北师大版数学八年级下学期 全等三角形七大模型 知识梳理+练习 （含解析）

专题05全等三角形七大模型（知识串讲+热考题型）

考点速览

一、K型（一线三垂直）模型二、“手拉手”模型

三、倍长中线四、平行线中点

五、“雨伞”模型六、半角模型

七、胖瘦模型

W知识梳理

一、K型（一线三垂直）模型

Dȣ

两条手臂之间的距离=长手十短手,两条手臂之间的距离-长手一短手,

即。E=AD+CE,即DE=AD—CE,

一线三重直果中考考试中常见的模型，模型按照常规的方法需要找到对应三角形边角关

系，进而得全等三角形，根据全等三角形再找所求的边角.但很多常见的一线三重直模

型可以先尝试找到“长手”和“短手”，根据模型快速解题.

二、“手拉手”模型

隔A-

//0\

E

BC

（2025年）

在中考考试中，很多学生遇到手拉手模型时，都无从下手.但其实只要找到相等的边或

角，找到全等三角形，进而找出对应边或角的关系即可.熟练掌握手拉手模型的学生,

可以很快找到里面的全等三角形，解决小题就会很快.

三、倍长中线

在中考考试中，几何中的中点类问题是很复杂的一类题型，由于它涉及的辅助线类别多,

同学们经常记不住到底用哪类辅助线因此往往在做题的时候浪费了大量的时间，请记

住，实在不会做了想想倍长中线，

四、平行线中点

在中考考试中，平行线中点是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加

延长线，中考出题人非常喜欢出这类题，原因就是能够让懂模型的人快速找到答案.

五、“雨伞，，模型

在中考考试中，雨伞模型是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延

长线，它与平行线中点模型并称为中学阶段两大必延长的模型，只要看到这类模型，方

法就很统一了.

六、半角模型

在中考考试中，半角模型在选择题、填空题、解答题中经常出现，我们在处理这类问题

时，关键在于找到半角和全角，运用口诀进行旋转，进行边角转化，就能很快地解决此

类问题.

七、胖瘦模型

全等三角形果中考必考内容，是解决有关线段、角等问题的一个出发点.胖瘦模型的特

点很鲜明，但是很多学生没有进行总结，所以看到这种题果没有方向的，如果惜这类问

题的解决方法，你会发现要做出答案其实果很轻松的.

Q考点精讲

一、K型（一线三垂直）模型

一.填空题（共2小题）

（2022春•武昌区期中）

1.如图，四边形ABCD中，ZB=NC=9O。，点E是边上一点，VADE是等边三角形,

ABn.BE

且一=一，则n一=

CDmCE

(2025年)

（2022春•朝阳区校级期中）

2.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1955年希腊发行了以勾股定理

为背景的邮票.如图，在RtABC中，ZBAC=90°,AC=3,AB=4.分别以AB,

AC,2C为边向外作正方形正方形ACKL正方形BCDE,并按如图所示作长

方形HFPQ,延长BC交尸。于G.则长方形CDPG的面积为.

解答题（共6小题）

（2021秋•余干县校级期中）

3.如图，在ABC中，AB^AC,BC,A8边上的高AO,CE相交于点/，且AE=CE.

(1)求证：AEF-CEB；

(2)若诙=12,求8的长.

（2021春•嘉祥县期中）

4.如图1,以AABC的边48为边，向外画正方形ABDE,过点人作&〃，8。于过

点E作EP1MA交MA延长线于点P.

（2）如图2,若/BAC=90。，以AC为边再向外画正方形ACPG,连接EG交PM于点N,

求证：EN=GN；

（3）若乙BAC是钝角或锐角，请仿照图2分别在图3、图4中补画图形，并选“〉”或y

或“=”其中一个符号填空，直接表示此时EN与GN的大小关系.如图3,若/8AC>90。,

则ENGN；如图4,若aBAC<90。，则EWGN.

（2021春•禹州市期中）

5.如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°,AB=S,BC=15,CD=17,AD=\16,

连接AC,

（1）证明NACO是直角;

（2）求对角线8。的长.

