导数的概念及运算（九大题型+模拟练）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

专题13导数的概念及运算（九大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01变化率问题

♦题型02导数定义中简单的极限运算

♦题型03求某点的导数（切线斜率）

♦题型04求切线方程

♦题型05已知切线求参数（范围）

♦题型06两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题

♦题型07切点、切线有关的其他问题

♦题型08导数的运算

♦题型09抽象函数的导数综合

♦题型01变化率问题

1.（2024高三•全国•专题练习）如果质点A运动的位移S（单位：m）与时间，（单位：s）之间的函数关系

2

是S（/）=-7,那么该质点在"3s时的瞬时速度为（）

2222

A.——B.-C.——D.-

3399

【答案】D

【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.

22

【解析】AS=S（3+"S⑶3+加+「_2,

△tAr△t3（3+A?）

2

所以lim——=lim

Ar->0A/ATO3(3+A。9

故选：D.

2.（23-24高二下•河南洛阳•阶段练习）函数丁=正在区间［1,4］上的平均变化率为（）

135

A.—B.—C.—D.3

353

【答案】A

【分析】

直接利用平均变化率的定义求解.

【解析】

设=«,则函数y=«在区间［1,4］上的平均变化率为了（?一:⑴=„=T=g.

故选：A.

3.（23-24高二下•重庆•期中）某物体的运动方程为S«）=4/+2（位移单位：m,时间单位：s）,若

丫=1加&3二虫l=24m/s,则下列说法中正确的是（）

加-＞。AZ

A.24m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度

B.24m/s是物体从3s到（3+加）s这段时间内的速度

C.24m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度

D.24m/s是物体从3s到（3+Af）s这段时间内的平均速度

【答案】C

【分析】根据瞬时速度的定义即可得解.

_,s（3+A/）—s（3）

［斛析］由v=lim-----------=24mzs,

可知，24m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度.

故选：C

♦题型02导数定义中简单的极限运算

4.（2024高二下•全国・专题练习）已知（（无。）=。，则lim〃2+加4-3以）的值为（）

A.12aB.2a

a

C.aD.

2

【答案】B

【分析】由导数的定义变形即可求解.

lim仆―©)二之同仆-=2/，(％)=2。.

【解析】3Ax)

AxfO9AvAx->04AY''

故选：B

5.(22-23高二上•陕西咸阳,阶段练习)已知函数/(x)在x=x0处的导数为6,则1面小U上3

AxfO2Ax

()

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】A

【分析】根据已知条件及函数在x=尤。导数/'(%)=6的定义即可求解.

【解析】由题意得函数在》=无。处的导数/'(%)=6

1加心)-〃x。)1/(xo-M-/(xo)

—uni----------------

以―。2Ax2--Ax

故A项正确.

故选：A.

6.(22-23高二下,陕西渭南•期中)若函数y=/(x)在x=2处的瞬时变化率为lim孚，且

—Ax

Ay=/(2+Ax)~/(2)=4+Ay；则八2)=()

AxAx

A.2B.4C.2+AxD.4+Ax

【答案】B

【分析】

根据导数的定义，直接代入求值.

【解析】根据导数的定义可知，

广⑵=lim/(2+.)-〃2)=1汕(4+Ax)=4.

故选：B

7.(23-24高二上•河北石家庄•期末)设〃尤)是可导函数，且lim如卜/⑴=2,则/'⑴=()

—f0Ax

2

A.2B.-C.-1D.-2

【答案】B

【分析】由导数的定义计算即可得出结果.

【解析】...lim/(i+3M-/(^3xlim/(i+3M-/(^2,

—Ax-3Ax

/(1+3M-/(1),2

,,11111—,

心—。3Ax3

.•.r(l)=Hm/(l+AxW(l).iim/(l+3M-/(l)=2

■foAx―—。3Ax3

故选：B

♦题型03求某点的导数(切线斜率)

8.(21-22高二下•北京通州,期中)已知函数工(x),力(x),力(x),f4(x),它们在平面直角坐标系中的图

象如图所示，则如(%),f2'M，方如),6(%)的大小关系是()

A.工'(％)>为'(%)>为'(％)>。(%)

B.工'(尤0)>为'(%)>"(/)>//(%)

C-//(/)>/也)>分卜0)>力心0)

，

D.flM>f3'(x0)>f4'(x0)>f2'(x0)

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在尤=无。处的切线，根据切线的斜率来判断即可.

