北京市平谷区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（含答案）

北京市平谷区2024-2025学年九年级上学期期末考试

数学

2025年1月

一、选择题(本题共16分，每小题2分)

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.在中，NC=90°,AC=4,AB=5,则sinA的值是

443

A.B.C.D.

3545

2.如图，直线/l〃/2〃/3，直线4,/5被直线/1、b、，3所截，截得的线段分别

为AB,BC,DE,EF,若AB=4,BC=6,DE=3,则EF的长是

992

(A)—(B)—(C)—(D)4

243

3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=2X2先向左平移3个单位长度，再向下

平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为

A.y-2(X-3)2+4B.y-2(x-3)2-4

C.J=2(X+3)2+4D.y=2(x+3)2-4

4.如图，点A、B、C为。。上三点，ZACB=30°,A8=3,弧AB的长是

371c

A.B.-7iC.—D.27r

42

5.如图，已知正方形ABCD的边长为6,点E是CD边上一点，CE=2,以CE为一边

作正方形CEMN,连接AM交CD于点H,则DH的长为

42

A.-B.1C.3D.-

33

6.点A(1,yi),B(3,>2)是反比例函数y=-色图象上的两点，那么巾，”的大

x

小关系是()

A.yi>y2B.yi—yiC.yi<y2D.不能确定

7.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在一定条件下,

可食用率P与加工时间t(分钟)满足的函数关系式为：

0=。产+初+。(a，0),如图记录了三次相同条件下实验的数据，根据上述函

数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为

A.3.5分钟B.3.75分钟

C.4分钟D.4.25分钟

8.如图，等边AABC中，点D是BC边上一点（不与点B、点C重合），连接AD,以AD为边作等边4AED.给

出如下三个结论：，

①BE=DC;②△DBES/\ADC；（3）-<S^ADE<1

4S-ABC

上述结论一定正确的是

（A）①（B）①③/

（C）②③（D）①②③SV

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

L3D

9.函数y=，2x—4的自变量尤的取值范围是_____.

K

...m2m2m

10.右=,则=____.

n3m+n

n.如图，身高1.6米的小林从一盏路灯下5处向前走了8米到达点。处时,发现'、、、n

自己在地面上的影子CE长2米，则路灯的高AB为_____米.

12.如图，在。0中，AB是。。的直径，C,D,E是。。上的点,如果NA0C+B

ZE0D=180°,0D=5,DE=6,那么AC的长为_________________.

13.若抛物线y=kx2+2x-l的顶点在%轴上，则k的值为_____.

14.如图，点A、2在双曲线5上，过点A作ACLx轴于点C,过点B作BDLy轴于点D,连接

OA、OB,设AOBD的面积为Si.设AOAC的面积为S2,则Si__S2（填“>,<,或="）.

15.中国古代建筑中的斜脊结构，既有利于排水，又有利于保温，是古代工匠智慧的体现.如图，房屋的屋

顶截面结构为等腰三角形，若斜脊AB的坡度i为1：2,房子侧宽BC为12米，则斜脊AB的长为米.

16.周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如

下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备9：00进科技馆，12：00离开（各展

馆之间转换时间忽略不计）.

（1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完一个展馆；

（2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序

展馆ABCDEF

专业讲解无9：30-11：00每半小时一无无10：00-12：00每1小时一无

场，共3场场，共2场

参观所需时间（分603045156090

钟）

三、解答题（本题共68分，第17、18、19、20、21、22题，每小题5分；第23、24、25、26题，每小题

6分；第27、28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：2sin45°+[g]

18.如图，四边形ABC。是平行四边形，于点E,点E恰为AO中点，CFLA8于点F当

BF=2,AD=6时，求AB的长.

19.已知：如图，△ABC中，AB=AC,AB>BC.

求作：线段8。，使得点。在线段4c上，且

2

作法：①以点A为圆心，长为半径画圆；

②以点C为圆心，长为半径画弧，交。A于点尸

（不与点B重合）;

③连接8尸交AC于点D

线段8。就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明.

证明：连接尸C.

'：AB=AC,

...点C在。A上.

:点P在。A上，

：.ZCPB=-ZBAC（）（填推理的依据）.

