北师大八年级数学上册总复习（知识点+例题）

北师大版八年级数学上册

知识点及典型习题讲解

目录

《勾股定理》全章复习与巩固..........................................2

《实数和二次根式》全章复习与巩固....................................8

《平面直角坐标系》全章复习与巩固...................................16

《平面直角坐标系》全章复习与巩固...................................24

《二元一次方程组》.................................................32

《平行线的证明》全章复习与巩固.....................................41

《勾股定理》全章复习与巩固

知识点

要点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边。、6的平方和等于斜边C的平方.(即：a2+b-=c2)

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

(1)已知直角三角形的两边，求第三边；

(2)利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

(3)解决与勾股定理有关的面积计算；

(4)勾股定理在实际生活中的应用.

要点二、勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长。、b、c,满足片+y=02,那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

(1)首先确定最大边，不妨设最大边长为C；

(2)验证：与是否具有相等关系：

若/+〃=。2,则aABC是以/C为90°的直角三角形；

若/+。2>02时，AABC是锐角三角形；

若片+尸<°2时，△ABC是钝角三角形.

2.勾股数

满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)，显然，以不外z

为三边长的三角形一定是直角三角形.

要点诠释：

常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（。、b、c）是勾股数，当t为正整数时，以必bt、a为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为a、b、c,且a<Z><c,那么存在a?=人+。成立.（例如④中存在7?=24+25、

92=40+41等）

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

典型例题

类型一、勾股定理及逆定理的应用

例1、如图所示，等腰直角△ABC中，ZACB=90°,E、F为AB上两点（E左F右），且/ECF=45°,求证:

AE2+BF2=EF\

举一反三:

【变式】已知凸四边形ABCD中，NABC=30°,ZADC=60°,AD=DC,

求证：BD~=AB~+BC2.

例2、如图，在AABC中，ZACB=90°，AC=BC,P是aABC内的一点，且PB=1,PC=2,PA=3,求NBPC的度

数.

类型二、勾股定理及逆定理的综合应用

例3、如图，已知四边形ABCD中，ZB=90°，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.

例4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点,F是EC中点.求证：ZBAF=2ZEAD.

举一反三:

【变式】如图所示，在AABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周长为36cm,点P从点A开始沿边向B点以每

秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，4BPQ

的面积为多少？

类型三、勾股定理的实际应用

例5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC=400米，BD=200米，CD

=800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？

m二二二：■二二口

C

'B

A”

举一反三:

【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC上有一点P,使EP+BP最短.求

EP+BP的最小值.

例6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如

图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离

台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30。方向向

C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响.试问：

(1)该城市是否会受到台风影响？请说明理由.

(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？

《实数和二次根式》全章复习与巩固

知识点

要点一、平方根和立方根

平方根立方根

项目

被开方数非负数任意实数

符号表示±4ay[a

一个正数有两个平方根，且互为相反数；一个正数有一个正的立方根；

性质零的平方根为零；一个负数有一个负的立方根；

负数没有平方根；零的立方根是零；

(4a)2=a(a>0)(V^)3=a

重要结论/TII[。(〃之0)—a

-a(a<0)\l-a=-\[a

要点二、无理数与实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

［正有理数'

有理数零有限小数或无限循环小数

实数［负有理数

一正无理数'

无理数无限不循环小数

负无理数

要点诠释：(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和

无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.

(2)无理数分成三类：①开方开不尽的数，如、5，蚯等；

②有特殊意义的数，如口；

③有特定结构的数，如0.1010010001…

(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

2.实数与数轴上的点---对应

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质

在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

(1)任何一个实数。的绝对值是非负数，即

(2)任何一个实数a的平方是非负数，即

(3)任何非负数的算术平方根是非负数，即々20(«>0).

非负数具有以下性质：

(1)非负数有最小值零；

(2)有限个非负数之和仍是非负数；

(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.

4.实数的运算

数。的相反数是一a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值

是0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除,

最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

法则2.正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

要点三、二次根式的相关概念和性质

1.二次根式

形如&(a20)的式子叫做二次根式，如6,g,而应，而等式子，都叫做二次根式.

要点诠释：二次根式&有意义的条件是。之0,即只有被开方数。上0时，式子&才是二次根式，g

才有意义.

2.二次根式的性质

⑴小092。）；

⑵（石）=a（a>0）；

⑶"=|仆fS2。）

1r[-a（a<0）

要点诠释：（1）一个非负数。可以写成它的算术平方根的平方的形式，即。=（、回了（«>0）,

如2=（后；；=（爵；*=（«）2（%>0）.

