2023八年级数学上册 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.2 命题与证明第2课时 证明教学实录 （新版）沪科版

2023八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.2命题与证明第2课时证明教学实录（新版）沪科版主备人备课成员设计意图本节课旨在帮助学生掌握命题与证明的基本概念和方法，通过具体实例引导学生理解证明的步骤和逻辑关系，培养学生严谨的数学思维和证明能力。通过沪科版八年级数学上册第13章内容，将理论知识与实际应用相结合，提高学生对数学学习的兴趣和积极性。核心素养目标培养学生逻辑推理能力，通过命题与证明的学习，使学生能够运用演绎推理的方法，对数学问题进行深入分析，提升数学思维品质。同时，强化学生的几何直观，使学生能够通过图形直观地理解几何关系，提高空间想象能力。此外，培养学生数学建模意识，学会将实际问题转化为数学模型，增强解决实际问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在进入本课时之前，已经学习了三角形的基本性质和判定方法，对三角形内角和定理、全等三角形的性质有一定的了解。此外，学生还应具备初步的推理能力和逻辑思维基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对几何图形和证明过程通常表现出较高的兴趣，尤其是对具有挑战性的证明题目。学生们的学习能力参差不齐，部分学生具备较强的逻辑推理能力，能够迅速掌握证明方法；而部分学生则可能对证明过程感到困惑。学习风格上，有的学生偏好通过图形直观理解问题，有的则更倾向于文字描述和逻辑推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习命题与证明时，可能会遇到以下困难：一是对证明步骤和逻辑推理的理解不够深入，导致证明过程混乱；二是面对复杂证明题目时，难以找到合适的证明方法；三是缺乏对几何图形的直观感知，影响证明的直观性和有效性。针对这些挑战，教师需引导学生逐步掌握证明技巧，提高他们的几何直观能力和逻辑思维能力。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：结合多媒体展示，清晰讲解命题与证明的基本概念和步骤，帮助学生建立知识框架。

2.讨论法：组织小组讨论，让学生通过合作学习，共同探讨证明题目的解法，培养合作能力和批判性思维。

3.案例分析法：通过典型例题的分析，引导学生掌握证明的技巧和策略，提高解题能力。

教学手段：

1.多媒体辅助教学：利用PPT展示几何图形和证明过程，直观展示数学概念，增强学生的空间想象能力。

2.教学软件应用：借助数学软件进行动态演示，帮助学生理解抽象的数学概念，提高学习效率。

3.实物教具：使用三角板、直尺等教具，让学生亲自操作，增强对几何知识的直观感受。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。例如，提前一天发布关于三角形内角和定理的证明方法的预习资料。

设计预习问题：围绕“如何证明三角形内角和等于180度”，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。例如，通过平台统计预习资料的阅读情况，了解学生的预习参与度。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解三角形内角和定理的基本概念。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。例如，学生可能提出“如何从几何图形的角度证明这个定理？”

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。例如，学生可以提交一张展示证明思路的思维导图。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过几何图形的变化和实际应用案例，引出“命题与证明”课题，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解命题与证明的基本概念和步骤，结合实例帮助学生理解。例如，讲解“三角形全等的判定条件”和“证明过程”。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生根据预习内容，尝试证明三角形内角和定理。例如，让学生分组讨论并尝试不同的证明方法。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。例如，当学生提出“为什么这个证明方法不适用？”时，教师可以现场解释并演示。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，尝试不同的证明方法，体验数学证明的过程。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。例如，学生可以提问“如果三角形不是直角三角形，这个定理是否还成立？”

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：根据本节课的内容，布置证明三角形内角和定理的课后作业，巩固学习效果。

提供拓展资源：提供与命题与证明相关的拓展资源，如数学竞赛题目、证明技巧书籍等，供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。例如，针对学生作业中的错误，教师可以给出正确的解答和改进建议。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，尝试解决更复杂的证明问题，拓宽知识面。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。例如，学生可以总结自己在证明过程中的优点和不足，并提出提高建议。学生学习效果学生学习效果