（2021春•丹阳市期中）

6.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】

（1）如图，ZBAD^90°,AB=AD,过点8作BC，AC于点C,过点。作DE1AC

于点E.由N1+N2=N2+NO=90。，得N1=ND.又NACB=NAED=90。，可以推理

得到AABC丝AD4E.进而得到AC=,5C=AE.我们把这个数学模型称为“K

字”模型或“一线三等角”模型；

（2025年）

【模型应用】

(2)如图，/B4D=/C4E=90。，AB=AD,AC^AE,连接BC,DE,且3CLAF

于点/，DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点；

D

【深入探究】

(3)如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，AAFD的面积为S-ADCE的面积

为邑，则有HS2(填“＞、=、＜")

(4)如图，分别以\DCE的三条边为边，向外作正方形，连接AF、GK、.当钻=4,

DE=42,NCDE=45。时，图中的三个阴影三角形的面积和为；

H

(5)如图，点A、B、C、。、E都在同一条直线上，四边形ABM、KCMG、DENM

都是正方形，若该图形总面积是16,正方形KCMG的面积是4,则DMG的面积是

(2022春•淮阴区校级期中)

7.（1）【问题初探】

苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》复习题中有这样的问题:

如图1正方形ABCD的边长为2,的顶点。在正方形A8CD两条对角线的交点处,

ZEOF=90°,将NEZ加绕点。旋转，NEOR的两边分别与正方形ABCD的边8C和

交于点E和点尸（点P与点C,。不重合），问：在旋转过程中，四边形OECb的面积

会发生变化吗？证明你的结论.

爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路：

浩浩:如图m充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了，OEC沿OFD,

则SOEC=S.OFO，那么S四边形OECF=S.OEC+S.OCF=SOFD+S,OCF=SOC0,这样,就实现了

四边形OEC歹的面积向0co面积的转化；

小航:如图6,也是考虑到正方形对角线的特征，过点。分别作OGL3c于点G,OH±CD

于点H,证明OGE&OHF,从而将四边形0ECV的面积转化成了小正方形0GCH的

面积.

通过他们的思路点拨，你认为：S四边形.ECF=—（填一个数值），其实，在这样的旋转

变化过程中，线段CE与CP的和也是一个定值，为一.

（2）【类比探究】

①如图2,矩形ABCD中，AB=ZAD=4,点。是AD边的中点，NEO尸=90。，点E

在AB上，点/在BC上，则四边形EBFO的面积为；EB+BF=；

②如图3,若将（1）中的“正方形A3CZT改为“N3Cr）=120。，边长为8的菱形A3CD,

当/或加=60。时，其他条件不变，四边形0ECP的面积还是一个定值吗？是，请求出

来；不是，请说明理由；

③如图4,在②的条件下，当点。在对角线AC上运动，顶点。与8点的距离为7,且

/EO旋转至3=1时，CE的长度为.

（3）【拓展延伸】

如图5,=为钝角），ZC4£>=180°-a,NBAC是钝角，平分

/BOD,OD=3,02=4,AB=A，OA=1,点C是。3上一点，那么0C的长为.

（2025年）

(2022秋•永年区期中)

8.在，ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线上W经过点C,用ADLMN于点D,

区£，出于点£.

(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD—BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问。EAD,8K具有怎样的等量关系？请

直接写出这个等量关系，不用证明。

二、“手拉手”模型

一.解答题(共9小题)

(2022春•开福区校级期中)

9.如图，在ABC和△AEF中，点E在边上，ZC=NF,AC^AF,Z.CAF=ZBAE,

EF与AC交于点G.

F

B

⑴求证：AE=AB-

⑵若4=62。，ZC=24°,求4c的度数.

（2021春•铜梁区校级期中）

10.已知如图,在口ABCD中，点F^ABCD内一点,42,2尸,AB=BF,过点B作FE1AD,

垂足为点E.

图1图2

（1）如图1,若BF=3EE=6,求四边形ABFE的面积;

(2)如图2,连接BE、CE,若BE=CE,求证：AE+EF=BC.

