北京市房山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

北京市房山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

姓名：班级：考号：

题号——总分

评分

一'选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

2.如果什|,那么亨的值是（）

A--B--

23

3.抛物线y=（%-1）2+2的顶点坐标是（

A.（-1,2）B.（1,2）

4.如图，在。。中，若4员4。=25。，贝此BOC的度数是（)

A.15°B.25°C.50°D.75°

5.将二次函数y=/的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（）

A.y=x2+5B.y=x2—5C.y=(%+5)2D.y=(%—5)2

6.若点4（1,B（2,丫2）在反比例函数y=-］的图象上，贝1b7。刈的大小关系是（）

A.yi>y2B.yi<y2C.yi>y2D.yx<y2

7.如图，建筑物CD和旗杆48的水平距离BD为9m,在建筑物的顶端C测得旗杆顶部”的仰角a为30。，旗

杆底部B的俯角°为45°,则旗杆AB的高度为（）

1

BD

A.3V2mB.3V3mC.(3V2+9)mD.(3A/3+9)m

8.如图，4B是半圆O的直径，半径。ClAB,点D是玩的中点，连接AD,OD,AC,AD,4D与0c交于

点E,给出下面三个结论:

@AD平分"AB；@AC||OD；(3)AE=较DE.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二'填空题（共16分，每题2分）

9.函数产工的自变量x的取值范围是。

Jx-1----------------

10.如图，四边形/BCD内接于O。，若NC=130。，则24=.

11.请写出一个图象过点（1,2）的函数表达式：.

12.如图，在A/BC中，点Z),E分别在4B,AC±.,DE||BC,DE=3,BC=9,AE=2,则EC的长为.

B

2

13.如图，A,B,。三点在半径为5的O。上，48是。。的一条弦，且。CAB于点C,若2B=8,则0c

的长为.

14.如图，在33的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O,A,8分别是小正方形的顶点，点C在

03上，则数的长为.

15.在A/BC中，BC=2,AC=2W,乙4=30。，则△ABC的面积为.

16.在平面直角坐标系％0y中，/为了轴正半轴上一点.已知点B(L0),C(5,0),G)P是A/BC的外接圆.

⑴点P的横坐标为；

⑵若ZB4C最大时，则点/的坐标为.

三'解答题(共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)

解答应写出文字说明'演算步骤或证明过程..

17.计算：4sin45°+(V3-1)°+|-5|-V8.

18.如图，D,E分别是AABC的边48,/C上的点,Z.ADE—Z.C.

求证：AADE-AACB.

3

A

19.已知二次函数y=/+2久一3.

(1)在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的对称轴；

(2)结合图象直接写出当一1<x<1时，y的取值范围.

20.如图，在中，AC=90%BC=5,=13.求cosZ的值.

AC

21.已知:如图。0.

求作：。。的内接正方形.

作法：①作。0的直径48；

②作直径45的垂直平分线交。。于点C,D；

③连接/C,BC,AD,BD.

所以四边形/C3D就是所求作的正方形.

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明.

证明：..♦MN是4B的垂直平分线，

.••MN过点Q

.•.乙40c=乙COB=乙BOD=/.D0A=90°.

：.AC=BC=BD=AD.()(填推理的依据)

四边形ZCBD是菱形.

,:AB是。。的直径，

：.AACB^0,()(填推理的依据)

二菱形/C8D是正方形.

22.如图，在矩形中，/C为对角线，DE1AC,垂足为点E.

(1)求证：ADAE=乙EDC；

5

（2）若BC=8,tanZ.EDC—求DE的长.

23.在平面直角坐标系久Oy中，直线y=久与双曲线y=(相交于点P(2,m)和点。.

(1)求〃?的值及点。的坐标；

(2)已知点N(0,n),过点N作平行于x轴的直线交直线丫=久与双曲线y=：分别为点/(勺，y0和在如

丫2)・当/〉X2时，直接写出n的取值范围是.

