜与S0时，即有与=1-M,

.（1Y1

A:x+-+v3=-

由③知，点M与点N■在圆V-）4上或圆外，

设点"（孙m）与点"的"）在圆上且位于x轴两侧,则MM卜I

故网之国叫=1；

综上所述，1命61»1恒成立，故④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当\、工都小

于零时，|MN|的情况.

三、解答题（共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

bM“晒

—=---cosZ=------

16.在△ASC中，a5,10.

（1）求证：△融。为等腰三角形；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求8的值.

小兀

乙B=—

条件①：6；

15

条件②：△月5（7的面积为2；

条件③：松边上的高为3.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

【答案】（1）证明见解析；

（2）详见解析.

【解析】

b回,加

【分析】（1）把a5转化为边a、b之间的倍数关系，把10转化为三边a、b、c之间的

关系，综合可得证；

cosA=-

（2）条件①，与已知10矛盾，三角形无解，不可选；

条件②，通过三角形面积公式解得a,可使AMC存在且唯一；

条件③，通过转化条件，可使△池C存在且唯一.

【小问1详解】

b回'反

―=---b=---a

在△HBC中，由。5,可得5

-Jld2i2y/\Oci^/fo

cosA=---a=(----)+c-2x'x--c

则由10，可得5510

即(a-c)(3a+5c)=。，故有c=a

故AA?。为等腰三角形.

【小问2详解】

Z5=-ZA=^C=—

选择条件①：6时，由(1)知。=。，则有12,

.5万.nn.#-0而■

cosX=cos—=cost—+—)=------*----

此时1264410,

与已知矛盾，三角形无解.不能选；

15

选择条件②：△-必。的面积为2时，

710—一i“c3MVio3

cos-4=--——sinB=sin(/r-2A)=2sinJ4cos-4=JX-----x---=-

由10得，10105

l_x3j_15

故有25a2,解得a=5,c=5"H

三角形存在且唯一，可选.

选择条件③：/山边上的高为3.

JyQn.z'八、3\Zw">/W3

cos4=---sinB=sin(7r-2A)=2sinHeos4=JX----x---=一

由10得，10105

a=----=-=5

sin5£

可得5,则有c=5p=M.

三角形存在且唯一，可选.

综上可知:选择条件②时，三角形存在且唯一，b二回.

选择条件③时，三角形存在且唯一，方=亚.

17.改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.下图是我国2006年至2016年

体育产业年增加值及年增速图.其中条形图为体育产业年增加值(单位：亿元)，折线图为体育产业年增

长率(％).

口体育产业增加值-O-体育产业年增长率（％）

（I）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多50°

亿元以上的概率；

（II）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求

X的分布列与数学期望；

（III）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年

增加值方差最大？（结论不要求证明）

【答案】（1）5；（II）详见解析；（III）从比08年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方

差最大.从？014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大.

【解析】

【分析】（I）由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；

（II）由题意首先确定x可能的取值，然后结合超几何概型计算公式得到分布列，然后求解其数学期望即

可；

（III）由题意结合方差的性质和所给的图形确定方差的最大值即可.

【详解】（I）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体

育产业年增加值多500亿元以上，，.

由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求,

4。

F\A）,一,二

故105.

（II）由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,且

C)1C'C21

^*100；1；

簧喘R…皆若

所以X的分布列为:

X0123

11

P

6530

叱欧X)=Ox-+lx—+2>—+3x——=-

故X的期望6210305.

(III)从比08年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大.从2014年开始连续三年的体育

产业年增加值方差最大.

【点睛】本题主要考查统计图表的识别，超几何概型计算公式，离散型随机变量的分布列与期望的计算，

古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

18,已知在四棱锥尸-48。中，底面幺BCD是边长为4的正方形，匚尸月0是正三角形，平面R4DJ_

平面F、G分别是PC、PD、5(7的中点.

(1)求证：平面E尸G；

(2)求平面班3与平面力ECT)夹角的大小；

n

(3)线段上是否存在点M,使得直线迎与平面EWG所成角为不？若存在，求出线段尸为才的长

度；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

n

(2)平面EHG与平面HBCD夹角的大小为3；

n

(3)线段上不存在点使得直线与平面E尸G所成角为6,理由见解析

【解析】

【分析】(1)由已知可得昉II0°,进而可得2BSF,可证结论；

(2)取？12?的中点。，连接PO,0G,由题意可证得PO尸O_LOG,AO1OG,以以。为

坐标原点，MOG,。尸为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面平面EFG的一个法向量为

”=(、行,0,1),求得平面幺ECZ)的一个法向量为=(0,0二/)，利用向量法可求平面E尸。与平面

期CD夹角的大小.

(3)设尸M=2P42e[0,l],利用设2,表示出砺，利用线面角的向量求法可构造方程，由方程无

解可知不存在.

【小问1详解】

因为E、尸分别是尸C、尸D侑中点，所以即||。。，

又因为四边形幺BCD是正方形，所以""CD,所以力8,ER,

又EFu平面GEF,加仁平面^^尸，所以力B//平面班G；

【小问2详解】

取血）的中点0,连接P0，0G,

因为二尸XD是正三角形，所以P0J_/Q,

又平面R4Z）_L平面05。。，平面产/De平面松8=<0,平面Ru平面EM,

所以尸。J_平面，BCD,又。。u平面4BCZ）,所以P0_L0G,

由四边形43C0是正方形，易得MG0是矩形，所以幺0_L°G,

以。为坐标原点，，°G,。尸为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则。(0,0,0),月(2,0,0),3(2,4,0),。(一2,4,0)。(一2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,?VJ)

