导数的概念及其意义-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第20讲导数的概念及其意义

【人教A版2019】

1.瞬时速度

(1)平均速度

设物体的运动规律是s=s⑺，则物体在2到M+Af这段时间内的平均速度为第=s(M+△%)—s(%o)

△t

(2)瞬时速度

①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

②一般地，当Ar无限趋近于。时，器无限趋近于某个常数V,我们就说当At趋近于。时，学的极限

—AvS(，o+△，)一S(，o)

是V,这时V就是物体在时的瞬时速度，即瞬时速度V=limF=lim

△t—y0N△t-yo△t

2.抛物线切线的斜率

(1)抛物线割线的斜率

设二次函数月⑴，则抛物线上过点Po（x°J（x。））、尸（与+心,/（我+心））的割线的斜率为%=

〃Xo+Ax）—/（X。）

Ax.

（2）抛物线切线的斜率

一般地，在二次函数y=/（x）中，当A尤无限趋近于。时，若无限趋近于某个常数女,我们就说当Ax趋

近于0时，孚的极限是左，这时左就是抛物线在点尸0（x°,/U））处切线的斜率，即切线的斜率Qlim孚=

/\XAx—>0L\X

lim/（Xo+Ax）—/（Xo）

Ax->0Ax

3.函数的平均变化率

函数平均变化率的定义

对于函数》可（尤），设自变量x从无o变化到Xo+Ax,相应地，函数值y就从五几）变化到/（xo+Ax）.这时，尤

的变化量为Ax,y的变化量为公/力羽+公分了（先）.我们把比值?，即孚/（X。）叫做函数

y力（%）从%0至Ijxo+A%的平均变化率.

►题型归纳

【题型1瞬时速度、平均速度】

【例1.1]（23-24高二下•陕西渭南•期中）某质点沿直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之

间的关系为y（t）=t2+2t,则该质点在1<t<3这段时间内的平均速度为（）

A.6m/sB.7m/sC.8m/sD.9m/s

【解题思路】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案.

【解答过程】由题意知位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为丫（。=产+2%

则该质点在1<t<3这段时间内的平均速度为当=咤芈=32+2X3T-2=6（m/s）.

At3-12

故选：A.

【例1.2]（23-24高二下•江苏•阶段练习）如果说某物体做直线运动的时间与距离满足sQ）=2（1-t）2,则

其在C=0.5时的瞬时速度为（）

A.4B.-4C.4.8D.-2

【解题思路】利用导数的定义广（X。）=&J&+智力3即可求解.

【解答过程】根据导数的定义可得，在t=0.5时的瞬时速度为

Hms(0.5+At)-s(0.5)_Hm2(l-0.5-At)2-2(l-0.5)2

s'©—2,

△JOAtAt->0At

故选：D.

【变式1.1]（2024高二下•全国・专题练习）物体甲、乙在时间0到匕范围内，路程的变化情况如图所示，下

列说法正确的是（）

A.在0到％范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

B.在0到％范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度

C.在0到L范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

D.在2到L范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度

【解题思路】利用平均速度的定义逐项判断可得出合适的选项.

【解答过程】在0到to范围内，甲、乙的平均速度都为已故AB错误；

在场到ti范围内，甲的平均速度为一，乙的平均速度为产，

口一toCl-to

因为S2—So>S1—So,t1—t0>0,所以包,

则在to到ti范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误.

故选：C.

【变式1.2]（23-24高二下•宁夏银川•阶段练习）在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度（单位:

m）是/1&）=一4.9/+6.51+10,则运动员在t=1s时的瞬时速度为（）

A.-3.3m/sB.-8.2m/sC.3.3m/sD.1.6m/s

【解题思路】

根据瞬时速度的定义直接求解即可.