24.如图，4B是。。的直径，AC,3c是弦，点。在46的延长线上，且ZDCB=/D4C,。。的切线/E与

DC的延长线交于点E

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若。。的半径为2,20=30。，求/£的长.

25.原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一.实心球被掷出后的运动路线可

以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系.实心球从出手(点“处)到落地的过程中，实心球

的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x-八/+k(a<0).

6

九年级一名男生进行了两次训练.

(1)第一次训练时，实心球的水平距离X与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离x/m035679

17595917

竖直高度y/m25

41212彳

根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系、=或久-e2+做0<0)；

(2)第二次训练时，实心球的竖直高度了与水平距离x近似满足函数关系>=-/(%-5>+骂.记该男生

第一次训练实心球落地的水平距离为由，第二次训练实心球落地的水平距离为d2,则必d2(填

或“<").

26.在平面直角坐标系％Oy中，点(1,m),(3,n),在抛物线y=a/+6久+4(a>0)上，设抛物线的对称轴

为x=t.

(1)当zn="时，求抛物线与y轴交点的坐标及f的值；

(2)点(久0,n)(x0*3),在抛物线上，若m<n<4,求才的取值范围及工o的取值范围.

27.如图，在等边三角形48c中，E,尸分别是8C,ZC上的点，且BE=CF,AE,AF交于点G.

(1)Z4GF='

(2)过点工作4。||BC(点D在NE的右侧)，且4D=BC,连接DG.

7

①依题意补全图形；

②用等式表示线段/G,8G与。G的数量关系，并证明.

28.定义：在平面直角坐标系xOy中，对于OM内的一点尸，若在OM外存在点P’,使得MP'=2MP,则称

点尸为OM的“内二分点”.

y

5

3

654321（；3456X

-I

(1)当。。的半径为2时，

①在P1(—1,0),P2(l,芬P3(V2,-1),P人-也,—1)四个点中，是G)。的“内二分点''的是▲；

②已知一次函数y=kx-2k在第一象限的图象上的所有点都是。。的“内二分点”，求k的取值范围；

(2)已知点MO，0),B(0,-1),C(l,—1),OM的半径为4,若线段3c上存在OM的“内二分点”,

直接写出加的取值范围.

8

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：A既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；

B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

故答案为：A

【分析】将图形沿某一条轴折叠后能够重合的图形为轴对称图形，将图形沿某一个点旋转180。后能够与原图形

重合的图形为中心对称图形.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：亨=尹＞尹1=|—1=|

故答案为：C

【分析】根据同分母分数的减法将分式展开化简，再将］=证入代数式即可求出答案.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可得：

抛物线y=（久一1）2+2的顶点坐标是（1,2）

故答案为：（1,2）

【分析】根据抛物线顶点式解析式的性质即可求出答案.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意可得：

乙BOC=2ABAC=50°

故答案为：C

【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：由题意可得：

将二次函数y=/的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是y=/+5

故答案为：A

【分析】根据函数平移的性质：上加下减（对y）,即可求出答案.

6.【答案】B

【解析】【解答】由题意可得：

k=-l<0

9

，y随x的增大而增大

V2>1

•*-yi<72

故答案为：B

【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意可得：

CEXAB,CE=BD=9

在RtAAEC中

AE=CE-tan30°=3V3

在RtABCE中，ZBCE=45°

：.BE=CE-tan45。=9

.".ABAE+BE3V3+9

故答案为：D

【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：•••。是我的中点

：.^CAD=ADAB

；.AD平分NCAB,①正确

,.*OA=OD

；.LOAD=/.ODA

J./LCAD=4ODA

：.AC||OD,②正确

OC1AB

."40C=90°

,.*OA=OC=OD

：.AC^^2OA=V2OD

'：AC||OD

・AEAC口

••团=砒=.

:.AE=&DE,③正确

故答案为：D

【分析】根据圆周角定理，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理即可求出答案.

10

9.【答案】xrl

【解析】【解答】解：

:x—1

x-1^0,

解得：x，l.

故答案为：x#l.

【分析】因为此函数是反比例函数，解析式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为0,列出不等式，解不

等式即可.