E(-L2,"),尸(TO,蜴，

所以EF=(0.-2,0),EG=(0,2,我，

设平面EEG的一个法向量为〃=（%，〕'，二）,

nSF=-2y=0

78G=*+1，_屁=0,令二=1,则可得下=0，1=相,

则

所以平面屈•不？的一个法向量为〃=（/，°，D,

又平面的一个法向量为。尸=（0,0,2班）,

设平面曲G与平面ABCD夹角的大小为6,

\QP^i\_2-J3_1

cos8=

所以\OP\J\n\'73+1x273~,

71

所以平面ERG与平面幺BCD夹角的大小为3；

【小问3详解】

71

线段尸H上不存在点M,使得直线GW与平面EEG所成角为6,理由如下:

n

假设线段上存在点M,使得直线GM与平面ER3所成角为6,

n

即直线GM与平面ERG的法向量八所成的角为3,

设尸M=2",2e[0,l],GM=GP+PM=GP+入PA,

所以的=(U,-4二百(1一冷)，

71

COS=cos

3叼同2J4笛-64+7

所以

整理可得::筋-34+2=0,△=（守一4X2X2<°,所以方程无解,

n

所以线段R4上不存在点M,使得直线与平面瓦阳所成角为6.

C=l(a>6>0)力(_4,0),尸(2「3)

19.已知椭圆过点'

（1）求椭圆°的方程以及离心率;

（2）设直线'丁=匕-2与椭圆。交于两点，过点N作直线】'=一6的垂线，垂足为Q.判断直

线MQ是否过定点，并证明你的结论.

c1

g=­=一

【答案】（1）椭圆方程为1612,离心率为a2

（2）定点为证明见解析

【解析】

【分析】（1）代入”（一4°）,「仁,-31联立方程，解方程可得a,b,进而得到椭圆方程；即可由离心

率公式求解

（2）联立直线与椭圆方程，运用韦达定理，令x=0,代入化简可得J=-4,即可得直线恒过定点;

【小问1详解】

160,49,

将4-4,0),2(2,-3)代入椭圆方程可得ab2且/b2,

解得=16,6"=12,故c'=a'=4,

—x+y—=I1e2

故椭圆方程为1612,离心率为

【小问2详解】

联立/：.v=far-2与椭圆方程3/+4尸=48,消去】‘可得G+4丁）婷-lfifa-32-O,

16k

设N("D,2(J-6)可得甬+4=3+4/,*/=3+4月,

r.+6、/

isy■—(zx-x>)-67c

则MQ的方程为‘,又内=包一-

-32

♦一一（】i+6）_一与（也+4）6_-如7-4占_6_一*3+4/一**一6

内一与内一巧近一占__

令x=0,则3+4A

3"z"16无）

=询一例）

侬一“侬

3+4k2—23+4k213

故直线"Q经过定点（°「4）.

/、COSX/\1

/⑶=---------,g（X）=—ax

20.已知函数XI.

_兀

（1）求函数・"*在'=5处的切线方程；

（2）若函数，（'）和函数g（x）的图象没有公共点，求实数。的取值范围.

y=--x+1

【答案】⑴"兀

（-a>.0）U[-,+a>）

（2）2

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求得答案；

C0SX1

（2）将函数-"Xi和函数g"，的图象没有公共点，转化为工一.7-G无实数根，即当1工°时，

cosx+ad-l=°无实数根问题，从而令Mx）=cosi+avT,-0,利用导数结合分类讨论，即可求

解.

【小问1详解】

故函数/（”）在”3■处的切线方程为“兀1即,n

【小问2详解】

因为函数,'W和函数gIII的图象没有公共点,

故・"X）=g（X）,即二T.f-G无实数根，

即当XHO时，cosx+ai-lnO无实数根，

令力⑶=cosx+”2T亦0,由于；1（T）=MX）,故M©为偶函数,

所以Mx）在（。，+8）上无实根，

又〃'（X）=-sinx+2ax记m（x）=Ar（x）=-sinx+2ax

则M（x）=2a-cosx,xe（0,+<»）

①当a<0时，ax'<0,-1<COS.V<1,则cosi-lSO,

故&⑴=cosX+--1<0,满足NX）=°在（0,+8）上无实根；

②当a=0时，"（.T）=cos、-1=°在（（）,+8）上有实根，不符合题意；

③当aNj时，T（"=2a-cosxt0,则*（x）=_smx+2ax在⑼+8）上单调递增,

则〃'（VI>''（0）=0,故h（x）在（0.+8）上单调递增，

则力.）>力（0）叫满足力（卜）=0在德+8）上无实根；

0<a<—\cIQ'TI

④当2时，因为""-c°sa在（一J上单调递增，

用'（0）==2a）。

6

则存在唯一的“10'5）使得M（M）=力-cos七=0；

当0<x<x°时，加'（汽）<。，当时，

则m（x）=、（x）在（Ou。）上单调递减，在[%2）上单调递增，

故xe（o,x°）时，*（X）<〃'（。）=0,故贴）在（°，X。）上单调递减,故酬*"（0）=0,

又M%）=4加>0,且“X）在（0,+8）上连续，

故h（x）在（°;兀）上有实数根，不符合题意，

（-a>,0）u[-,+a>）

综合可知，实数a的取值范围为2

---=—av

【点睛】难点点睛：本题解答的难点是第二问，解决两函数图象无交点问题，要转化为工工无实

数根，即当XHO时，cosx+af-1=0无实数根问题，从而构造函数，利用导数结合分类讨论的方法解

决问题.

21.已知集合&=｛（不如…，。）I瓦，孙…，七是正整数12,，…,"的一个排列）（"A2）,函数

,[1,.x>0,

g（K）=<

11,•'<。对于出，…,定义：

4=gQ-2+80-的）+