2

,:BC=PC,

：.ZCBD=.

，ZCBD=-ABAC.

2

20.已知二次函数几组x与y的对应值如下表:

・・・…

X-i01234

…

y•・・830-10m

（1）直接写出m的值，m=

（2）求此二次函数的表达式.

21.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代航行模式之先导.如图，某桨轮船的轮子

被水面截得的弦过O作半径OCL弦AB于点D,若轮子的半径为5米，弦长为8米，依题意补全

图形，并求轮子的吃水深度CC为多少米.

22.湖光塔坐落在平谷区金海湖中心岛的山顶，七层八角形楼阁式建筑挂满风铃，微风吹过，玲声悠扬，是

金海湖景区的主要景观之一.某校组织九年级学生到金海湖景区参加社会实践活动，数学小组的同学最初的

目标是测量湖光塔的高度，但是他们通过网络搜索发现，网上可以查到湖光塔的塔高为30米，所以他们

把任务确定为测量湖光塔所在的中心岛小山的高度，数学小组设计的方案如图所示，他们在点C处用测角

仪测得塔顶A的仰角为45。，此时，由于树木的遮挡，看不清塔底，他们延水平方向向后走64米在点。处

用测角仪测得塔底B的仰角为26.50.请根据他们网上查到的数据和测量数据求中心岛小山BE的高度约为

多少米.（参考数据:sin26.5°«0.45;cos26.50°0.89;tan26.5080.50;)

23.在平面直角坐标系xOy中，直线y=g：+l(kwO)与双曲线y=9(x>0)的交点是A(a,3).

x

(1)求a和女的值;

(2)当x>3时，对于x的每个值，函数y=既大于函数y=9(x>0)的值，又小于函数

x

y="+l的值，直接写出m的取值范围.

24.如图，已知△ABC中，AB=BC,点D是BC边上一

点，连接AD,以AD为直径画。O,与AB边交于点

E,与AC边交于点F,EF=AF,连接DE.

(1)求证：BC是。O的切线；

3

(2)若，C=10,cosZAFE=-i求的长.

25.某客运站为了了解早高峰时间段运营情况，有效的缓

解该时段乘客的等待时间，对早上6:00-8:00时间段内，客运站累计候车人数和累计承载人数进行统计，为

了便于记录，将早上6:00开始每10分钟记作一个单位时间，记为时间x(0WxW12),累计候车人数记为

yi,累计承载人数记为yz.

下面是他们的调查过程，请补充完整：

(1)他们调取了客运站该时段内累计候车人数yi与累计承载人数y2随x的变化而变化的有关数据：

时间段0123456789101112

累计候车人数yi(万人)0.51.11.62.22.93.64.25.15.76.06.36.56.6

累计承载人数丫2(万人)0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5m6.5

(1)补全表格，m的值为；

(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画yi与x.y2与x的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全表中

各对对应值为坐标的点，画出这两个函数的图象;

(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：

①大约一点一分时，客运站滞留人数最多；

②客运站将在滞留乘客人数达到0.5万人及以上的时间段增派车次缓解供需压力，公司约在一点—分

至一点—分时间段增派车次更合理.

26.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=X?_2w?x+加2一4.

(1)当m=l时，求抛物线与x轴的交点坐标；

(2)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为G,若点A(xi，

yi),B(X2，＞2)是函数G图象上的两点，若对于任意的-2a1＜-1,X2=-l,都有“＜乃,求m的取值范围.

27.Rt^ABC中，ZACB=90°NB=a,点D是AB边中点，点E是BC边上一点(不与点B、点C重

合)，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转2a,得到线段DF,连接EF、AF.

(1)如图1,若a=30°,点F刚好落在BC边上，BE=1,则AF=，AC=；

(2)判断AF、BE和BC的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明.

28.我们给出如下定义：在平面内，已知点M和图形G,点M到图形G上所有点的距离的最小值称作点

M到图形G的距离.

(1)平面直角坐标系下，已知点P(0,3),以O为圆心，1为半径画圆，则点P到。。的距离为;

(2)平面直角坐标系下，已知点P(0,3),在平面内有一个矩形ABC。，A(-2,1),B(2,1),D(-2,-1).