【解析】依次作出/(x),力(x),力⑺,力(x)在x=x。的切线，如图所示：

根据图形中切线的斜率可知工'(%)>/'(/)〉为'@)>4(%).

故选：A.

9.(22-23高三上•上海浦东新•期中)若〃x)为可导函数，且则过曲线y=/(x)

x->o4x

上点(1,7(I))处的切线斜率为.

【答案】2

【分析】直接根据导数的定义计算得到答案.

【解析】一〃故心

xfo4xa。-2x

故答案为：2

10.(2024高三・全国・专题练习)已知函数〃x)=x(x-l)-(x-2)••…(x-100),贝。/'(0)=.

【答案】1X2X3X---X99X100.

【分析】根据函数/(X)在x=x0处的导数的定义即可求解.

［解析］*。)=Hm"0+⑸-”°)-。■(一f(©-4…3-1。。)一。

以f0Ax故一。Ax

=lim(Ax-l).(Ax-2)..…(Ax-100)=(-1)(-2)..…(-100)=lx2x3x---x99xl00.

故答案为：1X2X3X---X99X100.

♦题型04求切线方程

11.(2024・全国•模拟预测)函数/(x)=x-cosx的图象在x=0处的切线方程为.

【答案】x-y-l=O

【分析】先求解出导函数，然后计算出x=0时的导数值和函数值，可得切线的点斜式方程，再化为一般式

方程即可.

【解析】由题意，得/'（x）=l+situ,所以八0）=1,

又〃0）=T，所以切线方程为了-（T）=L（x-O）,即为x-y-l=O,

故答案为：x-y-l=O.

12.（23-24高三上•北京•阶段练习）曲线>=在点［I，；1处的切线方程是

【答案】4x+4y-5=0

【分析】根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程进行求解即可.

【解析】7=y=-2^—,

__^一i

3£

所以曲线V=Jl—x在点处的切线的斜率为。「下

49224H-----

V4

x-|

所以方程为=4x+4y—5=0,

故答案为：4x+4y-5=0

/、IInx.x>2,

13.（2023・全国•模拟预测）过原点与曲线/（x）=x2+；x<；相切的一条切线的方程为■

【答案】N=2x或y=-2x或>=1x（写出其中一条即可）

e

【分析】根据曲线y=/+l,x<2表示抛物线的一部分，设其切线方程为》=依，利用判别式法求解；设

/（x）=lnx,x>2的切线的切点为尸（x0,y0）,利用导数法求解.

【解析】解：设曲线尸/+1J<2表示抛物线的一部分,

设其切线方程为》=依，代入）=/+1,

得一日+1=0.由A=F—4=0,得左=±2.

当左=2时，x=l,符合题意，

当上=-2时，x=-\,均符合题意，

所以切线方程>=±2x.

设〃x）=lnx,xN2的切线的切点为尸（x。,%）.

由/'（x）=L得/（x（））=—,y0=lnx0,x0>2,

1

得切线方程为>=—x.

X。

将尸（x°,匕）的坐标代入切线方程，得%=1,

所以x°=e,所以切线方程为了=1x.

e

故答案为：y=2x或y=-2x或>=，x(写出其中一条即可)

e

♦题型05已知切线求参数(范围)

14.(22-23高三上•山东临沂•期中)若直线》=2无+“+1是函数/(x)=x+lru的图象在某点处的切线，则实

数".

【答案】-2

【分析】利用，'(x)=2求得切点坐标，代入切线方程，从而求得。.

【解析】令/'(x)=l+：=2,解得x=l,所以切点为(1,1),

将(1』)代入切线V=2x+a+l得1=2+。+1,。=一2.

