北师大版七年级数学下册同步训练：平方差公式和完全平方公式（10类热点题型）（解析版）

第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)

学习目标

1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用；

2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算;

3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.

思维导图

平方差公式:两个数的和与这两个

数的差的积,等于这两个数的平方

差.

完全平方公式:两数和(差)的平方,

等于它们的平方和加(减)它们积

的2倍.

平方差和完全平方差区别

知识清单

知识点01平方差公式

平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

即(a+b){a-b)=cz2-b2

公式的几种变化：

①位置变化：Cb+a)C-b+a)=(.a+b)(.crb)=a2-b1；

(-a-b)(«-&)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-(f=b2

②系数变化：(2a+36)(21-36)=(2。)2-(36)2=4/-%/

③指数变化：(储+〃)(/_")=(储)2_(〃)2=a4_b4

④增项变化：(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2

⑤连用公式变化：(a+b)(a-b)("+〃)=(〃+〃)=(a2)2_(〃)2="_64

⑥公式逆运算：a2-l>2=(a+b)(crb)

知识点02完全平方公式

完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.

即完全平方和(〃+万)2+2ab+b2完全平方差(«-/?)2-a2-2ab+b2

(1)公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍

(2)公式的变化：

①/+b2-(«+/?)2~2ab；②/+b2=(a-b)2+2ab；③(«+Z?)2=(a~b)2+4ab；④(a-b)2-(a+b)2-4ab

⑤(a+b)2~(a-b)2=4ab

知识点03平方差和完全平方差区别

平方差公式：(〃+万)(〃-公二/一〃

完全平方差公式：(a-b)2-a1-2ab+b2

平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍

题型精讲

题型01判断是否可用平方差公式运算.

【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是()

A.B.(―2x+3y)(—3y—2%)

C.(-2x+y)(-2x-y)D.

【答案】D

【详解】解：A、[ga+2“ga-2“='4[(2b)2,可以使用平方差公式;

B、(-2x+3y)(—3y-2x)=(-2x)2-(3y)2,可以使用平方差公式；

C、(-2x+y)(-2x-y)=(-2x)2-/,可以使用平方差公式；

D,(%-1)(-%+1),两项都不相同，可变形为完全平方公式，不能使用平方差公式.

故选：D.

【变式训练】

1.下列能使用平方差公式的是()

A.(x+3)(3+x)B.(-x+y)(x-y)C.(5m+n)(-5m-n)D.(3m+n^(3m-ri)

【答案】D

【详解】解：4不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；

8、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；

C、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；

D,能使用平方差公式，故本选项符合题意；

故选：D

2.下列各式中，不能用平方差公式计算的是()

A.(2x-y)(2x+y)B.(-x+y)(x-j)

C.(b-a)(b+a)D.(尤-x)

【答案】B

【详解】解：A、(2x-y)(2x+y),能用平方差公式进行计算，不符合题意；

B、(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y),不能用平方差公式进行计算，符合题意;

C、(。-4)。+4),能用平方差公式进行计算，不符合题意；

。、(彳-')(->-月=-(x-y)(x+y),能用平方差公式进行计算，不符合题意;

故选B.

题型02运用平方差公式进行运算.

【例题】(2023上,全国•八年级专题练习)计算：

⑴(。+。)(。-2);(2)(x_g*x+g］：

(3)(m+〃)(/"-〃)；

(4)(0.1-x)(0.1+x)；(5)(x+y)(-y+x).

【答案］(1)a2+ba-2a—2b

⑵/一；

(3)77I2—n2

(4)0.01-x2

⑸

【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，平方差公式：

(1)利用多项式乘以多项式的法则即可求解；

(2)利用平方差公式即可求解；

(3)利用平方差公式即可求解；

(4)利用平方差公式即可求解；

(5)利用平方差公式即可求解.

掌握多项式乘以多项式以及平方差公式的法则是解题的关键.

［详解］(1)解：(a+b)(a-2)^a2+ba-2a-2b；

(3)解：^m+n)^m-n)=m2-n2；

(4)解：(0.1—x)(0.1+%)=0.01—尤2；

（5）解：（x+y）（-j+x）=x2-y2.

【变式训练】

1.（2023上,八年级课时练习）计算：

⑴（5〃Z-3〃）（57〃+3〃）；（2）（-2a2+5人）（一2/一5人）；

⑶（；x+y*-；x+y]；⑷（-3y-4x）（3y-4x）.