【解答过程】

运动员在t=1s时的瞬时速度即为无'（1）,令y=

根据导数的定义，苦=追萼@2

△tAt

_-4.9（l+At）2+6.5（l+At）+10-（-4.9+6.5+10）

At

=-4.9At—3.3

所以h'(l)=lim—=lim(—4.9At—3.3)=—3.3,

At—OAtAt—O

故运动员在t=Is时的瞬时速度为—3.3m/s.

故选：A.

【题型2平均变化率、瞬时变化率】

【例2.1］(23-24高二下.辽宁阜新•期末)若函数/0)=乂2+乃则函数从％=—1到％=3的平均变化

率为()

A.6B.3C.2D.1

【解题思路】根据条件，直接求出/(-1)=0,/(3)=12,再利用平均变化率的定义即可求出结果.

【解答过程】因为f0)=x2+x,所以f(一1)=(一1)2-1=0,f(3)=32+3=12,

故函数f⑺从x=-1到x=3的平均变化率为g=粤苔生=晋=3，

故选：B.

【例2.2X23-24高二下•内蒙古包头•期中)已知点P(l,2)是曲线y=2/上一点，则p处的瞬时变化率为()

1

A.2B.4C.6D.-

2

【解题思路】直接瞬时变化率计算公式即可得到答案.

【解答过程】曲线y=2%2在点P(I,2)处的瞬时变化率为2小(I+A：?-2XI=%

故选：B.

【变式2.1］(23-24高二下.北京•期中)为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中

的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t).甲、乙两人服用该药物

后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示.

①在力时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

②在巧时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③在［62］这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同;

④在0/2］，卜2/3］两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③④C.②③D.①③

【解题思路】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切

线的斜率，平均变化率是+再结合图象，逐一判断选项即可.

△t

【解答过程】解：对于①，在h时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正确；

对于②，在巧时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的尸（。）不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的

瞬时变化率不相同，即②错误；

对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在住2,即内，血管中药物浓度的平均变化率均为"“）一"⑵,即

七3T2

③正确；

对于④，在山，归和12,引两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为"V"编和"旷"?

显然不相同，即④错误.

故正确的只有①③；

故选：D.

【变式2.2］（23-24高二•全国•课后作业）已知函数f（x）和g（x）在区间［a,切上的图象如图所示，则下列说法

正确的是（）

A./（久）在a到b之间的平均变化率大于。（久）在a到b之间的平均变化率

B./（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率

C.对于任意X。£（a,6）,函数/（久）在x=久。处的瞬时变化率总大于函数g（x）在久=久（）处的瞬时变化率

D.存在久°£（a,b'）,使得函数/（久）在久=久o处的瞬时变化率小于函数。（久）在x=久o处的瞬时变化率

【解题思路】由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断.

【解答过程】解：:/。）在a到b之间的平均变化率是"?："团,

g(匕)-g(a)

g（x）在a到b之间的平均变化率是

b-a

又•••f(b)=g(b),f(a)=g(a),

b-ab-a

:.A、B错误；

易知函数/'（x）在X=刀0处的瞬时变化率是函数/'（X）在x=出处的导数，

即函数/（X）在该点处的切线的斜率，

同理可得：函数g（x）在x=而处的瞬时变化率是函数。（久）在该点处的导数，

即函数g（x）在该点处的切线的斜率，

由题中图象可知：

%oG（a,b）时，函数/'（X）在久=与处切线的斜率有可能大于g（x）在％=而处切线的斜率，也有可能小于。（无）在

%=刀0处切线的斜率，故C错误，D正确.

故选：D.

【题型3利用导数的定义解题】

【例3.1】（23-24高二下•山东荷泽•阶段练习）若函数f（x）在x=1处的导数为2,则=（）

A.2B.1C.-D.4

2

【解题思路】由导数的定义和把所求转化为导数的表达式求出结果.

【解答过程】因为函数"%）在x=1处的导数为2,

所以lim空管&二2,

Ax

所以皿"1+猛力—二叫空吧30△上空2-/（iAx）-/（i）Hm-=2+2=4,

△xAxAxlim+Ax+

故选：D.