故答案为：-2

15.(23-24高二上•广东深圳•期末)若曲线y=(x-a)e、有两条过点(1,0)的切线，贝段的取值范围是.

【答案】(f,l)U(5,+o5)

【分析】先利用导数求曲线N=(x-a)e、过坐标(1,0)的切线方程，再列出关于。的不等式，进而求得。的取

值范围.

【解析】由y=(x-a)e*得j/=(x-a+l)e*,设切点坐标为(/，口。-a)e'"),

则切线斜率左=(尤0-a+l)e'。，

rJ

切线方程为y-(x0-a)e°=(x0-a+l)e°(x-x0),

又因为切线过(1,0),所以=(x0-a+l)e'o(l-xo),整理得焉+1)龙。+2。-1=0,

又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，

所以A=(a+l『-4(2(?-1)>0,解得a<1或a>5,

所以。的取值范围是(F,1)U(5,M),

故答案为：(T»,1)U(5,+OO).

16.(23-24高三下•全国•阶段练习)若存在过原点的直线与函数/(x)=(x2-2ax)e，的图象切于了轴右侧，

则。的取值范围是()

A.[co,；

B.(-<»,1)

C.（l,+℃）

【答案】D

【分析】

先求得/'（x）=，+（2-2a）x-2a]e"设切点为。,/（。）《>0）,根据/（/）=/?,列出方程，得到

Z2+（l-2a）/=0,结合方程的根t=2"l>0,即可求解.

【解析】

由函数/（x）=（一—2ax）e”,可得/r（x）=^x2+（2-2«）x-2«^ex,

设切点为0）,可得/'（/）=*,即〃+（2-2a）f-2a=/-2°,

整理得〃+（1—2。）/=0,解得t=20—1或t=0（舍去），

因为存在过原点的直线与函数/（x）=（/-2雄卜的图象切于歹轴右侧，

所以/=2°-1>0,解得即实数f的取值范围为+s]

故选：D.

17.（22-23高二下•陕西西安・期末）若曲线〃x）=j有三条过点（0,。）的切线，则实数。的取值范围为

【答案】（0,《）

2

【分析】构造新函数％x）=±r,利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数。的取值范围.

e

【解析】设点尸（七,%）为曲线〃x）弓上一点，则〃x°）=当

又r（x）=：#=7，则/'（*=三含，

则曲线=J在点处的切线方程为

=又切线过点（0，。），

e0e0

则"自=皆（"即

x2x

r22xe-xex（2-x）

令h（x）=匚,则〃（x）=/"=益,

则xv0时h\x)<0,h(x)单调递减；

0<x<2时h\x)>0,h(x)单调递增；

x>2时力'(%)<0,〃(对单调递减，

4

则x=0时A(x)取得极小值%(0)=0,%=2时A(x)取得极大值h(2)=—,

e

4

又〃(-l)=e>w=〃(；2),

e

T2,

当x>0时，/z(x)=一>0恒成立，％一+°0时，h(x)—>0,

ex

又由题意得方程a=3■有3个根，

ev°

则尸。与昨A(x)图像有3个交点，贝ijae(0?).

则曲线/(x)=j有三条过点(0,。)的切线时实数。的取值范围为(0,，).

♦题型06两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题

18.(22-23高二上•陕西西安•期末)若曲线y=lnx+x2+l在点(1,2)处的切线与直线x+0-1=0垂直，则实

数a的值为()

A.-4B.-3C.4D.3

【答案】D

【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.

【解析】因为y=lnx+x2+l,所以:/=l+2x,

当x=1时，_/=3,

所以曲线y=lnx+/+i在点(1,2)处的切线的斜率等于3,

所以直线x+今-1=0的斜率等于-；，

即--=——,解得a=3,

a3

故选:D.

19.(2023•山西,模拟预测)已知函数〃x)=(a-3)x3+(a-2)x2+(a-l)x+a若对任意％eR,曲线y=/(x)

在点&，/伍))和(fJ(f))处的切线互相平行或重合，则实数”()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】求得/''(x)=3(叱3)x2+2(a_2)x+a-l,根据题意转化为了=/'(x)为偶函数，即可求解.