【答案】⑴25加2-9层

（2）4/一25〃

⑶必」一

16

（4）16X2-9J2

【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可得到结果；

（2）原式利用平方差公式计算即可得到结果；

（3）原式利用平方差公式计算即可得到结果；

（4）原式利用平方差公式计算即可得到结果；.

【详解】（1）（5m-3n）（5m+3n）=（5m）2-（3H）2=25m2-9n2；

（2）（—2[2+5b）（—2〃2—5Z?）=（—2Q2）—（5Z?）2=4<74—25Z?2

（3）LT；

（4）（—3y-4x）（3y-4x）=（Tx+3y）（Tx-3y）=（-4x）2-（3y）2=16x2-9y2.

【点睛】此题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2.（2023・上海•七年级假期作业）计算：

⑴（2a-3）（2a+3乂44+9）；（2）.

【答案】⑴16/-81

（2心〜4

1O

【分析】（1）连续运用平方差公式求解即可;

（2）连续运用平方差公式求解即可；

【详解】（1）（2a-3）（2a+3）（4a2+9）

=（4/-9）（4/+9）

=16a4-81;

(2)，。+"ga-b^a2+b2

=(工"2~b2)(—a2+£>2)

=-a4-b\

16

【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键.

题型03利用平方差公式进行简便运算.

【例题】(2023上•吉林长春•八年级校考阶段练习)用简便方法计算：

⑴498*502(2)20222-2023x2021

【答案】⑴249996

(2)1

【分析】(1)根据498x502=(500-2)x(500+2),利用平方差公式计算即可得；

(2)根据20222-2023x2021=20222-(2022+1)x(2022-1),利用平方差公式计算即可得.

【详解】(1)解：M=(500-2)x(500+2)=5002-22=250000-4=249996.

⑵解：原式=2022?-(2022+1)x(2022-1)=20222-(20222-I2)=20222-20222+1=1.

【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算，熟记平方差公式是解题关键.

【变式训练】

1.(2023上•八年级课时练习)计算：

⑴10.3x9.7；(2)2020x2022-20212.

【答案】⑴99.91

(2)-1

【分析】(1)根据平方差公式计算即可；

(2)根据平方差公式计算即可.

【详解】(1)解：10.3x9.7=(10+0.3)(10-0.3)=102-0.32=100-0.09=99.91；

(2)解：2020x2022-20212=(2021-1)(2021+1)-20212=20212-1-20212=-1.

【点睛】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的特征是解题的关键.

2.(2023上,八年级课时练习)计算：

13

(l)100-x99-.

(2)198x202.

(3)________________

20222-2023x2021,

【答案】⑴9999与

(2)39996

(3)2022

【分析】(1)(2)(3)运用平方差公式即可求解.

【详解】(1)解：原式=(100+!筒100一号=10()2-1=10000—=9999与

I4八4)41616

(2)解：原式=(200-2)x(200+2)=2002-22=40000-4=39996

巾___________2022___________20222022

22=22=2022

(3)解：原式—20222-(2022+1)x(2022-1).2022-(2022-1)2022-2022+1

【点睛】本题考查平方差公式的运用.熟记公式形式(。+6)(加6)=片-k是解题关键.

题型04平方差公式与几何图形.

【例题】(2023上•江苏泰州•七年级靖江市靖城中学校联考期中)图1、图2分别由两个长方形拼成.

⑴图1中图形的面积为〃2一/，图2中图形的面积为一.(用含有a、b的代数式表示)

⑵由(1)可以得到等式：

(3)根据你得到的等式解决下列问题：

①计算：68.52-31.52.

②若根+4〃=2,求++(2九+1)~—(2/一I)?的值.

【答案】⑴(。+与

(2)a2-b1=(a-Zj)x(a+/?)

(3)①3700；②5

【分析】本题考查平方差公式与几何面积.

(1)利用长方形的面积公式作答即可；

(2)根据两个图形的面积相等，即可得出等式；

(3)①利用(2)中的等式进行计算即可；②先用平方差公式进行化简，再代值计算即可.

解题的关键是得到cr-b1=(a-b)x(a+b).

