2023九年级数学下册 第24章 圆24.4 直线与圆的位置关系第3课时 切线长定理教学实录 （新版）沪科版

2023九年级数学下册第24章圆24.4直线与圆的位置关系第3课时切线长定理教学实录（新版）沪科版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课教学内容为2023九年级数学下册第24章圆24.4直线与圆的位置关系第3课时切线长定理。主要包括以下内容：切线长定理的推导，切线长定理的应用，以及切线长定理与其他圆的性质的结合。通过学习，使学生能够掌握切线长定理，并能应用于解决实际问题。核心素养目标分析本节课旨在培养学生以下核心素养：1.逻辑推理能力，通过切线长定理的推导过程，让学生体验数学证明的严谨性；2.数学建模能力，引导学生将实际问题转化为数学模型，运用定理解决问题；3.数学应用能力，让学生在实际问题中应用切线长定理，提升解决实际问题的能力；4.创新意识，鼓励学生在学习过程中提出不同观点，培养学生的创新思维。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，应已掌握圆的基本性质，如圆的定义、圆心、半径等概念，以及圆的周长、面积公式。此外，学生应熟悉直线与圆的位置关系，包括相交、相切和相离等情形，以及相关的几何图形绘制方法。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

九年级学生对数学仍保持一定的兴趣，尤其是对几何问题，因为它们直观且具有挑战性。学生的能力方面，部分学生可能已经具备一定的逻辑推理能力，能够进行简单的数学证明。学习风格上，学生中既有偏于抽象思维的学生，也有更倾向于直观图形理解的学生。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习切线长定理时，可能会遇到以下困难与挑战：首先，理解切线长定理的推导过程可能较为抽象，需要学生具备较强的逻辑思维能力；其次，将切线长定理应用于解决实际问题，可能需要学生具备一定的空间想象能力和问题解决技巧；最后，对于一些学生来说，将理论知识与实际应用相结合可能是一个挑战，需要教师提供足够的实例和练习来帮助学生过渡。教学资源-软硬件资源：白板、黑板、圆规、直尺、三角板、量角器、计算器

-课程平台：数学教学软件（如几何画板）

-信息化资源：多媒体课件、在线几何图形绘制工具、相关数学教育视频

-教学手段：实物教具（如圆形模型）、教学卡片、学生练习册教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。设计预习问题：围绕切线长定理，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何证明切线长定理？在哪些情况下切线长定理适用？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解切线长定理的基本概念和推导过程。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解切线长定理，为课堂学习做好准备。

培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过几何图形的动态变化展示切线与圆的关系，引出切线长定理。

讲解知识点：详细讲解切线长定理的证明过程，结合几何图形和实例帮助学生理解。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生通过合作探究切线长定理的应用。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，如“切线长定理在实际问题中的应用场景有哪些？”进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，通过合作探究切线长定理的应用。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解切线长定理的证明过程。

实践活动法：设计小组讨论，让学生在实践中掌握切线长定理的应用。

合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解切线长定理，掌握其在实际问题中的应用。

通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：根据切线长定理，布置适量的课后作业，如证明特定情况下的切线长定理。

提供拓展资源：提供与切线长定理相关的拓展资源，如几何问题集、相关数学竞赛题目等。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的切线长定理知识点和技能。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握程度：