【例3.21（23-24高二下•贵州遵义•阶段练习）设/（久）存在导函数且满足则/⑴U：3Ax）=一1,则曲线丫=

f（x）上的点（1"（1））处的切线的斜率为（）

1

A.-1B.-3C.1D.--

3

【解题思路】利用导数的定义求解.

【解答过程】解:因为lim，⑴二(一3.=3lim-—了⑴

Ax-^O△%-3Ax^0-3Ax

1

所以lim

—3Ax-*0-3Ax3’

故选：D.

【变式3.1](23-24高二下.江西萍乡•期中)设/(X)在R上的导函数为广(x),若lim八3-£)-"3)=?,则广(3)=

△%-03AX

()

A.-2B.2C.-6D.6

【解题思路】由已知结合导数定义即可求解.

【解答过程】由于lim门3.町力3)=_1lim/(35力3)=_工尸⑶=2,财产⑶=-6.

△%T03AX3A%T0-AX3，-,

故选：c.

【变式3.2](23-24高二下•江西宜春.阶段练习)设兀0为可导函数且满足lim回空^=一1,则在曲线

2X

y/x)上点(1/(1))处的切线斜率为

A.2B.-1C.1D.-2

【解题思路】由导数的几何意义，求出在曲线y=f(x)上点(l,f(l))处的导数，即求得在此点处切线的斜率.

【解答过程】由=lim/d)-f(i-2x)一]

%T02X%T01-(1-2X)

根据导数的定义可得:f'(l)=-1.

在曲线y=/(x)上点(1)(1))处的切线斜率k=尸(-1)=-1

故选：B.

1.函数在某点处的导数的几何意义

(1)切线的定义

在曲线产”)上任取一点P(X/(x)),如果当点P(X/(x))沿着曲线yjx)无限趋近于点尸o(尤Oj/(Xo))时,害I]线

RP无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线RT(T是直线上的一点)称为曲线y=Ax)在点八处

的切线X。.

(2)函数在某点处的导数的几何意义

函数y=")在下X。处的导数/(X。)就是切线尸口的斜率腌，即左。=lim..+与)—、国=/(x。).这

AXTOZXX

就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y—/(xo)=/'(x。)(x—几).

A题型归纳

【题型4求曲线切线的斜率(倾斜角)】

【例4.1](23-24高二下•河北保定•期中)曲线y=—?/一1在％=1处的切线倾斜角是()

A.-B.-C.-D.—

6363

【解题思路】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可.

【解答过程】设曲线y=-y%3-1在X=1处的切线倾斜角为a,

因为y'=—V3%2,贝！Jy'lx=i=—\/30tana=_V3=>a=g.

所以曲线y=一日/一1在尤=1处的切线倾斜角是g,

故选：D.

【例4.2］（23-24高二下•广东中山•阶段练习）设f（x）为可导函数，且满足躯八3）=2,则曲线y=

f（x）在点（3"（3））处的切线的斜率是（）

2

A.6B.2C.3D.-

3

【解题思路】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可.

八3+△”⑶"3+△幻53）=2,

【解答过程】由题意，lim=1lim

即#<3）=2,故/⑶=6,即曲线y=在点（3,八3））处的切线的斜率是6.

故选：A.

【变式4.1］（23-24高三上.河南•阶段练习）已知/（x）=xe，过P0）作曲线y=/。）的切线，切点在第

一象限，则切线的斜率为（）

A.—B.3e2C.2eD.Ve

2

【解题思路】设切点坐标为写出切线的方程，求出久。=1即得解.

【解答过程】解：由/（%）=%ex,得/（%）=（%+l）ex,

eXx

设切点坐标为（々p&e%。），则切线方程为y-xo°=（%o+l）e°（x一&）,

把点代入并整理，得一沏=（&+1）©-%。），

解得久0=1或“0=（舍去），

故切线斜率为尸（1）=2e.

故选：C.