【详解】(1)解：图2中图形的面积为(a-6)x(o+6)；

故答案为：(。+6);

(2)由(1)可得：a2-b2={a-b)x(a+b)-

故答案为：a2-b2=(«-&)x(6z+&)；

(3)①68.52-31勺

=(68.5-31.5)x(68.5+31.5)

=37x100

=3700；

②回机+4〃=2,

22

团(m+l)2-m+(2n+l)—(2〃—

=(m+l-m)(m+l+m)+(2H+l-2n+l)(2n+l+2n-l)

=2机+1+8〃

=2(m+4n)+l

=2x2+1

【变式训练】

1.（2023上•陕西安康•八年级校联考阶段练习）【实践操作】

（1）如图1,在边长为。的大正方形中剪去一个边长为。的小正方形（。＞6）,把图1中L形的纸片按图②剪

拼，改造成了一个大长方形如图③，用含。、6的式子表示图③中大长方形的面积为；

图①图②图③

（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：；

【应用探究】

（3）利用（2）中验证的公式简便计算：499x501+1；

22

【答案】(1)(2)(a+b)(a-b)=a-b;(3)250000；

2025

4048

【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘以宽即可;

（2）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积，分别计算即可得出

（3）观察（2）的的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将499拆成500-1,将501拆成500+1即

可；

（4）利用"-"=（4+6）（4-6）将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘

积为1,故答案为第一个因式乘以最后一个因式;

本题考查了“数形结合"中的平方差公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律.

a-b.)

【详解】（1）2（a-b）-r+bY

=(a-b)(a-b+2b),

=a2—b2,

故答案为：a2-b2;

（2）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积,

团(q+Z?)(a—b)=a?―b，

故答案为：（〃+"（〃—人）=〃—/;

(3)原式=(500—1)(500+1)—1,

=5002-l2-b

=5002=250000;

⑷原式1T1TT1I；1I沙1…*I-1+/1+/

2234420231-贵

1324352022202420232025

=—X—X—X—X—X—X…X----------X-------------X------------X------------,

2233442023202320242024

12025

=——x,

22024

2025

4048

2.（2023上•山东济南•七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）实战与探究，如图1,边长为。的大正方

形有一个边长为人的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.

⑴上述操作能验证的公式是.（请选择正确的一个）.

A,a1+ab=a^a-\-b)B.tz2-b2=(«-&)(«+&)C.a2-2ab+b2=(a-b^

⑵请应用上面的公式完成下列各题：

①已知4/一/=24,2a+b=6,则2a—b=；

②计算：1002-992+982-972+……+42-32+22-I2；

③计算：（2n）2—（2〃-Ip+（2〃-2）2-（2“-3）2+......+42-32+22-I2（n>l）

【答案】⑴B

（2）①4；②5050；③力—+“

【分析】本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键.

（1）根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论；

（2）使用（1）得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果.

【详解】（1）解：图一中的阴影部分面积为：a2-b2,

图二中阴影部分面积为：（a+b）（a-b）,

而这两者面积相等，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）.

故选：B.

（2）解：①4a2一斤=（2a+6）2（a-6）=24,

又2。+6=6,

:.2a-b=4.

②•.•1002-992=（100+99）（100-99）=100+99,

982-972=（98+97）（98—97）=98+97,

22-12=（2+1）（2-1）=2+1,

原式=100+99+98+97+...+4+3+2+1=5050.

③（2M）2-（2M-I）2+（2n-2）2-（2n-3）2+...+42-32+22-l2（n>l）

=（2〃+2〃-1）（2〃―2〃+1）+（2〃-2+2”-3）（2〃-2+2”+3）+......+（4+3）（4-3）+（2+l）（2-l）

—2zz+2n—1+2〃-2+一3+...+4+3+2+1

—2

=2/+n.

题型05运用完全平方公式进行运算

【例题】（2023上•河南信阳•八年级校考阶段练习）用乘法公式计算

（l）（x+y+z）2

（2）（2x—3+y）（2x-j7+3）

【答案】⑴/+J?+z?+2xy+2xz+2yz

（2）4x2-V+6y-9

【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知（。+与2=/+2况?+廿，（。―与（〃+与="—/是

解题的关键.

(1)根据完全平方公式进行求解即可；

(2)先把(y-3)看做一个整体利用平方差公式去中括号，再根据完全平方公式去小括号即可得到答案.

【详解】(1)解：原式=(x+yy+2z(x+y)+z2

=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz；

(2)解：原式=[2x+(y-3)][2尤-(y-3)]

=4x2—(y—3)2

=4x2_(，-6y+9)

=4x2-y2+6y-9.

【变式训练】

1.(2023上•八年级课时练习)计算：

(l)(x+7y)2；

⑵(Ta+56『；

(3)(—2m—；

(4)(2x+3/-2x-3y).