（2）而中。的取值范围可以是任意实数，即不论。取何值，一定有意义.

（3）化简正时，先将它化成同，再根据绝对值的意义来进行化简.

（4）与（、份）2的异同

不同点：中。可以取任何实数，而（GV中的。必须取非负数；

a

y[^-\\>（A/O）2-0（aNO）.

相同点：被开方数都是非负数，当。取非负数时，以=（6）2.

3.最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2）被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如心，疯,3«,62+》2等都是最简二次根式.

要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都

小于根指数2.

4.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.

如0与曲，由于虚=2四，&与通显然是同类二次根式.

要点四、二次根式的运算

1.乘除法

(1)乘除法法则：

类型法则逆用法则

积的算术平方根化简公式：

二次根式的乘法^faxy/b=y[ab(a>0,Z?>0)

Jab=-/axyfb(a>0,/?>0)

商的算术平方根化简公式：

二次根式的除法关=息。对》。)后知皿>0)

要点诠释：

(1)当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘(或相除)的法则，如

ayfb-c4d=ac>Jbd-

(2)被开方数a、6一定是非负数(在分母上时只能为正数).

如,(-4)x(—9)wRx".

2.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同

类二次根式.

要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后

合并同类二次根式.如、历+3,\/2—5\/2'=(1+3—5)、历=—\/2.

典型例题

Jx-3+不3-x+12

例1、已知y=,求尤2y的值.

%—3

例2、已知实数x、y满足,2x-16+lx-2y+4|=U，求2x-?y的立方根.

3

类型二、与实数有关的问题

例3、已知。是JIU的整数部分，b是它的小数部分，求（—。）3+0+3）2的值.

举一反三：

【变式】已知5+"T的小数部分为a,5一布的小数部分为b,则a+b的值是；

a~b的值是.

【变式】实数a在数轴上的位置如图所示，则a,-a,4,。？的大小关系是：:

a

-1a0

例5、阅读材料:

学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值.

小明的方法：

•:亚〈加〈市,设旧=3+左（0（左＜1）.，（而y=（3+左产.

4/—4

.•.13=9+6左+左29.，13“9+6左.解得k«-.V13»3+-»3.67.

66

问题：（1）请你依照小明的方法，估算标的近似值；

（2）请结合上述具体实例，概括出估算标的公式：已知非负整数a、b、m,若a＜金＜a+l,

且加二4+方，则〃？a；（用含a、b的代数式表示）；

（3）请用（2）中的结论估算质的近似值.

类型四、二次根式概念及运算

例6、计算:5噌+］倔-檄语

举一反三：

【变式】7<2x+l)2-1x-5|(0<x<3).

例7、已知a、b、c为AABC的三边长，化简

{(a+b+c)‘++b--+-a-

例8、若无>0,化简x：+~+^^-7=—

Jxy+yx-y]xy

举一反三:

【变式】当a=」片时，求1—2“十矿一+1的值.

2+v3a—1a—a

《平面直角坐标系》全章复习与巩固

知识点

要点一、有序数对

把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中

经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用

(13,2000),(17,190),(21,330)-,表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但

更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4,5),(20,12),(13,2),…，用来表示电影

院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.

要点二、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：

II3-I

第二象限2-第一象限

1-

-3-2-\O-123x

ni：2-1V

第三象限_3.第四象限

要点诠释：

(1)坐标平面内的点可以划分为六个区域：X轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第

四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外，其他区域之间均没有公共

点.

(2)在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对(x,y)之间建立了一一

对应关系，这样就将‘形'与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.

(3)要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：

①x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零.

②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；

平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等.

③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；

关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；

关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数.

④象限角平分线上的点的坐标特征：

一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；

二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数.

注：反之亦成立.

(4)理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：

①坐标平面内点P(x,y)到x轴的距离为1y|,到y轴的距离为|x1.

②x轴上两点A(x”0)、B(X2,0)的距离为AB=|XI-X』；

y轴上两点C(0,yj、D(0,%)的距离为CD上yi-y2|.

③平行于x轴的直线上两点A(xi,y)、B(X2,y)的距离为AB=1XI-x21；

平行于y轴的直线上两点C(x,%)、D(x,y?)的距离为CD=|-y2|.

(5)利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补

要点三、坐标方法的简单应用

1.用坐标表示地理位置

(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.

要点诠释：

(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的

位置.

(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度.

2.用坐标表示平移

(1)点的平移

点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x,y)向右(或左)平移a个单位

长度，可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度，可

以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)).

要点诠释：

上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换.

(2)图形的平移

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的

新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)

一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.

要点诠释：

平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，

反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右

加左减，纵不变；上加下减，横不变”.