10.【答案】50°

【解析】【解答】解：：四边形48CD内接于。。

."C+乙4=180°

VZC=130°

=180°-130°=50°

故答案为：50°

【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可求出答案.

11.【答案】y=2久或y=,或y=2/（答案不唯一•）

【解析】【解答】解：由题意可得：

所求函数表达式只要图象经过点（1,2）即可

如y=2%或y='或y=2x2（答案不唯一）

故答案为：y=2%或y=,或y=2%2（答案不唯一）

【分析】所求函数表达式只要图象经过点（1,2）即可.

12.【答案】4

【解析】【解答】解：IIBC

△ADE^△ABC

.AE_DE

*"AC=BC

VDE*=3,BC=9,AE=2,

・・・AC=6

・・・EC=AC-AE=4

故答案为：4

【分析】根据相似三角形的判定定理可得△4DE〜△ABC,再根据相似三角形相似比性质即可求出答案.

13.【答案】3

【解析】【解答】由题意可得：

11

1

0A=5,AC=^AB=4

OC=Vox2-AC2=3

故答案为：3

【分析】根据垂径定理及勾股定理即可求出答案.

14.【答案】孝兀

【解析】【解答】解：由题意可得：

OC=OA=扬+22=2vLZXOC=45°

•~45n2gV2

.•"=180=R

故答案为：乎兀

【分析】根据勾股定理及扇形性质可求出OA长，再根据弧长公式即可求出答案.

15.【答案】g或2b

【解析】【解答】解：由题意可得:

过点C作AB边的垂线，垂足为M

在RtAAMC中

CM

sinA=AC

/.CM=V3

■'-AM=VAC2-CM2=3

当点B在点M左侧时

BiM="Bi—CM=1

：.ABr=AM-BrM=2

•・SAABIC=2x2xV3=V3

当点B在点M右侧时

AB2=AM+B2M=4

,=2x4xV3=2V3

故答案为：声或2V5

【分析】根据题意画出图形，过点C作AB边的垂线，垂足为M,在在RtZSAMC中，根据锐角三角函数可得

12

CM=W，再根据勾股定理求出AM长，BM长，再根据三角形面积公式即可求出答案.

16.【答案】3；(0,V5)

【解析】【解答】解：是的外接圆

；.P在BC的垂直平分线上

VB(1,0),C(5,0)

，OB=1,OC=5

.\BC=5-1=4

AP的横坐标为1+2=3

(2)当圆P与y轴相切时，NBAC最大

连接AP,PC,过P作PHLBC于H

1

:・BH=CH=”C

由(1)可知OB=1,BC=4

・・・BH=CH=2

・・・OH=3

AAP±OA

,/ZAOH=90°

・•・四边形AOHP是矩形

・・・PC=AP=OH=3,AO=PH

•；PH=y/PC2-CH2=V5

OA-V5

・••点A的坐标为(0,V5)

【分析】(1)由B,C坐标得出OB,OC长，再根据圆的性质，点P在BC垂直平方线上即可求出答案.

(2)当圆P与y轴相切时，NBAC最大，连接AP,PC,过P作PHLBC于H,由垂径定理可得BH长，再

根据矩形性质，勾股定理即可求出答案.

17.【答案】解：4sin45°+(V3-l)°+|-5|-V8=4x^+l+5-2V2=6

13

【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，0指数幕，绝对值的性质，二次根式即可求出答案.

18.【答案】证明：：4/=N4

y/ZTlDE=ZC,/.△ADEACB.

【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可求出答案.

19.【答案】(1)解：二次函数y=/+2久一3的图象，如图.

抛物线的对称轴为直线%=-1.

(2)解：当一1<久<1时，则y的取值范围是一4<y<0.

【解析】【解答】解：：二次函数y=/+2尤一3的图象，如图.

14

抛物线的对称轴为直线久=-1.

【分析】（1）根据“五点法”画出函数图象即可求出答案；

（2）根据二次二次函数的图象及性质即可求出答案.