【答案】⑴V+14孙+49y2

(2)25〃-40。6+16。2

(3)4/H2—4mn+n2

⑷-4/一I2孙一9y2

【分析】(1)根据完全平方公式计算即可；

(2)根据完全平方公式计算即可；

(3)根据完全平方公式计算即可；

(4)先提出负号，再完全平方公式计算即可；

【详解】(1)解：(x+7y)2=彳2+2-x，7y+(7y)~=三+14盯+499；

(2)解：(-4a+5Z?)2=(5Z?-4a)2=(5/?)2-2-5Z?-4a+(4a)2=25&2-40ab+16a2；

(3)解：(―2zn—n)=(2m+riy=(2my+2-2m-n+n1=4/n2—4mw+«2；

(4)解：(2x+3y)(-2x-3y)

=_(2x+3y)~

=_[(2x)~+2.2x3y+(3y)[

=-4尤2_］2孙-9y2.

【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键.

2.（2023上•八年级课时练习）计算：

⑴（x+2y—z）（x-2y+z）；

⑵（5a+2》-3c汽

⑶（5a+3b-2c）（5a-36+6c）.

【答案】（l）x2-4y2+4yz-z2

（2）25a2+20ab-30ac+4b2-12bc+9c2

⑶256+20ac-9b2+246c-12c2

【分析】（1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案；

（2）两次利用完全平方公式计算即可得答案；

（3）将原式变形，利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案.

【详解】（1）解:（x+2y-z）（x-2y+z）

=［x+（2y-z）］［x-（2y-z）］

=x2—（2y—z）2

=x2-（4?—4yz+z2^

=x2-4j2+4yz-z2.

（2）解：（5a+2力-Sc?

=［（5a+2b）-3cJ

=（5a+-2（5a+26）•3c+（3C）2

=25a2+20ab+（2Z?）2-30ac-126c+9c2

=25a2+20at>-30ac+4b2-12bc+9c2.

（3）（5a+3b—2c）（5a—3b+6c）.

=［（5a+2c）+（30-4c）］［（5。+2c）-（3b-4c）］

=（5a+2cy-（36-4c）~

=256+20ac+4c2-9b2+246c-16c2

=25a2+20ac-9b2+24bc-12c2.

【点睛】本题考查平方差公式及完全平方公式，平方差公式：（。+初（。-3="-"；完全平方公式：

222

（a±b）=a±2ab+b；熟练掌握两公式并灵活运用是解题关键，运用整体思想，将多项式看成一项，可创

造条件套用公式.

题型06利用完全平方公式进行简便运算

【例题】用简便方法计算：1X3.72-3.7X2.7+1X2.72.

【详解】解：原式=；X(3.72-2X3.7X2.7+2.72)

=1x(3.7-2.7)2

-2-

【变式训练】

1.用简便算法计算

(1)20172-2016x2018(2)2022+202X196+982

【详解】(1)解：原式=2017：-(2017-1)(2017+1)

=20172-(20172-I2)

=20172-20172+1

=1.

(2)解:原式=202?+2x202x98+98?

=(202+98)2

=30()2

=90000

题型07通过对完全平方公式变形求值

【例题】(2023上•四川宜宾,八年级校考阶段练习)已知：a+b=-3,ab=2,求下列各式的值:

⑴/+/；

(2)(。-疗.

【答案】⑴5

(2)1

【分析】本题考查了完全平方公式的计算，变形计算.

(1)根据公式(4+6)2=4+2〃6+从变形计算即可.

(2)根据公式(。一匕)2=〃—2<7匕+62计算即可.

【详解】(1)解：Sa+b--3,ab-2,

0(a+Z?y=9,(a+Z?)2=tz2+2ab+b2,

H9=a2+2x2+Z>\

解得"+"=5.

(2)解：回/+/=5,ab=2,

团(Q—6)=a?—2QZ?+Z?2,

回(〃-/?)=/-2QZ?+〃=5-4=1.

【变式训练】

1.已知根-〃=T,mn=2,求下列代数式的值.

⑴川+川

(2)(m+l)(n-l)

【详解】(1)回加一〃="4,

团(机一及J=16,

0m2-Imn+n1=16，

回mn=2,

团机2+〃2=16+2mn=16+4=20;

(2)(m+l)(n-l)

=2-(-4)-l,

=5.

3

2.已知〃+b=5,ab=~,求下列式子的值：

(l)a2-ab+b2;

0(

3

【详解】(1)^\a+b=5,ab=~,

回Q2—cib+/=(。+b)2—3ab

=52—3x3

2

41

-T,

3

(2)^\a+b=5,ab=—,

2

团(a-Z?)2=(a+Z?)2—4ab

-52-4X-

2

=19.