【变式4.2］（23-24高三上.四川南充.阶段练习）过函数/Q）图象上一动点作函数图象的切线,

则切线的倾斜角的取值范围是（）

A.[。，或吟月B-

C•周陪同D.(用唔,H)

【解题思路】利用导数求得切线的斜率的范围，进而求得倾斜角的范围.

【解答过程】依题意，/(%)=|x3-x2,贝!]/(久)=--2刀=(x—1产—1?一1,

即切线的斜率的取值范围是[-1,+8),

所以倾斜角的取值范围是[o,力u普m).

故选：B.

【题型5求曲线的切线方程】

【例5.1](23-24高二上•福建福州•期末)已知函数f(x)在R上可导，且满足京,了⑵-.+△*)=1,则函数

y=/(%)在点(2,1)处的切线的方程为()

A.y=x—1B.y=-x—1C.y=x+3D.y=-x+3

【解题思路】根据条件，利用导数的定义即可得到尸(2)=-1、再由导数的几何意义即可得出结果.

【解答过程】由lim"2)-f(2+Ax)=1,得至|JHmf(2+3-f(2)=一1,

△%TOAX△soAX

由导数的定义知尸(2)=-1-,所以函数y=/(%)在点(2,1)处的切线的方程为y-1=-(%-2),

即y=-x+3,

故选：D.

【例5.2]⑵-24高二下•辽宁•阶段练习)过原点且与函数/(%)=ln(-%)图像相切的直线方程是()

21

A.y=—XB.y=—~xC.y=—~xD.y=—ex

【解题思路】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.

【解答过程】因为/(x)=ln(—%),所以尸0)=3

设所求切线的切点为(配力(殉))，则尸(而)=工，

x0

由题知，工=3=吐殛2,解得x0=—e,所以切线斜率为k=/，(_e)=—工，

%。x0X0e

故所求切线方程为y=-

故选：C.

【变式5.1](2024•陕西西安•三模)已知函数f(久)=二或'；；(¥'?8)则f(X)在点(5,/(5))处的切线

方程为()

A.4x—y-28=0B.4%+y—12=0

C.%—4y—12=0D.%+4y—22=0

【解题思路】根据分段函数结合导函数求出尸(5),再根据点斜式得出直线方程.

【解答过程】当xe(0,2]时，尸(X)=2x-3,

当xe(4,6]时，f(x)=2/(x-2)=4/(%-4),则尸(x)=4尸(x—4),

所以"5)=4/(1)=-8,尸⑸=41⑴=-4.

则所求的切线方程为y—(—8)=—4(%—5),即4x+y—12—0.

故选：B.

【变式5.2](2024•全国•模拟预测)过原点可以作曲线y=f(x)=——|划+1的两条切线，则这两条切线

方程为()

A.y=x和y=—xB.y=一3久和y=3x

C.y—x和y=-3xD.y——x和y=3x

【解题思路】由解析式得/(x)为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称，再由导数几何意义求x>

。上的切线，结合偶函数对称性写出另一条切线.

【解答过程】由xe=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1=f(x),得f(x)为偶函数,

故过原点作的两条切线一定关于y轴对称.

当x>0时，/(%)—x2—x+1,贝!|尸(x)=2x—1,

设切点为P(&,诏一&+1)(%o>0),故2与一1=x°-x°+1-°,解得出=1或%=-1(舍)，

%0-U

所以切线斜率为1,从而切线方程为y=%.

由对称性知：另一条切线方程为y=-%.

故选：A.

【题型6已知切线(斜率)求参数】

【例6.1](23-24高二下.安徽亳州.期末)己知函数/(久)=alnx+bx2e1~x,a,beR,e是自然对数的底数.若

曲线y=f(x)在点(2,((2))处的切线方程是丫=久+1112,贝帕的值是()

2-ln22+ln2(2-ln2)e(2+ln2)e

A.---D.---C.-----D.---------

4444

【解题思路】求导，根据函数在某点的切线方程得到y=f(%)在点(2,/(2))处的切线方程可表示为：y-

/(2)=，(％-2)=y=|久一a+/(2),再由切线方程是y=%+ln2,建立方程组求解.