（2022春•章丘区期中）

11.探究题：

如图①，△ABC和△>!££）都是等腰直角三角形，NBAC=/D4E=90。，点B在线段

上，点C在线段AE上，我们很容易得到BO=CE,不需要证明；

⑴【探究】

如图②，将△AEZ）绕点A逆时针旋转a（0<a<90。），连接8。和CE,止匕时BZ）=CE

是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；

Q）【应用】

（2025年）

如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点。落在BC的延长线上，连接CE；

①/ACE的度数为一度；

②试说明线段BC、CD、CE之间的数量关系；并给出证明

③若AB=AC=V5，CD=\,请直接写出线段。E的长.

（2022春•清城区期中）

12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,0）,以线段0A为边在第四象限

内作等边三角形△A08,点C为x轴正半轴上一动点（OC>1）,连接BC,以线段3c

为边在第四象限内作等边三角形△C2D连接ZM并延长，交y轴于点E.

（2）在点C的运动过程中，/CA。的度数是否会变化？如果不变,请求出/CA。的度数；

如果变化，请说明理由.

（3）以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标和的长

度.

（2022春•和平区校级期中）

13.已知：点。是.ABC边所在直线上的一个动点（点。与点8,C不重合），

Za4C=90°,AB=AC=2,连接D4,点。绕点A顺时针转90。得到点E,连接BE,

AE,DE.

图1图2备用图

(1)如图1,当点。在线段C8的延长线上时，请你判断线段BE与线段CO之间的关系,

并证明你判断的结论.

(2)如图2,当点。在线段8C上，且&)=2CD时，直接写出四边形AE8C的面积.

⑶点D绕点A逆时针转90。得到点尸，连接CT,AF,DF,当/£AB=15。时，直接写

出线段CF的长.

(2022春•介休市期中)

14.已知AABC和AAOE都是等腰三角形，且A8=AC,AD=AE,ZDAE=ZBAC.

⑴［初步感知］如图①，当点D、E分别落在边AB、AC上时，那么DBEC.(填＜、

＞或=)

(2)［发现证明］如图②，将图①中的△&£＞£的绕点A旋转，当点。在AABC外部，点E在

△ABC内部时，求证：DB=EC-

(3)［深入研究］如图③，如果AABC和△4£)£都是等边三角形，且点C、E、。在同一条直

线上，则出的度数为；线段CE、2。之间的数量关系为；

(4)［拓展应用］如图④,如果AABC和AADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

点C、D、E在同一直线上，作若AB=屈,BD=6，求AM的长.

(2022春•吉安期中)

15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标(2,0),点C是y轴上的动点，当点C

在y轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形(点A、C、尸按逆时针方向排列)；当

点C移动到。点时，得到等边三角形A03(此时点P与点3重合).

（2025年）

(2)点C在y轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点尸在第二象限时，连接求

证：AAOC^AABP；

(3)当点C在y轴上移动时，点尸也随之运动，探究点P在移动过程中有怎样的规律？

请将这个规律用函数关系式表达出来；

(4)点C在y轴上移动过程中，当，03尸为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

(2021春•将乐县期中)

16.(1)如图1,ABC与VADE均是顶角为40。的等腰三角形，BC、DE分别是底边，

求证：BD=CE；

(2)如图2,"可和ADCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.

填空：NA£B的度数为二线段班与AO之间的数量关系是一.

(3)拓展探究

如图3,"CB和△DCE均为等腰直角三角形，NACB="CE=90。，点AD、E在

同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断ZAEB的度数及线段CM、

AE.BE之间的数量关系，并说明理由.

(2022春•椒江区校级期中)

17.我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60。的凸四边形叫做“准筝形”.

(1)如图1,在四边形A8CZ)中，/A+/C=270。，ZD=30°,AB=BC,求证：四边形

ABC。是“准筝形”；

⑵小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图2,“准筝形”ABC。，AD=BD,

ZBAD=ZBCD=60°,BC=5,CD=3,求AC的长；

小军研究后发现，可以8为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的

思想来求AC请你按照小军的思路求的AC的长.