题型08求完全平方式中的字母系数

【例题】已知关于x的式子4.F+A+1是某个多项式的完全平方，那么A是.

【答案】4尤、-4x和4尤4

【详解】解：®04X2+A+1=（2X）2+A+12,

EIA=±2-2xJ=±4x,

②若A+4无2+1是多项式的平方，

则A=4尤%

故答案为：4x、Tx和4尤、

【变式训练】

1.若Y+S-l）x+25是一个完全平方式，贝1］。=.

【答案】11或-9/-9或11

【详解】解：回Y+（a_l）x+25是一个完全平方式，

0（o-l）x=±2-x-5=±10%,

0a-l=±10,解得o=11或-9,

故答案为：11或-9.

2.若整式4/+f+。是完全平方式，请写出所有满足条件的。是—.

【答案】±4/或±彳6或;

4

【详解】解：①当。为4/和/的中间项时Q=±4x3；

②当4/为。和炉的中间项时Q=±f；

I

③当/为。和4/的中间项时。=:；

故答案为：±4d或土尤6或3.

题型09完全平方式在几何图形中的应用

【例题】（2023上•江苏•九年级专题练习）我们已经学习了乘法公式（a±6）2="±2M+b2的多种运用，可

以运用所学知识解答：求代数式Y+4X+5的最小值.解答如下：

x?+4x+5=+4x+4+1=（x+2）+1,

（x+2）2>0,回当x=-2时，（x+2）2的值最小，最小值是0,

0（^+2）2+1>1,团当（x+2『=0时，（x+2y+l的值最小，最小值是1,

团f+4x+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题.

⑴知识再现：当工=时，代数式尤2-4x+15的最小值是;

⑵知识运用：若y=-f+6x-15,当了=时，y有最______值(填"大"或"小")，这个值是

⑶知识拓展：若-犬+5彳+了+10=0,求y+x的最小值.

【答案】⑴2,11

(2)3,大，-6

(3)-14

【分析】(1)根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值；

(2)将等式右边配方后即可确定当无取何值时能取到最小值；

(3)首先得到有关x+y的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可.

【详解】(1)解：0X2-4X+15=(X-2)2+11,

团当x=2时，有最小值11；

故答案为：2,11；

(2)解：B\y=-x2+6x-15=-(x-3)2-6,

团当尤=3时有最大值-6；

故答案为：3,大，-6；

(3)解：0—x~+5x+_y+10=0,

0x+y=x2-4x-10=(x-2)--14,

ffl(x-2)2>0,

EI(X-2)2-14>-14,

团当x=2时，y+x的最小值为-14.

【点睛】本题考查完全平方公式及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

【变式训练】

1.例:求代数式x2+4.X-5的最小值.

解：Vx2+4x-5=x2+4.r+4-4-5=(x+2)2-9,

(x+2)2>0,A(X+2)2-9>-9,

，当x=-2时，代数式f+4x-5有最小值-9,

仿照以上方法，完成下列问题：

⑴求代数式尤2一3x+2023的最小值；

(2)求代数式-2/+x+3的最大值.

【详解】(1)解：•••X2-3^+2023=-3^+一+2°23=(尤一,］+20201,

,■,fx--^>0,/尤-3+2020->2020-1

I2；I2)44

33

.•.当尤=时，代数式J_3》+2023有最小值2020-；

24

(2)_2工2+工+3=一2卜一白］+3=一21一£|+3+1=一2［一+y,

二当尤=：1时,代数式-2f+x+3有最大值75

48

2.我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2,观察下列式子:

£+4彳+2=(£+4彳+4)-2=(尤+2)2-2,

(x+2)~>0,x~+4x+2=(x+2)2—2>—2,原式有最小值是—2；

-X2+2X—3--^X2-2尤+1)-2=_(XT)~-2,

—(X—1)_<0,—X2+2x—3=—(x—I)--2<—2,原式有最大值是—2；

并完成下列问题：

围墙(大于100米)

x----->

木栅栏

⑴代数式尤2-4尤+1有最(填大或小)值，这个值=.

⑵解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设

计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为无米，完成下列任务.

