北师大版七年级数学下册同步训练：同底数幂的除法（6类热点题型）（解析版）

第03讲同底数幕的除法（6类热点题型讲练）

学习目标

i.经历同底数幕的除法法则的探索过程，理解同底数幕的除法法则；

2.理解零次累和负整数指数哥的意义，并能进行负整数指数哥的运算;

3.会用同底数幕的除法法则进行计算.

思维导图

同底数幕的除法

।I।

知识点01同底数幕的除法知识点02零指数幕知识点03负指数幕

知识清单

知识点01同底数募的除法

=］一"（其中山，〃都是正整数）.即同底数塞相除，底数不变，指数相减.

要点诠释：（1）同底数幕是指底数相同的累，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）逆用公式：即（m,"都是正整数）.

知识点02零指数累：a°=l（aWO）

知识点03负指数幕：ap=\"WO,p是正整数）

题型精讲

题型01同底数募的除法

【例题】（2023上•八年级课时练习）计算:

⑴（-4“+（一仍）2+（一"）一；

⑵(〃/)4-m3；

【答案】⑴一九3

⑵疝

(3)-尤4

【分析】(1)把(-必)当作一个整体，根据同底数塞的除法法则计算，再利用积的乘方法则计算即可；

(2)先根据察的乘方法则计算，再根据同底数塞的除法法则计算；

(3)先根据同底数幕的乘法法则计算同时根据有理数乘方进行运算，再根据同底数塞的除法法则计算即可.

【详解】(1)解：(一a/?)'十(—。6)2=(—。6丫=-//；

(2)(〃/)+〃广=机8+机3=加；

(3)(-X2)-X6H-(-X)4=-Xs4-x4=-X4.

【点睛】本题考查整式的乘除混合运算，掌握相应的运算法则、掌握运算顺序是解题的关键.

【变式训练】

1.(2023上•全国•八年级课堂例题)计算：

(1)-m9；

(2)(-a)64-(-a)3；

(3)62m+3<6ra.

【答案】⑴

⑵-/

(3)6m+3

【分析】(1)根据同底数幕的除法运算即可求解；

(2)根据同底数塞的除法运算即可求解；

(3)根据同底数幕的除法运算即可求解.

【详解】(1)解：一M+m3=—"产3=.

(2)解：(―<2)6-5-(—<?)3=(—a)63=(—fl)3=—a3•

⑶解:62,"+3+6'"=62,B+3-m=6m+3.

【点睛】本题主要考查整式的乘除法的运算，掌握其运算法则是解题的关键.

2.(2023上•全国•八年级课堂例题)计算：

(l)a10-?o2

(2)«2-a5+/；

(3)(x2j)5+卜0)~；

(4)(p-4)4+(q-p)3.(p-q)2.

【答案】⑴/

(2)a2

(3)x6/

⑷-(p-4

【分析】(1)利用同底数暴的除法法则计算即可；

(2)利用同底数幕的乘法和除法法则计算即可；

(3)利用积的乘方和同底数幕的除法法则计算即可；

(4)先把4-0=-(0-0，底数作为一个整体，利用同底数累的乘法和除法计算即可；

l023l0M5

【详解】(1)解：a^a^a=a-=a.

(2)解：a2-a5-j-a5=aJ^a5=a2.

(3)解：优»5=/y5+/y2=》6y3.

(4)解：(p-q¥Xq-p¥"-qY=-(p-q)4Xp-q)34p-q)。=-(p-q)3.

【点睛】本题考查了同底数塞的乘法，同底数幕的除法，积的乘方，熟练运用这些运算法则是解题的关键.

题型02同底数嘉除法的逆用

【例题】(2023上•八年级课时练习)已知x"=2,xb=6.

⑴求产”的值；

(2)求铲修的值.

【答案】⑴:

(2)1

【分析】(1)逆运用同底数幕的除法的性质解答即可；

(2)逆运用幕的乘方与同底数幕的除法进行计算即可得解.

【详解】(1)解：xa=29xb=69

:.xa-b=xa=2^6=--

3

(2)：x"=2,x"=6,

x2a-b=(x"A+/=2?+6=：.