（3）如图3,在AA8C中，NA=45。，ZABC=120°,8c=2百，设。是AABC所在平面

内一点，当四边形A8C。是“准筝形”时，请直接写出四边形ABC。的面积.

三、倍长中线

一.填空题（共1小题）

（2022春•游仙区校级期中）

18.如图，在4ABe中，3。10,点。是边上一动点，比_1_4。交AD于点E,当

3EN时，△ABD的面积恰好等于△ADC的面积，连接CE,则此时CE=

二.解答题（共4小题）

（2021春•玉林期中）

19.如图，在YABCD中，点£是8的中点，点尸是BC边上的一点，且跖，AE.求

证：AE平分ND4F.

小林同学读题后有一个想法，延长FE,AD交于点M,要证AE平分/ZMF,只需证

一是等腰三角形即可.请你参考小林的想法，完成此题的证明.

（2021秋•甘南县校级期中）

20.如图AD是三角形ABC的中线，瓦尸分别在AB,AC上，且DF±DE.求证：BE+CF>EF

（2019春•玄武区期中）

21.数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1,在ABC中若AB=5,AC=3,

（2025年）

求BC边上的中线4）的取值范围.

解决方法：延长AD到£.使得。E=AD.再连接8E（或将ACD绕点。逆时针旋转180。

得到△EBD）.把AB,AC,2AD集中在.ABE中，利用三角形的三边关系可得

2<AE<8,则1<AD<4.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中

心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：

如图2,在11ABe中，。是BC边上的中点，DE1DF,DE交AB于点E,。尸交AC于

点、F,连接EF.

D

图2

⑴求证：BE+CF>EF；

⑵若NA=90。，探索线段BE,CF,E尸之间的等量关系，并加以证明.

（2019春•秦淮区期中）

22.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1,AABC中，若AB=5,AC=3,求8C边上的中线AD的取值范围.

小明在一组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E,使得DE=AD,再

连接8E（或将△AC。绕点。逆时针旋转180。得到△£8。），把A3、AC、2Ao集中在

△ABE中，利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中

心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2,在△ABC中，D是BC

边上的中点，DELDF,DE交AB于点E,。/交AC于点孔连接EE

①求证：BE+CF>EF-,②若/A=90。，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以

证明；

（2）问题拓展：如图3,在平行四边形A8CD中，AD=2AB,尸是的中点，作

垂足E在线段上，连接ERCF,那么下列结论①®EF=CF；

③SABEC=2SACEF；@ZDFE=3ZAEF.中一定成立是_（填序号）.

四、平行线中点

一.选择题（共2小题）

（2021春•邦州区校级期中）

23.矩形ABC。与ECPG如图放置，点8,C,尸共线，点C,E,Z）共线，连接AG,

取AG的中点H,连接若AB=CF=4,BC=CE=2,则硝=（）

A.72B.2C.73D.6

（2022春嘟州区期中）

24.如图，在平行四边形ABC。中，AD=2,AB=46,—B是锐角，AE_L8C于点E,

厂是的中点，连接OREF-,若/EFD=90,则AE的长为（）

「3四

A.2B.V5D芋

2

二.填空题（共1小题）

（2022春•清江浦区校级期中）

25.如图，在ACD中，ZG4D=90°,AC=6,AD=10,AB//CD,E是8上一点，BE

交AO于点/，若AB=DE,则图中阴影部分的面积为

CED

三.解答题（共2小题）

（2021春•扶沟县期中）

26.如图，已知AB=12,ABLBC^-B,ABLADA,AD=5,8C=10点E是CO的

（2025年）

（2022春•澄迈县期中）

27.（1）方法回顾证明：三角形中位线定理.

已知：如图1,DE是ASC的中位线.求证：.

证明：

（2）问题解决：如图2,在正方形ABCZ）中，E为的中点，G、/分别为A3、CD

边上的点，若AG=3,DF=4,NGEF=90°,求GF的长.