①用含x的式子表示花圃的面积；

②请说明当x取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？

【详解】(1)解：X2-4X+1=(X-2)2-3,

EI(x-2)2>0,

团(无一2『一32—3,

国代数式d-4x+l有最小值，最小值为-3；

故答案为小，-3；

(2)解：①由图可得花圃的面积：x(100-2x)=(_2/+100x)平方米；

②由①可知：一2犬+100.r=-2(x-25)2+1250,

,当x=25时，100—2x=50<100,且一2(x—25>V0,

.•.当x=25时，花圃的最大面积为1250平方米.

题型10完全平方公式在几何图形中的应用

【例题】现有长与宽分别为。、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个

相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：

⑴根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于。、b的关系式：(用。、b的代数式表示出来)；

图1表示：；图2表本：；

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(2)若x+y=8,X2+/=40,则；个=；

⑶如图3,点。是线段AB上的一点，以AC,3c为边向两边作正方形，设钻=7,两正方形的面积和

H+52=16,求图中阴影部分面积.

【详解】(1)解：图1中，由图可知S大正方形=(。+。)2,

S组成大正方形的四部分的面积之和=a2+人2+2ab,

由题意得，S大正方形=S组成大正方形的四部分的面积之和，

即(a+Z?)2=+Z?2+2ab,

故答案为：(4+32=/+/+2々6.

图2中，由图可知S大正方形=(。+。)2,S小正方形=(。-,S四个长方形二4",

由题图可知，S大正方形=S小正方形+S四个长方形,

即(a+Z?)2=(〃-Z?)2+4ab,

故答案为：(a+b)2=(a-b)2+4ab.

(2)解：•<,(x+j)2=x2-i-y2+2xy,

.5=；](》+»-(/+y2)]

・.・x+y=8,x2+y2=40,

,-,xy=A(82-40)=12,

0(x—y)-=x2+j2—2j;y=40—2x12=16.

故答案为：16；12.

(3)解：由题意得AB=AC+CB,

•:AB=1,

AC+CB=7,

•.•S1+S2=16,

:.AC2+CB2=16,

■.■(AC+BC)2=AC2+CB2+2AC-CB,

AC.CB=][(AC+CB)2-[AC2+CB2)]

=》T6)

_33

-T,

33

0S阴影=CD-CB=AC-CB=《.

即图中阴影部分的面积为三33.

【变式训练】

1.将完全平方公式(a±b)2=/±2"+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若。+匕=3,

ab=l,求/+〃的值.

解：因为。+方=3,所以(a+6)2=9,BPa2+2ab+b~=9.

又因为仍=1,所以/+匕2=7.

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

2

⑴若x+y=8,%+/=40,则孙=_；

(2)若x-y=6,xy=5,求产+产的值；

⑶两个正方形ASCD、AEFG如图摆放，面积和为34,BG=8,则图中阴影部分面积和为.

【详解】(1)解：•.•x+y=8,

.，.(%+yy=64,BPx2+2xy+y2=64,

又,.,12+丁=40,

/.2xy=64-40,

/.xy=12,

故答案为：12；

(2)解：回％—y=6,盯=5,

z.x2+y2=(x-j)2+2xy=36+2x5=46；

(3)解：设正方形ABCD的边长为机、AEFG的边长为〃,

m2+n2=34，m+n=8,

•/m2+n2=(m+n)2—2mn,BP34=64—2mn,

:.mn=15,

,/(m—n)2=m2+n2—2mn=34—30=4,

.\m—n=2,

,/m+n=8,:.m—n=2,

解得：m=5,n=3,

S阴影=gx(机一〃)xzn=；x2x5=5.

故答案为：5.

2.如图①，正方形A3CO是由两个长为人宽为b的长方形和两个边长分别为a、6的正方形拼成的.

⑴利用正方形ABC。面积的不同表示方法,直接写出(。+6)2、/+〃、必之间的关系式,这个关系式是

(2)若m满足(2024—〃Z)2+(〃7_2023)2=4047,请利用(1)中的数量关系，求(2024-MI)(〃L2023)的值;

(3)若将正方形E尸GH的边FG、GH分别与图①中的PG、MG重叠，如图②所示，已知尸尸=8,NW=32,

求图中阴影部分的面积(结果必须是一个具体数值).