20.【答案】解：在RtAZBC中，ZC=90°,BC=5,AB=13,

由勾股定理得：AC=<AB2-BC2=V132-52=12.

.,AC12

..cosA=-=—

【解析】【分析】根据勾股定理可求出AC长，再在RtAZBC中，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案.

21•【答案】（1）解：补全的图形如图所示：

（2）在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等；90；直径所对的圆周角是直角

【解析】【分析】（1）根据根据圆内接四边形的性质及正方形的性质即可求出答案;

（2）根据圆周角性质及有一个角为90。的菱形为正方形即可求出答案.

22.【答案】（1）证明：•..四边形4BCD是矩形，

：.^ADC=90°.：.Z.ADE+/.EDC=90°.

9：DELAC,：.^.ADE+Z.DAE=90°.zDAE=zEDC.

（2）解：在Rt/XDEC中，tanzEDC=设EC=3%,DE—4%,

4

贝ijDC=5x

9：^DAE=Z.EDC,

**•tanzDAE—tanzEDC-才

・・•四边形ABCD是矩形，

：.AD=BC=8.

在中，tanzDAC=AD=8.

tanzDAE-需==6.

DC=5%=6..*.%=DE=4x=得.

15

AD

BC

【解析】【分析】(1)根据矩形的性质，进行角之间的转换即可求出答案；

(2)在RtADEC中，设EC=3x,DE=4x,再根据锐角三角形函数的定义可求出DC=5x,再根据矩形的性

质结合锐角三角函数定义即可求出答案.

23.【答案】(1)解：•.•直线y=尤与双曲线y相交于点P(2,m).

Am=2.

把点P(2,2)代入y=［得4=2.

•1_A•4

••K—4.・・V=—•

JX

y=x,

4

(y=T・

..卜=2或卜=-2

(y=2.(y=-2.

.,.点Q的坐标为(—2,-2).

(2)n>2或一2<ri<0

【解析】【解答】•••直线y=久与双曲线y=［相交于点P(2,2)和点Q(-2,-2)

当小>久2时，n的取值范围为：n>2或—2<几<0

故答案为：n〉2或—2<n<0

【分析】(1)将P点坐标代入直线解析式可求出m值，再代入双曲线解析式可求出k值，再联立直线与双曲线

方程，解方程组即可求出答案；

(2)根据直线与双曲线的交点坐标即可求出答案.

24.【答案】(1)证明：连接0C.

16

E

'：0A=OC,：.^OAC^OCA.

又；乙DCB=ADAC,:.乙DCB=LOCA.

'：AB是。。的直径，

AZOCA+ZOCB=90°.，ZDCB+ZOCB=90°.

又,:OC是半径，CD经过o。的半径外端C.

是。。的切线.

(2)解：在RtAOCD中，

VZ0CD=90°,AD=30°,OC=2,

：.OD=A.：.AD=AO+OD=6.

HE是。。的切线，切点为4

AOA1AE.

在Ht△EAD中，

'：AEAD=90°,C=30。，AD=6,

-'-AE=AD-tan30°=6x字=2A/3-

【解析】【分析】(1)根据等边对等角可得NOAC=NOC4则NDCB=NOC4再根据圆直径所对的圆心角为

直角可得ZDCB+ZOCB=90°,再根据切线的判定定理即可求出答案；

(2)根据含30。角的直角三角形可得。。=4,则4。=4。+。。=6,再根据切线性质可得O414E,则在收△

EAD中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

25.【答案】(1)解：5m.

解：由题意可知y=a(x-6)2+5.

•当久=0时，y=2,二a(0—6)2+5=2,角星得a=—告，

函数关系为y=——6)2+5.

(2)>

【解析】【解答】解：(2)在y—6)2+5中

17

当产0时，有：0=一务（％—6）2+5

解得：%i=6+2V15/冷=6—2V25（舍去）

[・询=6+2V15

在y=_捷-sy+皆

当尸。时，有：0=一条（第-5）2+瑞

角军得：打=12,冷二一2（舍去）

C?2=12

V12<6+2V15

**.d]>d，2

故答案为：>

【分析】（1）根据表格信息可得顶点坐标为（6,5）,再将点（0,2）代入函数关系式即可求出答案；

（2）根据题意分别求出两次落地点横坐标，再比较大小即可求出答案.