【解答过程】因为尸(x)=?+b比(2-柳1,所以广⑵冶.

y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程可表示为:

y-/(2)=|-2)今y=1x_a+/(2),

又因为曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程是y=x+ln2,

±=1

所以L，解得a=2*=生臀

aln2H-------2—ln2

e

故选：C.

【例6.2](23-24高三下•河北张家口•开学考试)“b=—1”是“直线y=3x+6与曲线y=x(\nx+2)相切”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】利用导函数求得直线与曲线相切时6=-1,再根据直线y=3%-1与曲线相切即可得出结论.

【解答过程】若直线y=3x+b与曲线y=x(lnx+2)相切，

设切点为Oo，y()),

(丫()=3殉+6rXo=1

则｛犯=Mln久o+2)解得yo=2,即必要性成立；

(尸(尤0)=lnx0+3=3w=—1

反之，若6=-1,可知直线y=3x-l与曲线y=x(lnx+2)相切，即充分性成立；

故选：C.

【变式6.11(23-24高二下•安徽合肥・期中)若曲线y=x2-alnx在点尸(1,1)处的切线与直线y=%-2垂直,

则实数a的值为()

A.1B.V5C.2D.3

【解题思路】求导y'=2x-，y'\x=i=2-a与直线y=x-2垂直，求出a的值.

【解答过程】由y=/—a]nx,求导y'=2x—

2

则y=%-alnx在点处的切线的斜率为y'|X=1=2-a,

而y-x2-alnx在点P(l,l)处的切线与直线y-x-2垂直，

则2—■a=-1,故a=3.

故选：D.

【变式6.2](2024•山西•模拟预测)已知函数/(x)=(%—a)(x-2)(x-3)(比-4),若/Q)的图象在久=2处

的切线方程为y=6x+6,则a+b=()

A.-11B.-12C.-13D.-14

【解题思路】利用导数的几何意义，列方程组求解即可.

【解答过程】由题意知f(2)=(2-a)X(2-2)X(2-3)X(2-4)=0,

所以0=6x2+b,解得b——12,

又尸(x)=(x—a)(x—3)(%—4)+(%—2)[(x—a)(x—3)(尤—4)]z.

所以尸(2)=(2-a)X(2-3)X(2-4)=6,解得a=-1,所以a+b=-1+(-12)=-13.

故选：C.

【题型7函数图象与导函数的关系】

【例7.1](23-24高二下.新疆乌鲁木齐•期中)函数/(X)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()

A.0<f(l)<f(2)</(2)-/(l)B.0<f(2)</(2)-/(l)<f(l)

C.0<f(2)<r(l)</(2)-/(l)D.0</(2)-/(l)<f(l)<r(2)

【解题思路】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到.

【解答过程】

如图，设函数/O)的图象上有两点4(lJ(l)),B(2,/(2)),经过点48的切线分别为匕,片,

则直线48,匕年的斜率依次为频B=粤衿=/(2)-/(1),匕=尸(1)，的B=尸(2)，

aa

由图知直线的倾斜角％8必03满足，0<VAB<lA<p

因函数y=tan久在(0()上递增，故0<tancriB<tanaAB<tana；A,

HP0<r(2)</(2)-/(l)<f(l).

故选：B.

【例7.2](23-24高二下.河南南阳•期中)已知函数y=/(x)的图象如图所示，/(久)是/(久)的导函数，则下

列式子正确的是()

C.尸⑵</⑶-/⑵D.f⑶一/(2)<0

【解题思路】利用导数的几何意义，切线的斜率，判断求解即可.

【解答过程】由题图知函数y=f(x)是单调递增的，

则函数/(*)的图象上任意一点处的导函数值都大于零.

又函数/'(X)的图象在x=2处的切线斜率右大于在x=3处的切线斜率的,

所以尸(2)>尸(3).