典型例题

类型一、有序数对

例1.如图所示，用点A(3,1)表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，用点B(2,3)表示放置2个胡

萝卜，3棵青菜.

*

4J____I____

4:尸

3--

2--工里.

::M

01234567x

(1)请你写出点C、D、E、F所表示的意义；

(2)若一只兔子从点A到达点B(顺着方格线走)，有以下几条路线可以选择：①A-C-D-B；

②A-E-D-B；③A-E-F-B,问走哪条路吃到的胡萝卜最多?走哪条路吃到的青菜最多？

类型二、平面直角坐标系

例2.(1)若点(5-a,a-3)在第一、三象限的角平分线上，求a的值.

(2)已知两点A(-3,m),B(n,4),若AB〃x轴，求m的值，并确定n的范围.

⑶点P到x轴和y轴的距离分别是3和4,求P点的坐标.

举一反三：

【变式】已知，点PJm,mT),试根据下列条件：

(1)若点P在过A(2,-4),且与x轴平行的直线上，则m=，点P的坐标为.

(2)若点P在过A(2,-4),且与y轴平行的直线上，则77F，点P的坐标

为.

例3.如图，在直角坐标系中，第一次将AOAB变换成△OAB,

第二次将△0AB变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3,依此类推，已知A(l,3),

Ai(2,3),A2(4,3),A3(8,3)-B(2,0),Bi(4,0),B2(8,0),B3(16,0)…

①观察每次变化后的三角形，找出规律，按此规律再将△OAsBs变换成AOA应，则A4的坐标

为,的坐标为

②若按上述规律，将三角OAB进行n次变换，得三角形△0Aa,比较每次变换三角形顶点的变

化规律，探索顶点L的坐标为，顶点七的坐标为.

举一反三：

【变式】某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植

在《(4,以)处，其中X1=1,yi=l,

当k22时,[a]表示非负实数a的整数部分,例如[2.6]

=2,[0.2]=0,按此方案，第2009棵树种植点的坐标为().

A.(5,2009)B.(6,2010)C.(3,401)D.(4,402)

类型三、坐标方法的简单应用

例4.如图，在下面直角坐标系中，已知A(0,a),B(b,0),C(b,c)三点，其中a、b、

c满足关系式|a-2|+(b-3)2=0,(c-4)2^0

(1)求a、b、c的值；

(2)如果在第二象限内有一点P(m,1),请用含m的式子表示四边形AB0P的面积；

2

(3)在(2)的条件下，是否存在点P,使四边形ABOP的面积与AABC的面积相等？若存在,

求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

举一反三：

【变式】如图，已知火车站的坐标为（2,1）,文化宫的坐标为（-1,2）.

（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；

（2）写出体育馆、市场、超市、宾馆的坐标；

（3）请将原点0,宾馆C和文化宫B,看作三点用线段连起来，将得△（»（：,然后将此三角形

向下平移3个单位长度，画出平移后的△0BC,并求出其面积.

例5.如图所示，在直角坐标平面内，线段AB垂直于y轴，垂足为B,且AB=2,如果将线段

AB沿y轴翻折，点A落在C处，那么C的横坐标是.

类型四、综合应用

例6.（1）对数轴上的点尸进行如下操作：先把点尸表示的数乘以L再把所得数对应的点向

3

右平移1个单位，得到点尸的对应点P.点A,3在数轴上，对线段至上的每个点进行上述操

作后得到线段A9,其中点A,2的对应点分别为A,9.如图1,若点A表示的数是-3,则点

A表示的数是;若点"表示的数是2,则点3表示的数是；已知线段钻上

的点E经过上述操作后得到的对应点£与点E重合，则点E表示的数是;

AB'

-45301234_

图1

（2）如图2,在平面直角坐标系xOy中，对正方形MCD及其内部的每个点进行如下操作：把

每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a,将得到的点先向右平移机个单位，再向上平移〃个

单位（m>0,«>0）,得到正方形AECD及其内部的点，其中点A,8的对应点分别为A,B'.

已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点?与点厂重合，求点F的坐

标.

举一反三：

【变式】把点P(m,n)向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度到一个位置B后坐标

为Pz(a,b),则m,n,a,b之间存在的关系是

《平面直角坐标系》全章复习与巩固

知识点

要点一、函数的相关概念

一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量X与y,并且对于X的每一个确定的值，y

都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

y是x的函数，如果当％=。时丁=匕，那么叫做当自变量为。时的函数值.

函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.

要点二、一次函数的相关概念

一次函数的一般形式为丁="+人，其中左、匕是常数，左W0.特别地，当Z?=0时，一次

函数y即y=Ax（kWO）,是正比例函数.