26.【答案】（1）解：当％=0时，y=4.

..•抛物线与y轴交点的坐标为（0,4）.

二,点（1,TH）,（3,8）在抛物线y=a/+bx+4（a〉0）上，且m=兀，

：.3-t=t-l,解得t=2.

（2）解：由zn=a+b+4,n=9a+3b+4,

".'m<n,/.8a+2b>0..'.b>—4a.

■：a>0,2，即t<2.

2a

*.*n<4,.*.9a+3b<0..\b<—3a.

•••一？>）即

2a22

综上所述，|<t<2.

丁点（%o，n）（%o。3）在抛物线上，

・・・（%0,九），（3,几）关于抛物线的对称轴％=t对称，且%0<t.

：.3-t=t-x0,解得「=誓1

【解析】【分析】（1）先求出抛物线与y轴交点坐标，再将点（1,m）,（3,n）代入抛物线解析式，列出方程,

18

解方程即可求出答案；

(2)将点(1,m),(3,n)代入抛物线解析式可得血=a+b+4,n=9a+3b+4,再根据m,n之间的关系

可求出b>-4a,再根据对称轴性质可求出擀<t<2,再根据(尤0,n),(3,冗)关于抛物线的对称轴久=t对称,

且的<t.,列出方程，解方程即可求出答案.

27.【答案】(1)60

(2)解：①依题意补全图形，如图.

\

BEC

②用等式表示线段4G,BG与DG的数量关系：3ZG2+BG2=DG2.

证明：作NGAM=120。，在4M截取2P=4G,连接GP,PD.

\'AP=AG,^GAP=120°,."AGP=ZAPG=30。.

ABC是等边三角形，：.AB=BC,/.ABC=60°.

5L'：AD=BC,：.AB=AD.

'：AD||BC,：.AABC+ABAD=180°.：.ABAD=120°.

•."GAP=120。，J.^BAG=^DAP.

△BAG三ADAP^SAS).

：.BG=DP,^APD=^AGB=120°.

VZXPG=30°,."DPG=90°.：,GP2+DP2=DG2.

过点4作4QLGP于点Q,

在Rt△AGQ中，

,.24GQ=30。，coszAGQ=%

，GQ=央G：GP=2GQ=有AG.

又，：BG=DP,.\3^G2+BG2^DG2.

19

M

p

'_______________丁D

/

BEC

【解析】【解答］解：（1）;•△ABC是等边三角形

，AB=BC,ZABE=ZBCF=60°

在4ABE和△BCF中

（AB=BC

{乙4BE=乙BCF

IBE=CF

AABE^ABCF（SAS）

Z.BAE=乙CBF

：.^AGF=^ABF+乙BAE=ZABF+乙CBF=60°

故答案为：60°

【分析】（1）根据等边三角形性质可得AB=BC,ZABE=ZBCF=60°,再根据全等三角形的判定定理可得

△ABE^ABCF,贝lkBaE=NCBF,再进行角之间的转换即可求出答案；

（2）①根据题意作图即可求出答案.

②作zGAM=120。，在AM截取4P=AG,连接GP,PD,则zZGP=/APG=30。，再根据等边三角形性质

可得AB=BC,AABC=60。.贝ijAB=AD,再根据直线平行性质可得NB4G=ADAP,贝BAG三△DAP{SAS）,

再根据全等三角形性质可得BG=DP,^APD=乙AGB=120°,再根据勾股定理可得GP2+DP2=DG2,过点

4作4Q1GP于点Q,在Rt△AGQ中，根据锐角三角形函数定义可得GP=2GQ=屈G,则3AG2+BG2=DG2,

即可求出答案.

28.【答案】（1）解：①P2,P3；

②解：,当久=2时，y-0,

二一次函数y=k尤一2k的图象过点（2,