（1）学生能够清晰地理解切线长定理的定义和证明过程，并能够独立完成相关证明题。

（2）学生能够将切线长定理应用于解决实际问题，如计算切线长、求圆的直径等。

（3）学生能够识别并运用切线长定理解决几何问题，如证明圆的切线垂直于半径、求切线与圆的交点等。

2.思维能力提升：

本节课的学习有助于培养学生的逻辑推理能力、空间想象能力和问题解决能力。具体表现在：

（1）学生在学习切线长定理的证明过程中，锻炼了逻辑推理能力，学会了如何从已知条件推导出结论。

（2）学生在解决实际问题过程中，运用空间想象能力，将实际问题转化为数学模型，提高了空间思维能力。

（3）学生在遇到困难时，通过合作学习、讨论交流等方式，培养了问题解决能力，学会了如何寻求解决问题的方法。

3.学习兴趣提高：

本节课通过生动有趣的实例和实践活动，激发了学生的学习兴趣。具体表现在：

（1）学生在课堂上积极参与讨论，提出自己的观点和见解，表现出浓厚的学习兴趣。

（2）学生在课后主动查阅相关资料，拓展知识面，进一步加深对切线长定理的理解。

（3）学生在解决实际问题过程中，体验到数学的实用性和趣味性，提高了学习数学的兴趣。

4.合作能力增强：

本节课通过小组讨论、角色扮演等活动，培养了学生的团队合作意识和沟通能力。具体表现在：

（1）学生在小组讨论中，学会倾听他人意见，尊重他人观点，培养了良好的沟通能力。

（2）学生在合作解决问题过程中，学会了分工合作，共同完成任务，提高了团队合作能力。

（3）学生在与同学交流的过程中，学会了分享知识、共同进步，形成了良好的学习氛围。

5.实践能力提升：

本节课通过实践活动，使学生将理论知识与实际应用相结合，提高了实践能力。具体表现在：

（1）学生在完成课后作业过程中，能够将切线长定理应用于解决实际问题，如绘制几何图形、计算切线长等。

（2）学生在参加数学竞赛或课外活动中，能够运用所学知识解决实际问题，展示了良好的实践能力。

（3）学生在日常生活中，能够运用数学知识解决实际问题，如购物、旅游等，提高了实际应用能力。

6.自我反思能力提高：

本节课通过反思总结，使学生学会对自己的学习过程和成果进行评价，提高了自我反思能力。具体表现在：

（1）学生在完成课后作业后，能够对自己的解题过程进行反思，找出不足之处，并提出改进措施。

（2）学生在参加数学竞赛或课外活动后，能够对自己的表现进行总结，分析成功与失败的原因，为今后学习提供借鉴。

（3）学生在面对困难时，能够积极寻求解决问题的方法，不断调整学习策略，提高自我反思能力。课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一环，它有助于教师了解学生的学习情况，及时发现问题并进行解决。以下是本节课课堂评价的具体实施方法：