【解析】由函数小)=(。-3)工3+(。-2)/+(。-1)》+。,

可得f'（x）=3（a-3）x2+2（a-2）x+a-l,

因为曲线昨/(X)在点和处的切线互相平行或重合,

可得了=/'(x)为偶函数，所以0-2=0,解得。=2.

故选：C.

20.(21-22高三•江西•阶段练习)若函数/(x)=3x+』-3(x>0)的图象与函数g(x)=Zxe、的图象有公切线/,

且直线/与直线y=+2互相垂直，则实数=()

A.—B.e2C.—或D.一或4八

eee

【答案】D

【分析】根据垂直性质可得&=2,再求导根据导数的几何意义可得切线/的方程为y=2x-l,再设函数

g(x)=/xe，与直线/切于点(%,%),列式求解即可

【解析】由题知，左=2,令/'(x)=3=2,又x>0,解得x=l,因为/⑴=1,所以切线/的方程为

x

y=2x-\.g\x}=t{x+V)e,

设函数g(x)=W与直线/切于点(X。,%),

也二）•二fe'°

x

2x0-1=fxoe°

所以故2°

2=£（/+l）ex°

Jo+1

即在二1二三，2x^-xo-l=O,解得。［或/一_5.

故选：D

♦题型07切点、切线有关的其他问题

21.（23-24高三上•山西•阶段练习）过点（2,0）作曲线〃x）=xe，的两条切线，切点分别为（占,〃%））,

卜2，/（%）），则！+（=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】求出导函数，设出切点坐标，利用导数几何意义建立斜率方程，利用韦达定理化简计算即可.

【解析】由题意得/'（x）=（x+l）e，，过点（2,0）作曲线〃x）=xe，的两条切线，

设切点坐标为（%,且户），则（尤o+l）e'。=三展，即（龙；-2无（）-2）e'。=0,

由于葭>0,故-2%0-2=0,A=12>0,

由题意可知X],入2为X；-2X（）-2=0的两个解，则无i+x?=2,XjX2=-2,

,11X,1

故一+—=」-1=-l.

x{x2XxX2

故选：B

22.（2024・云南楚雄,模拟预测）曲线〃x）=x3-lnx在点（I,〃D）处的切线与坐标轴围成的图形的面积为一

【答案】y/0.25

4

【分析】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可.

【解析】易知析X）的定义域为xe（0,+8）,而=故切点为易I）,

设切线斜率为左，且广（幻=3/一工，故左=八1）=3-1=2,

X

切线方程为歹-1=2（%-1）,化简得歹=2%-1,

当y=o时，x=[,当x=0时，y=-1,

易知围成的图形是三角形，设面积为S,故S=!X!XH=：

22114

故答案为：—

4

♦题型08导数的运算

23.（23-24高二下•广东•阶段练习）求下列函数的导数

(1)y=exsinx-cosx

(2)y=tanx+ln(-x)

(3)7=x-sin^cos^

⑷,、广一ln(l-x)

【答案】(l)y'=e"(sin%+cosx)+sinx；

11

(2)/=3+1

,1

(3)y=1——cosx；

1+(1-x)ln(l-x)

(4)y=-

(l-x)ex

【分析】(1)(2)(3)(4)利用求导公式、导数的运算法则求解即得.

【解析】(1)yr=(e%sinx)z-(cos，)'=exsinx+ex(sinx)'+sinx=ex(sinx+cosx)+sinx.

sinx.cos2x-sinx(-sinx)1,11

(2)y=----+ln(-x),则了f=-----------------+一.(—x)v=-^+一•

cos%cosX-xCOSXX

(3)y=x-^sinx,贝！J/=1一;cosx.

(4)“占rr)'-占-1+(1)ln(1).