AED

一.选择题（共1小题）

（2022秋•新洲区期中）

28.如图，是N4BC的平分线，APL8P于P,连接PC,若△ABC的面积为Ic/

则APBC的面积为（）.

A.0.4cm2B.0.5cm2

C.0.6cm2D.不能确定

二.填空题（共1小题）

（2022春•芙蓉区校级期中）

29.如图，在中，?B90?,AD平分/BAC交于点，垂直平分AC,

垂足为点E,若BD=1,则8c的长为.

三.解答题（共3小题）

（2021春•高州市期中）

30.如图，在AABC中，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交NBAC的平分

线于点E,EFLAB于点F,EGLAC于点G.

（1）求证：BF=CG；

（2）若AB=12,AC=8,求线段CG的长.

（2021春•驿城区校级期中）

31.如图，在ABC中，AD平分，54C,ZC=90°,AB于点E,点F在AC上,

BD=DF.

⑴求证：CF=EB.

⑵若AB=20,AC=16,求AF的长.

（2021春•黄骅市期中）

32.如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分/BAC,

（2025年）

CEJ_AE点F在AB上，且BF=DE

（1）求证：四边形BDEF是平行四边形

（2）线段AB,BF,AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论

六、半角模型

一.选择题（共1小题）

（2021春•牡丹区期中）

33.如图，在RSABC中，AB^AC,D、E是斜边8c上两点，且/D4E=45。，将△AOC

绕点A顺时针旋转90。后，得到△AFB,连接EF,下列结论：①AAEDmAAEF；②NFAD

=90°；®BE+DC=DE；@BE2+£）C2=DE2,其中一定正确的是（）

A.①③B,①②④C.①②③④D.②④

二.解答题（共7小题）

（2021秋•同江市期中）

34.已知：正方形ABCD中，NMAN=45,绕点A顺时针旋转，它的两边分别

交CB,DC（或它们的延长线）于点N.

当/他4N绕点A旋转到3M=DN时（如图1）,易任BM+DN=MN.

图1

（1）当绕点A旋转到时（如图2）,线段和之间有怎样

的数量关系？写出猜想，并加以证明.

(2)当/MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段ON和之间又有怎样的数

量关系？请直接写出你的猜想.

(2021春•丽水期中)

35.已知正方形ABC。中，M,N是边BC,CD上任意两点，/M4N=45。，连结MN.

A

(1)如图①，请直接写出三条线段的数量关系：；

(2)如图②，过点A作AHLMN于点H,求证：AB=AH

(3)如图③，已知/朋3=45。,4"，"可于点人且M8=2,N"=3,求A”的长.

(2021春•福田区校级期中)

36.探究：

(1)如图1,在正方形ABCD中，E,尸分别是BC,8上的点，且㈤F=45。，试判断

BE,O尸与麻三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：.

(2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,

E,尸分别是边BC,8上的点，且=贝I](1)问中的结论是否仍然成

图2

(3)在(2)问中，若将下绕点A逆时针旋转，当点分别E,尸运动到BC,8延

（2025年）

长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化,

请给出结论并予以证明.

（2022秋•市南区期中）

37.已知正方形中，ZMAN=45°,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交

CB,DC（或它们的延长线）于点M,N,于点

（1）如图①，当NMAN绕点A旋转到BM=OV时，请你直接写出与4B的数量关

系：;

（2）如图②，当/MAN绕点A旋转到创存ON时，（1）中发现的AH与A8的数量关系

还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知/M4N=45。，AHLMN于点、H,且M”=2,AH=6,求N”的长.（可

利用（2）得到的结论）

（2022春•邦州区校级期中）

38.已知，正方形ABC。中，ZMAN=45°,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别

交CB、DC（或它们的延长线）于点/、N,AHLMN于点,H.

（1）如图①，当绕点A旋转到BM=£>N时,请你直接写出AH与AB的数量关系：

（2）如图②，当NMAN绕点A旋转到时，（1）中发现的A8与AB的数量关系

还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知NAMN=45。，AHLMN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.（可

利用（2）得到的结论）

(2021秋•千山区期中)

39.(1)如图，正方形4BCD中，点E,E分别在边BC,C。上，ZEAF=45°,延长CD

到点G,使DG=BE,连结EF,AG.求证：EF=FG.

