2024-2025学年新教材高中数学 第5章 数列 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 第2课时 等比数列的性质教学实录 新人教B版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第5章数列5.3等比数列5.3.1等比数列第2课时等比数列的性质教学实录新人教B版选择性必修第三册主备人备课成员教学内容分析1.本节课的主要教学内容：等比数列的性质，包括通项公式、前n项和公式及其应用。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课与上一节课所学的等比数列的定义和通项公式紧密相关，学生需要运用已学知识来理解和掌握等比数列的性质。教材章节为新人教B版选择性必修第三册第5章数列5.3.1等比数列。核心素养目标1.发展逻辑推理能力，通过探索等比数列的性质，提升学生运用数学语言表达推理过程的素养。

2.培养数学抽象能力，引导学生从具体数列实例中提炼出等比数列的一般性质。

3.增强数学建模意识，通过实际问题的分析，使学生能够运用等比数列模型解决问题。教学难点与重点1.教学重点：

-等比数列的通项公式：学生需要理解并掌握等比数列的通项公式\(a_n=a_1\cdotq^{(n-1)}\)，其中\(a_1\)是首项，\(q\)是公比，\(n\)是项数。

-等比数列的前n项和公式：学生应熟练运用等比数列的前n项和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）。

-应用实例：通过具体实例，如几何级数或金融计算，让学生应用这些公式解决实际问题。

2.教学难点：

-等比数列性质的推导：学生可能难以理解等比数列性质从定义到公式的推导过程，例如，如何从首项和公比推导出通项公式。

-公比的特殊情况处理：当公比\(q=1\)或\(q=-1\)时，等比数列的前n项和公式需要特别处理，学生可能在这部分遇到困难。

-应用中的逻辑推理：在解决实际问题时，学生需要运用逻辑推理来分析问题，并选择合适的数列性质进行计算，这一过程可能对学生来说较为复杂。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新人教B版选择性必修第三册，特别是第5章数列5.3.1等比数列部分。

2.辅助材料：准备等比数列的图表、实例分析视频，以及相关的数学软件演示等。

3.教学工具：准备计算器或数学软件，以便于学生进行计算和验证。

4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生进行小组合作学习，并确保实验操作台或白板用于展示解题过程。教学过程（一）导入新课

同学们，上节课我们学习了等比数列的定义和通项公式，那么今天我们要进一步探索等比数列的另一个重要性质——等比数列的性质。请大家回忆一下，我们已经掌握了哪些等比数列的基本知识呢？

（学生回答）

很好，我们已经了解了等比数列的定义和通项公式。那么，接下来我们将要学习的是等比数列的性质。今天我们要探究以下几个问题：

1.等比数列的通项公式如何推导？

2.等比数列的前n项和公式是怎样的？

3.如何运用等比数列的性质解决实际问题？

（二）探究等比数列的性质

1.等比数列的通项公式推导

同学们，我们先来探究等比数列的通项公式。假设我们有一个等比数列\(a_1,a_2,a_3,\ldots\)，其中首项为\(a_1\)，公比为\(q\)。现在，我们来推导一下通项公式。

首先，我们已知\(a_2=a_1\cdotq\)，\(a_3=a_2\cdotq=a_1\cdotq^2\)，以此类推。我们可以发现，第\(n\)项\(a_n\)可以表示为\(a_n=a_1\cdotq^{(n-1)}\)。

（学生计算）

很好，第5项为\(a_5=2\cdot3^{(5-1)}=2\cdot3^4=162\)。

2.等比数列的前n项和公式

我们已经知道了等比数列的通项公式\(a_n=a_1\cdotq^{(n-1)}\)，那么\(S_n\)可以表示为\(S_n=a_1+a_1\cdotq+a_1\cdotq^2+\ldots+a_1\cdotq^{(n-1)}\)。

为了方便计算，我们可以将\(S_n\)与\(q\cdotS_n\)进行对比：

\(q\cdotS_n=a_1\cdotq+a_1\cdotq^2+a_1\cdotq^3+\ldots+a_1\cdotq^n\)