如图，记4(2,f(2)),B(3,f(3)),连接AB.

由函数图象知：k>k2>0,

即尸(2)>/(3)-〃2)>((3)>0,

故选：B.

【变式7.1](23-24高二下.山东枣庄.期末)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一.且其导函数y=

10)的图象如图所示，则该函数的图象是()

yt

Fx

【解题思路】利用导数的几何意义求解即可.

【解答过程】y=/0)图象可知，r(i)=r(-i)=o.

故函数y=/(%)在x=1,久=—1处，切线的斜率为0,

只有选项D满足条件.

故选：D.

【变式7.2］(23-24高二下•湖北・期中)己知函数y=/(%)的图象如图所示，尸(久)是函数/(x)的导函数，则

B-2广(4)<2广(2)</(4)-/(2)

C-2r(2)<2f(4)</(4)-/(2)D./(4)-"2)<2((4)<2((2)

【解题思路】根据图象，由导数的意义和割线的斜率求解即可.

【解答过程】因为/(%)在［2,4］上为递增函数，

由导数的意义可知，((2),尸(4)为曲线在％=2,4处切线的斜率,

所以尸(2)〈尸(4),

又由斜率的定义可以k==&誓2，表示割线的斜率，

4—22

所以尸(2)<了⑷丁⑵</(4)=>2广(2)</(4)-f(2)<2尸(4),

故选：A.

【题型8两条切线平行、垂直、公切线问题】

【例&1】(2024・福建•模拟预测)已知直线y=依+6既是曲线y=Inx的切线，也是曲线y=-ln(-x)的切

线，则()

A.k^-,b=0B.fc=1,b=0

e

i

C.k=-,b=-1D.fc=1,b=-1

e

【解题思路】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.

【解答过程】设直线与曲线y=Inx的切点为且的>0,

与曲线y=-In(-％)的切点为(%2,Tn(-%2))且孙<0,

又歹=(lnx)/=3yr=[-ln(-x)]=一：，

则直线y=kx+b与曲线y=In%的切线方程为y—\nx1=^-(x—即y=^-x+\nx1—1,

x_

直线y=kx+b与曲线y=的切线方程为y+ln(-x2)=-&)，即y=~^~+1ln(-x2)»

，i_i_

则工】山,解得°故k=工=二b=Imq-1=0,

e

(lnX1-1=1-ln(-x2)

故选：A.

【例8.2](23-24高二下•湖北・期中)若直线x+y+a-0是曲线/(x)-x3+bx-14与曲线gQ)-x2-31nx

的公切线，则a—b=()

A.26B.23C.15D.11

【解题思路】先由gQ)=x2—31n£,利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a,然后设

切线与/'(>)的切点为«,户+bt-14),利用切线斜率为-1和切点在切线上求解.

【解答过程】解：因为gQ)=/-31n%，

所以g'(x)=2x—I，由2x-—1,解得x=1或x=—|(舍去)，

所以切点为(1,1),

因为切点在切线久+y+a=0上，解得。=一2,

所以切线方程为久+y-2=0,

/'(%)=3x2+b设切点为(。/+瓦—14),

由题意得解得｛工学

所以a—b=11,

故选：D.

【变式8.11(23-24高二下•江西・期中)已知函数/(%)=(%—a)2,g(x)=-(%-&)2.

(1)当。=1时，求曲线y=/(%)在％=0处的切线方程.

(2)若a+b=l,是否存在直线/与曲线y=/(%)和y=g(%)都相切？若存在，求出直线/的方程(若直线/的

方程含参数，则用a表示)；若不存在，请说明理由.

【解题思路】(1)根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程；

(2)先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案.

【解答过程】(1)当。=1时，:0)=2(%-1),7(0)=1,r(0)=-2.

曲线y=/(%)在％=0处的切线方程为y-/(0)=广(0)(%-0),即y=-2x+1.

(2)设直线/与曲线y=/(%)相切于点与曲线y=g(x)相切于点3(%2，、2)，((久)=2(%-a),

g'(x)=-2(x-fe).