(2)如图，等腰直角三鱼形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点、M,N在边BC上，且

ZMAN=45°,若3A/=1,CN=3,求A/N的长.

(2015春•平度市期中)

40.已知：ABC是等边三角形，皮)C是等腰三角形，其中/BDC=120。，过点。作

NEDF=60°,分别交AB于E,交AC于尸，连接斯.

(1)若BE=CF,求证：①DEF是等边三角形;②BE+CF=EF.

⑵若BE彳CF,即E、下分别是线段AB、AC上任意一点，3E+CF=跖还会成立吗？

（2025年）

请说明理由.

七、胖瘦模型

一.选择题（共1小题）

（2022春•清江浦区校级期中）

41.如图，。是上一点，D尸交AC于点E,DE=FE,FC//ABAB^6,CF=4,

则BD的长是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

二.填空题（共2小题）

（2021春•灌阳县期中）

42.如图，在RtZXABC和RtADEF中，ZB=ZE=90°,AC=DF,=,若ZA=55。,

WJZDFE=.

（2022春•镇海区校级期中）

43.如图，已知ABC是边长为6的等边三角形，点。是边2c上的一点，且BD=2,

以AD为边作等边「ADE,过点、E作EF//BC,交AC于点尸，连接8尸，贝US四边形BDEF=

三.解答题（共2小题）

（2021春•扶沟县期中）

44.如图，在&ABC中，ZACB^90°,AC=BC,点P在斜边AB上，以PC为直角边

作等腰直角三角形PCQ,/PCQ=90。,则加2,pg2,pc2三者之间的数量关系是

请说明理由.（提示：连接8。）

Q

APB

(2022春•崇义县期中)

45.定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”

如图1,四边形ABC。中，AD=CD,ZA+ZC=180°,则四边形A3CD叫做“等补四边

形

(1)概念理解

①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是()

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

②等补四边形ABC。中，若：NC：ND=2：3：4,则/A=；

(2)知识运用

如图1,在四边形ABCZ)中，8。平分N48C,AD=CD,BOBA.求证：四边形

是等补四边形

(3)探究发现

如图2,在等补四边形ABC。中，AB=AD,连接AC,AC是否平分N8C£)?请说明理

由.

BC

B

图1图2

（2025年）

参考答案：

12m-n

2n—m

【分析】作NBAM=NCDN=30。，交的延长线于点M,交的延长线于点N,根据

已知可得NM=NN=60。，再利用等边三角形的性质可得ZAED=60。，AE=DE,从而可得

ZMAE=/DEN,然后证明AAME=AEVD,利用全等三角形的性质可得AM=E7V,

ME=DN,再根据已知设48=成，CD=mk,从而在RtAAMB和RtADCN中，利用锐角三

角函数的定义进行计算求出AM,BM,CN,ON的长，从而求出麻，CE的长，进行计

算即可解答.

【详解】解：作NB4M=NCDN=30。，交CB的延长线于点交的延长线于点N,

如图所示：

ZABC=ZDCB=90°,

ZABM=/DCN=90。,

ZM=90°-ZBAM=60°,ZN=900-ZCDN=60°,

ZMAE+ZAEM=180。—ZM=120。，

AAED是等边三角形，

ZAE»=60°,AE=DE,

ZAEM+ZDEN=1SO°-ZAED=12O°,

ZMAE=ZDEN9

ZM=ZN=6Q0,

AAME2AEVD（A45）,

AM=EN,ME=DN,

AB_n

设AB=nk,CD=mk，

（2025年）

AMABn_2R

/w[IK"73",

在RtAAMB中,BM=—<="—TIK,,sin60°

tan60°V33

2

：.AM=EN=-y[3n,

3

DCmk-2后成

CD_m_上…DN=

在RtADCN中，CN=sin60°是

tan60°V33

2

,\ME=DN=-y/3mk,

3

/.CE=EN-CN=-y/3nk-—mk,BE=EM-BM=-^mk--nk,

3333

CE_J1nk_2#）欣-垂）mk_2n-m

BE2n：V3.--J3nk2m-n"

——nk

33

.BE_2m-n

CE2n-m

2m-n

故答案为:

2n—m

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的性质，根据题

目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

2.12

12

【分析】证明RA"。0M/kCGK,得到A/=CG,利用勾股定理结合面积法求得CG=M，进

一步计算即可求解.