1.理解命题与证明的基本概念：学生能够清晰地理解命题与证明的基本概念，包括命题的定义、真命题与假命题的区别、证明的定义和证明方法等。他们能够区分命题与定理，理解证明的必要性和重要性。

2.掌握证明的基本步骤：学生掌握了证明的基本步骤，包括提出假设、列出已知条件、推导结论、验证推导过程等。他们能够按照这些步骤进行逻辑推理，形成严密的证明过程。

3.熟悉常见的证明方法：学生熟悉了常见的证明方法，如直接证明、反证法、归纳法、演绎法等。他们能够根据不同的题目选择合适的证明方法，提高解题效率。

4.提高逻辑推理能力：通过本节课的学习，学生的逻辑推理能力得到了显著提高。他们能够运用逻辑推理解决实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。

5.增强几何直观能力：学生在学习命题与证明的过程中，通过观察几何图形、分析几何关系，增强了几何直观能力。他们能够更好地理解几何概念，提高空间想象能力。

6.培养严谨的数学思维：通过证明过程的学习，学生养成了严谨的数学思维习惯。他们在面对问题时，能够从多个角度进行分析，寻找最佳证明方法。

7.提高团队合作能力：在小组讨论和课堂活动中，学生学会了与他人合作，共同解决问题。他们能够倾听他人的观点，尊重他人的意见，提高团队合作能力。

8.增强自主学习能力：通过预习、课堂参与和课后拓展，学生养成了自主学习的习惯。他们能够主动查找资料、解决问题，提高自主学习能力。

9.提高数学应用能力：学生将所学知识应用于实际问题，提高了数学应用能力。他们能够运用几何知识解决生活中的问题，提高数学素养。

10.增强自信心：通过本节课的学习，学生在数学学习上取得了显著进步，增强了自信心。他们相信自己能够克服困难，不断进步。作业布置与反馈作业布置：

1.选择证明题目：根据本节课所学的命题与证明知识，布置以下几道证明题目，旨在巩固学生对定理证明的理解和应用能力。

-证明：若在三角形ABC中，AB=AC，则角BAC是直角。

-证明：若在三角形ABC中，角B=角C，则边AB=边AC。

2.实际应用题：要求学生结合实际情境，运用所学知识解决实际问题。

-题目：一个等腰三角形的底边长为8厘米，腰长为6厘米，请证明该三角形是锐角三角形，并求出顶角的度数。

3.课后阅读：推荐学生阅读《数学归纳法》的相关章节，了解数学归纳法的原理和应用。

作业反馈：

1.及时批改：在学生完成作业后，教师应立即批改，确保及时给予学生反馈。

2.详细评语：在批改作业时，教师应给出详细的评语，指出学生的优点和需要改进的地方。例如：

-对证明题目的解答：评语可以是“证明思路清晰，步骤完整，但部分推导过程不够严谨，建议重新检查逻辑。”

-对应用题的解答：评语可以是“能够将几何知识与实际问题相结合，但计算过程不够准确，请仔细检查。”

3.个性化指导：针对不同学生的学习情况，教师应给予个性化的指导。对于掌握较好的学生，可以布置一些挑战性更高的题目；对于基础薄弱的学生，可以提供更详细的解答过程，帮助他们逐步提高。

4.小组反馈：鼓励学生之间相互检查作业，通过小组讨论和反馈，提高解题技巧和团队合作能力。

5.定期回顾：定期回顾学生的作业情况，对于反复出现的问题，可以通过课堂讲解或个别辅导的方式加以解决。

6.鼓励学生自评：在作业完成后，鼓励学生对自己的解题过程进行自评，反思自己的思维过程和解答策略，提高自我评估能力。

7.作业展示与讨论：在下一节课的开始，教师可以挑选几份代表性的作业进行展示，让学生分享自己的解题思路，其他学生进行讨论，共同提高。典型例题讲解例题1：在三角形ABC中，AB=AC，证明：角BAC是直角。