【详解】(1)(a+6)2=/+62+2°6

(2)设2024—机=。，机一2023=》,

贝1(2024-〃?)(利一2023)=ab,a+b=\,

由已知得：“2+62=4047

（a+b）+b~+2ab,

012=4047+2",

13"=—2023,

El（2024-%）（〃?_2023）=-2023

（3）设正方形EFG”的边长为无，贝UPG=x—8,NG=32-x,

回S阴=S正方彩APGM+2S长方彩PBNG+S正为彩CQGN

13s阴=（X-8）2+2（%-8）（32-X）+（32-X）2

团（a+~—cc~+b'+2ab

EIS阴=［（无一8）+（32—x）了=24?=576

强化训练

一、单选题

1.(2023上•河南驻马店•八年级统考阶段练习)下列算式能用平方差公式计算的是()

A.(x+y)(y+x)B.(-x_y)(-x+y)

C.(x-j)(-x+y)D.(x-y)(y—x)

【答案】B

【分析】本题主要考查了平方差公式.根据平方差公式特征，逐项判断，即可求解.

【详解】解：4(x+y)(y+x)=(x+y)2,不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；

B、(-x-y)(-x+j)=(x+y)(%-y),能用平方差公式计算，故本选项符合题意；

C、(x-y)(-x+y),不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；

。、(了-月仃-尤)，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；

故选：B

2.(2023上,河南南阳•八年级统考期中)下列式子：①行+4^-%-寸；②(犬_才=(>7)2；③

(-%-y)(-x+y)=x2-y2,其中正确的是()

A.①②③B.只有①②C.只有②D.只有①

【答案】A

【分析】本题考查平方差公式：(«+&)(«-&)=完全平方公式：(a±by=a2±2ab+b2,根据公式

一一判断即可.

【详解】解：(T7)2=-(x+y)T=G+y)2,故①符合题意；

(x-y)2-2xy+y2,(y-x)2=y1-2xy+x2,故②符合题意;

(-x-y)(-x+j)=(-x)2-y2=x2-y2,故③符合题意；

故选：A.

3.(2023上,四川宜宾•八年级校考阶段练习)若。+〃=-3,ab=-10,则/+〃的值是()

A.27B.28C.29D.30

【答案】C

【分析】本题考查运用完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的变形是解题的关键.

【详解】解：a2+b2=(a+by-2ab=(-3)2-2x(-10)=29,

故选C.

4.(2023上•山东济南•七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习)若a=2023°,人=202lx2023-20222,

(3俨<Y023

c=xI4，则a,6,c的大小关系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】B

【分析】本题考查零指数幕，平方差公式，积的乘方，先分别计算db,c的值，再比较即可.

【详解】解：a=2023°=1,

6=2021x2023-20222=(2022-1)x(2022+1)-20222=20222-1-20222=-1,

44

X—=—，

33

4

因为所以b<a<c,

故选：B.

5.(2023上•山东青岛•八年级统考期中)我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可

以得到一个数学等式.例如由图1可以得到/+3m+力2=(a+2b)(a+b).若已知

a2+b2+c2=45,ab+be+ac=3S,由图2所表示的数学等式，则a+b+c的值为()

abb

11

bba

图1

A.12D.9

【答案】B

【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式,

即可求解.

【详解】解：由图2可得(〃+b+c)2=/+/+。2+2々6+2匕C+2。。

a2+b2+c2=45,ab+bc+ac=38,

团(Q+Z?+C)2=〃2+Z?2+c2+2(^ab+bc+ac^=45+2?38=121,

又回a+Z?+c>0

回a+Z?+c=ll

故选为：B.

二、填空题

6.(2023上,上海杨浦•七年级统考期末)计算：(-X-2J)(-X+2J)=.

【答案】k-4y2

【分析】此题考查平方差公式，解题关键在于掌握公式的运算法则.

［详解］解：(-x-2^)(-x+2^)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2,

故答案为：x2-4y2.

7.(2023上•重庆开州•八年级校联考阶段练习)若无2一(°+1)了+4是一个完全平方式，那么。=

【答案】3或-5

【分析】本题考查了完全平方公式.熟练掌握(。±32=4±2"+k是解题的关键.

由题意知，-(a+l)x=±4x,计算求解即可.

【详解】解：由题意知，x2~(a+l)x+4=x2-(a+l)x+(2f,

国—(a+l)x=±4x,

解得,a=3或。=-5,

故答案为：3或-5.

8.(2023上•河南新乡•八年级校考阶段练习)如图，在边长为。的正方形中减去一个边长为b的小正方形

(a>b),把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式.

b

【答案】a2-b2=(a-b)(a+b)

【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根

据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答.

【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为"-从；

由右图可得：阴影部分的面积为：，2。+26)(。-b)=S+6)(“-6)；

所以"-"=(a-6)(。+6).

故答案为"一A?=(a—b)(a+Z?)