7Clex(l-x)ex

24.(23-24高二下•重庆•阶段练习)下列求导运算正确的是()

A.fx3+->1=3工2+二

VX)x

C.^22%y=22X+1D.x2cos^y=-2xsinx

【答案】B

【分析】对于A：根据导数的加法法则运算求解；对于B：根据导数的除法法则运算求解；对于C：根据复

合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的乘法法则运算求解.

【解析】对于选项A：心+工］=3尤2_二，故A错误;

VX)X

对于选项叫『'=』型=皆’故B正确;

对于选项c：(22x)'=2X22xXIn2=In2X22x+1，故C错误;

对于选项D：(一cosx)=(x2)COSJC+X2(cosx)=2xcosx-x2sinx,故D错误;

故选：B.

25.(23-24高二下•北京•期中)下列导数运算错误的是()

A.f(x)=XQX,则/'(x)=(x+l)e*B./(x)=sinJ,则/'(x)=cos/

C./(x)=Vx,则/'(x)=£^D./(x)=F，则—(x)=1

【答案】B

【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可.

【解析】A选项，/(x)=xe",则/(x)=(x)e*+x(e*)=e*+xe*=(x+l)e*,A正确;

B选项，/(x)=sin-|,/,(x)=[sinyj=0,B错误;

jJ-1J

C选项,/(x)=«=(x)“r(x)=-x2=^-y=,C正确;

/(x)=—(inx)-x-lnx-(x)

D选项,1-lnxD正确.

故选：B

♦题型09抽象函数的导数综合

26.(23-24高二下•重庆•期中)已知函数及其导函数g(x)的定义域均为R,/(x+1)与g(x)均为偶函

2024

数，且/⑼=1,则£/(%)=()

£=0

A.2025B.2024C.1D.0

【答案】A

【分析】根据条件得到〃x)="2-x),“x)+/(-x)=2,从而得出函数/(x)是周期为4的周期函数，再根

据条件得到/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=4,即可求出结果.

【解析】因为/(x+1)是偶函数，所以/(x)关于直线x=l对称，即〃x)=/(2-x),

由题知g(x)=f'(x),又g(x)是偶函数,所以g(-x)=g(x),

则r(x)=/1-X),贝W(-x)+c,

又y(o)=l,所以2/(0)=c,得到c=2,

所以/'(x)+/(f)=2,又由〃X)=/(2-X),得到/(一x)=〃2+x),

所以〃x)+/(2+x)=2①，/(2+x)+/(4+x)=2②，

由①②得到/(x)=/(x+4),所以函数〃x)是周期为4的周期函数，

由①得到/⑴+"3)=2,又/(0)=〃2)=1,所以〃0)+〃1)+/(2)+〃3)=4,

2024

故£//)=506(/(0)+/(I)+/(2)+/(3))+/(2024)=4x506+/(0)=2024+1=2025,

左=0

故选：A.

27.(2024•山东,二模)已知〃x)为定义在R上的奇函数，设/'(x)为“X)的导函数,若

/(x)=/(2-x)+4x-4,则广(2023)=()

A.1B.-2023C.2D.2023

【答案】C

【分析】根据〃x)=/(2-x)+4x-4进行/(x)奇偶性和周期性的推导，得到析(x)是周期为4的偶函数,

从而算出了'(2023)的值.

【解析】因为〃X)=〃27)+4X-4,所以两边求导，得r(x)=-_f(2—x)+4,

即/'(x)+/'(2-x)=4①

因为/(x)为定义在R上的奇函数，则/(r)=--Q),

所以两边求导，得/'(》)=/'(f),所以/(X)是定义在R上的偶函数，

所以/''(2-x)=/'(x-2),结合①式可得，r(x)+/V-2)=4,

所以/(x-2)+r(x-4)=4,两式相减得，r(x)=Ax-4),

所以/(x)是周期为4的偶函数，

所以((2023)=/(-1)=/(1).

由①式，令x=l,得/(1)=2,所以r(2023)=/⑴=2.

故选：C.