【点睛】本题考查了同底数幕的除法，幕的乘方的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键.

【变式训练】

1.(2023下•安徽安庆,七年级校考期中)己知°，=3,ay=5,求：

(1)优一，的值；

（2）产y的值.

3

【答案】（I]

（2）1

【分析】（1）根据同底数幕除法的逆运算法则求解即可；

（2）根据同底数幕的除法的逆运算和塞的乘方的逆运算法则求解即可.

【详解】（1）解：，=3,ay=5

3

/.ax-y=ax^ay=3^5=-；

5

（2）解：ax=3fciy=59

g

...a^-y=/、加=（/）2+/=324=w.

【点睛】本题主要考查了同底数塞的除法的逆运算，塞的乘方的逆运算，产"=十七优（awO,田、〃都是

整数），amn=（am）n（〃。0,凡儿都是整数），熟练掌握运算法则是解题的关键.

2.（2023上•河南南阳•八年级统考期中）根据条件求值：

（1）已知〃m=3,优=4,求*f的值；

（2）已知9角一32〃=72,求几的值.

【答案】⑴3

64

（2）1

【分析】（1）先根据塞的乘方计算法则求出〃"*=9,a3n=64,再由同底数塞除法的逆运算法则得到

a2m-3n=a2m^a3n,据此代值计算即可；

（2）先根据塞的乘方的逆运算法则将原式变形为9"包-9"=72,再根据同底数幕乘法的逆运算得到

9”x9-9"=72,由此推出9"=9，则〃=1.

【详解】（1）解：回d"=3,a"=4,

m223

0（a）=3,（优丫=43,即/〃，=9,a"=64,

001n-=4+3"=9-64=—；

-a64

（2）解：09n+1-32n=72,

09"+1-（32）"=72,

回9'm_9"=72,

回9%9-9"=72，

09隈8=72,

团9"=9,

回〃=1.

【点睛】本题主要考查了同底数幕乘除法的逆运算，塞的乘方和塞的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是

解题的关键.

题型03塞的混合运算

【例题】(2023•上海•七年级假期作业)计算：

⑴(-/)―(-J)；(2)(/行)?十。7.

【答案】⑴T

(2)炉

【分析】(1)先计算幕的乘方，再计算同底数塞的除法；

(2)先计算同底数幕的乘法、乘方，再计算同底数塞的乘法与除法.

【详解】(1)解：(一/)44_“4丫=/+(_/)=_1；

(2)解：x(—g)2=)+〃7.=QIO-7+2=〃5.

【点睛】本题考查了同底数塞的乘法与除法，am-an=am+n,(屋')"="皿，d"+a"=d

(。中0,加，〃都是正整数)，注意负数的奇次幕还是负数.

【变式训练】

1.(2023下•山东泰安•六年级校考阶段练习)计算下列各题

(2)优.优+5"7是整数)

⑶的"+82"+4"("是整数)

【答案】⑴Q*1

10

(2)/7

(3)1

【分析】(1)根据同底数嘉的除法法则计算即可；

(2)根据同底数幕的乘法和除法法则计算即可；

(3)先化为同底数累，再根据同底数累的除法法则计算即可;

，0'c"c〃+5.八7—n+n+5-7__2n-2

\^)aci~d—a—Q»

(3)16?"+8筋+4"=28"+26"+2?"=28"-6"-2"=2°=1;

【点睛】本题主要考查了哥的混合运算及其逆运用，熟练掌握累的运算性质是解题的关键.

2.(2023下•全国•七年级假期作业)计算：

⑴％2•f_(_2/)2+5/+%5

⑵(〃-b)2-(b—ci)5-r-［-(。-6)3］；

(3)先化简，再求值：［5°4./一(302+面)3卜(_2娟2,其中。=一5.

【答案】⑴2、

(2)(7)，

(3)-a2,-25.

【分析】(1)先算累的乘方，再算乘除，最后计算加减即可求解；

(2)把作为一个整体，从左往右计算，即可求解；

(3)先算括号内的，再计算除法，最后再代入求值，即可求解.