①当矩形绕着点。旋转时，点尸到矩形的距离d的取值范围为.

②若M为矩形ABCD上一点，连接OM,以0M为直径画圆，记作圆G,则点P到圆G的距离d的取值

范围为.

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

题号12345678

答案DADACCBB

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

题号910111213141516

答案x>2488—1=3A/54;F-B-E

J

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27、28题，每小题7

分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.解：

=2X^+3+V2-1-3A/2...........................................................................................................4

=2-A/2..............................................................................................................................................5

18.解：・・•四边形ABC。是平行四边形

AZD=ZB,AD=BC,AB=DC..........................................................................................1

•.*CE±ADCF±AB

:.NCED=NCFB=90°..................................................................................................................2

・・・ACDE〜ACBF

................3

CDDE

>>•-----=..........4

BCFB

u

：AD=BC=6fE是AD中点

・・.DE=3

・CD_3

・・.AB=CD=9................................

19.

...............................................................................................................................................................2

圆周角定理.........................................................4

ZCPB.............................................................5

20.解：

(1)3............................................................1

（2）由表中数据可知抛物线的顶点坐标为（2,T）,

.2

.,•设抛物线的解析式为y=a（x-2>—l（awO）

..................................................................3

•.•抛物线过点（3,0）,

.,.a（3-2>-1=0

..................................................................4

解得a=l,

•••抛物线的解析式为y=（x-2）2-l.

..................................................................5

法2：

（2）由表中数据可知抛物线与y轴交点为（0,3）,

**•设抛物线的解析式为y=ax?+bx+3（a工0）

..................................................................3

：抛物线过点（T,8）,（1,0）

.a—b+3=8

a+b+3=0

..................................................................4

解得a=l,b=-4.

抛物线的解析式为y=x?-4x+3.

..................................................................5

21.依题意补全图形1

---------ee-------------

解：：半径OC，弦AB于点D,AB=8

；.BD=4.......................................................................................................................................2

连接OB...............................................................................................................................................3

VOB=5

由勾股定理OD=3.............................................................................................................................4

.*.CD=5-3=2........................................................................................................................................5

；・吃水深度为2米.

22.解：

由题意，ZAED=90°,ZACE=45°,ZBDE=26.5°,AB=30,CD=64..........................1

设BE=x,则EC=x+30......................................................................................................................2

Vtan26.5°«0.50

x

土0.504

x+30+64

解得xa94.........................................................................................................................5

答：小山高度约为94米.

23.(1)；双曲线y=9(x>0)过点A(a,3)

X

Aa=2............................................................................................................................................1

•・•直线y=+l过点A(2,3)

：.k=l............................................................................................................................................2

2

(2)-#m1..................................................................................................................................6

3

(一个界值1分，符号完全正确满分)

24.(1)证明

TAD为。。的直径，

AZAED=90°........................................................................................................1

VBA=BC

JNBAONBCA

VEF=AF

AZBAC=ZFEA......................................

JNBCA=NFEA

ZDEF=ZDAC

・•・ZDAC+ZBCA=ZDEA+ZAEF=90

AAD±BC

・・・BC为。。的切线....................................3

(2)・.・BC为。0的切线

.,.ZADE+ZBDE=90°

:.NB+NBDE=90°

・・・NB=NADE

3

*.*cosZAFE=—

5

3

cosZB=—

5

・BD_3

**AB-5

・BD_3

，9~L0~~5

ABD=6........................................................................................................................4

由勾股，AD=8

VBC=10

ADC=10-6=4.........................................................................................................5

由勾股

AC=4^/5........................................................................6

25.(1)61

(3)①7点20分.......................................4

②6点45分至7点45分

..............................................................................................................................6

26.解：

(1)当m=l时，y=x2-2x-3

令y=o,得y=2兀-3

解得4=3,%2=T

・••抛物线与x轴的两个交点(3,0)和(-1,0)

....................................................................................................................................................................................2

(2)由y=x2-2mx+m2-4=(x-m)2-4

I.抛物线的顶点为(m,-4),

抛物线的对称轴为x=m.

..........