28.(2024・河南周口•模拟预测)已知函数/'(x+g］是定义在R上的奇函数且在R上可导，若

-/(2+x)+4x=0恒成立，则广(2024)=(

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】借助复合函数的导数计算与函数奇偶性的性质可得函数/'（x）的周期性，结合赋值法计算即可得解.

【解析】由〃27）-〃2+x）+4x=0,则-r（2-x）-r（2+x）+4=0,

即/'（2—无）+/'（2+x）=4,

由函数/卜+；]为奇函数，故/

1

贝火

032-X2f

贝展+2）=广31）=4--仙+2）,

即/''（x_l）+/'（x+2）=4=/'（x+2）+/'（x+5）,

即广（x-l）=/（x+5）,故/'（X）为周期为6的周期数列,

故r（2024）=（（6x337+2）=（（2）,

对/''（2-x）+/'（2+x）=4,令x=0,有2/'（2）=4,即/'（2）=2,

故（（2024）=（（2）=2.

故选：D.

29.（23-24高三下•内蒙古赤峰•开学考试）已知定义在R上的函数/（2x+2）为奇函数，且对VxeR,都有

j-x

,定义在R上的函数/'（x）为/（x）的导函数，则以下结论一定正确的是（）

A.〃x+2）为偶函数

D./'（x）为偶函数

【答案】D

【分析】利用奇偶对称性、周期性以及复合函数求导法则即可判断各项正误.

【解析】对于选项A,因为/（2x+2）为奇函数，所以〃-2x+2）=-/'（2x+2）,则有〃-x+2）=-〃x+2）,

故/（x+2）为奇函数，故A错误；

对于选项B,因为/]x+£|=/g_x],所以〃=+J=/=/（-x+2）,

又+2)=-〃x+2),故〃x)=-/(x+2)=/(x+4),即函数〃x)周期为4,

则0=4-+m‘故B错误；

对于选项C因为〃-x+2)=-/(x+2),所以卜(—+2)]=[一〃x+2)],

即一/'(-x+2)=-/'(x+2)，即/'(-x+2)=/'(x+2).

因为〃x)=-〃x+2),所以八"=-/。+2)=-八-x+2),

所以d£H「+2)=-r图”图，故c错误;

对于选项D,由选项C可知，x+2)=/(x+2),所以/'(x)为偶函数，故D正确.

故选：D

30.(2024•江西鹰潭•一模)已知函数f(x),g(x)的定义域为R,g'(x)为g(x)的导函数，且

2023

/(x)+g-(x)-8=0,/(x-2)-g,(6-x)-8=0,若g(x)为偶函数，求£/(")=.

«=1

【答案】16184

【分析】先利用复合函数的导数与g(x)的奇偶性判断gG)的奇偶性，进而推得gG)与/⑴的周期性，再利

用赋值法求得了(2)J(4)J(l)+/(3)的值，从而得解.

【解析】因为g(x)是偶函数，则g(-x)=g(x),

两边求导得-g'(-x)=g'(x),所以寸⑴是奇函数,故g'(0)=0,

由/(x)+g，(x)-8=0n/(x-2)+gg2)-8=0=/(x-2)=8-,

代入〃x-2)-g'(6-x)-8=0,得8-g'(x-2)-g'(6-x)-8=0,

贝Ug'(x-2)+g<6-X)=0,所以g'(x+4)+g'(-x)=0,

又g'(x)是奇函数，所以g'(x+4)=-g，(-x)=g'(x),

所以g'(x)是周期函数，且周期为4,

又〃x)+g'(x)-8=0,可知也是以4为周期的周期函数，

令x=4,得〃4)+g'(4)-8=/(4)+g'(0)-8=0,故/(4)=8,

而g，(2)=g，(2-4)=g\-2)=-g'(2)所以g'(2)=0,

令x=2,得/(2)+g@-8=0,则，(2)=8,

而〃D+g'⑴-8=0,/(3)+g-(3)-8=0,

又g'(3)=gX-l)=-g'(l),则/(1)+*3)=16,

2023

£“〃)=5051y(1)+/(2)+〃3)+/(4)]+/(l)+/(2)+/(3)

n=\

=505x(8+16+8)+(8+16)=16184,

故答案为：16184.

