江苏省徐州市2024-2025学年高三下学期2月调研测试数学试卷（解析版）

第第页2025届高三年级2月调研测试数学注意事项1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将各答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，若，则实数的取值构成的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用集合与集合之间的关系构造方程计算参数即可.【详解】由得.当时，，满足；当时，因为，所以或，解得或.故选：C.2.若复数（其中是虚数单位），则复数的共轭复数的模为A.1 B.C D.2【答案】B【解析】【详解】试题分析：，故选B.考点：复数及其运算．3.已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可.【详解】因为命题：，为真命题，所以不等式的解集为.若，则不等式可化为，解得，不等式解集不；若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得，综上可知：，故选：D.4.下列说法中，正确的是（）A.一组数据的第70百分位数为13B.若样本数据的方差为2，那么数据的方差为6C.已知随机事件A和B互斥，且，，则D.某一组样本数据为，则样本数据落在区间内的频率为【答案】ACD【解析】【分析】根据，向后推一位即可；利用方差的性质计算即可；根据互斥求出，再利用对立事件来求解；利用古典概型求解即可．【详解】A选项，数据从小到大排列为，由，故第5个数作为第70百分位数，即13，A正确；B选项，样本数据的方差为2，则数据方差为，所以B选项错；C选项，因为A和B互斥，则，可得，所以，C正确；D选项，样本数据落在区间有有4个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选D；故选：ACD．5.设定义域为的单调函数，对任意，都有，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，结合条件可得，即，通过求导结合零点存在性定理可确定答案.【详解】设，则，且，当时，，由函数在上为增函数，且得，，∴，故，由得，，设，则，，∴根据零点存在性定理可知在内存在零点，即.故选：B.6.若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得出，由于满足条件的△ABC有两个，则函数与函数的图象有两个交点，画出图象，即可得出a的取值范围.【详解】根据正弦定理可知，代入可求得因为满足条件的△ABC有两个，所以有两个角即函数与函数的图象有两个交点，如下图所示由图可知，，所以故选：C【点睛】本题主要考查了根据三角形解的个数求参数的范围，属于中档题.7.在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出圆关于直线的对称圆的方程，由对称圆与圆有公共点可得答案．【详解】圆的圆心为，设关于直线的对称点为，所以，解得，关于直线的对称点为，由题意得，以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点，所以，解得：.故选：B．【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出圆关于直线的对称的圆与圆有公共点，考查了学生思维能力.8.如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方．设，（），记，，分别考查的所有运算结果，则A.有最小值，有最大值 B.有最大值，有最小值C.有最大值，有最大值 D.有最小值，有最小值【答案】B【解析】【分析】设，用表示出，根据的取值范围，利用三角函数恒等变换化简，进而求得最值的情况.【详解】依题意，所以.设，则，所以，，所以，当时，取得最大值为.，所以，所以，当时，有最小值为.故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论中正确的有（）A.若为正实数，，则B.若a，b，m为正实数，，则C.若，则D.当时，的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】A，B选项考查不等式的证明，应用作差法判断正负即可解决；C选项考查不等式的性质，在不等式左右两边同时乘以正数，不等号不变；D选项考查基本不等式，正数时，乘积确定可以求出和的最小值.【详解】解：对于A，∵为正实数，，∴，故A正确；对于B，若为正实数，，则，则，故B错误；对于C，，若，则，故C正确；对于D，当时，根据基本不等式可得：，的最小值为，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是偶函数 B.是周期函数C.关于直线对称 D.当时，【答案】BCD【解析】【分析】A项特值可得；B项由定义证明；C项证明成立即可；D项由对称性分析当时，是否成立即可.【详解】A项，，，得，所以不是偶函数，故选项A错误；B项，，所以是以为周期的周期函数，故选项B正确；C项，，所以关于直线对称，故选项C正确；D项，由关于直线对称，只需看当时，是否成立.当时，，，，，所以，即；又因为，所以，所以，即，所以，故选项D正确.故选：BCD.11.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（）A.若，则四面体的体积为定值B.若的外心为，则为定值2C.若，则点的轨迹长度为D.若且，则存在点，使得的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】A选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到三点共线，得到平面，故点为平面的距离为定值，四面体的体积为定值，A正确；B选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到；C选项，建立空间直角坐标系，设，表达出，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分，结合弧长公式求出答案；D选项，求出，，得到，画出图形，数形结合得到其最小值.【详解】A选项，在上分别取，使得，，因为，所以，因为，所以，即，故，即，所以三点共线，因为，，所以，故平面，故点为平面的距离为定值，又为定值，故四面体的体积为定值，A正确；B选项，取的中点，因为的外心为，所以⊥，又题意得，则，B错误；C选项，取的中点，因为底面为菱形，，故⊥，以为坐标原点，以，分别为轴，建立空间直角坐标系，故，设，则，化简得，点满足，即点在正方形内，包括边界，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分，如图所示：因为，，故，故为等腰直角三角形，，故点的轨迹长度为，C正确；D选项，若且，，即，即，又，，设，设，即，解得，即，，如图所示，设，且⊥，⊥，在线段上取一点，设，则，故，显然，直接连接，此时取得最小值，最小值即为，由勾股定理得，故的最小值为，D正确.故选：ACD【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为________．【答案】##0.104【解析】【分析】根据正态分布的概率公式和二项分布的概率公式即可求解.【详解】因考生成绩服从正态分布，所以，故任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为．