要点三、一次函数的图象及性质

1、函数的图象

如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组

成的图形，就是这个函数的图象.

要点诠释：

直线,="+人可以看作由直线,=依平移1"1个单位长度而得到（当b>0时，向上平移;

当匕<0时，向下平移）.说明通过平移，函数y=丘+人与函数y=的图象之间可以相互转化.

2、一次函数性质及图象特征

掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）

要点诠释：

理解左、b对一次函数,=丘+匕的图象和性质的影响：

(1)左决定直线,=依+人从左向右的趋势(及倾斜角a的大小——倾斜程度)，b决定

它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线y=履+人经过的象限.

(2)两条直线4：y+4和公y=&x+d的位置关系可由其系数确定：

左W42O与，2相交；

左1=&，且人产&O/1与4平行；

%=卜,且4=4=4与L重合；

(3)直线与一次函数图象的联系与区别

一次函数的图象是一条直线；特殊的直线X=a、直线y=6不是一次函数的图象.

要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式

函数问题

方程（组）、不等式问题

从“数”的角度看从“形”的角度看

求关于X、y的一元一次方%为何值时，函数丁=以+）的值确定直线丁=以+）与X轴（即

程依+Z?=0（〃W0）的解为0?直线y=0）交点的横坐标

求关于％、y的二元一次方

》为何值时，函数y=6x+4与函确定直线y=a}x+b,与直线

fy=a,x+b,<

程组,j的解.数y=出%+，2的值相等?y=+4的交点的坐标

求关于X的一元一次不等确定直线丁=奴+）在x轴（即

%为何值时，函数丁=以+）的值

式ot+Z>>0（aWO）的解直线y=o）上方部分的所有点

大于0?

集的横坐标的范围

典型例题

例1、下列说法正确的是：（）

A.变量羽y满足2x+y=3,则y是x的函数；

B.变量％,y满足|y|=x,则y是x的函数；

C.变量x,y满足V=x,则y是x的函数；

D.变量羽y满足丁一%2=1,则丁是》的函数.

举一反三：

【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（）

ABCD

例2、求函数)，=的自变量的取值范围.

举一反三:

【变式】求出下列函数中自变量x的取值范围

r0zxJ3x+2

⑴尸击9(3)y=A/2X-3+<3-2x

类型二、一次函数的解析式

例3、已知y与x-2成正比例关系，且其图象过点(3,3),试确定y与x的函数关系，并画出

其图象.

举一反三：

【变式】直线，=依+方平行于直线y=2x-1,且与X轴交于点（2,0）,求这条直线的解析式.

类型三、一次函数的图象和性质

例4、已知正比例函数,=乙（左W0）的函数值y随X的增大而减小，则一次函数y=x+左的

举一反三:

【变式】已知正比例函数y=（2加-l）x的图象上两点A（X],%）,B（%,为），当xi<x2时，

有力〉％,那么%的取值范围是（

A.m<-B.m>—C.m<2D.m>0

22

类型四、一次函数与方程（组）、不等式

例5、如图，平面直角坐标系中画出了函数y=fcc+Z?的图象.

（1）根据图象，求左和b的值.

（2）在图中画出函数y=-2%+2的图象.

（3）求x的取值范围，使函数y=Ax+Z?的函数值大于函数y=-2x+2的函数直

举一反三：

【变式】已知一次函数y=kx+b的图象经过点（3,5）与（-4,-9）.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）求关于x的不等式kx+bW5的解集.

类型五、一次函数的应用

例6、某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12

吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小

黄家1月份用水24吨，交水费42元.2月份用水20吨，交水费32元.

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；

（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；

（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？

举一反三：

【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的

报纸还可以以0.20元的价格返回报社，在一个月内（以30天计算），有20天每天可

卖出100份，其余10天，每天可卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同,

若以报亭每天从报社订购报纸的份数为，每月所获得的利润为了.

（1）写出丁与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多

少？

类型六、一次函数综合

例7、如图所示，直线4的解析表达式为y=-3x+3,且4与x轴交于点D,直线(经过A、B两

点，直线4、4交于点Q

⑴求点D的坐标；

⑵求直线的解析表达式；

⑶求AADC的面积；

(4)在直线4上存在异于点C的另一点P,使得4ADP与aADC的面积相等，请直接写出点

《二元一次方程组》

知识点

要点一、二元一次方程组的相关概念

1.二元一次方程的定义

定义：方程中含有两个未知数（X和y）,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做

二元一次方程.

要点诠释：

（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.

（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.