解答过程：

（1）作BC边上的高AD，交BC于点D。

（2）由于AD是高，所以∠ADB和∠ADC都是直角。

（3）在直角三角形ABD和ACD中，AB=AC，AD=AD（公共边）。

（4）根据SAS（Side-Angle-Side，边-角-边）全等条件，可以得出三角形ABD和ACD全等。

（5）因此，∠B=∠C。

（6）由于三角形内角和为180度，所以∠BAC=180°-∠B-∠C。

（7）因为∠B=∠C，所以∠BAC=180°-2∠B。

（8）由于∠B是直角，所以∠BAC是直角。

例题2：在三角形ABC中，角B=角C，证明：边AB=边AC。

解答过程：

（1）由于角B=角C，根据三角形内角和定理，∠A=180°-2∠B。

（2）在直角三角形ABC中，假设∠A是直角，那么∠B和∠C都是45度。

（3）此时，三角形ABC是等腰直角三角形，所以AB=AC。

（4）如果∠A不是直角，那么根据相似三角形的性质，三角形ABC与等腰直角三角形相似。

（5）在相似三角形中，对应边成比例，所以AB/AC=BC/BC。

（6）由于BC≠0，所以AB=AC。

例题3：在三角形ABC中，AB=AC，证明：角BAC是顶角。

解答过程：

（1）作BC边上的高AD，交BC于点D。

（2）由于AD是高，所以∠ADB和∠ADC都是直角。

（3）在直角三角形ABD和ACD中，AB=AC，AD=AD（公共边）。

（4）根据SAS全等条件，可以得出三角形ABD和ACD全等。

（5）因此，∠B=∠C。

（6）由于三角形内角和为180度，所以∠BAC=180°-∠B-∠C。

（7）因为∠B=∠C，所以∠BAC=180°-2∠B。

（8）由于∠B是顶角的一部分，所以∠BAC是顶角。

例题4：在三角形ABC中，AB=AC，证明：如果角B是直角，那么三角形ABC是等腰直角三角形。

解答过程：

（1）已知AB=AC，且角B是直角。

（2）根据勾股定理，AB^2+BC^2=AC^2。

（3）由于AB=AC，所以AC^2+BC^2=AC^2。

（4）简化得BC^2=0，这意味着BC=0。

（5）因此，三角形ABC的边BC长度为0，即三角形ABC退化为一条线段。

（6）由于AB=AC，所以线段BC的两端点A和B、C重合，这意味着三角形ABC是一个等腰直角三角形。

例题5：在三角形ABC中，角B是直角，AB=AC，证明：角C是直角。

解答过程：

（1）已知角B是直角，AB=AC。

（2）根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°。

（3）由于∠B是直角，所以∠B=90°。

（4）代入内角和定理，得∠A+90°+∠C=180°。

（5）简化得∠A+∠C=90°。

（6）由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形，所以∠A=∠C。

（7）将∠A=∠C代入∠A+∠C=90°，得2∠A=90°。

（8）因此，∠A=∠C=45°，这意味着角C也是直角。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.强化实践操作：在教学中，我尝试将理论知识与实际操作相结合，让学生通过动手实践来加深对命题与证明的理解。例如，通过让学生动手画图、拼图等方式，让学生直观地感受几何图形的性质。

2.引入生活实例：为了提高学生的学习兴趣，我在教学中引入了一些与生活相关的实例，如建筑、工程设计等，让学生感受到数学在实际生活中的应用价值。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.教学节奏把握不当：在讲解证明过程时，我发现部分学生因为跟不上教学节奏而感到困惑。这可能是由于我在讲解时过于注重逻辑推理，而忽略了学生的接受能力。

2.学生参与度不足：在课堂活动中，我发现部分学生参与度不高，可能是由于活动设计不够吸引人，或者学生对某些证明方法不感兴趣。

3.评价方式单一：目前我主要依靠作业和考试来评价学生的学习效果，这种评价方式可能无法全面反映学生的学习情