\(q\cdotS_n-S_n=a_1\cdotq-a_1+a_1\cdotq^2-a_1\cdotq+\ldots+a_1\cdotq^n-a_1\cdotq^{(n-1)}\)

简化后，我们得到：

\((q-1)\cdotS_n=a_1-a_1\cdotq^n\)

进一步整理，我们可以得到等比数列的前n项和公式：

\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)

让我们再用具体的例子来验证一下这个公式是否正确。假设有一个等比数列，首项\(a_1=3\)，公比\(q=2\)，我们要找出它的前5项和。

（学生计算）

很好，前5项和为\(S_5=\frac{3(1-2^5)}{1-2}=31\)。

3.等比数列的性质在实际问题中的应用

同学们，现在我们已经掌握了等比数列的通项公式和前n项和公式，那么如何将这些知识运用到实际问题上呢？

我们可以通过以下几个例子来学习如何运用等比数列的性质解决实际问题：

（1）例题：一个等比数列的首项为2，公比为3，求它的第7项和前7项和。

（2）例题：一个等比数列的前5项和为100，公比为2，求它的首项。

（3）例题：一个等比数列的第四项是-12，公比是\(-\frac{1}{2}\)，求它的第10项和前10项和。

请同学们在练习本上独立完成以上例题，然后我们一起来检查答案。

（三）课堂练习

1.求解以下等比数列的第10项：

（1）首项为4，公比为\(\frac{1}{2}\)

（2）首项为-3，公比为\(-\frac{1}{3}\)

2.求解以下等比数列的前n项和：

（1）首项为-2，公比为-3，n=7

（2）首项为5，公比为\(\frac{1}{4}\)，n=5

请同学们在规定时间内完成练习，完成后举手示意。

（四）检查答案并讲解

1.检查学生答案，指出错误之处，并进行讲解。

2.强调解题过程中的重点和难点，如通项公式的推导、前n项和公式的运用等。

3.鼓励学生提出问题，共同解决。

（五）课堂总结

同学们，今天我们学习了等比数列的性质，包括通项公式、前n项和公式以及它们在实际问题中的应用。希望大家能够通过今天的课程，更好地理解和掌握等比数列的性质。

最后，请同学们在课后回顾今天所学内容，巩固所学知识。下一节课我们将继续学习等比数列的其他性质，敬请期待。

（六）布置作业

1.复习本节课所学内容，完成教材上的练习题。

2.预习下一节课的内容，提前了解等比数列的其他性质。

同学们，今天的课程到此结束，希望大家课后认真完成作业，共同提高数学水平。再见！教学资源拓展1.拓展资源：

-等比数列的几何意义：可以介绍等比数列在几何学中的应用，如等比数列的项在坐标系中对应的点构成的图形，以及这些图形与几何性质的关系。

-等比数列在金融学中的应用：探讨等比数列在复利计算、股票收益预测等金融领域的重要性。

-等比数列在物理科学中的应用：介绍等比数列在物理学中描述自然现象的例子，如振动系统的周期性变化。

2.拓展建议：

-学生可以通过阅读相关的数学课外书籍，如《数学的故事》或《数学之美》，了解等比数列的历史背景和应用案例。

-鼓励学生参与数学竞赛或挑战题目，如国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中的相关题目，以提升解题技巧和逻辑思维能力。

-组织学生进行小组项目，选择等比数列在实际生活中的应用场景进行深入研究，如股票市场分析、利率计算等，以增强学生的实践能力和团队协作能力。

-利用网络资源，如教育平台上的视频课程或在线论坛，让学生在课余时间进行自我学习，拓宽知识面。

-设计一些开放性问题，如“如何将等比数列的概念应用到日常生活中的一个实际问题中？”激发学生的创新思维和解决问题的能力。

-引导学生研究等比数列与其他数学分支的关系，如与级数理论、概率论和统计学的关系，以促进学生对数学整体结构的理解。

-提供一些历史文献或数学家的传记，让学生了解等比数列在数学发展史上的地位和影响，培养学生的数学史意识。典型例题讲解1.例题1：已知等比数列的首项\(a_1=3\)，公比\(q=2\)，求该数列的第6项\(a_6\)。