（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

2.二元一次方程的解

定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

要点诠释：

二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，

即二元一次方程的解通常表示为尸=a的形式.

[y=b

3.二元一次方程组的定义

定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组+4y=5.

x-2

要点诠释：

（1）它的一般形式为<q（其中%,a,,乙，儿不同时为零）.

a,x+b2y=c2

（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程

组.

（3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思.

4.二元一次方程组的解

定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

要点诠释：

（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值

代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不

一定是方程组的解.

（2）方程组的解要用大括号联立；

（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组=5无解，

2x+y=6

而方程组『+y=t的解有无数个.

2x+2y=—2

要点二、二元一次方程组的解法

1.解二元一次方程组的思想

二元一次方程组------萼------一元一次方程

__________________转化_______________

2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法

（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：

①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y

（或x）,即变成y=ot+b（或x=ay+Z?）的形式；

②将丁="+人（或x=ay+b）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x）,

得到一个关于x（或y）的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；

④把x（或y）的值代入y=+（或x=ay+Z?）中，求y（或x）的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.

（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：

①根据”等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原

方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；

②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质,

将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；

⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.

（3）图像法解二元一次方程组的一般过程：

①把二元一次方程化成一次函数的形式.

②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点.

③交点坐标就是方程组的解.

要点诠释：

二元一次方程组无解〈=＞一次函数的图像平行（无交点）

二元一次方程组有一解〈=＞一次函数的图像相交（有一个交点）

二元一次方程组有无数个解〈。一次函数的图像重合（有无数个交点）

利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消

元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立

的二元一次方程组的解.

要点三、实际问题与二元一次方程组

设未知数，列方程组

实际问题数学问题

（二元一次方程组）

数学问题的解

实际问题的答案（二元一次方程组的解）

要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的

结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

要点四、二元一次方程(组)与一次函数

1.二元一次方程与一次函数的关系

(1)任何一个二元一次方程ax+by=c{a,20,c为常数)都可以变形为

y=--x+-(a.bNO,c为常数)即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函

bb

数.

(2)我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程x+y=5我们列举出它的几组

V*-V"—SV--

整数解有—‘—‘—‘，我们发现以这些整数解为坐标的点(0,5),(5,0),(2,

。=5；[y=0;[y=3

3)恰好在一次函数y=-％+5的图像上，反过来，在一次函数y=5-x的图像上任取一点，它

的坐标也适合方程x+y=5.

要点诠释：

1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；

2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；

3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.

2.二元一次方程组与一次函数

每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解

方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角

度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.

3.用二元一次方程组确定一次函数表达式

待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得

到函数表达式的方法，叫做待定系数法.

利用待定系数法解决问题的步骤：

1.确定所求问题含有待定系数解析式.

2.根据所给条件，列出一组含有待定系数的方程.

3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.

典型例题

类型一、二元一次方程组的相关概念

例1.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）.

（2x-3y=0fx+l=l+2x=x2-3yy=2x+5

3y=x+l[y-z=21x+y=63x=-6

举一反三：

【变式】若d“3-2—2丈+〃=5是二兀一次方程，则a=b=________

x=i

例2.以一为解的二元一次方程组是（）.

1y=-1

[x+y=O(x+y=OC[x+y=Ox+y=

A.<B.<.[x-y=2D.i

x-y=l[x-y=-l[x-y=

举一反三：

【变式】若J而后+12a-b+l|=0,则(b-a)2015=()

A.-1B.1C.52016D.-52016

类型二、二元一次方程组的解法

r3x-y=2

例3.解方程组＜

9x+8y=17

举一反三：

【变式】已知方程组（"+了=3的解是二元一次方程m（x+l）=3（x-y）的一个解，则m=_______

j_y=5

类型三、实际问题与二元一次方程组

04.某景点的门票价格如表

购票人数/人1-5051~100100以上

每人门票价/元12103

某校七年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数

多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付H18元；如果两班联

合起来作为一个团体购票，则只需花费816元.

（1）两个班各有多少名学生？

（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？

举一反三:

【变式】如图所示，教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花,

每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜

花每支的价格相同，请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格.

共计19元共计18元

膏’幸蓍拳•磨

康乃馨水仙花

第三束

类型四、二元一次方程（组）与一次函数

例5.已知如图所示，直线L,Lz相交于A点，请根据图象写出以交点坐标为解的二元一次方

程组，并求出它的解.

例6.甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城.由于

墨迹遮盖，图中提供的只是两车距B城的路程s甲(千米)、s乙(千米)与行驶时间t(时)

的函数图象的一部分.

(1)乙车的速度为千米/时；

(2)