【详解】(1)原式=犬一4./+5/=(1-4+5)^=2/；

(2)原式=-(a-b)~(a-b)5+［-(a-。力=(a—/?)4,

2

(3)原式=(5。6—9a'2+。6)十4。4=^46+4。4=_(7,

当a=-5时，原式=-25.

【点睛】本题主要考查了哥的混合运算，零指数幕，负整数指数累，熟练掌握累的运算法则，零指数累,

负整数指数基法则是解题的关键.

题型04零指数塞

【例题】计算：(2023-万)°=

【答案】1

【详解】解：(2023-%)°=1.

故答案为：1

【变式训练】

1.计算:

【答案】1

【详解】解：［一g］=1，

故答案为：1.

2.计算：(万-3)°+佶］

【答案】；

【详解】解:（%-3）0=1+

I+Ilri

题型05负整数指数募

【例题】计算：

(1)(-5)-2；(2)(-3)°；(3)10-5；(4)(-0.25『.

【详解】(1)解：原式=』=］；

(一〉25

(2)解：原式=(-3)°=1；

(3)解：原式=10-5=000001；

(4)解：原式=(_；尸=(_4)3=-64.

【变式训练】

1.计算：一12*义4+1-g)2+(万一5)°.

【详解】解：-12023X4+^-1^|+(^--5)°=-1X4+9+1=-4+9+l=6.

2.计算：(一2022)°-+(-1)2+10"<101()(,.

【详解】(—2022)。一+(-1)2+10"<10100=1-3+1+IO。",。=-1+101=-1+^=-^.

题型06用科学计数法表示绝对值小于1的数

【例题】（2023上•辽宁铁岭•八年级统考期末）若一粒米的质量约是0.000012kg,将数据0.000012用科学记

数法表示为.

【答案】1.2X10-5

【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl（T,其中1＜忖＜10,”为由原数左边起

第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，与较大数

的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数累，指数”由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的

个数所决定.

【详解】解：0.000012=1.2x10-5,

故答案为：1.2x10-5

【变式训练】

1.（2023上•黑龙江佳木斯•八年级统考期末）纳米是一种长度单位，1纳米=10-9米，冠状病毒的直径约为

120纳米，将120纳米用科学记数法表示为米.

【答案】1.2x10-7

【分析】本题主要考查科学记数法的运用，负指数的运用，同底数幕的运算，科学记数法的表示为

axl0"（lWa<10,〃为整数），确定”的值的方法是：原数变为。时，小数点移动的位数与"的绝对值相同.当

小数点向右移动时，〃为负数；当小数点向左移动时，〃为正数；最后根据同底数幕的运算法则即可求解.

【详解】解：120纳米=120x10-9=1.2x102x10-9=1.2x10-7,

故答案为：1.2><10一7.

2.（2023上•江苏南京•八年级南京大学附属中学校考期末）我国已经成功研制出超导量子计算原型机"祖冲之

二号”.根据已公开的最优经典算法，在处理"量子随机线路取样”问题时，"祖冲之二号”用时大约为

0.00000023秒，将0.00000023用科学记数法表示应为.

【答案】2.3x10-7

【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl（T",其中1<忖<10,〃为由原数左边起

第一个不为零的数字前面0的个数所决定.

【详解】解：0.00000023=2.3x10-7,

故答案为：2.3x10-7.

强化训练

一、单选题

1.（2023上•河南濮阳•八年级校联考期中）下列各式运算结果为/的是（）

A.x2.x4B.（x2）C.%12-%2D.三+三

【答案】A

【分析】直接根据同底数塞的乘除法，幕的乘方，合并同类项的运算法则计算各项，即可得到答案.

【详解】解：A.尤2./=尤*=尤6,故选项符合题意；

B.（X2）4=X8,故选项不符合题意；

C.?2-x2=?2-2=x10,故选项不符合题意；

D.^+?=2?,故选项不符合题意.

故选：A.

2.（2023上•四川宜宾•八年级统考期中）下列计算正确的是（）

A.2a4+3a2=5a6B.a8-=-a2=a4C.2a5-a3=2a8D.（a%）=a6b

【答案】C

【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幕的除法，乘法运算，积的乘方运算，根据各自的运算法则逐

一分析即可，熟记运算法则是解本题的关键.