故答案为：.13.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则______．【答案】4725或4746【解析】【分析】根据给定的运算法则，逆推进出前4项，再结合数列周期性求出.【详解】由，得，或，若，则数列是周期数列，其周期为3，因此；若，则数列去掉前3项后是周期数列，其周期为3，因此.故答案为：4725或4746【点睛】思路点睛：由“角谷猜想”的运算法则，利用逆推的方法求出前4项，再利用周期性求和.14.如图所示，由半椭圆和两个半圆，组成曲线，其中点、分别是的上、下焦点和、的圆心.若过点、作两条平行线、分别与、和、交于、和、，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】求出椭圆的方程，设直线与椭圆的另一个交点为，由对称性得出，进而得出，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的最小值，进而得解.【详解】半圆的圆心为，半径为，半圆的圆心为，半径为，对于椭圆的焦距为，则，可得，所以，椭圆的方程为，如图所示，设直线与椭圆另一个交点为，由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称，即点为线段、的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，，，若的斜率不存在，则直线过点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，，故当时，取最小值，则的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用对称性得出，由此得出，将问题转化为椭圆的焦点弦长的最值问题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）求且，求．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化为边，再利用余弦定理即可求出角的大小；（2）利用降幂升角公式、三角形内角和定理及逆用两角差的正弦公式可将化为，求出的范围，进而可求出的值，再利用角的变换即可求出．【详解】（1）由正弦定理得，故，即，∴，∵，∴．（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，得，又∵为锐角三角形，∴，∴．∴，则，∴，∴．【点睛】本题主要考查了正弦定理、二倍角公式、同角三角函数关系及两角和与差的正弦公式，同时考查利用已知角和特殊角的变换求三角函数值，属于中档题.16.如图所示的几何体中，为三棱柱，平面，，四边形为平行四边形，，.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）4【解析】【分析】（1）根据平面，可知是正方形，因而.由，可知，因而平面，即可得，从而由线面垂直判定定理可得平面；（2）求得，即可由等体积求解即可.【详解】（1）证明:∵为三棱柱，且平面，，∴四边形是正方形，.∵平面，∴，又∵，，∴，，∵，平面，∵平面，∴.∴平面.（2）∵，∴，，∴三棱锥的体积，.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，三棱锥体积求法，属于中档题.17.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点；（2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望；（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【答案】（1）；（2），；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据独立重复试验中概率计算,可得仅出现一次音乐的概率.然后求得导函数,并令求得极值点.再根据的单调情况,求得的最大值.（2）由（1）可知,.先求得不出现音乐的概率,由对立事件概率性质即可求得出现音乐的概率.结合二项分布的期望求法,即可得随机变量的期望;（3）求得每个得分的概率,根据公式即可求得得分的数学期望.构造函数,利用导函数即可证明数学期望为负数,即可说明分数变少.【详解】（1）由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为：,由得或（舍）当时,；当时,,∴在上单调递增,在上单调递减,∴当时,有最大值,即的最大值点；（2）由（1）可知,则每盘游戏出现音乐的概率为由题可知∴；（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量,则的可能值为-300,50,100,150；∴；；；；∴；令,则；所以在单调递增；∴；即有；这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.【点睛】本题考查了独立重复试验概率的求法,利用导数求得函数的最值,数学期望的求法,综合性较强,计算量较大,属于难题.18.已知椭圆短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆C交于两点，其中分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点（1）若的坐标为求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过点并垂直于轴的直线交C于点，椭圆上不同的两点满足成等差数列.求弦的中垂线在轴上的截距的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）短轴长为2，则有，为的重心，得，代入椭圆方程求解即可；（2）由等差中项的性质得到，再由弦长公式得到，然后分当AB斜率存在时由点差法得到，再由点斜式写出弦的中垂线方程，得弦的中垂线在轴上的截距；当AB斜率不存在时，AD的中垂线为轴，得在轴上的截距，最后得到范围；（3）根据重心性质及面积公式得，，再结合已知不等式条件解不等式组可得，然后直曲联立得到，转化为对任意的m恒成立，解不等式即可.【小问1详解】椭圆短轴长为2，则有，故椭圆，，则为的中点，又为的中点，可知为的重心，则，故，代入椭圆方程得，解得，所以椭圆C的方程为；【小问2详解】由椭圆C的方程得，，，成等差数列，，设，AD中点，由弦长公式，=，，，同理，代入可得，①当AD斜率存在时，由，两式作差可得，，∴，∴弦AD的中垂线方程为，当时，AD的中垂线在轴上的截距为，AD中点在椭圆C内，∴，得，且．②当AD斜率不存在时，AD的中垂线为轴，在轴上的截距为．∴综上所述，即弦AD的中垂线在轴上的截距的取值范围为.【小问3详解】，则为的中点，为的中点，又为的中点，可知点分别为，的重心，设，，设点，，则根据重心性质及面积公式得，，而，∴，∴，∴，设，则，令，任取，有，时，，，，，即；时，，，，，即；则在上单调递增，在上单调递减，，，可得，即，设直线，则联立椭圆方程得，消元化简得，，∴，，∴，∴，则对任意的m恒成立，即，得，故实数a的取值范围为．【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.设数列的前n项和为，对一切，，点都在函数图象上.（1）求，，，归纳数列的通项公式（不必证明）：（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值；（3）设为数列的前n项积，若不