曲线y=f(%)在点A处的切线为y-(%i-a)2=2(%i-a)(%-%),

与曲线y=g(%)相切于点B,

2

则—2(%2—b)=2(/—Q)且—(冷—bp-(x1—a)=2(%1—a)(%2—%i)(*)，

由+%2=a+b=L则％i—a=—(x2—b),

代入(*)得—(%i—a)?=—a)(%2—%i),

解得％1=。或％2=a-

当久i=a时，直线Z:y=0.当汽2—a时，=1—a,直线Z:y=2(1—2a)x+2a—1.

故存在直线/与曲线y=/(%)和y=gQ)都相切，直线/的方程为y=0或y=2(1一2a)x+2a-1.

【变式8.2](23-24高二上・湖南•期末)已知函数f(%)=e%—2,g(%)=e%+i—l.

(1)。是坐标原点，/(%)的图象在汽=2处的切线与％y轴分别交于48两点，求△048的面积；

(2)若直线y=kx+b是曲线y=/(冗)与y=g(%)的公切线，求k,b的值.

【解题思路】(1)求导函数广(%)=e>2,求得尸(2),f(2),得出/(久)的图象在％=2处的切线方程，由此

求得答案；

(2)设直线y=/er+b与/(%)的图象相切于点Pi(%i，yi),与g(%)的图象相切于点「2(%2，%)，求得在点

PI(%LVI)处切线方程y-eX1-2=eX1-2(x-%i)，在点22(%2，、2)在切线方程，-eX2+1+1=e%2+i(%-%2).建

(pXj-2_px2+l

立方程组XL2H、+s'、1，求解即可.

【解答过程】(1)解：因为尸(K)=心-2,所以f(x)的图象在％=2处切线的斜率为尸(2)=1.

又/(2)=1,所以/(x)的图象在x=2处的切线方程为y=x—1,

则4(1,0),8(0,-1),故小。48的面积为之x1x1=i

(2)解:设直线y=/c%+b与/(%)的图象相切于点Pi(%i，yi),与g(%)的图象相切于点「2(%2f2)，又。'(%)=

X12

d+i,则y[=e~,y2=e%2+i—1.

X12X12

由点PiCq,%)在切线上,得y-e~=e~(x-xx)；

Xz+1

由点02(第2，丫2)在切线上，得y-e*2+i+1=e(x-x2).

故晨-2(1_%)=的+1(j—冷)-1,'解得久2=Tn3-1.

故k=e~ln3=-,b=---.

333

A课局鼾(19题)

一、单选题

1.(23-24高二下•河北邢台・期中)已知尸(而)=2,则]imfg+Ax)?g-2Ax)=()

JAx^O5Ax

A.-B.2C.—D.-

532

【解题思路】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解.

【解答过程】

△%705AX5A%T。5AX

1../Oo+△%)一/Oo),rr/(久0一2△无)一/■(&).

=-lim-------------------1-2hm-----------------

5A%TO△%Ax->o—2A%

1336

=gLT(%o)+2尸(%o)]=-//(XQ)=5x2=-

故选：A.

2.(23-24高二下.北京丰台.期末)在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高

度h(单位：m)与起跳后的时间/(单位：s)存在函数关系九(七)=一4.9/+4.8t+11.该运动员在Uis时

的瞬时速度(单位：m/s)为()

A.10.9B.-10.9C.5D.-5

【解题思路】先对函数求导，然后把1=1代入即可求解.

【解答过程】解：因为％(t)=-4,9t2+4.8t+11,

所以h'(t)=-9.8t+4.8,

令t=l,得瞬时速度为-5.

故选：D.

3.(24-25高二上•全国•课后作业)设函数f(x)满足lin/⑴工(1+2八)=2；则曲线y=/(久)在％=1处的切线

九TO九,

斜率为()

A.-2B.-1C.1D.2

【解题思路】曲线y=f(x)在x=l处的切线斜率为lim必立上，利用已知计算即可.