解答：根据等比数列的通项公式\(a_n=a_1\cdotq^{(n-1)}\)，代入\(a_1=3\)，\(q=2\)，\(n=6\)，得到\(a_6=3\cdot2^{(6-1)}=3\cdot2^5=96\)。

2.例题2：已知等比数列的前5项和\(S_5=31\)，首项\(a_1=3\)，公比\(q=2\)，求该数列的第5项\(a_5\)。

解答：根据等比数列的前n项和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，代入\(S_5=31\)，\(a_1=3\)，\(q=2\)，得到\(31=\frac{3(1-2^5)}{1-2}\)。解得\(a_5=3\cdot2^4=48\)。

3.例题3：已知等比数列的首项\(a_1=-2\)，公比\(q=-\frac{1}{2}\)，求该数列的前10项和\(S_{10}\)。

解答：根据等比数列的前n项和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，代入\(a_1=-2\)，\(q=-\frac{1}{2}\)，\(n=10\)，得到\(S_{10}=\frac{-2(1-(-\frac{1}{2})^{10})}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{-2(1-\frac{1}{1024})}{\frac{3}{2}}=\frac{-2\cdot\frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}}=\frac{-2046}{1536}=-\frac{1023}{768}\)。

4.例题4：已知等比数列的第3项\(a_3=8\)，公比\(q=-2\)，求该数列的首项\(a_1\)。

解答：根据等比数列的通项公式\(a_n=a_1\cdotq^{(n-1)}\)，代入\(a_3=8\)，\(q=-2\)，\(n=3\)，得到\(8=a_1\cdot(-2)^{2}\)。解得\(a_1=\frac{8}{4}=2\)。

5.例题5：已知等比数列的前5项和\(S_5=10\)，公比\(q=-\frac{1}{2}\)，求该数列的首项\(a_1\)。

解答：根据等比数列的前n项和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，代入\(S_5=10\)，\(q=-\frac{1}{2}\)，\(n=5\)，得到\(10=\frac{a_1(1-(-\frac{1}{2})^5)}{1-(-\frac{1}{2})}\)。解得\(a_1=\frac{10\cdot\frac{31}{32}}{\frac{3}{2}}=\frac{10\cdot31}{32\cdot\frac{3}{2}}=\frac{310}{48}=\frac{155}{24}\)。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例分析法：在讲解等比数列的性质时，我尝试使用具体的案例来帮助学生理解，比如通过股票市场的收益模式来展示等比数列在实际生活中的应用，这种方法能够让学生更加直观地感受到数学的价值。

2.互动式教学：在课堂上，我鼓励学生参与讨论，提出问题，这样可以激发学生的兴趣，同时也让他们在解决问题的过程中加深对知识的理解。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对概念理解不够深入：有些学生对于等比数列的定义和性质的理解还停留在表面，没有形成深刻的认识。

2.课堂互动不足：虽然我鼓励学生提问和讨论，但实际参与的学生数量有限，课堂互动的氛围还有待加强。

3.实践环节不足：在教学中，我可能过于注重理论讲解，而忽视了实践环节，学生缺乏动手操作和实际应用的机会。

反思改进措施（三）

1.深化概念教学：为了帮助学生深入理解等比数列的概念，我计划在教学中加入更多的图形和动画，通过视觉辅助来帮助学生更好地把握数列的变化规律。

2.丰富课堂互动：我将设计更多的问题和讨论环节，鼓励所有学生参与进来，同时也可以通过小组合作的方式，让学生在团队中学习和交流。

3.加强实践环节：为了让学生将理论知识应用到实践中，我计划增加一些实际操作的练习，比如让学生自己设计等比数列问题，并尝试解决，这样可以提高他们的动手能力和解决问题的能力。

4.个性化辅导：对于理解困难的学生，我将提供个性化的辅导，通过一对一的讲解和练习，帮助他们克服学习上的障碍。

5.反馈与评价：我将定期收集学生的反馈，了解他们对教学方法的看法，并根据反馈调整教学策略，同时也会通过定期的测试和作业来评价学生的学习效果。作业布置与反馈作业布置：

1.完成教材课后习题，特别是关于等比数列的通项公式和前