【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：

(1)若/(x+a)+/(-x+b)=c,则函数/(x)关于中心对称;

(2)若+=〃一x+6),则函数/(x)关于x=一对称；

(3)若〃x+a)=〃无一〃)，则函数,(x)的周期为2“；

(4)若/(x+a)=-/(x),则函数〃x)的周期为2a.

一、单选题

1.(202”湖南永州•三模)若某物体做直线运动，路程S(单位：m)与时间〃单位：s)的关系由函数s«)=左方告

2

表示.当t=2s时，该物体的瞬时速度v为--m/s,贝。当，=6s时，该物体行驶的路程为()

e

A.2e6B.4/C.2e'3D.

【答案】D

【分析】首先求出函数的导函数，再根据导数的物理意义求出参数上的值，即可求出函数解析式，再代入即

可；

t1.L2

【解析】解：因为S(/)=he-5,所以S'«)=--he?,因为当t=2s时，该物体的瞬时速度v为——m/s,所

2e

以S'(2)=-；heT=-j,解得人=4,所以s«)=4＞，所以S⑹=4e.3

故选：D

2.(2024•福建•模拟预测)已知直线y=+6既是曲线歹=lnx的切线，也是曲线歹=-ln(-x)的切线，则()

A.k=—,b=0B.k=l,6=0

e

C.k=­,b=-lD.k=1,b=-l

e

【答案】A

【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.

【解析】设直线与曲线＞=lnx的切点为(X],lnxj且再＞0,

与曲线＞=-ln(-x)的切点为(X2，-In(-X2))且无2＜。，

又y'=(lnx)=：,/=[-ln(-x)]=--i-,

则直线y=h+b与曲线y=lnx的切线方程为＞-ln再即了=!工+111玉一1,

再再

直线歹=京+，与曲线V=-ln(-x)的切线方程为y+ln(-％)=---(%-%2)，即歹=----x+l-ln(-x2),

故选：A.

3.(2024•黑龙江•二模)函数/(x)=M+i在―一处的切线方程为()

A.y=4x+6B.y=-2x+6

C.y=-3x-3D.y=-3x-1

【答案】D

【分析】当x＜0时/(x)=-d+l,利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.

【解析】因为小)=1+1,则/(一1)=卜1升+1=2,

当x＜0时/(%)=3+1,贝IJ/(x)=_3x2,所以/，(一i)=_3x(-iy=_3,

所以切点为(-1,2),切线的斜率为-3,

所以切线方程为尸2=-3(》+1),即y=-3x-l.

故选：D

4.(2024・辽宁大连•一模)斜率为1的直线/与曲线y=ln(x+a)和圆/+/=；都相切，则实数。的值为()

A.0或2B.-2或0C.—1或0D.0或1

【答案】A

【分析】设直线/的方程为y=x+6,先根据直线和圆相切算出b,在根据导数的几何意义算4.

【解析】依题意得，设直线/的方程为＞=x+b,

\b\_V2

由直线和圆/+/=;相切可得,解得b=±1,

2

当b=l时，歹=x+1和＞=111(%+。)相切，

设切点为(〃?,")，根据导数的几何意义，­=1,

m+a

n=0

n=m+l

又切点同时在直线和曲线上，即一、，解得m=-l,

n=m(m+a)

a=2

即y=x+1和y=ln(x+2)相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位,

y=x-l和夕=lnx仍会保持相切状态，即6=-1时，a=0,

综上所述，a=2或。=0.

故选：A

5.(2024•全国•模拟预测)若直线V=x与曲线y=lQg'x(八0且"1)无公共点，则实数。的取值范围是

()

【答案】D

【分析】由0＜。＜1时，易知直线了=x与曲线y=log“x必有一个公共点，当。＞1时，由直线与曲线相切，

利用导数法求得〃一£，再由图象位置判断.

ct-V

【解析】解：当0＜。＜1时，直线y=x与曲线y=log,x必有一个公共点，不合题意，

当。＞1时，若直线与曲线相切，设直线＞=x与曲线y=bg“x相切于点(%,%),则^^=1,得

/inaIna

由切点在切线上，得歹。=/二'；—，

Ina

由切点在曲线上，得比=10gMo=bg”，

In(7

所以/=e,〃=1.