—0t

【解答过程】由题可得lim必*^=-2,

”->0h

曲线y=f(x)在％=1处的切线斜率为⑴,

t->ot

令t=2h,则原式=⑴=_i.

九TO2h2九TOh

故选：B.

4.(23-24高二下.江苏苏州•期中)函数/(%)的图象如图所示，/'(%)为函数/(%)的导函数，下列排序正确的

A./(a+1)—/(a)<fr(a)<f\a+1)

B.f'{a+1)<f\a)<f{a+1)—/(a)

C.f'{a+1)</(a+1)—/(a)

D.f'(cC)<f^a+1)—/(a)<f'{a+1)

【解题思路】根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断.

【解答过程】因为/(。)、/(。+1)分别是函数/(乃在久=。、x=a+l处的切线斜率,

由图可知/'(a+1)</'(a)<0,

又/■(a+1)-/(a)==((久0)，无。€(a,a+1),

QQ+1)~Cl

所以f(G+1)<f(a+1)-/(a)<f\a),

故选：C.

5.(2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测)己知函数f(x)=x2fg)+Inx-9,则函数在x=1处的切线方程是()

929947

A.丫=#-9B.y=19x-19C,y=19x--D,y=-%+T

【解题思路】对“%)求导，注意尸(|)是常数，令％=?弋入导函数中，可求得rG),进而可求尸(i),/(i),

可得〃X)在X=1处的切线方程.

【解答过程】•••/'(%)=2f(i)x+|,令x=i,可得f'G)=9,

.•・/⑴=9+0-9=0,(⑴=19,

所以/(乃在％=1处的切线方程为y=19%-19.

故选：B.

6.(2024.新疆.二模)过点(1,4)且与曲线/(%)=/+%+2相切的直线方程为()

A.4x—y=0B.7%—4y+9=0

C.4x—y=0或7久-4y+9=0D.4x—y=0或4%—7y+24=0

【解题思路】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.

【解答过程】设过点(1,4)的曲线y=f(%)的切线为：l-y-yo=(3%0+1)(%-％0)，

有((3贿+1)(1—%o)=4-y0

I%=*+&+2

解得或广=7,

ky4

°~ky0=l8

代入I可得4x—y=0或7x—4y+9=0.

故选：C.

7.(23-24高二下•福建•期中)若一射线OP从04处开始，绕。点匀速逆时针旋转(到。B处为止)，所扫过

的图形内部的面积S是时间t的函数，S(t)的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是()

S*

O

【解题思路】逐个分析扫过部分的面积增速的快慢即得.

【解答过程】因为0P是匀速旋转，

选项A,0P扫过的圆内阴影部分面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢,

不合题意；

选项B,。尸扫过的;圆内阴影部分面积是匀速变化的，不合题意；

选项C,OP扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢,

不合题意;

选项D,OP扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，选项D符

合

故选：D.

8.(2024.辽宁大连.一模)斜率为1的直线1与曲线y=ln(x+a)和圆/+y2=|都相切，则实数。的值为()

A.。或2B.-2或0C.-1或0D.。或1

【解题思路】设直线［的方程为y=x+b,先根据直线和圆相切算出b,在根据导数的几何意义算a.

【解答过程】依题意得，设直线［的方程为y=x+b,

由直线和圆/+y2=相切可得，=鼻解得b=±1,

当b=l时，y=%+1和y=ln(%+a)相切，

设切点为(小,几)，根据导数的几何意义，w=l,

又切点同时在直线和曲线上，即第+&)'解得巾=一1，

即y=%+1和y=In(x+2)相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位,

y=x-1和y=In%仍会保持相切状态，即b=-1时，a=0,

综上所述，a=2或a=0.

故选：A.

二、多选题

9.(2024.湖南.二模)下列函数的图象与直线y=%+1相切的有()

A.y=exB.y=In%

C.y=sinx+1D.y=%3+1

【解