1.提问评价：

（1）课堂提问是评价学生学习情况的重要手段。教师可以通过提问来检验学生对切线长定理的理解程度。

（2）设计不同难度的提问，包括基本概念、推导过程和实际问题解决，以全面评估学生的学习效果。

（3）鼓励学生积极参与回答问题，对于回答正确的学生给予肯定和表扬，对于回答错误的学生耐心引导，帮助他们找到正确答案。

2.观察评价：

（1）教师应关注学生在课堂上的参与程度，如是否认真听讲、是否积极参与讨论等。

（2）观察学生的课堂表现，如解题思路是否清晰、是否能灵活运用所学知识等。

（3）针对学生在课堂上的不足，及时给予指导和帮助，确保每个学生都能跟上教学进度。

3.小组讨论评价：

（1）在小组讨论环节，教师应观察学生在团队中的角色和贡献。

（2）评估学生在小组讨论中的发言质量、团队合作精神以及解决问题的能力。

（3）对于表现优秀的团队和个人给予表扬，对于存在问题的团队给予针对性的指导。

4.实践活动评价：

（1）通过实践活动，评估学生将理论知识应用于实际问题的能力。

（2）观察学生在实践活动中的表现，如操作技能、思维敏捷度、团队合作等。

（3）对于在实践活动中表现突出的学生给予奖励，对于存在问题的地方及时纠正。

5.课堂测试评价：

（1）设计针对性的课堂测试，检验学生对切线长定理的理解和应用能力。

（2）测试应包括选择题、填空题、解答题等多种题型，以全面评估学生的学习效果。

（3）根据测试结果，分析学生的学习难点和易错点，为后续教学提供参考。

6.反馈与指导：

（1）在课堂评价过程中，教师应及时给予学生反馈，肯定优点，指出不足。

（2）针对学生的疑问和困惑，教师应耐心解答，帮助学生克服学习障碍。

（3）鼓励学生勇于提问，积极参与课堂互动，营造良好的学习氛围。内容逻辑关系①切线长定理的定义：

-切线长定理：从圆外一点引出的切线，其切点到圆心的距离等于该点到圆上任意一点的距离。

②切线长定理的证明：

-证明方法：利用圆的性质、相似三角形、勾股定理等。

-关键步骤：构造相似三角形，通过比例关系推导出切线长与半径之间的关系。

③切线长定理的应用：

-应用场景：计算切线长、求圆的直径、解决几何证明问题等。

-关键词：切线、半径、相似三角形、勾股定理。

④切线长定理与其他圆的性质的结合：

-结合点：切线长定理与圆的切线垂直于半径、圆的切线与直径的关系等。

-关键词：切线垂直、直径、圆的性质、几何证明。典型例题讲解1.例题一：

已知圆O的半径为5cm，点A在圆上，且OA=6cm，求切线AB的长度。

解：作OM垂直于AB于点M，连接OA、OB。

由于OM是切线AB的垂径，所以OM=OA=6cm。

在直角三角形OAM中，AM=AB，OA=6cm，OM=5cm。

根据勾股定理，AM=√(OA^2-OM^2)=√(6^2-5^2)=√(36-25)=√11cm。

因此，切线AB的长度为√11cm。

2.例题二：

已知圆的半径为r，圆心到直线AB的距离为d，求切线段的长。

解：作圆心O到直线AB的垂线OH，垂足为H。

由于OH是切线段，所以OH=d。

在直角三角形OHM中，OM=√(OH^2+r^2)=√(d^2+r^2)。

因此，切线段的长为√(d^2+r^2)。

3.例题三：

已知圆的半径为r，圆心到直线AB的距离为d，且d<r，求切线段的长。

解：作圆心O到直线AB的垂线OH，垂足为H。

由于OH是切线段，所以OH=d。

在直角三角形OHM中，OM=√(OH^2+r^2)=√(d^2+r^2)。

因此，切线段的长为√(r^2-d^2)。

4.例题四：

已知圆的半径为r，圆心到直线AB的距离为d，且d>r，求切线段的长。

解：作圆心O到直线AB的垂线OH，垂足为H。

由于OH是切线段，所以OH=d。

在直角三角形OHM中，OM=√(OH^2+r^2)=√(d^2+r^2)。

因此，切线段的长为√(r^2-d^2)。

5.例题五：

已知圆的半径为r，圆心到直线AB的距离为d，且d=r，求切线段的长。

解：作圆心O到直线AB的垂线OH，垂足为H。

由于OH是切线段，所以OH=d。

在直角三角形OHM中，OM=√(OH^2+r^2)=√(d^2+r^2)。

因此，切线段的长为r。教学反思与总结今天这节课，我们学习了切线长定理，这可是几何学中的一个重要定理呢。回顾一下，我觉得有几个地方做得还不错，也有一些地方可以改进。

首先，我觉得我在导入新课的时候做得还可以。我通过展示一些生活中的实例，让学生们感受到了切线长定理的实际应用，这样他们学起来更有兴趣。比如，我拿了一个圆形的瓶子，让学生们观察瓶子边缘的切线，然后引导他们思考切线与圆的关系。

在教学过程中，我发现学生们对切线长定理的理解比较困难，尤其是在证明过程中。我意识到，我在讲解证明过程时可能过于理论化，没有结合具体的图形和实例。所以，我决定在接下来的教学中，更多地使用几何画板等软件，让学生们直观地看到切线长定理的推导过程。

另外，我在课堂上的提问也起到了一定的作用。我通过提问，让学生们思考切线长定理的应用，比如让他们计算切线长、求圆的直径等。我发现，学生们在回答这些问题时，不仅巩固了知识，还提高了他们的解题能力。

不过，我也发现了一些不足。比如，有些学生对于切线长定理的应用还是不太熟练，这说明我在课堂练习和巩固环节做得还不够。在今后的教学中，我打算增加一些实际操作练习，让学生们在实践中掌握这个定理。

在教学管理方面，我发现课堂纪律总体还好，但个别学生还是有些分心。我意识到，我需要在课堂纪律管理上更加严格，比如设置一些小奖励，鼓励学生们专心听