【详解】解：A、2a,与3a2不是同类项，不能合并，不符合题意；

B、a8^a2=a6,故本选项计算错误，不符合题意；

C2a5-a3=2as,计算正确，符合题意；

D,（a^=a6b2,故本选项计算错误，不符合题意；

故选：C.

3.（2023上•吉林松原•八年级校联考期末）经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg,数据0.00000201用

科学记数法表示为（）

A.20.1x10-3B.2.01xlO-4

C.0.201xlO-5D.2.0卜10一6

【答案】D

【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl（T,其中九为由原数左边起第

一个不为零的数字前面的0的个数所决定.绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为

10-,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数暴，指数〃由原数左边起第一个不为零

的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：0.00000201=2.01x10^.

故选：D.

4.（2023上•河南濮阳•八年级校联考期中）若（x+2）°=l,则%的取值范围是（）

A.x—2B.—2C.xw-2D.x=-2

【答案】C

【分析】本题考查零指数哥的意义，根据零指数暴的定义即可判断.

【详解】解：根据零指数幕的意义，

x+2*0,

故选：C.

5.（2023上•河南新乡,八年级校考阶段练习）下列四个算式：①（lx），+（-2x）3=_阴②

_/"-2；③片/土（/匕）-=°；④18a%*+（-3“26）~=2（7方.其中计算不正确的是（）

A.①②B.①③C.②④D.②③

【答案】B

【分析】本题考查幕的运算，涉及同底数幕的除法、积的乘方、塞的乘方等知识，是基础考点，掌握相关

知识是解题关键.根据同底数暴的除法、积的乘方、塞的乘方法则逐个解题

【详解】解：①（-2x）4+（一2力3=_2%,错误，

②（_/广正确,

③。，盲+（/叶=°,错误,

④18a6/74-（-3a2/?）2=2a2b2,正确

故①③错误，

故选：B.

二、填空题

6.（2023上•吉林长春•八年级统考期末）计算：（一2/丫+加=.

【答案】-8m4

【分析】本题考查整式的运算中积的乘方及整式除法，解题的关键是掌握整式运算的相关法则.

先算积的乘方，再从左到右依次计算；

【详解】解：^-2m2^-i-m2=-8m6-i-m2=-8m4,

故答案为：-8m4.

7.（2023上,吉林松原•八年级校联考期末）计算：Qy+2024°=—.

【答案】5

【分析】本题考查了整数指数幕，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

先计算整数指数幕的运算，然后进行有理数的加法运算，由此得到答案.

【详解】解：+2024°

=4+1

=5,

故答案为：5.

8.（2023上•重庆九龙坡,八年级重庆市育才中学校考阶段练习）若3x-y=l,则代数式8,+2y+2的值为

【答案】1

【分析】本题主要考查累的乘方逆运算和同底数累除法逆运算，先将3x-y=l变形为1=0,再把

8；2》+2变形为232T,然后整体代入计算即可.

【详解】解：El3x-y=l,

03%-y-l=O,

回8工+2》+2=23X4-2VH-2=23x-y~I=20=1,

故答案为：1.

9.（2023上,重庆渝中•八年级重庆巴蜀中学校考期中）华为此?招60搭载了最新一代处理器麒麟9100,这款

芯片采用了最先进的7nm制造工艺，已知7nm=0.000000007m,将0.000000007用科学记数法表示为:.

【答案】7x10-9

【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为axio”的形式，其中1<|a|<10,〃为整

数，确定”的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同，当

原数绝对值大于等于10时，w是正数，当原数绝对值小于1时"是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：0.000000007=7x10-3

故答案为：7x10-9.

10.（2023上•四川资阳•八年级四川省安岳中学校考期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、

29个、5个，先从甲袋中取出丁个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2'+2，）个球放入丙袋，最后从丙袋中取

出2,个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2r的值等于.