【详解】解：过点A作A/L8C于点/,

•・,正方形ACKL,ZACK=90°,AC=CK,

：.ZACI+ZKCG=90°,ZAC/+ZCA/=90°,

:・Rt〉AIC经Rt^CGK,

：.AI=CG,

VZBAC=90°,AC=3,AB=4.

•••"="+42=5,

-ABxAC=-BCxAI,

22

1212

AI—,贝UCG=,

•・•正方形BCDE,

（2025年）

：.CD=BC=5,

12

长方形CDPG的面积为5xy=12.

故答案为：12.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是

解题的关键.

3.(1)见解析；(2)6

【分析】(1)先证/区再结合NAEF=/CE2=90。且AE=CE利用全等三角形

的判定得4AEFmACEB；

(2)由全等三角形的性质得A尸=BC,由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD等量

代换得出结论.

【详解】(1)证明：

/AEF=NCEB=9Q。.

：.ZAFE+ZEAF^90°,

'：AD±BC,

：.NAOC=90°,

：.ZCFD+ZECB=9Q°,

又：ZAFE^ZCFD,

：.ZEAF=ZECB.

在△4£尸和4CEBdp,

(2025年)

NEAF=NECB

<AE=CE,

ZAEF=NCEB=90°

.♦.△AEFmACEBCASA)；

(2)；AAEF94CEB,A尸=12,

：.AF=BC=n,

"：AB=AC,ADIBC,

:.CD=BD=gBC=6,

...CO的长为6.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，其中全等三角形的判定

方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL(直角三角形的判定方法).

4.(1)AM

(2)证明见解析

(3)=,=

【分析】(1)利用A4S证明△ABM0ZkEAP,得EP=AM；

(2)作GH_LPM于H,由(1)同理得，△ACM0ZkCAH(AAS),J^ABM^AEAP(AA5),

得AM=EP,AM=GH,则EP=G"，再利用44s证明△EPNgZ\GHN,得EN=GN；

(3)由(2)同理可解决问题.

【详解】(1)解：'：ZBAE=ZBMA=90°,

：.ZZBAM+ZEAP=ZBAM+ZMBA=90°,

：.ZMBA^ZEAP,

X'-'AB=AE,

：.AABM^AEAP(AAS),

：.EP=AM,

故答案为：AM；

(2)解：作GHLPM于H,

(2025年)

图2

由(1)同理得，△ACM也△CAH(AAS),^ABM^AEAP(A4S),

：.AM=EP,AM=GH,

:.PE=GH,

■:4EPN=/NHG,/PNE=/HNG,

:•△EPN也△GHV(A4S),

：.EN=GN；

(3)解：如图3,作于H,

图3图4

由(1)同理得，XNCMQXCAH(A4S),/^ABM^AEAP(A4S),

：.AM=EP,AM=GH,

；・PE=GH,

■:/EPN=/NHG,ZPNE=ZHNG,

:•△EPNQAGHN(A4S),

:.EN=GN；

如图4,作GH_LPM于〃，

由(1)同理得，△ACM之△CA"(A4S),△ABM^AEAP(A4S),

:.AM=EP9AM=GH,

:・PE=GH,

•:/EPN=/NHG,/PNE=/HNG,

:AEPN经AGHN(AAS),

（2025年）

:.EN=GN；

故答案为：=,=.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练

掌握一线三等角基本模型是解题的关键.