如图所示:

故当直线y=x与曲线歹=1陪％(a>o且"1)无公共点时，a>ei.

故选：D

【点睛】思路点睛：o<a<i时，由>=x单调递增，y=log,x单调递减容易判断；。>1时，利用导数法研

究直线与曲线相切时。的值，再根据对数函数在第一象限内随底数a的增大，图象向x轴靠近而得解.

6.(2024・江苏•模拟预测)贝塞尔曲线(Beziercurve)是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量

图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数/(x)的图象是可由A,B,C,。四点确定的贝塞尔曲线，其中

A,。在〃x)的图象上，在点A,。处的切线分别过点3,C.若/(0,0),5(-1,-1),C(2,2),

£>(1,0),则〃x)=()

A.5x3-4x2-xB.3x3-3x

C.3x3-4x2+xD.3x3-2x2—x

【答案】C

【分析】由题意设出函数表达式，结合函数值、切线斜率建立方程组，待定系数即可得解.

【解析】/(x)=ax3+bx2+cx+d,贝！j/Ix)=3ax2+26x+c,

〃0)=d=0

/⑴=q+b+c+d=0a=3

b二—4

由题意</'⑼=。=书=%,解得.,,所以〃x)=3d-4f+x

—1—UC=1

2-0d=0

/⑴=3a+26+c=27=噎

故选：C.

7.(2024・海南海口•二模)已知函数〃x)的定义域为R,/(x+1)是偶函数，当x<；时,

/(x)=ln(l-2x),则曲线>=/(x)在点(2J(2))处的切线斜率为()

22

A.—B.—C.2D.—2

55

【答案】C

3

【分析】根据函数对称性求出时的/（X）解析式，利用导数的几何意义求解.

【解析】因为/（X+1）是偶函数，所以函数〃无）的图象关于尤=1对称，则"2-x）=f（x）,

31

当x>—时，2—x<一,

22

?./（2-x）=ln[l-2（2-x）]=ln（2x-3）,

.-./（x）=ln（2x-3）,则/，⑺

••.r（2）=2,即曲线〉=“X）在点（2,/（2））处切线的斜率为2.

故选：C.

8.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）设〃x）=sinx,f^x）=f'[x},f2{x）=f；{x）,…/M（X）=<（X）,则

我融于（）

A.0B.皂C.D.；

222

【答案】A

【分析】根据题意分析可知：可知力+4（x）=/,（x）,且工（x）+力（无）+力（x）+/；（x）=0,结合周期性分析求

【解析】由题意可得：＜(x)=cosx,力(x)=-sinXJ(无)=-cosx/(x)=sin尤,力(x)=cosx,

可知，+4(x)=/,(x),且工(x)+力(x)+力(x)+/(x)=0,

2024/\

且2024=506x4,所以=

故选：A.

二、多选题

9.（2021・广东•模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,

经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测得浓

度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间f（单位：分）之间满足函数关

系y=/C）,其中索=尺（R为常数）.若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm,人就可以安全进入车库了,

则下列说法正确的是（）

A-R=e~^

„In2

B.R=----

4

C.排气12分钟后，人可以安全进入车库

D.排气32分钟后，人可以安全进入车库

【答案】BD

【分析】

由已知徐=尺，找到函数模型，通过待定系数法得到函数解析式，再解不等式即可.

JV7

【解析】

因为今=a，所以/0）符合要求.

JV）

pre4A=64

又［"蹉=32

解得五=一半，0=128,故B正确，A错误.

4

In2

”/）=128屋7，

,„2居1

当/⑺40.5时，即128屋7＜05,得e4＜—＞

一,256

所以-qtwin上，即的TM2--=32,所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C

4256In2

错误，