那强乙货

【答案】2

【分析】本题主要考查了整式的加减计算，同底数累除法的逆运算，先分别表示出经过取走和取出后，甲、

乙、丙三个袋子中的球数分别为29-2工+2〉，29-2\5+2，，再由题意可得最后三个袋子中的球都是21

个，由此得至IJ29-2'=21,5+2*=21,即2>=8,2，=16,最后根据=2*+2,进行计算求解即可.

【详解】解：经过取走和取出后，甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为29-2*+2丫，29+2,-（2*+2y）=29-2>,

5+（2'+2>2〉=5+2，，

团一共有29+29+5=63个球，且最后三个袋子中的球的数量相同，

团最后三个袋子中的球都是21个，

029-2丫=21,5+2*=21,

02y=8,2工=16,

=2'+2>,=16+8=2,

故答案为：2.

三、解答题

11.(2023上•广东江门•八年级江门市福泉奥林匹克学校校考期中)计算：a3+(-2a厅一("『".

【答案】5a8

【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，幕的乘方，同底数幕除法等计算，熟知相关计算

法则是解题的关键，注意同底数募乘除法指数是相加减，哥的乘方和积的乘方指数是相乘.

【详解】解：原式=a3+4+1+〃+4a8-a12+a4

^as+as+4as-as

二5〃8.

12.(2023下•江苏泰州•七年级统考期中)计算

⑴卜2|+(一1广、(万一2)。一图；

⑵Q./一(—2/了+(3/J+/

【答案】⑴-6

⑵18a6

【分析】(1)先根据绝对值、有理数的乘方、零指数募、负整数指数嘉化简，然后再计算即可；

(2)先算乘方，再算乘法和除法，最后合并同类项即可.

【详解】(1)解：卜2|+(_1产2><(〜2)°J口2

=2+lxl-9

=2+1—9

(2)解：a,02・—(―2〃2)+(3。4)

682

=Q6+8a+9a+a

6

=a+8/+9〃6

=18a6.

【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数的四则混合运算、零次塞、负整数次塞、整式的四则混合运算等

知识点，灵活运用相关知识点是解答本题的关键.

13.(2023下•江苏淮安•七年级统考期末)计算：

⑴出2-(万-1)°+(-3)2

【答案】⑴12

(2)-m4

【分析】（1）根据负整指数幕，乘方以及零指数事求解即可;

（2）根据幕的乘方，同底数幕的乘法和除法求解即可.

出-(^-1)°+(-3)2=4-1+9=12；

【详解】（1）解:

(2)解：m3-2m-2m2)+m5-i-m

=27?i4-4”+;n4

【点睛】此题考查了零指数幕，负整指数哥，号的乘方以及同底数基的乘除法，解题的关键是熟练掌握相

关运算法则.

14.（2023下・江苏苏州•七年级统考期末）计算：

-1

(l)|-3|-(2023-7r)°+1

(2)Y.尤4+(_/)3_(2/)2+尤2.

【答案】⑴4

(2)7

【分析】（1）根据绝对值的意义，零指数与负整数指数塞的意义进行即可;

（2）根据哥运算性质进行运算，最后合并同类项即可.

【详解】（1）解：卜3|-（2023-万）°+[£|

=3-1+2

=4；

（2）解：x2-x4+（-x2）3-（2x4）2-i-x2

=X6-X6-4X6

=-4x6.

【点睛】本题考查了实数的运算，塞的混合运算.掌握累的相关运算性质是解题的关键.

15.（2023上•全国•八年级专题练习）已知暧,2,屋=3,求：

⑴求的值；

（2）求滔的值.

【答案】⑴6

【分析】本题主要考查同底数幕的乘法，同底数幕的除法，幕的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的

掌握.

(1)利用同底数幕的乘法的法则进行求解即可；

(2)利用同底数塞的除法的法则及幕的乘方的法则进行求解即可.

【详解】(1)解：Blam=2,a"=3,

Sam+n=am-a"=2x3=6；

(2)130'"=2,a"=3,

/\24

0a2m-n^a2m^-a"=(am)+屋=2?+3=4+3=§.

16.(2023上•陕西延安•八年级校联考阶段练习)按要求解答下面各题.

⑴已知2x+4y+3=0,求9*x8