9.(2023上•黑龙江牡丹江•八年级统考阶段练习)设。力是实数，定义一种新运算；a*b=(a-4.下面有

四个推断：①a%=》*a；@(a*Z?)2=a2*b2；③(―a)%=a*(-b)；@a*(b+c)=a*b+a*c.其中正确推断

的序号是.

【答案】①③/③①

【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是新运算规则，对选项逐个进行判断.

【详解】解：a*b=^a-by,b*a=(b-a^=(a-Z>)2,故①正确；

=[(a--{a-b^,a2*b2=(a2-b2^=(a~b)2(a+b)2,故②错误；

(-a)*6=(-a-6)2=(a+6『，a*(-6)==(<7+6)。，故③正确；

a*(6+c)=(a-6-c)~,a*b+a*c=(a-by+(a-c)2,故④错误；

即正确的为①③，

故答案为：①③.

10.(2023上•甘肃兰州•七年级兰州市第五十五中学校考开学考试)对于任意的代数式a,b,c,d,我们规

ab(x-y)2x

定一种新运算：，=ad-6c.根据这一规定，计算

ca-3y(x+y)

【答案】x2-y2+6xy

(x-y}2x/、/、

【分析】按照规定的运算方法把)3yl+y)化为(x-y)(x+y)+2x-3y,利用平方差公式计算整理即可.

【详解】解：根据题意得：

(x-y)2x

_3y(x+y)

=(x-y)(x+y)+2x-3y,

=x2-y2+6xy.

故答案为：x2—y2+6xy.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，立意较新颖，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键.

三、解答题

11.(2023上•江苏南通•八年级校联考期中)计算：

(l)(4x-3y)2；

⑵(x+y+l)(x+y-1)；

⑶(2x+3»-(2x+y)(2x-y)；

(4)(-/打(孙)\

【答案】⑴16/一24孙+9/

(2)x2+2xy+y2-1

⑶12孙+10产

⑷f5y8

【分析】本题考查的是整式的混合运算.

(1)利用完全平方公式计算即可求解；

(2)先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可求解；

(3)利用完全平方公式和平方差公式计算即可求解；

(4)先乘方，再计算乘法.

【详解】⑴解：(4x-3y)2=16J？-24孙+9/；

(2)解：(x+y+l)(x+j-l)

=(x+j)2-l

=x2+2xy+y2-1；

(3)解：(2x+3y『-(2x+y)(2x-y)

=4xz+Mxy+9;/-4x2+y2

=12xy+10_y2；

(4)解：(-%2y5)-(xy)3

=(-x?力心3

=-叩.

12.(2023上•河南南阳•八年级校考阶段练习)利用乘法公式计算下列各题

(l)(-2m-n)(2m-zz)

⑵(-X+3»

(3)1032+972

(4)(a+Z?)2(Q-Z?)2—(Q-/?)(〃+6乂+〃)

【答案】⑴》―4/

⑵％2一6呼+9/

⑶20018

(4)—2'+2/

【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键.

(1)利用平方差公式求解即可；

(2)利用完全平方公式求解即可；

(3)利用完全平方公式求解即可；

(4)利用平方差公式和完全平方公式求解即可.

【详解】(1)(-2m-M)(2m-zz)

二(-〃J—(2m)2

=n2—4m2；

(2)(-工+3，

=x2-6xy+9y2；

(3)1032+972

=(100+3)2+(100-3)2

=10000+600+9+10000-600+9

=20018；

(4)(a+Z?)2(Q-人J-(々-匕乂口+人乂/+〃)

=[〃+/?)(〃-Z?)]2_(/_人2)(〃2+/)

=4—2〃2/+)4—/+〃

=-2a2b2+2b4.

13.(2023上•四川宜宾•八年级校考阶段练习)(1)已知3/一4〃-7=0,求代数式(2a-l)2-(a+b)(a-b)-b2

的值.

4

(2)若X?----7=5,求xH---T

X

【答案】(1)8；(2)27

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式的变形求值，

(1)先根据完全平方公式和平方差公式去括号,然后合并同类项化简，再由3/_4«-7=0得到34-4a=7,

最后利用整体代入法求解即可；

(2)根据/一5=5,把等式两边同时平方得到丁++-2=25,则尤4+*=27.

【详角军】解：(1)(2a-l)2-(a+b)(a-b)-b2

=4a2-4a+l-(a2-b2)-b2

—4〃—4〃+1—12+Z72—

—3/一4。+1,

回3a2—4。-7=0,

回