5.(1)见解析；(2)7754

【分析】(1)先根据勾股定理求出AC,再根据勾股定理逆定理即可证明NACD是直角；

(2)作。E_LBC交BC的延长线于点E,证明△ABCg/XCE。，在贬△8DE中，利用

^IBE2+DE2即可求解.

【详解】解：⑴证明：［NA8C=90°,AB=8,BC=15,

AC=7AB2+BC2=7S2+152=17，

VCD=17,AD=17V2,

C£)2+AC2=172+172=578,AD2=(1772)2=578,

CD2+AC2=AD2,

ZACD=90°.

(2)作D£_LBC交BC的延长线于点E,贝i|NZ)EC=90。，

由(1)知AACD是直角三角形，ZACD=90°,

：.ZDCE+ZACB^9Q0,

'：ZABC=90°,

：.ZCAB+ZACB=90°,

：.ZDCE=ZCAB,

又AC=CO=17

ZABC=ZCED

：.在仆ABC和小CED中，­ZCAB=NDCE,

AC=CD

：.AABC^/XCED(A4S),

：.AB=CE,BC=ED,

VAB=8,BC=15,

；.CE=8,££>=15,

BE=BC+CE=15+8=23,

（2025年）

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是

熟练掌握：勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长

的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+62=02,那么这个三角

形就是直角三角形.

6.(1)DE-,(2)见解析；(3)=；(4)6；(5)2

【分析】(1)根据全等三角形的性质即可得到答案；

(2)分别过点。和点E作DM，FG于点M,EN，FG于点N,由(1)中结论可得到AF=DM,

AF=EN,然后只需要证明ADMG沿AENG即可得到答案；

(3)过点。作。。_1_4/交4尸于0,过点后错硒_1。。交。。延长线于',过点C作CM_LO。

交0。延长线于M,然后同(2)中证明AAOD^ADAfC,AFOD^Z\DNE,AENP^ACMP

即可得到答案；

(4)同(3)中证明方法可以得到SAACF=SAI>CE=S^BCH=S/\GEK，只需要求出S.DCE即可得到

答案；

(5)向(3)中的方法可以证明S^GHK-Samc=S^CMD-S^GMN，然后利用勾股定理得到

S正方形ABKH+S正方形MDEN=S正方形RCMG即可得至5J答案.

【详解】解：（1）,/AABC^^DAE

：.AC=DE

（2）分别过点。和点E作于点硒_1%于点"，，〃4^+//g/=90。，

Z&4D=90。，

NBAF+ADAM=90°,

/.ZBAF=ZADM

BC1AF,

：.ZBFA=ZAMD=90°,

(2025年)

在AAaF和AH4M中，NBAF=ZADN,ZBFA=ZAMD,BA=AD,

:.AF=DM

同理AF=RV

:.DM=EN,

VDMVFG,EN1FG,

；・ZDMG=/ENG,在DMG和AENG中,ZDGM=ZEGN,

ZDMG=ZENG,DM=EN,

：.△DMG"AENG

：・DG=EG,即点G是。石的中点；

D

C

(3)如图所示，过点。作。OLAb交Ab于O,过点E作&V，。。交。。延长线于N,过

点。作CM_LOO交0。延长线于M

四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形

AZAZ)C=Z90°,AD=DCfDF=DE

V£)O±AF,CMLOD

：.ZAOD=ZCMD=90°,ZOAD+ZODA=90°fZCDM+ZDCM=90°,

又•:ZODA+ZDCM=90°

：.ZADO=ZDCM

：.AAOD^ADMC

=S/\DMC，OD=MC

同理可以证明AFOD%NDNE

•,^AFOD=S^DNE，OD=NE

：.MC=NE

\9EN±OD,CMLOD,ZEPN=ZCMP

(2025年)

AENP^ACMP

•,SA皿p-S&CMP

ADCEDCMMMPS4DENENP

DFODOD，S-S^.S++S/\

,,S4DCE-SAD+S丛D-S^AOD+S/^FOD

CMEN

SADCE-SMDF即&=§2；

（4）如图所示，过点E作石OJ_C£＞交CD于O

同(3)中的证明方法可以得到SAADF—SADCE=